Box complexes, neighborhood complexes, and the chromatic number
Lovasz的显着证明Kneser的猜想从1978年使用Borsuk-乌拉姆定理提供了一个下界的色数的一个图。我们引入了单纯复形的Shore剖分，并用它来表示这个拓扑下界的一个上界，并构造了从盒复形（Matousek和Ziegler的版本）到Lovasz复形的一个强Z_2-形变收缩.在这个过程中，我们分析和澄清所涉及的复合物的组合学，并通过几个“中间体”复合物连接它们的结构。
2003-10-21 math.AT math.CO
Thresholds for colouring the random Borsuk graph
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Bernoulli Institute, Groningen University（格罗宁根大学伯努利研究所）；Université de Paris（巴黎大学）
研究随机Borsuk图的着色阈值，证明对于不同k值，色数转变的临界条件与平均度的关系
2026-03-07 math.CO math.PR
Local chromatic number and distinguishing the strength of topological obstructions
图G的局部色数是指在图G的所有真染色中最小化的顶点的最色闭邻域中出现的颜色数。我们发现，两个特定的拓扑障碍，具有相同的含义的色数有不同的含义的本地色数。这两个障碍可以分别用同态复形Hom（K_2，G）和它的悬置表示。这些调查遵循Matousek和Ziegler发起的研究路线，他们认识到不同的拓扑表达式可以作为图的色数的下界。我们的结果意味着4-色Kneser，Schrijver，Borsuk和广义Mycielski图的局部色数是4，更一般地，这些图的2 r-色版本的局部色数至少r+2。这下界是紧的，在几种情况下，结果在较早的文件的前两个作者。
2007-04-19 math.AT math.CO
Colouring signed analogues of Kneser, Schrijver, and Borsuk graphs
本文研究Kneser符号图的平衡着色，证明其平衡色数为n-k+1，引入Schrijver符号图作为顶点临界子图，并探讨与Borsuk符号图的拓扑联系。
2025-09-09 math.CO
On The Chromatic Number of Matching Graphs
在早期的论文中，本作者（2013）引入了图的交替数，并使用Tucker引理，Borsuk-Ulam定理的等价组合版本，证明交替数是色数的下界。一个匹配图以图的给定大小的所有匹配的集合为顶点集，如果对应的匹配是边不交的，则两个顶点相邻。已知Kneser图、Schrijver图和置换图都可以用匹配图表示。作为Schrijver关于Schrijver图的色数的著名结果的推广，本文通过确定匹配图的交替数来确定匹配图的色数.特别地，我们根据匹配的广义Turan数确定了这些匹配图的色数。
2015-07-30 math.CO
On Chromatic Number and Minimum Cut
对于图$G$，树图${\cal T}_{G,t}$具有$G$的所有以$t$为顶点集的树的子图，并且如果两个树的子图是边不相交的，则它们是邻居.此外，$G$的$r^{th}$切割数是将$G$的顶点集划分成两部分的部分之间的边的最小数目，使得每个部分具有至少$r$的大小。证明了如果$t=(1-o(1))n$和$n$足够大，则对于任意一个顶点为$n$的稠密图$G$，树图${\cal T}_{G,t}$的色数等于$G$的$(n-t+1)^{th}$割数.特别地，作为结果，我们证明了，如果$n$是足够大的$G$是一个稠密图，那么生成树图${\cal T}_{G,n}$的色数等于$G$的最小割的大小。证明方法是基于交替图兰数的启发塔克引理，一个等价的组合版本的Borsuk-Ulam定理。
2015-11-30 math.CO
Topological lower bounds for the chromatic number: A hierarchy
本文研究图的色数的“拓扑”下界。这样的下界是由Lovász在1978年首次提出的，在他著名的证明\emph{Kneser conjecture}通过代数拓扑。这个猜想指出，\emph{Kneser graph} $\KG_{m,n}$，以$\{1,2,...,n\}$的所有$k$ -元素子集为顶点，所有不相交集对为边的图，有色数$n-2k+2$。其他几个证明已经出版（由Bárány，Schrijver，Dolnikov，Sarkaria，Kriz，Greene和其他人），所有这些都基于Borsuk-Ulam定理的某些版本，但在其他方面完全不同。每一个都可以推广到任意图的色数的下界。（实际上，我们观察到\emph{every}有限图可以表示为广义Kneser图，上述界限适用于该广义Kneser图。我们表明，这些边界几乎是线性有序的强度，最强的一个基本上是Lovász的原始边界的邻域复杂。我们还提出和比较各种定义的一个图的\emph{box complex}（发展思想的阿隆，弗兰克尔和Lovász和\kriz）。一个合适的盒复形等价于Lovász复形，但其构造更简单且是函式的，它将具有同态的图映射到具有$\Z_2$ -映射的$\Z_2$ -空间。
2003-11-24 math.AT math.CO
Chromatic Number of Random Kneser Hypergraphs
最近，Kupavskii~[{ \it]关于{K}neser和{S}chrijver图的随机子图. J. Combin。理论系列A，{ \rm 2016}}]研究了随机Kneser图$\KG_{n,k}(ρ)$的色数，证明了在许多情况下，随机Kneser图$\KG_{n,k}(ρ)$和Kneser图$\KG_{n,k}$的色数几乎必然是闭的.他还标志着研究色数的随机Kneser超图$\KG^r_{n,k}(ρ)$作为一个非常有趣的问题。借助于Borsuk-Ulam定理的组合推广--$\Z_p$ -Tucker引理，通过引入随机一般Kneser超图的色数的几乎必然下界，将Kupavskii的结果推广到随机一般Kneser超图.粗略地说，作为我们结果的一个特例，我们证明了随机Kneser超图$\KG^r_{n,k}(ρ)$和Kneser超图$\KG^r_{n,k}$的色数在许多情况下几乎必然是闭的.此外，限制到Kneser和{S}chrijver图，我们提出了一个纯粹的组合证明的改进Kupavskii的结果。对于任意的超图$\HH$，我们给出了无单色$K_{t,\ldots,t}^r$子超图的$\KG^r(\mathcal{H})$的着色所需的最少颜色数的下界，其中$K_{t,\ldots,t}^r$是完全的$r$ -均匀$r$ -部超图，其顶点为$t r$，使得它的每个部分都有$t$…
2016-08-14 math.CO
The set chromatic number of random graphs
本文研究了随机图$p=p(n)$的$G(n,p)$的色数集色数.我们发现，集色数，作为$p$的函数，形成一个有趣的锯齿形。
2015-02-04 math.CO math.PR
Edge density and minimum degree thresholds for $H$-free graphs with unbounded chromatic number
本文研究了图H无色图的边密度和最小度阈值之间的权衡，证明了在色阈值附近的临界窗口中，边密度可补偿局部最小度条件的不足，并给出了显式界。
2025-12-11 math.CO
The Distant-l Chromatic Number of Random Geometric Graphs
随机几何图$G_n$是通过在公共有界概率分布下独立地选取$\mathbb{R}^d$中的$n$顶点而得到的，其中两个顶点相邻当且仅当它们的$l^p$ -距离至多为$r_n$ .我们研究了$l\ge1$的$G_n$的远- $l$色数$χ_l(G_n)$.在几乎处处收敛的意义下，给出了$χ_l(G_n)$与色数$χ(G_n)$之比的完整图象.
2009-09-21 math.CO math.PR
Random complexes with free involution
我们引入了一个新的随机单纯复形模型，它以很高的概率生成一个复形，有一个单连通的双重覆盖。因此，我们建立了一个具有基本群$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的随机单纯复形模型。我们建立这些复杂的典型渐近拓扑的结果。作为结果，我们给出了维数$d$的界，使得从双覆盖到$\mathbb{R}^d$的$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -等变映射有高概率的零点，从而建立了随机Borsuk-Ulam定理.我们应用这一点，得到一个结构的结果对不相邻的团在Erdens-Rényi随机图。
2022-10-20 math.AT math.CO math.PR
Coloring dense graphs via VC-dimension
Vapnik-Červonenkis维数是集合系统或超图的复杂性度量。它在图中的应用通常是通过考虑顶点的邻域集来完成的（参见。Alon等人（2006）和Chepoi、Estellon和Vaxes（2007）），因此提供了一个集合系统。但是在这个过程中，图形结构丢失了。本文的目的是引入配对VC-维数的概念，VC-维数的一个推广，赋予一个图形结构的集合系统，因此一个集合的子集对。在组合数学中，经典VC-理论通常用超图的分数横截性和VC-维数来定义超图的横截性。同样地，我们用分数横截性和VC-维数来定义色数。这种方法对于Erdés和Simonovits（1973）提出的一类问题是非常有用的，这些问题要求最小度至少为cn且色数任意大的无H图，其中H是固定图，c是正常数.我们展示了通常的VC维数如何给出一个简短的证明，证明了最小度至少为n/3的无三角形图具有有界色数，其中$n$是顶点数。利用VC-维数，证明了如果最小度至少为cn的无$H$图的色数对某个正c是无界的，则对所有c<1/3都是无界的.换句话说，可以找到具有无界色数和最小度任意接近n/3的H-自由图。这些H-自由图是由Hajnal的一个构造导出的。大色数由Borsuk-Ulam定理得出。
2010-07-09 math.CO
On the chromatic number of random regular graphs
设G（n，d）是n阶随机d-正则图.对于任何超过某个常数k_0的整数k，我们确定一个数d_{k-col}，使得G（n，d）是k-可着色的，如果d < d_{k-col} and non-k-colorable w.h.p. if d>d_{k-col}。
2013-08-20 math.CO math.PR
The t-improper chromatic number of random graphs
研究Erd{ \H o}s-R{é}nyi随机图$G(n,p)$的$t$ -反常色数. $G$的t-非正常色数$χ^t(G)$是顶点着色所需的最小颜色数，其中每个颜色类最多诱导$t$一个最大度的子图.如果是$t = 0$，那么这就是正常着色的通常概念。当边缘概率$p$是恒定的，我们提供了一个详细的描述的渐进行为的$χ^t(G(n,p))$的选择范围内的增长$t = t(n)$。
2009-04-16 math.CO math.PR
The Chromatic Number of Random Regular Graphs
给定任意整数d >= 3，设k是使得d < 2k log k的最小整数。本文证明了随机d-正则图的色数很可能是k，k+1或k+2，并且如果（2k-1）\log k < d < 2k \log k，则色数是k+1或k+2.
2004-07-11 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math.CO
Increasing the chromatic number of a random graph
为了使随机图$G=G_{n,0.5}$的色数$χ=χ(G)$增加百分之一，必须添加到随机图$G=G_{n,0.5}$的最小边数是多少？一种可能性是在一组$1.01 χ$顶点上添加所有缺失的边，从而创建色数$1.01 χ$的团。这需要以高概率添加$Ω(n^2/\log^2 n)$边缘。我们表明，这是紧到一个常数因子，考虑更一般的随机图$G_{n,p}$与$p=p(n)$的问题，并研究一个本地版本的问题。这个问题的动机是由第二作者和Vu发起的对图属性的弹性的研究，并改进了他们的一个结果。
2010-02-09 math.CO math.PR
Fractional chromatic number of a random subgraph
众所周知，完全图$K_n$的随机子图具有色数$Θ(n/\log n)$ w. h. p. Boris Bukh询问是否同样适用于任何$n$ -色图的随机子图，至少在预期中。本文证明了：对于分数色数至少为$n$的图，其随机子图的分数色数至少为$n/(8\log_2(4n))$且概率大于$1-\frac{1}{2n}$ .这给出了肯定的答案加强布赫的问题的分数色数。
2018-07-17 math.CO
On the chromatic number of random regular hypergraphs
本文对固定$r$、大固定$d$和$n \rightarrow \infty$的随机$r$ -均匀$d$ -正则超图在$n$顶点上的色数和独立数的可能值进行了估计.
2022-12-31 math.CO
Chromatic thresholds for linear equations and recurrence
Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Department of Mathematics, Stanford University（斯坦福大学数学系）
研究有限域上线性方程解自由集的色数阈值，确定其为零的充要条件，并解决Griesmer问题。
2026-07-01 math.CO
On the concentration of the chromatic number of random graphs
假设0<p<1是固定的。Shamir和Spencer在20世纪80年代证明了G（n，p）中随机图的色数集中在长度约为n^{1/2}的区间内。在这篇说明中，我们证明了Noga Alon的一个结果，证明了色数集中在一个长度约为n^{1/2}/log n的区间中.
2017-10-18 math.CO
On the strong chromatic number of random graphs
设G是一个n阶图，k是n的整除整数.称G是强k-可着色的，如果对V（G）的每个不相交集V_1 \cup. \cup V_r，都是大小为k的，存在G的一个正常顶点k-染色，每个颜色在每个V_i中只出现一次。在k不整除n的情况下，如果由k个\lceil n/k个\rceil - n孤立点相加得到的图是强k-可着色的，则G被定义为强k-可着色的.图G的强色数是使G是强k-可染的最小k。本文研究了随机图G（n，p）中该参数的性质。在稠密情形下，当p >> n^{-1/3}时，我们证明了强色数是a.s.集中在一个值Δ +1上，其中Δ是图的最大度。对于稀疏随机图，我们也得到了一些较弱的结果。
2007-06-14 math.CO math.PR
Critical Exponent for the Acyclic Chromatic Number of Random Graphs
本文研究了完全图随机子图的无环着色问题，证明了无环色数在稀疏状态下从次线性到线性增长的相变并估计了临界指数，同时发现允许少量坏圈时临界指数为零。
2023-11-20 math.CO math.PR
Non-concentration of the chromatic number of a random graph
我们证明了$G_{n, \frac 12}$的色数不集中在少于$n^{\frac 14 - \varepsilon}$的连续值上。这就解决了Erdos和其他几位作者提出的一个长期存在的问题。
2020-04-23 math.CO
The game chromatic number of random graphs
给定一个图G和一个整数k，两个博弈者轮流用k种颜色对图G的顶点逐一着色，使得相邻的顶点得到不同的颜色。第一个玩家获胜当且仅当游戏结束时G的所有顶点都着色。博弈色数χ g（G）是第一个局中人有获胜策略的最小k。本文分析了随机图G_{n,p}的这个参数的渐近行为。我们表明，以高概率的游戏色数的G_{n,p}是至少两倍的色数，但乘法常数，具有相同的数量级。我们还研究了随机二部图的对策色数。
2007-07-03 math.CO
The game chromatic number of dense random graphs
假设两个游戏者轮流用k种颜色给给定图G的顶点着色。在每次移动中，当前玩家给一个顶点着色，使得相邻的顶点得到不同的颜色。第一个玩家赢得这个游戏当且仅当在最后，所有的顶点都是彩色的。博弈色数$χ_g(G)$被定义为第一个参与者具有获胜策略的最小k。最近，Bohman，Frieze和Sudakov [Random Structures and Algorithms 2008]分析了随机图的博弈色数，得到了相同数量级的上界。本文改进了已有的结果，证明了稠密随机图的博弈色数$χ_g(G_{n,p})$在很大概率下是普通色数$χ(G_{n,p})$的2倍.
2014-06-27 math.CO
The chromatic number of random lifts of complete graphs
图$G$的一个$n$ -提升是一个图，从该图有一个到$G$的$n$ -到- $1$覆盖映射. Amit，Linial，and Matou \v sek（2002）提出了一个问题，即$K_5$的随机$n$ -提升的色数是否集中在一个值上.我们考虑这个问题的$G=K_{d+1}$，并表明，对于固定的$d\ge 3$的随机提升$K_d$的色数是（渐近几乎肯定）$k$或$k+1$，其中$k$是满足$d < 2k \log k$的最小整数。此外，我们表明，大约一半的$d$值，色数集中在$k$。对色数上界的论证使用了小子图条件化方法，并且可以推广到$G$的随机$n$ -提升，对于任何固定的$d$ -正则图$G$。
2021-09-27 math.CO
Chromatic number of random graphs: an approach using a recurrence relation
本文提出一种递推关系以快速计算随机图色数的期望值，并与精确枚举、蒙特卡洛等方法比较验证其有效性。
2025-02-03 math.CO
Clique colouring of binomial random graphs
图的团着色是指顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最小的颜色数是团色数。本文研究了随机图G（n，p）的团色数在较宽的边概率p=p（n）范围内的渐近性质.我们看到，典型的团色数，作为平均度的函数，形成一个有趣的阶梯函数。
2016-11-06 math.CO math.PR
On the chromatic number of a random hypergraph
考虑了具有$n$顶点和$cn$边的随机$r$ -均匀超图的$k$ -着色问题，其中当$n$趋于无穷大时，$k$，$r$，$c$保持不变. Achlioptas和Naor表明，色数的随机图在这种情况下，$r=2$，必须有两个容易计算的值之一，因为$n$趋于无穷大。我们给出了一个完整的推广随机一致超图的结果。
2015-01-04 cs.DM math.CO
Random regular graphs of non-constant degree: Concentration of the chromatic number
在这项工作中，我们表明，以高概率的色数的随机正则图模型$\Gnd$为$d=o(n^{1/5})$的一个图形采样集中在两个连续的值，从而扩展了Achlioptas和摩尔以前的结果。这种集中现象与具有$p=\frac{d}{n}$的二项随机图模型$\Gnp$的集中现象非常相似。我们的证明主要基于Alon和Krivelevich的思想，他们证明了$\Gnp$的两点浓度结果，其中$p=n^{-δ}$为$δ>1/2$。用于得出这样一个结果的主要工具是仔细分析的边缘分布在$\Gnd$，既依赖于开关技术和边界的概率指数小事件的配置模型。
2008-12-17 cs.DM math.CO math.PR
Distinguishing Chromatic Number of Random Cayley graphs
图$G$的\textit{Distinguishing Chromatic Number}，表示为$χ_D(G)$，首先在\cite{collins}中定义为正确着色$G$所需的最小颜色数，使得图$G$的非平凡自同构$ϕ$不固定$G$的每个颜色类。在本文中，我们考虑随机凯莱图$Γ(A,S)$定义在某些阿贝尔群$A$和证明，至少有概率$1-n^{-Ω(\log n)}$，我们有，$χ_D(Γ)\leχ(Γ) + 1$。
2016-04-11 math.CO
The jump of the clique chromatic number of random graphs
本文解决了随机图 G_{n,p} 在边概率 p≈n^{-1/2} 附近团色数发生多项式级跳跃的公开问题，并利用近似与集中性方法确定了任意边概率下团色数至多相差对数因子。
2021-05-25 cs.DM math.CO math.PR
The game chromatic number of a random hypergraph
我们考虑以下博弈，在$k$ -一致超图$H$上进行。有$q$颜色可用，两个球员轮流颜色顶点。如果没有边是单色的，则部分着色是正常的。一个参与人A希望给所有顶点着色，而另一个参与人B希望阻止这一点。{ \em游戏色数} $χ_g(H)$是A具有获胜策略的最小颜色数。我们认为这是在一个随机的$k$ -一致超图的上下文中，并证明了上界和下界，举行w.h. p。
2019-02-06 math.CO
Lower bounds on the chromatic number of random graphs
我们证明了一个公式预测的基础上非严格的物理参数[Zdeborova和Krzakala：物理修订版E（2007）]提供了一个下界的色数的稀疏随机图。证明是基于数学物理中的插值方法。在随机正则图的情况下，下界可以用代数表示，而在二项式随机的情况下，我们得到一个变分公式。作为应用，我们计算了随机图的小（平均）度的色数的改进的显式下界。此外，展示了如何从这些新结果中轻松地重新推导出以前通过冗长而复杂的组合参数获得的大度数的渐近公式。
2021-10-19 cs.DM math.CO
Cliques, Chromatic Number, and Independent Sets in the Semi-random Process
本文研究半随机图过程中玩家如何尽快迫使图满足三类单调性质，分别涉及 $k$ 阶完全图、色数至少为 $k$ 和不存在大小至少为 $k$ 的独立集。
2024-05-13 cs.DM math.CO math.PR
On the chromatic number of random d-regular graphs
本文证明了对任意固定的d，随机d-正则图渐近几乎必然可以用k种颜色着色，其中k是满足d<2（k-1）log（k-1）的最小整数.根据Molloy和Reed先前的下界，这建立了色数渐近几乎必然为k-1或k。此外，如果d>（2k-3）log（k-1），则丢弃值k-1，从而精确地确定色数。因此，我们改进了Achlioptas和Moore最近宣布的结果，其中允许色数取值k+1。我们的证明适用于小的子图调理方法的平衡k-着色，着色是平衡的，如果每种颜色的顶点数是相等的。
2008-12-15 math.CO
On the concentration of the chromatic number of random graphs
本文研究随机图 G(n,p) 色数的集中区间，将稀疏情形的 Shamir–Spencer 界改进一个对数因子，并发现极稠密情形下色数集中的“跳跃”现象。
2023-12-19 cs.DM math.CO math.PR
On the chromatic number of random Cayley graphs
设G是基数为N的阿贝尔群，其中（N，6）= 1，A是G的随机子集.在顶点集G上通过连接x和y形成图Gamma_A当且仅当x + y在A中。然后，几乎肯定当N趋于无穷大时，色数chi（Gamma_A）至多为（1 + o（1））N/2 log_2 N.当G = Z/NZ，N撇时，这是渐近尖锐的。在2013年8月剑桥举行的Bela Bollobas 70岁生日纪念会议上提出。
2016-07-22 math.CO
The $\!{}\bmod k$ chromatic index of random graphs
图$G$的$\!{}\bmod k$色指数是对$G$的边着色所需的最小颜色数，使得每种颜色的边所跨越的子图具有与$1\!\!\pmod k$全等的所有度。最近，作者证明了每个图的$\!{}\bmod k$色指数至多为$198k-101$，对于大的$k$，改进了Scott [Discrete Math.175，1-3（1997），289-291]的结果。本文研究了随机图的$\!{}\bmod k$色指数。我们证明了对于每个整数$k\geq2$，存在$C_k>0$使得如果$p\geq C_kn^{-1}\log{n}$和$n(1-p) \rightarrow\infty$为$n\to\infty$，则以下成立：如果$k$是奇数，则$G(n,p)$的$\!{}\bmod k$色指数渐近地几乎必然等于$k$，而如果$k$是偶数，则$G(2n,p)$的$\!{}\bmod k$色指数（分别为$G(2n+1,p)$）渐近几乎必然等于$k$（分别为$k+1$）。
2023-02-26 math.CO
On the game chromatic number of sparse random graphs
给定一个图G和一个整数k，两个博弈者轮流用k种颜色对图G的顶点逐一着色，使得相邻的顶点得到不同的颜色。如果在游戏结束时，$G$的所有顶点都被着色，则第一个玩家获胜。博弈色数χ g（G）是第一个局中人有获胜策略的最小k。该文件\cite{BFS}开始分析这个参数的随机图G_{n,p}的渐近行为。本文对平均度为np=O（1）的图和随机正则图作了进一步的分析。
2018-06-08 math.CO
Tight asymptotics of clique-chromatic numbers of dense random graphs
图的团色数是指图的顶点集所需的最小颜色数，使得包含的最大团都不是单色的。McDiarmid，Mitsche和Prahanat证明了二项随机图$G\left(n,\frac{1}{2}\right) $的团色数以高概率至多为$\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)\log_2n$. Alon和Krivelevich证明了它以很高的概率大于$\frac{1}{2000}\log_2n$，并建议对数前的右常数是$\frac{1}{2}.$。我们证明了他们的猜想，并得到了一个紧浓度结果：whp $χ_c\left(G\left(n,1/2\right)\right) = \frac{1}{2}\log_2 n - Θ\left(\ln\ln n\right).$
2022-12-02 math.CO
The clique chromatic number of sparse random graphs
本文针对稀疏随机图 G_{n,p}，在 n^{-2/5} ≪ p ≪ 1 的大部分边概率范围内确定了团色数的数量级，通过结合概率方法与新的度数计数论证克服高度顶点带来的困难，并发现了与先前预测相矛盾的新现象。
2025-06-02 cs.DM math.CO math.PR
The t-tone chromatic number of random graphs
一个图的正确的2-色调$k$ -着色是用来自$\binom{[k]}{2}$的元素标记顶点，使得相邻的顶点接收不相交的标签，并且距离为2的顶点接收不同的标签。图$G$的2-色调色数记为$τ_2(G)$，它是使$G$允许正常2-色调$k$染色的最小$k$.本文证明了对于$p\ge Cn^{-1/4}\ln^{9/4}n$，$τ_2(G_{n,p})=(2+o(1))χ(G_{n,p})$，其中$χ$表示普通的色数.对于具有$p=c/n$，$c$常数的稀疏随机图，证明了$τ_2(G_{n,p}) = \lceil{{\sqrt{8Δ+1} +5}/{2}}\rceil$，其中$Δ$表示最大度.对于更一般的$t$ -色调着色的概念，我们获得了类似的结果。
2012-10-02 math.CO
The Eternal Game Chromatic Number of Random Graphs
永恒图着色问题（英语：Eternal graph colouring problem）是由Klostermeyer和Mendoza提出的一个图形着色游戏，两个玩家轮流为一个图形着色。本文研究了随机图的永恒对策色数。我们表明，高概率$χ_{g}^{\infty}(G_{n,p}) = (\frac{p}{2} + o(1))n$为奇数$n$，甚至$n$时，$p=\frac{1}{k}$为一些$k \in \mathbb{N}$。该上限适用于偶数$n$和$p$的任何其他值，但我们推测在这种情况下该上界并不明显。最后，我们回答了克洛斯特迈耶和门多萨提出的一个问题。
2020-01-23 math.CO
The oriented chromatic number of random graphs of bounded degree
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；Oakland University（奥克兰大学）
本文研究了随机图的定向色数，改进了已知上界，从$O(d^2 2^d)$到$O(\sqrt{e}^d)$。
2026-02-22 math.CO
Chromatic thresholds in sparse random graphs
图$H$相对于随机图$G(n,p)$的色阈值$δ_χ(H,p)$是$d > 0$上的下确界，使得以下条件高概率成立：具有最小度$δ(G) \ge dpn$的无$H$图族$G \subset G(n,p)$具有有界色数. $δ_χ(H) :=δ_χ(H,1)$的研究始于1973年，由Erdens和Simonovits发起。最近$δ_χ(H)$被确定为所有图$H$。已知$δ_χ(H,p) =δ_χ(H)$用于所有固定的$p \in (0,1)$，但如果$p = o(1)$，则通常为$δ_χ(H,p) \ne δ_χ(H)$。在这里，我们研究稀疏随机图的问题。我们确定$δ_χ(H,p)$的大多数功能$p = p(n)$时$H\in\{K_3,C_5\}$，也为所有图$H$与$χ(H) \not\in \{3,4\}$。
2016-08-11 math.CO
On the chromatic number in the stochastic block model
该研究将二项随机图色数的经典结果推广到随机块模型，还通过允许块数增长确定了Chung-Lu模型的色数，方法基于加权独立数估计。
2023-04-28 math.CO
Random lifts of $K_5\setminus e$ are 3-colourable
Amit，Linial，and Matou \vsek（Random lifts of graphs III：independence and chromatic number，Random Struct. Algorithms，2001）提出了以下问题：随机$h$ -提升的$K_5$的色数是否渐近地（对于$h\to\infty$）几乎肯定等于一个数？本文给出了以下部分结果：$K_5\setminus e$的随机提升的色数渐近几乎必然为3。
2011-07-31 math.CO
One-point concentration of the clique and chromatic numbers of the random Cayley graph on F_2^n
Green证明了存在常数$C_1,C_2>0$使得$\mathbb{F}_2^n$上的随机Cayley图的团数$ω$满足$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(C_1n\log n < ω< C_2n\log n)=1$ .在本文中，我们找到了最好的可能的$C_1$和$C_2$。此外，我们证明了对于密度集$1$中的$n$，团数实际上集中在一个值上。作为这些结果的一个简单结果，我们还证明了色数的一点集中结果，从而证明了Bollobás著名猜想的$\mathbb{F}_2^n$类似物，并对Green的问题给出了几乎完整的答案。
2015-10-20 math.CO
The difference between the chromatic and the cochromatic number of a random graph
针对Erdős和Gimbel提出的随机图G∼Gₙ,1/2中χ(G)-ζ(G)是否whp趋于无穷的问题，我们对约95%的n值给出正面答案，解决了Erdős悬赏的问题。
2025-02-19 math.CO
The Acyclic Chromatic Index is Less than the Double of the Max Degree
图$G$的非圈色指数是指使图的所有圈都不是双色的所需的最少颜色数。在这项工作中，我们表明，$2Δ-1$颜色是足以产生这样的着色，其中$Δ$是最大程度的图。与大多数现存的色指数随机算法方法相比，其中算法预先假设足够的颜色以确定性地保证适当性，并且仅使用随机性来处理双色圈，我们的随机Moser型算法以结构化的方式产生不一定适当的随机着色，试图避免其相同奇偶性的边缘是单色的圈，只有当这个目标达到时，它才检查是否合适。它不断重复，直到达到适当。
2022-01-30 math.CO
Chromatic polynomials of random graphs
色多项式和相关的图不变量是图论和统计物理学的中心对象。然而，计算困难，到目前为止，限制了研究这些多项式的图形，要么非常小，非常稀疏或高度结构化。最近的算法进展（Timme等人，2009 New J.Phys.11023001）现在使得可以计算任意结构和边数的中等大小的图的色多项式。在这里，我们提出了色多项式的合奏随机图与多达30个顶点，在整个范围内的边缘密度。我们特别关注复平面中多项式的零点的位置。结果表明，随机图的色零点具有非常一致的布局。特别地，交叉点，具有非零虚部的色零点接近实轴的点，在大部分密度范围内与平均度线性地缩放。虽然所获得的标度律是纯经验的，如果他们继续持有一般有重大的影响：交叉点的色零在热力学极限分离系统与零基态熵的系统与积极的基态熵，后者是热力学第三定律的例外。
2017-09-19 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Sharp concentration of the equitable chromatic number of dense random graphs
图$G$的均匀着色是$G$的顶点的着色，使得没有两个相邻的顶点被着色为相同的，并且另外，颜色类大小最多相差$G$。公平的色数$χ_=(G)$是为此所需的最小颜色数。研究了稠密随机图$G(n,m)$的均匀色数，其中$m = \left\lfloor p {n \choose 2} \right \rfloor $和$0<p< 0.86$是常数.这是一个众所周知的问题Bollobás是否为$p=1/2$有一个功能$f(n) \rightarrow \infty$，使任何序列的间隔长度$f(n)$，正常的色数的$G(n,m)$在于以外的间隔概率至少$1/2$，如果$n$是足够大。Bollobás提出，这很可能适用于$f(n) = \log n$。我们证明了对于\emph{equitable}色数，类似问题的答案是否定的。事实上，存在整数的子序列$(n_j)_{j}$，其中$χ_=(G(n_j,m_j)) = n/j$具有高概率，即，$χ_=(G(n_j,m_j))$集中在一个明确已知的值上。这构成了令人惊讶的窄浓度，因为在这个范围内，公平的色数，像正常的色数一样，在绝对值上相当大，即渐近地等于$n / (2\log_b n)$，其中$b=1/(1-p)$。
2017-12-20 math.CO
