An improved bound on the chromatic number of the Pancake graphs
本文给出了Pancake图$P_n, n\geqslant 2$的色数的一个改进的界。利用Pancake图的色数的次可加性性质得到了该界。我们还研究了$P_n$的均匀着色问题.给出了一个基于有效控制集的均匀$(n-1)$ -染色，并研究了小$n$的最优均匀$4$ -染色.证明了$P_n$的色数与它对任何$n\geqslant 2$的均匀色数是一致的.
2021-03-20 math.CO
Totally frustrated states in the chromatic theory of gain graphs
我们推广适当着色的增益图完全受挫的状态，其中每个顶点需要一个值在一组的“质量”或“自旋”，是由增益组置换。(An例子是Potts模型）。完全受挫状态的数量满足通常的删除-收缩定律，但拟阵仅适用于标准着色，其中群作用是平凡的或接近正则的。通过构造具有重复传递分量的自旋集，可以推广色多项式。
2006-09-01 math.CO
A categorification for the signed chromatic polynomial
Beijing Normal University（北京师范大学）
通过符号着色构造符号图的符号色多项式，并构建其分次上同调群，使得分次欧拉示性数等于符号色多项式，且上同调群满足对应于符号删除-收缩规则的长正合序列。
2021-01-05 math.CO
Spectral Radius, Vertex Deletion, and Chromatic Number of Signed Graphs
研究符号图删除顶点后谱半径的变化，证明Sun-Das定理对符号图成立，并给出基于所有特征值的色数下界。
2026-08-19 math.CO
The $e$-positivity and Schur positivity of the chromatic symmetric functions of some trees
研究了三条腿蜘蛛图的色对称函数的$e$ -正性和Schur正性.得到了所有扫帚图和大多数双扫帚图的正性分类。该方法涉及提取特定的$e$ -系数的色对称函数的帮助下，这些图的Orellana和斯科特的三重删除性质，并使用Schur系数的组合公式，通过检查某些特殊的边缘钩小报。本文还对树的$e$ -正性和Schur正性进行了讨论。
2021-12-13 math.CO
The Peterson recurrence formula for the chromatic discriminant of a graph
图$G$的色多项式中的$q$的系数的绝对值被称为$G$的色判别式，并表示为$α(G)$。$α(G)$有一个众所周知的递推公式，它来自于色多项式的删除-压缩规则。本文从Kac-Moody李代数的理论出发，证明了$α(G)$的另一个递推公式.我们首先对$α(G)$的许多有趣的代数和组合解释进行了简要的调查。我们使用两个这些解释（在非循环方向和生成树）给我们的递归公式$α(G)$的两个双射证明。
2017-08-21 math.CO
Plurigraph coloring and scheduling problems
我们定义了一种新的顶点着色，它推广了图，超图和单纯复形中的顶点着色。这种着色也推广了定向着色、无圈着色和星着色。在非对易变元中存在一个相关的对称函数，我们给出了它的一个删除-压缩公式。在图的情况下，这个对称函数的非交换变量同意色对称函数的非交换变量的格布哈德和萨根。我们的顶点着色是由Breuer和Klivans定义的调度问题的一个特例。我们展示了如何删除收缩法可以应用于调度问题。同时，我们证明了色对称函数决定了一致超树的度序列，但在$3$ -一致超树上也存在不同构但具有相同色对称函数的对.
2017-06-02 math.CO
On graphs whose domination number is equal to chromatic and dominator chromatic numbers
对于图$G = (V(G), E(G))$，控制集$D$是$V(G)$的顶点子集，其中$V(G) \setminus D$的每个顶点都与$D$中的一个顶点相邻。$G$的控制数是$G$的控制集的最小基数，用$γ(G)$表示。$G$的着色是划分$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$，使得每个$V_{i}$在独立的集合中。色数是$G$的所有着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$中最小的$k$，记为$χ(G)$。一个着色$C = (V_{1}, ... ,V_{k})$被称为支配者，如果对于所有的$V_{i}$，每个顶点$v \in V_{i}$在$V_{i}$中是单例的或与$V_{j}$的每个顶点相邻。$G$的支配色数是$G$的所有支配色中的最小$k$，记为$χ_{d}(G)$。此外，如果$γ(G) = χ(G) = χ_{d}(G) = k$，则图$G$是$D(k)$。本文证明了对于$n \geq 4k - 3$，总存在$n$阶的$D(k)$图.进一步证明了当$k \in \{3, 4\}$.也就是说，我们证明了，对于一个非平凡的平面图$G$，图$G$是$D(k)$当且仅当$G$是$K_{2, q}$，其中$q \geq 2$。
2022-08-15 math.CO
The $k$-Dominating Graph
给定一个图$G$，定义$G$的$k$ -控制图$D_k(G)$为：其顶点对应于$G$的基数至多为$k$的控制集的图. $D_k(G)$中的两个顶点相邻当且仅当$G$的相应控制集通过增加或删除一个顶点而不同。图$D_k(G)$有助于研究控制集的重构问题。特别地，一个控制集可以通过一系列的单顶点添加和删除被重新配置为另一个，使得当且仅当它们在$D_k(G)$的相同连通分量中时，每个步骤的中间顶点集是控制集。本文给出了$D_k(G)$连通的条件。
2013-03-01 math.CO
Acyclic Orientations and the Chromatic Polynomial of Signed Graphs
给出了符号图（对称图）的无圈定向与染色之间的一个新的对应关系。Goodall等人引入了一个二元色多项式$χ_G(k,l)$，它使用颜色$0,\pm1,\dots,\pm k$以及$l-1$对称颜色$0_1,\dots,0_{l-1}$来计算有符号着色的数量。我们证明了二元色多项式$|χ_G(-1,2)|$的评价等于符号图的非循环方向数模交换源和汇产生的等价关系。我们提出了三个证明这一事实，证明使用环面超平面安排，证明使用删除压缩，和直接证明。
2022-09-03 math.CO
On Multivariate Chromatic Polynomials of Hypergraphs and Hyperedge Elimination
本文考虑超图的多元超边消去多项式和多元色多项式。第一组多项式是定义在删除收缩提取递归，以前研究的图由Averbouch，Godlin和Makowsky。多元色多项式是一个等价的多项式定义的着色，并推广了上边界多项式的Crapo，和二元色多项式的Dohmen，Pönitz和Tittman。我们表明，这些新的多项式恢复多项式列举超边缘覆盖，匹配，横截，和部分超图的专业化。我们还证明了多项式可以定义在超图的键格上的莫比乌斯反演，以及计算这些多项式的各类超图。
2010-12-15 math.CO
Extended chromatic symmetric functions and equality of ribbon Schur functions
本文证明了加权图的广义色对称函数的一个一般的容斥关系，它专门用于（广义）$k$ -消去，并给出了从加权图中获得对称函数代数的许多新基的两种方法.此外，我们分类时，两个加权路有相等的扩展色对称函数证明这是等价的分类等带状舒尔函数。后者的分类是依赖于操作的组合物，我们推广到组合图。然后，我们应用我们的推广，以获得无限多个家庭的加权图，其成员具有相等的扩展色对称函数。
2021-03-26 math.CO
Disproof of the dominating Hadwiger conjecture
University College London（伦敦大学学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
该论文反驳了支配性Hadwiger猜想，该猜想断言色数至少为t的图必含支配性K_t-模型。作者基于ChatGPT 6 Astra Ultra发现的构造，利用Suzuki-Tits卵形随机子采样块几何图的补图作为反例。
2026-09-29 math.CO
A Vertex-Weighted Tutte Symmetric Function, and Constructing Graphs with Equal Chromatic Symmetric Function
本文主要分为两个部分。首先，我们考虑Tutte对称函数$XB$，色对称函数的推广。我们引入了一个顶点加权版本的$XB$，并表明，这个功能承认删除压缩关系。我们还表明，顶点加权$XB$承认生成树和生成森林的扩展推广的Tutte多项式连接$XB$到其他图形功能。其次，我们给出了几种构造具有等色和Tutte对称函数的非同构图的方法，并给出了具体的例子。
2021-10-01 math.CO
A Noncommutative Chromatic Symmetric Function
Stanley将一个图G与一个对称函数X_G联系起来，X_G在变量的某种特殊化下可约化为G的色多项式。然后，他证明了各种定理推广的结果约色多项式，以及新的，不能解释在这一水平。不幸的是，X_G不满足删除-压缩律，这使得它很难应用归纳法。我们在非交换变量中引入了一个对称函数，当变量允许交换时，它确实有这样一个规律，并且专门针对X_G。这使我们能够进一步推广一些斯坦利的定理，并证明他们在一个统一和直接的方式。此外，我们还对Stanley和Stembridge的（3+1）-free猜想作了一些改进.
1999-07-12 math.CO
Marked graphs and the chromatic symmetric function
本文的主要结果是引入了标记图和与之相关的标记图多项式（$M$ -多项式）。这些多项式可以通过删除-压缩操作来定义。这些多项式是由Noble和Welsh引入的$W$ -多项式的推广，以及由Ellis-Monaghan和Moffatt引入的$\mathbf{V}$ -多项式的特殊化。此外，我们描述了一个重要的特殊化的$M$ -多项式，我们称之为$D$ -多项式。在对称函数的\emph{star-basis}中，我们给出了一个计算图的色对称函数的有效算法。作为这些工具的一个应用，我们证明了直径不超过5的真树可以由其色对称函数重构。
2022-02-23 math.CO
On the Chromatic Vertex Stability Number of Graphs
色顶点（相应地，边）稳定性数${\rm vs}_χ(G)$（分别为${\rm es}_χ(G)$）是图$G$的最小顶点数（分别为\边），其删除导致具有$χ(H)=χ(G)-1$的图$H$。在主要结果中，证明了如果$G$是一个具有$χ(G) \in \{ Δ(G), Δ(G)+1 \}$的图，则有${\rm vs}_χ(G) = {\rm ivs}_χ(G)$，其中${\rm ivs}_χ(G)$是独立色点稳定数.对于图$G$与$χ(G) \le \frac{Δ(G)+1}{2}$，该结果不一定成立。证明了若$χ(G) > \frac{Δ(G)}{2}+1$，则${\rm vs}_χ(G) = {\rm es}_χ(G)$ .还给出了色点稳定数的Nordhaus-Gaddum型结果。
2021-12-14 math.CO
Deletion-contraction properties of graphically stable spaces
该研究探讨图稳定空间$\bar{\beta}_{g,G}$的删除-收缩性质，推导弦与伸缩方程，将$\boldsymbol{\beta}$类积分等用色多项式表示，还得到图的Crapo $\beta$不变量新公式并推广至高亏格。
2026-08-21 math.AG math.CO
A note concerning the Grundy and ${\rm b}$-chromatic number of graphs
图$G$的Grundy数是$G$的首次拟合着色所使用的颜色的最大数量，并且用$Γ(G)$表示。类似地，$G$的${\rm b}$ -色数${\rm{b}}(G)$表示另一个众所周知的着色过程的最坏情况行为，即$G$的颜色主导着色。我们得到了一些图族$\mathcal{F}$，对于这些图族，存在一个函数$f(x)$，使得对每个图$G$，有$Γ(G)\leq f({\rm{b}}(G))$.将任何这样的族称为$(Γ,b)$ -有界族。我们猜想${\rm b}$ -单调图族是$(Γ,b)$ -有界的，并对某些图族验证了这个猜想.
2020-03-31 math.CO
Dominating Hadwiger's Conjecture holds for all $2K_2$-free graphs
本文证明支配哈德维格猜想对所有$2K_2$-自由图成立，关键利用诱导banner的存在性，加强了经典哈德维格猜想。
2025-10-14 math.CO
Unicyclic Graphs of Arbitrary Girth with the Same Chromatic Symmetric Function
Universidad de Chile（智利大学）
研究图的色对称函数能否区分非同构单圈图，通过应用“三重删除”模关系，展示了一系列围长递增且具有相同色对称函数的非同构连通单圈图对，还给出首个具有相同色对称函数的无限二分图族。
2026-07-13 math.CO
A categorification for the chromatic polynomial
对于每一个图，我们构造了分次上同调群，其分次欧拉示性数是图的色多项式。我们证明了上同调群满足一个长正合列，该正合列对应于著名的删除-压缩规则。这项工作的动机是Khovanov的工作分类的琼斯多项式的结。
2005-10-18 math.CO math.GT
The connection between the chromatic function and the Redei-Berge function
本文揭示偏序集对应的色函数与 Redei-Berge 函数之间的联系，并将其提升到非交换推广层面，实现性质互转并得到若干新结果。
2025-06-10 math.CO
Coloring, location and domination of corona graphs
图$G$的顶点着色是对图$G$的顶点的颜色分配，使得图$G$的每两个邻顶点具有不同的颜色。图的一个与着色有关的性质也是图的顶点的颜色或标号的分配，其中标号的过程是根据一个额外的条件来完成的。一个图$G$的顶点集$S$是$G$中的控制集，如果$S$之外的每个顶点都与至少一个属于$S$的顶点相邻。$G$的控制参数是指在$G$的顶点上满足某种控制性质和其它条件的图的结构。本文研究了冠图的着色、控制和位置等数学性质。研究了冠图的距离- $k$染色.特别地，通过冠图的距离- $k$色数与其因子的距离- $k$色数之间的关系，得到了冠图的距离-2色数和距离-3色数的紧界.此外，我们还给出了路与任意图的晕的距离- $k$色数的精确值。另一方面，我们得到了冠图的罗马控制数和位置控制数的界。给出了冠图的$k$ -控制数、距离- $k$-控制数、独立控制数、自序数和同序数的封闭公式。
2012-04-03 math.CO
An elementary chromatic reduction for gain graphs and special hyperplane arrangements
增益图是其边缘由来自组的“增益”可逆地标记的图。“切换”是增益图的变换，其在群中推广共轭。一个“弱色函数”的增益图的增益在一个固定的组满足三个法律：删除收缩的链接与中立的增益，不变性下切换，图与中立环的零。这些规律导致增益图的“弱色群”，这是弱色函数的泛域。我们发现表达式，在该组中有效的，为未成年人的增益图没有中性增益边缘，或添加完整的中性增益子图，概括了一个普通的色多项式的表达单项式或下降因子。这些表达式隐含了增益图的色函数的关系。我们应用我们的关系到一些特殊的积分增益图，包括那些相应的施，线性，和加泰罗尼亚安排，从而获得新的评价和新的方法来计算零自由色多项式和积分和模色函数的这些增益图，因此，特征多项式和超三次格点计数函数的安排。我们还计算了总的色多项式的任何增益图，特别是加泰罗尼亚，施，和线性增益图。
2010-01-24 math.CO
On k-Total Dominating Graphs
对于图G，k-全控制图D_{k} ^{t}（G）是其顶点对应于G的基数至多为k的全控制集的图; D_{k} ^{t}（G）的两个顶点相邻当且仅当G的相应全控制集通过增加或删除一个顶点而不同。利用图D_{k} ^{t}（G）研究了全控制集的重构问题：一个全控制集可以通过一系列的单点增删而重构为另一个全控制集，使得每一步的中间点集都是全控制集，当且仅当它们在D_{k} ^{t}（G）的同一个分支中.设d_{0}（G）是最小整数r，使得对于所有大于或等于r的k，D_{k} ^{t}（G）连通.研究了图作为全控制图的可实现性。设k为上全控制数Γ_{t}（G），我们证明了：任何不含孤立点的图都是图G的诱导子图，使得D_{k} ^{t}（G）是连通的.证明了对于任意阶至少为3的连通图G，d_{0}（G）位于Γ_{t}（G）和n（含）之间，刻画了实现任一界的图，并确定了d_{0}（C_{n}）和d_{0}（P_{n}）.
2017-11-15 math.CO
Triangular Ladders $P_{d,2}$ are $e$-positive
1995年Stanley证明了图$P_{d,2}$的色对称函数是$e$ -正的，我们称之为三角梯。在本文中，我们证实了这个猜想，这也是一个未解决的情况下，著名的$(3+1)$ -自由猜想。我们的方法是遵循Gebhard和Sagan将色对称函数推广到非交换变量的对称函数。这些函数满足一个删除收缩性质不同于色对称函数在交换变量。我们这样做，证明了一个新的签署组合公式的基础上，初等对称函数的\emph{all}单位区间图。然后，我们证明了$e$ -积极的三角梯非常仔细地定义了我们的符号组合公式的符号反转对合。这给我们留下了某些正项，并进一步允许我们扩展Gebhard和Sagan的一个已知的$e$ -正图族。
2019-06-28 math.CO
On Grundy and b-chromatic number of some families of graphs: a comparative study
本文比较研究图的 Grundy 数与 b-色数，构造二者背离的图序列，并证明若干图族中 Grundy 数可由 b-色数的函数控制，从而验证相关猜想。
2020-12-18 math.CO
Connected k-Dominating Graphs
对于图G=（V，E），G的k-控制图（记为$D_{k}(G)$）的顶点对应于G的基数最大为k的控制集，其中$D_{k}(G)$的两个顶点相邻当且仅当其中一个顶点对应的控制集可以从第二个顶点对应的控制集通过添加或删除一个顶点得到。我们用$d_{0}(G)$表示对于所有大于或等于$d_{0}(G)$的k，$D_{k}(G)$连接的最小整数。已知$d_{0}(G)$介于$Γ(G)+1$和$|V|$之间，其中$Γ(G)$是G的上控制数，但是构造图G使得$d_{0}(G)>Γ(G)+1$似乎是困难的。我们提出了两个相关的结构。第一种构造表明，对于每个大于或等于3的整数k和从1到k-1的每个整数r，存在图$G_{k,r}$使得$Γ(G_{k,r})=k, γ(G_{k,r})=r+1$和$d_{0}(G_{k,r})=k+r=Γ(G)+γ(G)-1$。第二种构造表明，对于每个大于或等于3的整数k和从1到k-1的每个整数r，存在图$Q_{k,r}$，使得$Γ(Q_{k,r})=k, γ(Q_{k,r})=r$和$d_{0}(Q_{k,r})=k+r=Γ(G)+γ(G)$。
2017-08-22 math.CO
Knight move for chromatic graph cohomology
本文证明了L. Helme-Guizon和Y.荣也就是说，对于一个有n个顶点的连通图G，唯一的非平凡上同调群$H^{i,n-i}(G)$，$H^{i,n-i-1}(G)$是同构对：$H^{i,n-i}(G)\cong H^{i+1,n-i-2}(G)$ for i >= 0，如果G是非二部的，和对于i > 0，如果G是二部的。作为推论，上同调群的秩由色多项式决定。最后，我们给出了Poincare多项式的显式表示，并给出了Poincare多项式的消去-压缩公式。
2006-09-05 math.CO math.GT math.QA
The Chromatic Symmetric Function for Unicyclic Graphs
Universidad de Chile（智利大学）；Stephen F. Austin State University（斯蒂芬·F·奥斯汀州立大学）；Dartmouth College（达特茅斯学院）；Arizona State University（亚利桑那州立大学）；Willamette University（威拉米特大学）
研究从色对称函数恢复图结构性质，通过扩展树的结果到单圈图，分析单圈图在星基下的色对称函数，利用删除-近收缩关系计算相关系数，给出几类图的星展开公式。
2026-07-07 math.CO
On the Packing Coloring Gap of Graphs
Gebze Technical University（盖布泽理工大学）
本文研究了图的打包着色间隙，定义为删除单个顶点导致打包着色数最大减少的值，重点分析了树结构，特别是毛毛虫图，并扩展到毛毛虫图与K1的冠操作，同时给出了具有不同间隙值的图示例。
2026-05-19 math.CO
Local Clique Covers and Chromatic Number
本文证明了局部团覆盖数与色数之和不超过顶点数加一的猜想，并给出了达到等号时图的结构性质及诱导匹配的改进界。
2026-09-09 math.CO
Simplicial chromatic polynomials as Hilbert series of Stanley--Reisner rings
我们发现了由Cooper-de Silva-Sazdanovic \cite{CdSS}定义的单纯色多项式是辅助单纯复形的Stanley-Reisner环的Hilbert级数的单纯复形族.因此，这种广义色多项式由辅助单纯复形的$h$ -向量确定。除了推广相关的结果图和拟阵，单纯复形使用允许我们考虑的问题，不一定是那些考虑图的类似物。一些例子包括分圆多项式的支持，多项式或多项式的一些平移的对数性质，以及多项式与其倒数多项式之间的对称关系。如果所涉及的$h$ -向量有足够大的项，则Hilbert级数是某个$k$ -代数的Hilbert多项式.由于$h$ -向量与单纯色多项式之间的联系，我们还发现了其$h$ -向量由类似于图的删缩关系的单纯复形的加缩关系决定的单纯复形.所使用的结构涉及的关系欧拉示性数的配置空间和图的色多项式的推广。
2022-09-16 math.AT math.CO
Graphs missing a connected partition
Department of Mathematics, MIT（麻省理工学院数学系）
该研究证明具有特定结构的图无法拥有$e$-正的染色对称函数，接近关于树非$e$-正性的猜想。
2026-01-15 math.CO
Sparse Approximate Chromatic Profiles of Triangle-Free Graphs
Fuzhou University（福州大学）；East China Normal University（华东师范大学）
本文证明了Brandt-Thomassé四色定理的稀疏版本，确定了无三角形图通过$O(n/p)$次边删除实现$q$-部性的最小度阈值，并证明了系数$1/(2q)$在更强度条件下不可改进。
2026-09-24 math.CO
The Dominating 4-Colour Theorem
University College London（伦敦大学学院）；Simon Fraser University（西蒙菲莎大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；McGill University（麦吉尔大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；University of Oxford（牛津大学）；Monash University（蒙纳士大学）
本文证明无支配K5模型的图4可染色，扩展并强化了平面图及无K5-minor图的4色定理，推动了Hajós关于5色图中K5子图猜想的研究。
2026-05-11 cs.DM math.CO
Contraction and Deletion Blockers for Perfect Graphs and $H$-free Graphs
本文研究了如下问题：对于给定的整数$d$、$k$和图$G$，能否从某个固定的集合$S$通过至多$k$图运算将$G$的某个固定的图参数$π$至少约减$d$？作为参数，我们采取色数$χ$，团数$ω$和独立数$α$，并作为操作，我们选择边收缩ec和顶点删除vd。我们确定这个问题的复杂性为$S=\{\mbox{ec}\}$和$S=\{\mbox{vd}\}$和$π\in \{χ,ω,α\}$的一些子类的完美图。我们使用这些结果来确定问题的复杂性为$S=\{\mbox{ec}\}$和$S=\{\mbox{vd}\}$和$π\in \{χ,ω,α\}$限制到$H$ -自由图。
2017-06-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Two Approaches to the Construction of Deletion Correcting Codes: Weight Partitioning and Optimal Colorings
本文从图论的观点出发，研究了在二进制字母表上构造删除纠错码的问题。$n$位$s$删除校正码是特定图中的独立集。我们建议构造这样一个码采取工会的许多恒定汉明码重量。这导致代码具有额外的结构。在常汉明重量导出子图中搜索码比搜索原始图在计算上更容易。我们证明了一个下界的码本的大小构造这种方式为任何数量的删除，并表明，它只是一个很小的因素低于相应的下限不受限制的代码。在单删除的情况下，我们找到了常数汉明重量诱导子图的最优染色。我们证明了所得到的代码是渐近最优的。我们讨论了代码和着色之间的关系，并观察到VT码是最佳的着色意义。证明了删除通道图色数的一个新下界。与此界限相匹配的删除通道图的着色不一定产生渐近最优代码。
2012-11-16 cs.DM cs.IT math.CO
Critical Vertices and Edges in $H$-free Graphs
如果图中的顶点或边的删除使图的色数减少1，则该顶点或边是临界的。我们考虑的问题，决定是否有一个图的临界点或边，分别。对于这两个问题，我们给出了一个复杂性二分法，它仅限于$H$ -free图，即没有导出子图同构于$H$的图.此外，我们证明了边是临界的，当且仅当它的收缩使色数减少1。因此，我们也得到了一个复杂性二分法的问题，决定如果一个图有一个边的收缩减少色数1。
2017-06-27 cs.CC cs.DM math.CO
Reducing Graph Parameters by Contractions and Deletions
我们考虑以下问题：对于给定的图$G$和两个整数$k$和$d$，我们可以应用一个固定的图操作在最多$k$倍，以减少一个给定的图参数$π$至少$d$？当参数为独立数且图的操作为顶点删除或边收缩时，即使对于固定的$d=1$和弦图，该问题也是NP-难的。当边收缩操作为边收缩操作，参数为独立数，$d$固定时，给出了二部图的多项式时间算法。进一步，当参数为团数，操作为边收缩时，我们证明了在无$(C_3+P_1)$图中，即使对于固定的$d=1$，这个问题也是NP-困难的，从而完成了无$H$图的复杂性二分法.当操作为边删除，参数为色数时，我们确定了上图和完全多部图的相关问题的计算复杂性。我们的结果回答了[Diner et al.，Theoretical Computer Science，746，p.49 -72（2012）]。
2022-10-19 cs.DM math.CO
On New Thue Colouring Concepts of Certain Graphs
图的Thue染色是使得$G$中任意偶数有限长路的顶点颜色序列不重复的染色。研究了图的Thue数$π(G)$随着边从图$G$中迭代移除而发生的变化.引入了图$G$的$τ$指数的概念，记为$τ(G)$. $τ(G)$作为边删除的效率，以减少图的图色数的措施。
2016-01-04 math.CO
Reconfiguration of Dominating Sets
我们探讨了一个重新配置版本的支配集问题，在图$G$的支配集是一组$S$的顶点，使每个顶点是在$S$或有一个邻居在$S$。在重构问题中，目标是确定是否存在连接给定可行解$s$和$t$的可行解序列，使得每对连续解根据指定的邻接关系相邻。两个控制集是相邻的，如果一个可以通过添加或删除一个顶点而形成另一个。对于各种值的$k$，我们认为属性的$D_k(G)$，图形组成的一个顶点，每个控制集的大小最多$k$和边缘指定的邻接关系。解决一个开放的问题所提出的哈斯和Seyffarth，我们证明，$D_{Γ(G)+1}(G)$不一定是连接的，为$Γ(G)$的最大基数的最小支配集$G$。即使当图被约束为平面的、有界树宽的或对于$b \ge 3$为$b$ -partite时，该结果也成立。此外，我们构造了一个无限图族，使得$D_{γ(G)+1}(G)$具有指数直径，其中$γ(G)$是控制集的最小尺寸。在积极的一面，我们表明，$D_{n-m}(G)$是连通的，线性直径的任何图$G$上的$n$顶点至少有$m+1$独立的边缘。
2014-01-30 cs.DM math.CO
An improvement to the vertex-splitting conjecture
对于简单图$G$，分别用$n$、$Δ(G)$和$χ'(G)$表示它的阶、最大度和色指数。一个2类连通图$G$是边色临界的，如果对$G$的每条边$e$都有$χ'(G-e)<Δ(G)+1$.如果是$|E(G)|>Δ(G) \lfloor n/2 \rfloor$，则将$G$定义为过满。显然，过满图是第二类，任何从偶数阶正则图通过分裂顶点得到的图都是过满图。设$G$是一个$n$ -点连通的正则类1图，其图具有$Δ(G) >n/3$ . Hilton和Zhao在1997年证明了如果$G$的一个顶点分裂为两个顶点得到$G^*$，则$G^*$是边色临界的，并验证了关于图$G$具有$Δ(G)\ge \frac{n}{2}(\sqrt{7}-1)\approx 0.82n$的猜想.图$G^*$很容易被证明是过满的，因此猜想的困难在于证明删除它的每一条边都会降低色指数。除了在2002年Song证明了猜想对一类特殊的图$G$成立，并且$Δ(G)\ge \frac{n}{2}$成立外，其他关于这个猜想的研究一直没有取得进展。本文用$Δ(G) \ge 0.75n$证明了图$G$的猜想.
2021-03-09 math.CO
Proving properties of the edge elimination polynomial using equivalent graph polynomials
Averbouch、Godlin和Makowsky利用关于边的删除、收缩和抽取的递归关系定义了图的边消除多项式。它推广了一些著名的图多项式，如色多项式和匹配多项式。通过引入两个等价的图多项式，一个是枚举子图，另一个是枚举着色，我们证明了单图的边消去多项式是由它的多项式堆可重构的，并且它编码了任意图的度序列.
2012-05-10 math.CO
Schur and $e$-positivity of trees and cut vertices
本文证明了任何含有度为$d\geq \log _2n +1$的顶点的$n$ -顶点树的色对称函数不是$e$ -正的，即不是初等对称函数的正线性组合.推广这一点，我们还证明了任何$n$ -顶点连通图的色对称函数含有一个割点，其删除断开图成$d\geq\log _2n +1$连通分支是不$e$ -积极的。进一步证明了任何一个点的度大于$\lceil \frac{n}{2}\rceil$的$n$ -顶点二部图，包括所有的树，都不是Schur-正的，即不是Schur函数的正线性组合.在完全一般性的情况下，我们证明了如果$n$ -点连通图没有完美匹配（如果$n$是偶数）或没有几乎完美匹配（如果$n$是奇数），那么它不是$e$ -正的。因此，我们推断，许多图包含爪不是$e$ -积极的。
2019-12-14 math.CO
Extremal graphs for disjoint union of vertex-critical graphs
该研究刻画了同色数顶点临界图不交并在存在真序条件下的n阶边数最多的禁图结构，解决了Xiao与Zamora提出的奇轮不交并极图猜想。
2025-02-21 math.CO
Dominating $K_t$-Models
本文研究支配 $K_t$-模型，证明无支配 $K_t$-模型的图是 $2^{t-2}$-可染色的，并给出最大平均度上界 $2^{t-2}$ 与随机图下界，同时为强化哈德维格猜想提供证据。
2024-05-23 math.CO
A most general edge elimination graph polynomial
我们寻找图多项式满足递归关系的三种边消除：边删除，边收缩和删除的边缘及其端点。就像在删除和收缩的情况下一样（W。Tutte，1954），证明了存在一个最一般的多项式满足这样的递归关系，我们称之为$ξ(G,x,y,z)$。我们证明了新的多项式同时推广了Tutte多项式、匹配多项式和最近由K.Dohmen，A.Pönitz和P.Tittman（2003）提出的色多项式的推广，也包括I. Gutman和F. Harary，（1983）和F，M. Dong，医学博士Hendy，K.T. Teo和C.H.C. Little（2002年）。我们建立了新多项式的两个定义：第一，最一般的合流递归定义，然后一个明确的，使用一组扩展公式，并证明他们的身份。我们进一步将这个结果推广到边标号图，正如T. Zaslavsky（1992）和B. Bollobás和O. Riordan（1999）.边标号多项式$ξ_{lab}(G,x,y,z, \bar{t})$也推广了R. C.作者/E.G. Whitehead Jr.（1999年）。最后讨论了计算$ξ(G,x,y,z)$的复杂性。
2007-12-19 math.CO
Distance-$k$ locating-dominating sets in graphs
设$G$是一个顶点集为$V$的图，$k$是一个正整数。一个集合$D \subseteq V$是$G$的一个\emph{distance-$k$ dominating set}，如果对于每个顶点$u \in V-D$，存在一个顶点$w\in D$使得$d(u,w) \le k$，其中$d(u,w)$是$G$中连接$u$和$w$的边的最小数目。设$d_k(x, y)=\min\{d(x,y), k+1\}$。一个集合$R\subseteq V$是$G$的一个\emph{distance-$k$ resolving set}，如果对于任何一对不同的$x,y\in V$，存在一个顶点$z\in R$使得$d_k(x,z) \neq d_k(y,z)$。$G$的\emph{distance-$k$ domination number} $γ_k(G)$（分别为\emph{distance-$k$ dimension} $\dim_k(G)$）是$G$的所有距离- $k$支配集（分别为距离- $k$分解集）的最小基数. $G$的\emph{distance-$k$ location-domination number}，$γ_L^k(G)$，是使得$S$既是$G$的距离- $k$支配集又是距离- $k$分解集的所有集合$S\subseteq V$的最小基数. $γ_L^1(G)$是Slater…
2022-02-12 math.CO
A Counterexample to Teschner's Bondage-Number Conjecture
The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本研究构造18顶点连通立方二分图作为反例，否定特施纳关于图的束缚数上界为3/2倍最大度的猜想，明确给出该反例的控制数、束缚数及验证细节。
2026-09-07 cs.DM math.CO
A characterization of domination weak bicritical graphs with large diameter
图$G$的控制数，记作$γ(G)$，是图$G$的控制集的最小基数。如果图的一个顶点的删除使图的控制数减少，则称该顶点是临界的;如果图的所有顶点都是临界的，则称该图是临界的。一个图$G$称为弱双临界图，如果对于每个非临界点$x\in V(G)$，$G-x$是一个临界图，且其具有$γ(G-x)=γ(G)$ .本文刻画了连通弱双临界图$G$，其直径恰好为$2γ(G)-2$ .本文推广了关于支配临界图直径的一些已知结果。
2016-08-06 math.CO
DP color functions versus chromatic polynomials
对于任何图$G$，$G$的色多项式是函数$P(G,m)$，它计算对于每个正整数$m$，$G$的正确$m$ -着色的数目。Kaul和Mudrock在2019年引入的$G$的DP颜色函数$P_{DP}(G,m)$是$P(G,m)$的推广，其中每个正整数$m$都有$P_{DP}(G,m)\le P(G,m)$。令$P_{DP}(G)\approx P(G)$（分别$P_{DP}(G)< P(G)$）表示$P_{DP}(G,m)=P(G,m)$（分别寻找图$P_{DP}(G,m)<P(G,m)$是一个有趣的问题，其中$P_{DP}(G)\approx P(G)$（分别为. $P_{DP}(G,m)<P(G,m)$）保持。Kaul和Mudrock证明了如果$G$有一个偶数围长，那么$P_{DP}(G)<P(G)$和Mudrock和Mudason最近证明了$P_{DP}(G)\approx P(G)$对每个有一个支配顶点的图$G$成立。本文将推广他们的结果。对于$G$中的每条边$e$，如果$e$是$G$的桥，则设$\ell(e)=\infty$，否则设$\ell(e)$为包含$e$的$G$中的最短循环的长度。我们首先表明，如果$\ell(e)$甚至在$G$的一些边缘$e$，然后$P_{DP}(G)<P(G)$举行。然而，这一结论的逆命题在无穷多个反例下是不成立的。然后，我们证明了$P_{DP}…
2021-11-27 math.CO
A characterization of edge-chromatic 3-critical graphs
Auburn University（奥本大学）
本文通过计算机辅助搜索，确定了15至21阶非平凡3-临界图的确切数量，并证明了所有非平凡3-临界图的刻画定理，其中一种情况基于snark图。
2026-11-02 math.CO
