三维流形中固定亏格的嵌入极小曲面空间I.圆盘的离轴估计

嵌入式极小曲面的形状是什么？为什么？

What are the shapes of embedded minimal surfaces and why?

具有一致曲率（或面积）边界的极小曲面已经被很好地理解，正则性理论也是完备的，但没有这样的边界，基本上什么都不知道。我们在这里讨论嵌入式理论（即，无自相交）的无先验界的欧氏空间中的极小曲面。该研究分为三种情况，这取决于表面的拓扑结构。第一种情况是曲面是圆盘，第二种情况是曲面是平面域（亏格为零），第三种情况是有限（非零）亏格。对圆盘情形的完整理解适用于情形二和情形三。正如我们将要看到的，螺旋面是一个双螺旋楼梯，它是嵌入最小圆盘的最重要的例子。事实上，我们将看到，每一个这样的圆盘要么是一个函数的图形，要么是双螺旋楼梯的一部分。螺旋面被发现是一个极小曲面的Meusnier在1776年。对于平面域的基本例子是悬链面，也发现了Meusnier在1776年，和黎曼的例子发现了黎曼在19世纪60年代初。最后，对于一般的固定亏格，一个重要的例子是霍夫曼-韦伯-沃尔夫最近的一个亏格为1的螺旋面的例子。在最后一节中，我们讨论了为什么嵌入的极小曲面是自动正确的。这就是所谓的嵌入曲面的卡-丘拓扑。对于浸没表面，有Jorge-Xavier和Nadirashvili的反例。

A General Existence Theorem for Embedded Minimal Surfaces with Free Boundary

In this paper, we develop a general existence theory for properly embedded minimal surfaces with free boundary in any compact Riemannian 3-manifold $M$ with boundary $\partial M$. The main feature of our result is that no convexity assumption is required on $\partial M$. Our proof uses a variant of the min-max construction first considered by Almgren and Pitts. Recently, Colding-De Lellis gave a simplified proof of the interior regularity and here, we prove the boundary regularity of the limiting embedded minimal surfaces at their free boundaries. In addition, we define a topological invariant…

正Ricci曲率三维球面中任意亏格的极小曲面

Minimal surfaces with arbitrary genus in 3-spheres of positive Ricci curvature

本文研究正Ricci曲率三维球面中的极小曲面，证明对任意亏格g，存在面积不超过第一Simon-Smith宽度两倍的嵌入极小曲面。

关于最小曲面的计数极小极大定理

An enumerative min-max theorem for minimal surfaces

该研究通过拓扑方法证明了正各向同性曲率3流形中存在至少4个亏格为2的嵌入最小曲面，并建立了最小曲面数量与拓扑性质的关系。

Embedded tori with prescribed mean curvature

We construct a sequence of compact, oriented, embedded, two-dimensional surfaces of genus one into Euclidean 3-space with prescribed, almost constant, mean curvature of the form $H(X)=1+{A}{|X|^{-γ}}$ for $|X|$ large, when $A<0$ and $γ\in(0,2)$. Such surfaces are close to sections of unduloids with small necksize, folded along circumferences centered at the origin and with larger and larger radii. The construction involves a deep study of the corresponding Jacobi operators, an application of the Lyapunov-Schmidt reduction method and some variational argument.

由min-max构造产生的极小曲面的亏格界

Genus bounds for minimal surfaces arising from min-max constructions

在本文中，我们证明了在一个封闭的三维流形的嵌入极小曲面通过min-max参数构造的亏格界。一个更强的估计是由皮茨和Rubistein宣布，但据我们所知，其证明从未发表。我们的证明如下西蒙的想法，并使用米克斯，西蒙和丘的一个著名的结果的收敛性极小化序列的同位素表面的延伸。本文第二部分证明了这一结果。

On the Canham Problem: Bending Energy Minimizers for any Genus and Isoperimetric Ratio

Building on work of Mondino-Scharrer, we show that among closed, smoothly embedded surfaces in $\mathbb{R}^3$ of genus $g$ and given isoperimetric ratio $v$, there exists one with minimum bending energy $\mathcal{W}$. We do this by gluing $g+1$ small catenoidal bridges to the bigraph of a singular solution for the linearized Willmore equation $Δ(Δ+2)φ=0$ on the $(g+1)$-punctured sphere $\mathbb{S}^2$ to construct a comparison surface of genus $g$ with arbitrarily small isoperimetric ratio $v\in (0, 1)$ and $\mathcal{W} < 8π$.

S^3中的极小曲面：近期结果综述

Minimal surfaces in S^3: a survey of recent results

在这篇综述中，我们讨论了三球面S ^[3]中极小曲面方程的各个方面。在回顾了基本定义之后，我们描述了一族具有旋转对称性的浸入极小环面。然后，我们回顾了已知的嵌入S^3中的极小曲面的例子。除了赤道和克利福德环面，这些例子还包括劳森和Kapouleas-Yang例子，以及Choe和Soret最近发现的一个新的例子家族。接下来我们讨论S^3中极小曲面的唯一性定理，例如Almgren在亏格为0的情况下的工作，以及我们最近对亏格为1的嵌入极小曲面的劳森猜想的解决方案。更一般地说，我们表明，任何极小曲面的亏格1，这是亚历山德罗夫浸入必须是旋转对称的。我们还讨论了嵌入的极小曲面的Morse指数的Urbano估计，并给出了最近由Marques和Neves证明Willmore猜想的大纲。最后，我们描述的第一特征值的拉普拉斯算子的极小曲面的估计。