On the chromatic number of 2-dimensional spheres
Danila Cherkashin, Vsevolod Voronov
西蒙斯在1976年证明，半径严格大于$1/2$的2维球面的每一个着色都有一对距离为1的单色点。我们证明了这个猜想。
In 1976 Simmons conjectured that every coloring of a 2-dimensional sphere of radius strictly greater than $1/2$ in three colors has a couple of monochromatic points at the distance 1 apart. We prove this conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the chromatic numbers of spheres in $ {\mathbb R}^n $
本文得到了球面的色数的新的渐近下界。
Chromatic numbers of flag 3-spheres
本文证明了对每个维数d，旗三角剖分S^d的色数不存在常数上界，并利用Ramsey理论构造了色数至少为Ω~(n^{1/4})的3-球面旗三角剖分。
Chromatic numbers of spheres
欧几里得空间的子集的色数是指能够使该子集中所有点着色的最小颜色数，使得距离为1的任意两点具有不同的颜色。给出了球面的色数的新的上界。
Measurable Chromatic Number of Spheres
我们研究了可测的色数的距离着色的表面上的2维领域的不同半径，特别显示，类似的参数，用于提高下界在平面上的工作，但一个可数集的半径。此外，我们表明，可测的色数作为半径的函数，或更一般的曲率，是不是单调的。
The surface of a sufficiently large sphere has chromatic number at most 7
我们提出了一种方法来分配，对于任何半径$r$大于约12.44，七种颜色之一，每个点在$\mathbb{R}^3$躺在距离$r$从原点，使得没有两个点在单位距离彼此被分配相同的颜色。这种构造的存在与最近的证明形成了对比，对于任何正值$\varepsilon$，如果没有两个指定相同颜色的点位于$[1,1+\varepsilon]$中的任何距离处（并且具有某些其他限制，这些限制也满足我们的着色），那么对于任何有限的$r\ge18$，需要八种颜色，即使当$\varepsilon \leq\frac{\sqrt{7}}{2} - 1$时，平面中的七种颜色就足够了。
Constructing 5-chromatic unit distance graphs embedded in the Euclidean plane and two-dimensional spheres
本文主要研究二维球面或平面中色数大于4的单位距离图的求法。此类图为平面上的Nelson-Hadwiger问题的色数及其对球体情况的推广提供了下界。构造了一系列嵌入平面的顶点数为64513的5色单位距离图。与先前已知的例子不同，这些图不包含Moser主轴作为子图。给出了在两个半径值上嵌入球面的5-色图的构造。即构造了嵌入单位边长二十面体外接球的372个顶点的5-色单位距离图和嵌入大二十面体外接球的972个顶点的5-色图。
Chromatic numbers, Buchstaber numbers and chordality of Bier spheres
该研究探讨了比尔球的色数、布施特伯数及弦性分类，通过分析f向量得出一般公式，并揭示了弦性比尔球的结构特性。
Topology and chromatic number of random $ε$-distance graphs on spheres
给定$0<α\leqπ$，$ε>0$和$n$，我们通过画$d$ i.i.d.当$u$和$v$之间的测地线距离为$ε$ -接近$α$时，顶点和边$u {\sim} v$的均匀随机点。该模型推广了球面上的距离图，也推广了随机Borsuk图。已知拓扑工具可以给出Borsuk图的色数的紧界。我们现在研究这些拓扑不变量之一的效率，即Lóvasz的邻域复形的连通性，以限制该模型的随机图的色数。我们表明，在一般情况下，这个界表现不好，但是，它仍然产生一些有用的界限尺寸$d=1$和2。
A lower bound on the number of colours needed to nicely colour a sphere
本文针对球面着色的相关问题，在自然限制下证明任意半径足够大的球面色数至少为8，改进了Thomassen的结果，还为三维空间着色提供了新下界。
Coloring spheres in 3--manifolds
受曲面曲线图色数研究的启发，研究者给出了连通和流形$M_r$的球面图色数的上下界，并通过3-流形素分解推导出任意可定向3-流形球面图色数的界值，推进了自由群外自同构群相关的几何群论研究。
Homotopy type of the neighborhood complexes of graphs of maximal degree at most $3$ and $4$-regular circulant graphs
为了估计图$G$的色数的下界，Lovász关联了一个称为邻域复形的单纯复形$\mathcal{N}(G)$，并将$\mathcal{N}(G)$的拓扑连通性与$G$的色数联系起来。更一般地说，他证明了色数的$G$是有界以下的拓扑连接的$\mathcal{N}(G)$加上$3$。本文考虑最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图.我们证明了这些图的邻域复形的每个连通分量同伦等价于一个点，一个楔形和的圆，一个楔形和的$2$ -球$S^2$，$S^3$，一个花环的$2$ -球$S^2$或一个连接和的环面。
Chromatic polynomials of simplicial complexes
我们考虑单纯复形的s-色多项式，图的色多项式的高维类似物.
On the chromatic number of a simplicial complex
在[Ho]中A.J.Hoffman证明了图的色数的一个下界，它是由图的邻接矩阵的最大和最小特征值表示的。本文证明了这一结果的一个高维形式，并利用高阶Laplacian算子的谱给出了纯$d$维单纯复形的色数的一个下界.
Self-Polar Polytopes
自极多面体是凸多胞体，其等于其极集的正交变换。这些多面体首先由Lovász研究，作为建立球面上距离图的色数的一种手段，它们也可以用来构造具有任意高色数的无三角形图。我们调查的存在，建设，面部结构，和实际应用中的自极性多面体，以及这些多面体的地方在更广泛的自对偶多面体。
Coloring of the dth power of the face-centered cubic grid
面心立方网格是一个三维12正则无限网格。该图表示在三维空间中填充球体的最佳方式。在此网格中，顶点表示球体，边表示球体之间的接触。本文给出了面心立方网格的d次幂色数的上下界。特别地，在d = 2的情况下，我们证明了这个网格的色数是13。我们还确定了更清晰的界限d = 3和子图的面心立方网格。
Transversals and colorings of simplicial spheres
本研究受点集环绕性质启发，通过两种无穷构造给出单纯d-球面最大横贯比的下界，并小幅改进了高维单纯球面面超图色数的已有上界。
Coloring Discrete Manifolds
离散d-流形是一类有限的单图，它可以三角剖分经典流形，但它完全定义在图论中。我们证明了离散d-流形G的色数X（G）夹在d+1和2（d+1）之间.由两个有限单图的联A+B的一般恒等式X（A+B）=X（A）+X（B），得出存在色数X=（3 k +1）的（2k）-球和色数X= 3 k的（2k-1）-球.自菲斯克的开创性工作以来，X（G）=5的2-流形的例子就已为人所知。当前的数据支持3（d+1）/2的天花板函数可以是所有d-流形G的上界，推广了Albertson-Stromquist的猜想，即X（G）对所有2-流形都有5以上的界。对于d-流形，Fisk引入了（d-2）-簇O（G）。这个图O（G）有维数为（d-2）的极大单形，对应于G的完全完全子图K_{d-1}，其对偶圈的基数为奇数。一般来说，O（G）是（d-2）-流形的并.我们注意到如果O（S（x））是空的或对所有x是（d-3）-球面，则O（G）是（d-2）-流形或空的。纽结O（G）对于三维流形G已经很有趣了，因为Fisk已经证明了对于某些三维流形，每个可能的纽结都可以表现为O（G）。特别是对于4-流形G，只要所有O（S（x））在每个单位3-球面S（x）中或者为空或者为纽结，则Fisk簇O（G）是G中的2-流形。
A logarithmic bound for the chromatic number of the associahedron
本文研究结合多面体色数增长问题，证明其色数关于维数具有对数上界，改进旧结果并证实2009年猜想。
Star Edge Coloring of the Cartesian Product of Graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.本文首先给出了两个图的笛卡儿积的星色数的上界。然后，我们确定的确切值的恒星色指数的$2$维网格。对于任意正整数$d$，我们还得到了路径与圈、$d$维网格、$d$维超立方体和$d$维环形网格的笛卡儿积的星色指数的上界.
Systolic inequalities and chromatic number
我们表明，离散版本的心脏收缩不等式估计的顶点数的单纯复形从下面有大量的应用程序的图形，一维单纯复形。几乎直接地，他们提供了很好的估计的顶点数的图的色数和长度的最小奇圈。与Berlov和Bogdanov的图论技术相结合，心脏收缩法可以产生更好的估计。
The chromatic number of 4-dimensional lattices
本研究利用4维52种平行多面体分类，结合格Cayley图同构检验、诱导子图下界、周期着色上界及SAT求解器，确定了所有4维格的色数。
Lower bounds for measurable chromatic numbers
基于半定规划的求解，Lovasz θ函数为有限图的色数提供了一个下界。本文推广了它，给出了紧度量空间上距离图的可测色数的一个下界。特别是，我们考虑单位球面上的距离图。在那里，我们把原来的无限半定规划到一个无限的线性规划，然后原来是一个极值问题的雅可比多项式，我们解决明确的限制。作为应用，我们导出了10，.维欧几里得空间的可测色数的新的下界，24，我们给出了一个新的证明，它的增长指数的维数。
Proof of the Finiteness of the Chromatic Number of Two-Dimensional Lacunary Distance Graphs
通过将一维孤立集方法扩展到二维，并利用缺项矩阵定理，证明了由二维缺项向量序列生成的整数距离图具有有限色数。
The spectral radius of $k$-chromatic $r$-graphs
本文研究了 $k$-色 $r$-图的谱半径最大值问题，证明了当 $r\ge4$ 时，完全 $k$-色 $r$-图是唯一最大值图，并解决了 Kang-Nikiforov-Yuan 的猜想。
Spectral bounds for the independence ratio and the chromatic number of an operator
通过推广有限图的邻接矩阵的定义，定义了L^2-空间上有界自伴算子的独立比和色数.在类比有限图的霍夫曼界，我们给这些参数的运营商的数值域的界限。这为利用调和分析和凸优化研究有限和无限图的填充和着色问题提供了一个理论框架。该理论适用于欧几里得空间和单位球面上的无限几何图。
On the chromatic numbers of 3-dimensional slices
该研究证明了对任意正ε，三维空间与六维ε区间乘积构成的无限图的色数不小于10，推进了高维切片图色数的下界研究。
Chromatic statistics for Catalan and Fuß-Catalan numbers
我们完善Catalan数和Fuel-Catalan数引入颜色统计的三角形和$d$维概括那里，我们称之为Fuel-Catalan复。我们的改进包括在显示的三角形，分别Fuel-Catalan复合物，其顶点的颜色分布的数量是由封闭的产品公式。证明的关键要素是拉格朗日-古德反演公式。
Two floor building needing eight colors
基于办公楼频率分配问题，研究了$3$维平行六面体排列的邻接图的色数。在每个平行六面体都在一层内的情况下，四色定理的直接应用产生邻接图的色数至多为$8$。我们提供了一个这样的安排的例子，需要确切的$8$颜色。我们还讨论了$3$维平行六面体的一般安排的邻接图的色数的界限，根据平行六面体的几何措施（边长，总表面或体积）。
Chromatic Numbers of Simplicial Manifolds
单纯复形的高阶色数$χ_s$自然地推广了图的色数$χ_1$。在任何固定维数$d$中，$d$ -复形的$s$ -色数$χ_s$对于$s\leq\lceil d/2\rceil$可以变得任意大[6，18].相反，$χ_{d+1}=1$和$χ_s$对$\lceil d/2\rceil<s\leq d$知之甚少。一个特殊的$d$ -复形是$d$ -流形的三角剖分。作为曲面的映射色定理[29]的结果，任何固定曲面的2-色数都是有限的。然而，通过结合文献中的结果，我们将看到曲面的$χ_2$随着亏格的增长而变得任意大。这个证明是通过Steiner三元系，并且是非构造性的。特别是，到目前为止，没有明确的三角形的表面与高$χ_2$是已知的。我们证明了亏格至少为20的可定向曲面和亏格至少为26的不可定向曲面的2-色数至少为4。利用射影Steiner三元系，构造了亏格为2542的不可定向曲面的显式三角剖分，其面向量$f=(127,8001,5334)$的2-色数为5或6。我们还给出了2-色数为5和6的可定向例子。对于3维流形，迭代矩曲线构造[18]以及嵌入结果[6]可以用来产生任意大的2-色数的三角剖分，但尺寸巨大。通过[18]的几何构造的拓扑版本，我们获得了具有面向量$f=(167,1579,2824,1412)$和2-色数5的三维球体$S^3$的相当小的三角剖分。
Upper bound on cubicity in terms of boxicity for graphs of low chromatic number
图$G$的盒度（相应立方度）是最小非负整数$k$，使得$G$可以表示为轴平行的$k$维盒（相应$k$维单位立方体）的相交图，并且由$box(G)$（相应$cub(G)$）表示。Adiga和Adirran（Journal of Graph Theory，65（4），2010）证明了对于任何图$G$，$cub(G) \le$盒$(G) \left \lceil \log_2 α\right \rceil$，其中$α= α(G)$是$G$中最大独立集的基数。在本说明中，我们表明，$cub(G) \le 2 \left \lceil \log_2 χ(G) \right \rceil box(G) + χ(G) \left \lceil \log_2 α(G) \right \rceil $。在一般情况下，这个结果可以提供一个更好的上界比Adiga和Adirran的图类的有界色数。例如，对于二分图，我们得到$cub(G) \le 2 (box(G) + \left \lceil \log_2 α(G) \right \rceil )$。证明了对每一个正整数$k$，存在具有色数$k$的图，使得对每一个$ε> 0$，我们的上界给出的值至多是其立方度的$(1+ε)$倍.因此，我们的上界几乎是紧的。
On the chromatic numbers of small-dimensional Euclidean spaces
本文研究图序列G_n =（V_n，E_n），其中V_n是R^n中所有坐标为{-1，0，1}的向量v的集合，使得|v| = sqrt（3），E_n由标积为1的所有顶点对组成.我们精确地求出了G_n的独立数。作为推论，我们得到了当n较小时chi（\R^n）和chi（\Q^n）的一些新的下界.
The chromatic number of random Borsuk graphs
本文研究了顶点为$n$ i.i.d.的随机图模型。在$\mathbb{R}^{d+1}$中的单位球面$S^d$上的均匀随机点，并且如果一对顶点之间的欧几里德距离至少为$2- ε$，则它们是连通的。当$n$趋于无穷大时，我们对这个图的色数感兴趣.不难看出，如果$ε> 0$很小且固定，则色数是$d+2$的概率很高。我们表明，即使$ε\to 0$足够慢，这仍然成立。我们量化了$ε$可以趋于零并且仍然具有相同的色数的速率。证明依赖于结合拓扑方法（即Lyusternik-Schnirelman-Borsuk定理）与几何概率参数。我们得到的速率是最好的可能，直到一个常数因子-如果$ε\to 0$比这更快，我们表明，该图是$(d+1)$ -着色的概率很高。
On the upper chromatic number and multiplte blocking sets of PG($n,q$)
本文研究了由点和$\mathrm{PG}(n,q)$的$k$维子空间构成的超图的上色数，即使每个$k$维子空间至少包含两个同色点的最大色数.显然，如果一个人用相同的颜色给双块集的点着色，则其余的点可能会得到相互不同的颜色。这给出了一个平凡的下界，我们证明了它在许多情况下是尖锐的。由于这种关系的双重阻塞集，我们还证明了$t\leq \frac38p+1$，一个小的$t$ -倍（加权）$(n-k)$ -阻塞集的$\mathrm{PG}(n,p)$，$p$素数，必须包含加权和的$t$不一定不同的$(n-k)$ -空间。
Box-Delaunay graphs of large chromatic number
该研究构造了满足特定独立数与色数界的二维偏序集，进而得到对应界的n点平面集的Box-Delaunay图。
Colouring normal quadrangulations of projective spaces
本文证明对d=3存在色数任意大的射影空间正常四边形剖分，并证明任意维度下色数不可能为3，否定了几何条件可去除的猜想。
The chromatic number of the associahedron: simple and logarithmic
本文针对associahedron的色数问题，给出了比前人更简单的证明，得到n-1维associahedron色数的上界为6 log₂n + 18，后续该界被改进为O(log log n)，其方法或可助力进一步研究。
Signified chromatic number of grids is at most 9
所指图是一对$(G, Σ)$，其中$G$是一个图，而$Σ$是一组用“$-$”标记的边。其他边缘标有“$+$”。所指图$(G, Σ)$的所指着色是到所指图$(H, Δ)$的同态。可指图$(G, Σ)$的可指色数是$H$的最小阶.本文证明了对于任意二维网格$(G, Σ)$，存在从$(G, Σ)$到符号Paley图$SP_9$的同态.因此，所指网格的所指色数至多为9。这改进了Bensmail最近得到的这个数的上界。
The chromatic index of finite projective spaces
本文将确定有限射影空间 PG$(n,q)$ 色指数的问题转化为检验特定 PG$(3,q)$ 和 PG$(4,q)$ 的存在性，并证明了对于任意奇数 $n$ 及 $q\in\{3,4,8,16\}$ 的色指数及其平行性的存在。
Mixing properties and the chromatic number of Ramanujan complexes
Ramanujan复形是Ramanujan图的高维单纯复形。利用Oh关于局部域上李群的数量性质（T）的一个结果，导出了这类复形的一个混合引理.作为应用，我们证明了非部Ramanujan复形具有“高围长”和高色数，推广了Ramanujan图的一个著名结果.
Geometrization of Graphs: Towards Bounding the Chromatic Number via High-Dimensional Embedding
通过高维嵌入方法，研究图的色数上界问题，并提出基于几何构造的色数界定条件。
A counterexample to a conjecture on facial unique-maximal colorings
平面图的面唯一最大染色是一个自然数的真顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上只出现一次。法布里齐和戈林证明了六种颜色是足够的任何平面图，并证明了四种颜色足够。这个猜想是四色定理的一个加强。温德兰后来把上界从6降到了5。本文通过给出无穷多个反例证明了该猜想的错误。从而得出球面的面唯一最大色数为5。
Real Root Conjecture fails for five and higher dimensional spheres
本文给出了五维及高维球面的凸旗三角剖分的一种构造方法，这种三角剖分的h-多项式不能只有实根。我们证明了在低于5维的情况下没有这样的例子。给出了一个弱于真根性的条件，并给出了一些证据
The chromatic number of the square of the 8-cube
类立方图是阶为$2^n$的初等阿贝尔群的凯莱图。在类立方图的色数的研究中，经常考虑$n$维超立方图的$k$次幂，即$Q_n^k$.这个着色问题可以在编码理论的框架中考虑，因为图$Q_n^k$可以由每个长度为$n$的二进制字的一个顶点和当相应字之间的海明距离最多为$k$时顶点之间的边来构造。因此，$Q_n^k$的适当着色对应于将$n$维二进制汉明空间划分成具有至少$k+1$的最小距离的码。最小的开放情况，$Q_8^2$的色数，在这里解决了找到一个13-着色。这种具有特定对称性的13-着色被进一步分类。
Oddities of quantum colorings
本文研究了图的着色和色数的量子类比。最初通过交互式协议定义，量子着色也可以被视为图着色的自然算子松弛。由于没有已知的算法来产生非平凡的量子着色，现有的例子依赖于特设的建设。几乎所有已知的量子$d$着色的构造都是从$d$维正交表示开始的。我们展示了这种方法的局限性，第一次，一个图的3维正交表示，不能是量子3色，和一个图，可以是量子3色，但没有3维正交表示。这些例子表明量子色数和正交秩作为图的参数不能直接比较。前一个图还提供了几个有趣的，以前未知的量子着色性质的例子。其中最引人注目的是，添加一个新的顶点与所有其他顶点相邻并不一定会增加图的量子色数。这与色数及其许多变体形成鲜明对比。这个图还提供了已知的最小的例子（14个顶点），展示了色数和它的量子类似物之间的分离。
Chromatic Constraints on Quantum Observables: Gaps, Contextuality, and Separability
研究正交超图中色完备性与几何可坐标化性两种现象，通过对比相同强色数的三维例子，明确强色数大于希尔伯特空间维数仅阻碍色完备性，不阻碍忠实正交表示。
Geometric graphs with exponential chromatic number and arbitrary girth
本文证明了在$\mathbb{R}^d$中存在具有任意大围长且色数至少为$(1.074 + o(1))^d$的单位距离图，改进了已有结果并给出了首个指数底数不随围长趋向1的界限，该结论可推广至其他几何图。
Intersection patterns of finite sets and of convex sets
主要结果是r-一致超图色数下界的结果和Tverberg型理论中的一些主要定理的一般推广，这些定理涉及单纯复形连续映射到欧几里得空间时的面相交模式.作为一个应用，我们得到了一个简单的证明推广的结果Kriz某些参数。本文专门给出了Kneser猜想的一个简短的证明。此外，结合这一结果与最近的工作Mabillard和Wagner，我们表明，某些等变映射的存在性产生下界的色数。对Schrijver关于稳定Kneser图的色数的结果给出了一个本质上初等的证明.事实上，我们证明了每个相邻的偶数维多面体产生一个小的诱导子图的Kneser图相同的色数。利用这个几何观点，我们进一步给出了Kneser超图的某些小子超图的色数的紧下界。
The boundary term from the Analytic Torsion of a cone over a $m$-dimensional sphere
本文直接证明了J. Brünning和X. Ma推广到了$m$维球面上的锥的情形。
Topology of Hom complexes and test graphs for bounding chromatic number
我们介绍了新的方法来理解的拓扑结构的$\Hom$复合物（空间之间的同态两个图），主要是在图和偏序集上的群作用的背景下。我们把$\Hom(T,-)$和$\Hom(-,G)$看作是从图到偏序集的函子，并引入一个从偏序集到以原子为顶点的图的函子$(-)^1$.我们的主要结构结果建立了有用的解释的等变同伦型的$\Hom$复形的等变偏序集映射的空间和空间的$Γ$ -扭曲的产品。当$P = F(X)$是单纯复$X$的面偏序集时，这为控制$\Hom$复形的拓扑结构提供了一种有用的方法。我们最重要的应用这些结果是建设新的家庭的“测试图”与任意大的色数-图$T$的性质，$\Hom(T,G)$的连通性提供了最好的可能的下界上的色数的$G$。特别是，我们专注于两个无限的家庭，我们认为高维类似的奇周期。“球面图”家族与同态对偶的概念有关，而“扭曲环面图”家族则使我们建立了一个猜想的弱化版本（由于Lovász），该猜想将色数的拓扑下界与最大度联系起来。其他结构的结果使我们能够表明，任何有限的单纯复$X$的自由行动的对称组$S_n$可以近似到$S_n$同伦等价为$\Hom(K_n,G)$的一些图$G$，这是一个推广的结果Csorba。最后，我们对我们研究中涉及的基本范畴概念进行了一些讨论。
Moment-angle manifolds corresponding to three-dimensional simplicial spheres, chordality and connected sums of products of spheres
本文刻画了三维单纯球面K的矩角复形上同调环同构于球面乘积连通和的条件，并推广到任意维单纯球面的充分条件。
An obstruction to embedding $2$-dimensional complexes into the $3$-sphere
考虑了一个$2$维CW复形在$3$ -球面上的嵌入，并构造了它的对偶图.然后我们从对偶图的补图的第一个同调群中的$2$维CW复形得到一个齐次线性方程组。通过检验齐次线性方程组不存在积分解，证明了某些$2$维CW复形不能嵌入到三维球面中.
Coloring graphs using topology
高维图可以用来给二维几何图着色。例如，如果G是一个三维图H的边界，我们可以细化内部，直到它是4色的。如果所有的内部边缘度都是偶数，则实现后一个目标。使用沿着表面切割内部的细化过程，我们可以沿着该表面的边界调整度数。更有效的是一个自协边的G本身与一个主图离散的产品G与一个区间。从三维几何图的欧拉曲率处处为零的事实可以得出，如果H是单连通的，则奇度边集O是一个圈，因此是一个边界。还原到最小着色将意味着四色定理。该方法预计将给出一个理由“为什么4种颜色就足够了”，并建议每个任意度和方向的二维几何图都可以用5种颜色着色：由于射影平面不能是三维图的边界，并且由于对于更高亏格的曲面，内部H不是单连通的，一般来说，我们需要将曲面嵌入到4维单连通图中才能对其着色。这解释了在更高次或不可定向的情况下出现的色数5，我们认为这个数字是上极限。对于每一种曲面类型，我们构造了色数为3，4或5的例子，其中色数为5的曲面的构造是基于Fisk的一种方法。我们已经在计算机上实现并说明了本文所描述的所有拓扑方面。到目前为止，我们仍然需要人工指导或模拟退火来对高维宿主图进行细化。
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