The set chromatic number of random graphs
Andrzej Dudek, Dieter Mitsche, Paweł Prałat
本文研究了随机图$p=p(n)$的$G(n,p)$的色数集色数.我们发现，集色数，作为$p$的函数，形成一个有趣的锯齿形。
In this paper we study the set chromatic number of a random graph $G(n,p)$ for a wide range of $p=p(n)$. We show that the set chromatic number, as a function of $p$, forms an intriguing zigzag shape.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The Distant-l Chromatic Number of Random Geometric Graphs
随机几何图$G_n$是通过在公共有界概率分布下独立地选取$\mathbb{R}^d$中的$n$顶点而得到的，其中两个顶点相邻当且仅当它们的$l^p$ -距离至多为$r_n$ .我们研究了$l\ge1$的$G_n$的远- $l$色数$χ_l(G_n)$.在几乎处处收敛的意义下，给出了$χ_l(G_n)$与色数$χ(G_n)$之比的完整图象.
Number of vertices in graphs with locally small chromatic number and large chromatic number
讨论了一个具有大色数的图的最小顶点数，使得其中每个固定半径的球都具有小的色数。本文证明了：对于每个在$\sim((n+rc)/(c+rc))^{r+1}$顶点上的图$G$，使得每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，我们有$χ(G)\leq n$ .
The Chromatic Number of Joins of Signed Graphs
引入了符号图的联，并研究了全正联和全负联的色数。我们证明了一个类似于两个图的并的色数等于它们的色数之和的定理。给定两个符号图，全正和全负连接的色数通常小于它们的色数之和，其数量取决于符号图着色不足的新概念。
Semialgebraic Graphs having Countable List-Chromatic Numbers
刻画了具有可数列色数的半代数图的集合.其它一些相关的具有可数列表色数的图也是如此.
Chromatic polynomials of 2-edge coloured graphs
利用由$2$-边着色图同态导出的$2$ -边着色图的着色定义，将色多项式的定义推广到$2$ -边着色图.我们发现封闭形式的前三个系数的多项式，推广了已知的结果的色多项式的图。当每一个顶点都与两种颜色的边关联时，我们对那些$2$ -边着色图的色多项式等于其基础图的色多项式进行了分类.最后，我们研究这个多项式的根的行为，突出的行为没有看到的色多项式的图形。
Fractional chromatic number of a random subgraph
众所周知，完全图$K_n$的随机子图具有色数$Θ(n/\log n)$ w. h. p. Boris Bukh询问是否同样适用于任何$n$ -色图的随机子图，至少在预期中。本文证明了：对于分数色数至少为$n$的图，其随机子图的分数色数至少为$n/(8\log_2(4n))$且概率大于$1-\frac{1}{2n}$ .这给出了肯定的答案加强布赫的问题的分数色数。
On directed local chromatic number, shift graphs, and Borsuk-like graphs
研究了移位图的局部色数，证明了它与移位图的色数接近。这意味着定向图的有向局部色数和底层无向图的局部色数之间的差距可以是任意大的。我们还研究了"拓扑t-染色“图的定向版本的最小可能有向局部色数。我们证明了对于足够大的t-色Schrijver图和具有适当参数的t-色广义Mycielski图，这个极小值是t/4+1的上整数部分.
On the chromatic number of random regular hypergraphs
本文对固定$r$、大固定$d$和$n \rightarrow \infty$的随机$r$ -均匀$d$ -正则超图在$n$顶点上的色数和独立数的可能值进行了估计.
A Graph Polynomial from Chromatic Symmetric Functions
本文描述了由色对称函数在不同基上展开的系数所产生的已知图多项式的数目，并研究了由树的色对称函数所给出的基上展开所产生的一个新多项式.
Bounds for the $b$-chromatic number of some families of graphs
本文给出了无$K_{1,t}$图、具有给定最小团划分的图和二部图的$b$-色数的上界.这些界是根据图的团数或色数或二部图的偶团数得到的。我们证明了所有的边界都是紧的。
Circular chromatic number of induced subgraphs of Kneser graphs
关于图的色数与圈色数相等的研究是近几十年来的一个活跃的研究方向。在这方面，Habolhassan和Zhu [Circular色数of Kneser graphs，Journal of Combinatorial Theory Series B，2003]证明了，如果$n$关于$k$足够大，则Schrijver图${\rm SG}(n,k)$具有相同的色数和圆色数。后来，Meunier [A topological lower bound for the circular色数of Schrijver graphs，Journal of图论，2005]和Simonyi和Tardos [ Local色数，Ky Fan's theorem and circular colorings，Combinatorica，2006]独立地证明了如果$n$是偶数，则$χ({\rm SG}(n,k))=χ_c({\rm SG}(n,k))$。本文研究了Kneser图的诱导子图的圆色数。在这方面，我们将首先推广到$s$ -稳定Kneser图的前面的结果。进一步，作为Hajiabolhassan和Zhu的结果的推广，我们证明了：如果$n$关于$k$足够大，则Kneser图${\rm KG}(n,k)$的任何足够大的诱导子图具有相同的色数和循环色数.
On the chromatic number of Latin square graphs
拉丁方的色数是覆盖其胞腔的部分断面的最少数目。这就是它的关联拉丁方图的色数。虽然拉丁方图作为强正则图已被广泛研究，但其色数似乎还未被探索。确定了循环拉丁方的色数，并给出了其它几类拉丁方的界.用计算机，我们找到了所有主类的拉丁方阶的色数至多为8。
On chromatic vertex stability of 3-chromatic graphs with maximum degree 4
（独立）色顶点稳定性（$\ivs(G)$）$\vs(G)$是（独立）集$S\subseteq V(G)$的最小尺寸，使得$χ(G-S)=χ(G)-1$。本文用$Δ(G)=4$，$χ(G)=3$，$\ivs(G)=3$和$\vs(G)=2$构造了无穷多个图$G$，从而部分否定地回答了\cite{ABKM}中的一个问题.
An infinite family of subcubic graphs with unbounded packing chromatic number
最近Balogh，Kostochka和Liu在[Packing色数of cubic graphs，Discrete Math.~ 341（2018）474--483]否定地回答了在几篇早期论文中提出的问题，即填充色数是否在具有最大度$3$的图类中有界。本文给出了一类具有无界填充色数的显式无限次三次图族。
On the Set of Circular Total Chromatic Numbers of Graphs
对任意整数$r\ge3$和$\eps>0$，构造了一个最大度$r-1$的图，其循环色数在区间$(r,r+\eps)$内.证明了：（i）每个整数$r\ge3$是图的循环色数集的一个聚点;（ii）对于每个$Δ\ge2$，具有最大度$Δ$的图的循环色数集是无穷大的.所有这些结果对于二部图的循环全色数色数集也是成立的。
Critical subgraphs of Schrijver graphs for the fractional chromatic number
Schrijver图是具有相同色数的Kneser图的顶点色临界子图。它们也共享分数色数的值，但Schrijver图对此并不重要。在这里，我们提出了一个诱导子图的每一个Schrijver图是顶点临界的分数色数。这些子图与某些圆完全图同构。我们还刻画了这个子图中的临界边。
Chromatic polynomials of signed graphs and dominating-vertex deletion formulae
本文通过构造共享底层图和色多项式的非切换同构符号图回答了 Zaslavsky 的问题，推导了符号完全图连接的色多项式闭式表达，并引入双变量色多项式及其支配顶点删除递归公式，证明其在特定符号阈值图族中可刻画同构。
On local antimagic chromatic number of the join of two special families of graphs -- II
本文研究局部反魔幻色数，证明了1-正则图与零图的联图具有局部反魔幻色数3，并由此构造出多类具有该色数3的二部图和三部图族。
Graphs with chromatic roots in the interval (1,2)
本文给出了一类色根在区间（1，2）上的3-连通非二部图，从而解决了Jackson的一个猜想.此外，我们还简要地考虑了在（1，2）中被证明没有色根的其他图类。
Chromatic number and mimimum degree of K_r-free graphs
关于无三角形图的一些著名结果确定了最小度大于n/3的n阶图的最大色数。本文将这些结果推广到无Kr-free图。
The Chromatic Symmetric Functions of Trivially Perfect Graphs and Cographs
RichardP. Stanley定义了单图的色对称函数，并证明了每棵树都是由它的色对称函数决定的.最近，Takahiro Hasebe和作者证明了阶拟对称函数，它是色对称函数的类似物，可以区分有根树。本文用类似的方法证明了色对称函数可区分平凡完美图。此外，我们还证明了无爪余图，即无$ \{K_{1,3},P_{4}\} $图属于一类已知的$ e $ -正图.
Total dominator chromatic number of Kneser graphs
本文利用Steiner三元系的存在性和其它结果，确定了Kneser图KG（n，2）的全控制色数.
Total Dominator Total Chromatic Numbers of Wheels, Complete bipartite graphs and Complete graphs
图的全支配全染色是指图的全染色使得图的每个对象与某个颜色类的每个对象相邻或关联。图的全控制全染色的色类的最小个数称为图的全控制全色数色数。在这里，我们将求出轮图、完全二部图和完全图的全支配色数。
Unit distance graphs with ambiguous chromatic number
首先，拉斯洛·塞克利（Laszlo Szekely）和最近的萨哈龙·谢拉（Saharon Shelah）和亚历山大·索伊费尔（Alexander Soifer）提出了无限图的例子，这些图的色数取决于为集合论选择的公理。这类图的存在性可能与平面问题的色数有关。本文构造了一类新的具有模糊色数的图。它们是顶点集为R^n的单位距离图，因此可以进一步证明平面的色数可能依赖于集合论。
Bounds Related to The Edge-List Chromatic and Total Chromatic Numbers of a Simple Graph
我们证明了对于一个单图$G$，有$c'(G)\leqΔ(G)+2$，其中$c'(G)$是$G$的选择指数（或边列表色数），$Δ(G)$是$G$的最大度.作为这个结果的一个简单推论，我们证明了单图的色数$χ_T(G)$满足不等式$χ_T(G)\leq\ Δ(G)+4$，全选择数$c_T(G)$也满足这个不等式.我们还将这些界与单图的Hall指数和Hall条件指数以及单图的总Hall数和总Hall条件数联系起来。
Chromatic and Clique number of Generalized Sierpiński Gasket Graph $S[G,t]$
本文研究了底图为任意简单图的广义 Sierpiński 图的团数与色数。
Chromatic Signed-Symmetric Functions of Signed Graphs
Stanley引入了单图的色对称函数，它是色多项式的推广。这是用相应图形排列的补数的整数点来表示的。Stanley证明了色函数的组合互易定理。这被认为是一个埃尔哈特型互易定理的图形安排。我们引入了色符号对称函数的符号图，色对称函数的一个模拟，通过相应的符号图安排的补的整数点，并证明了斯坦利的互易定理的推广。斯坦利已经证实，色对称函数区分树。这个猜想也被推广到符号树。我们验证了某些类的签名路径的猜想。
Enumeratively Chromatic-Choosable Theta Graphs
本文研究了可数染色-可选θ图的特性，通过DP着色理论方法，揭示了θ图在列表着色中的结构性质。
A 6-chromatic odd-distance graph in the plane
奇距离图的两个顶点被一条边连通当且仅当它们的欧氏距离是奇数。在平面上构造了一个6色奇距离图。
Examples of topologically highly chromatic graphs with locally small chromatic number
Kierstead，Szemerédi和Trotter证明了一个图有至多个$\lfloor r/(2n)\rfloor^n$顶点，使得其中每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，该图应该有至多色数$n(c-1)+1$。我们表明，这一估计是尖锐的$r$。也就是说，对于每一个$n$，$r$，和$c$，我们构造一个图$G$包含$O((2rc)^{n-1}c)$顶点，使得$χ(G)\geq n(c-1)+1$，虽然每个球的半径$r$在$G$是$c$ -着色。其核心思想是构造一个图，其邻域复形同伦等价于两个给定图的邻域复形之并。
Graphs with Equal Chromatic Symmetric Functions
Stanley [9]引入了与单图$G$相关的色对称函数${\bf X}_G$，作为$G$的色多项式的推广.在本文中，我们提出了一种新的技术，写${\bf X}_G$作为一个线性组合的色对称函数的较小的图。我们利用这种技巧给出了两个图具有相同色对称函数的一个充分条件。然后，我们构造了一个具有相同色对称函数的单圈图对的无限族，回答了Martin，Morin和Wagner [7]提出的是否存在这样一对的问题。最后，我们探讨了是否有可能确定一棵树的色对称函数的问题。工作对这个问题的答案，我们给出了一个分类定理的单质心树的数据密切相关的色对称函数。
Distinguishing chromatic number of Hamiltonian circulant graphs
图$G$的可区别色数是使$G$的顶点正确着色所需的最小颜色数，使得平凡自同构是$G$的唯一保持着色的对称。研究了最大度不超过4的Hamilton循环图的可区别色数。
On the strong chromatic index and induced matching of tree-cographs, permutation graphs and chordal bipartite graphs
我们表明，存在线性时间算法，计算强色指数和最大诱导匹配的树cographs时，分解树是输入的一部分。我们还表明，存在有效的算法（二部）置换图和弦二部图的强色指数。
On chromatic numbers of some distance graphs
本文给出了n为无穷多时距离图$G(n,3,2)$的色数.在大部分情况下，我们还改进了$χ(G(n,r,s))$的上界.
The fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
Heckman和Thomas证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为14/5。改进了Hatami和Zhu以及Lu和Peng的估计，证明了任意无三角形的次立方图的分数色数至多为32/11（约为2.909）.
Box and segment intersection graphs with large girth and chromatic number
证明了$\mathbb{R}^3$中存在轴对齐盒的交图和$\mathbb{R}^3$中直线的交图，它们具有任意大的围长和色数.
Maximal distance spectral radius of 4-chromatic planar graphs
证明了风筝图$K_4^{(n)}$唯一地最大化了所有连通的$4$ -色可平面图在$n$顶点上的距离谱半径.
The Chromatic Number of Random Regular Graphs
给定任意整数d >= 3，设k是使得d < 2k log k的最小整数。本文证明了随机d-正则图的色数很可能是k，k+1或k+2，并且如果（2k-1）\log k < d < 2k \log k，则色数是k+1或k+2.
On lower bounds of the order of $k$-chromatic unit distance graphs
本文给出了欧氏平面上$k$ -色单位距离图的最小顶点数的精确数值。
A small 6-chromatic two-distance graph in the plane
基于一个只有16个顶点的图，给出了具有两个禁止距离的欧氏平面的色数下界的一个新的简单证明。
New construction of graphs with high chromatic number and small clique
本文介绍了一种构造具有高色数和小团的图的新方法。事实上，通过这种方法，我们提出了一个新的证明著名的Kneser猜想。
Every Elementary Graph is Chromatic Choosable
本文证明了初等图的列表色数等于其色数，从而表明每个初等图都是色可选择的。
Complete and almost complete minors in double-critical 8-chromatic graphs
一个连通的$k$ -色图$G$称为{ \it双临界}，如果对于$G$的所有边$uv$，图$G - u - v$是$(k-2)$ -色图.一个长期存在的猜想Erdés和Lovász指出，完全图是唯一的双临界图。Kawarabayashi，Pedersen和Toft [ \it{Electron. J. Combin.}，17（1）：Research Paper 87，2010]证明了每个具有$k \leq 7$的双临界$k$ -色图包含一个$K_k$子图.它仍然是未知的，是否一个任意的双临界$8$ -chromatic图包含一个$K_8$子，但在本文中，我们证明了任何双临界$8$ -chromatic包含一个$K_8^-$子;这里$K_8^-$表示完全$8$ -图与一个边缘失踪。此外，我们还观察到任何最小度不同于$10$和$11$的双临界$8$ -色图都包含一个子图$K_8$.
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IV. Consecutive holes
图中的洞是一个长度至少为4的圈的诱导子图。证明了对任意正整数k，任意色数足够大的无三角形图都含有k个连续长度的洞。
Chromatic number of graphs and edge Folkman numbers
本文利用图的色数给出了图的顶点数的一个下界。我们找到这个界限是准确的图。这些结果在Foklman数理论中得到了应用。
Equitable chromatic threshold of complete multipartite graphs
如果图的色类的大小至多相差1，则图的正常点着色是公平的。图$G$的均匀色数记为$χ_=(G)$，是使$G$均匀$k$可染的最小$k$.图$G$的公平色阈值，记为$χ_=^*(G)$，是使$G$对$k\ge t$公平$k$可着色的最小$t$.给出了计算任意完全多部图的公平色阈值的公式和线性时间算法。
The chromatic numbers of double coverings of a graph
如果我们固定图$G$的一个生成子图$H$，我们可以定义$H$关于$G$的一个色数，并且我们证明了它与$G$的一个具有共同支撑$H$的双重覆盖的色数是一致的.我们还找到了$H$关于$G$的色数的一些估计。
An Upper bound on the chromatic number of circle graphs without $K_4$
设$G$是一个四顶点无团的圆图.证明了$G$的色数不超过30.
Quantum chromatic numbers of some graphs in Hamming schemes
本文研究 Hamming 概型中图的量子色数，明确确定了一类图的量子色数，这是除已知平凡情形外第二个被完全确定的图族，并给出其他图的界及乘积图的量子色数。
On minimal triangle-free 6-chromatic graphs
色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。
On the $δ$-chromatic numbers of the Cartesian products of graphs
本文研究图的 $\delta$-色数（即 $\delta$-补图的色数），给出 $\delta$-补图的结构及笛卡尔积的 $\delta$-色数的紧界，并计算了循环、路径和星形图之间笛卡尔积的 $\delta$-色数。
The $b$-Chromatic Number and $f$-Chromatic Vertex Number of Regular Graphs
图$G$的$b$-色数，记为$b(G)$，是使G存在一个$k$色的真染色的最大正整数，其中每个色类至少包含一个与其它色类中某个顶点相邻的顶点，这样的顶点称为优势点.一个$d$-正则图$G$的$f$-色顶点数记为$f(G)$，是在一个含有$d+1$颜色的真染色中，不同颜色的主顶点的最大数目. El Sahili和Kouider证明了对任意周长为5的$d$-正则图$G$，都有$b(G)=d+1$.在补充条件下，我们研究了这一猜想，给出了部分答案。
The list chromatic number of graphs with small clique number
证明了每一个最大度$Δ$的无三角形图的列表色数至多为$(1+o(1))\fracΔ{\ln Δ}$。这与围长至少为5的图的最著名的界相匹配。我们还证明了对任何$r\geq 4$，每个$K_r$ -free图的列表色数至多为$200r\frac{Δ\ln\lnΔ}{\lnΔ}$ .
Closed formulas for fractional chromatic polynomials of some common classes of graphs
色多项式已被广泛研究，给我们的结果，如基本约化定理和闭公式的色多项式的常见类的图。然而，这些都没有延伸到分数着色的上下文中。因此，我们提出了闭公式的“分数”色多项式-一个功能，计数的数量不同的$b$倍$λ$ -着色在一个给定的图-的完全图，树和森林，以及一个广义形式的基本减少定理。
Tree-chromatic number is not equal to path-chromatic number
对于图$G$和$G$的树分解$(T, \mathcal{B})$，$(T, \mathcal{B})$的色数是$χ(G[B])$在所有袋$B \in \mathcal{B}$上的最大值。$G$的树色数是$G$的所有树分解$(T, \mathcal{B})$的最小色数。类似地定义了$G$的路色数.本文引入了一种总是增加图的路色数的运算。作为我们构造的一个简单推论，我们得到了一个路色数和树色数不同的图的无限族。这解决了西摩的问题。我们的结果也暗示了Mycielski图的路-色数是无界的.
Chromatic Number and Hamiltonicity of Graphs
设$G$是一个$k$ -连通（$k \geq 2$）图，其序为$n$ .如果$χ(G) \geq n - k$，则$G$是哈密尔顿的或$K_k \vee (K_k^c \cup K_{n - 2k})$与$n \geq 2 k + 1$，其中$χ(G)$是图$G$的色数。
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. III. Long holes
本文证明了Gyárfás在1985年提出的一个猜想：对所有的$k,\ell$，每个具有足够大的色数的图，要么包含一个具有$k$顶点的完全子图，要么包含一个长度至少为$\ell$的诱导圈.
Packing chromatic numbers of finite super subdivisions of graphs
图$G$的\textit{packing chromatic number}，记为$% χ_ρ(G)$，是最小整数$k$，使得$G$的顶点集可以被划分为集合$V_i$，$i\in \{1,\ldots,k\}$，其中每个$V_i$是$i$ -packing。本文给出了图的\textit{finite super subdivisions}的填充色数的一些一般性质。本文确定了完全图的有限超剖分的填充色数，以及完全图的圈和路的圈和路的有限超剖分的填充\textit{neighborhood corona graphs}.
An elementary chromatic reduction for gain graphs and special hyperplane arrangements
增益图是其边缘由来自组的“增益”可逆地标记的图。“切换”是增益图的变换，其在群中推广共轭。一个“弱色函数”的增益图的增益在一个固定的组满足三个法律：删除收缩的链接与中立的增益，不变性下切换，图与中立环的零。这些规律导致增益图的“弱色群”，这是弱色函数的泛域。我们发现表达式，在该组中有效的，为未成年人的增益图没有中性增益边缘，或添加完整的中性增益子图，概括了一个普通的色多项式的表达单项式或下降因子。这些表达式隐含了增益图的色函数的关系。我们应用我们的关系到一些特殊的积分增益图，包括那些相应的施，线性，和加泰罗尼亚安排，从而获得新的评价和新的方法来计算零自由色多项式和积分和模色函数的这些增益图，因此，特征多项式和超三次格点计数函数的安排。我们还计算了总的色多项式的任何增益图，特别是加泰罗尼亚，施，和线性增益图。
On the concentration of the chromatic number of random graphs
假设0<p<1是固定的。Shamir和Spencer在20世纪80年代证明了G（n，p）中随机图的色数集中在长度约为n^{1/2}的区间内。在这篇说明中，我们证明了Noga Alon的一个结果，证明了色数集中在一个长度约为n^{1/2}/log n的区间中.
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。