Hamilton Paths in Dominating Graphs of Trees and Cycles

1-坚韧图中控制圈的度条件

Degree Conditions for Dominating Cycles in 1-tough Graphs

我们证明：（i）若$G$是1-坚韧图，其阶为$n$，最小度为$δ$，且有$δ\ge(n-2)/3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈，除非$G$属于一类容易指定的图，且有$κ(G)=2$和$τ(G)=1$ .第二个结果紧接着第一个结果：（ii）如果$G$是一个3-连通1-坚韧图，$δ\ge(n-2)/3$，那么每个最长的圈在$G$是一个控制圈。

控制圈的一个长度上界

A Size Upper Bound for Dominating Cycles

最近（作者）证明了，如果$q\leδ^2+δ-1$（arXiv：1107.2201v1），则每一个边数为$δ$且度为最小的图都是Hamilton图.本文对控制圈给出了这个结果的精确模拟：如果$G$是一个2连通图，且$q\le8$当$δ=2$，$q\le (3(δ-1)(δ+2)-1)/2$当$δ\ge3$，则$G$中的每个最长圈都是控制圈.结果在各方面都很明显。

路、圈和轮的支配$k$ -集的个数

The number of dominating $k$-sets of paths, cycles and wheels

本文给出了控制多项式$γ(P_{n},t)$和具有$n$顶点的路的控制$k$ -集的个数$γ_{k}(P_{n})$的递推关系的一个较短的证明。对每一个正整数$n$和$k,$数$γ_{k}(P_{n})$，通过求解S. 2015年的《CID》中的阿利哈尼。此外，还计算了以$n$为顶点的圈的控制$k$ -集$γ_{k}(C_{n})$和轮的控制$γ_{k}(W_{n})$ $γ_{k}(W_{n})$的个数.

路与圈上的识别码与定位控制集

Identifying codes and locating-dominating sets on paths and cycles

设$G=(V,E)$是一个图，$r\ge 1$是一个整数。对于集合$D \subseteq V$，定义$N_r[x] = \{y \in V: d(x, y) \leq r\}$和$D_r(x) = N_r[x] \cap D$，其中$d(x,y)$表示$x$和$y$之间任何最短路径中的边数。如果对于所有顶点$x\in V$（分别为$x \in V\backslash D$），$D_r(x)$都非空且不同，则$D$称为$r$ -标识码（分别为$r$ -定位-支配集）.本文给出了路和奇圈中PDMATHAMV-可识别码的完整结果，也给出了圈中2-定位-控制集的完整结果。

圈的控制集与控制多项式

Dominating sets and Domination polynomials of Cycles

设G=（V，E）是一个单图.一个集合S \subset V是G的一个控制集，如果V§中的每个顶点都至少与S中的一个顶点相邻.设{ \mathcal C}_n^i是基数为i的圈C_n的控制集族，d（C_n，i）=|{ \mathcal C}_n^i.本文构造了{ \mathcal C}_n^i，得到了d（C_n，i）的一个递归公式.利用这个递推公式，我们考虑了多项式D（C_n，x）= \sum_{i=1}^n d（C_n，i）x^i，我们称之为圈的控制多项式，并得到了该多项式的一些性质.

$2K_2$ -free图的边控制圈、k-行走和Hamilton棱柱

Edge-dominating cycles, k-walks and Hamilton prisms in $2K_2$-free graphs

我们证明了一个$2K_2$ -free图的边控制圈可以在多项式时间内被找到，这意味着每个1/（k-1）-tough $2K_2$ -free图都有一个k-行走，并且它可以在多项式时间内被找到.对于这类图，这证明了Jackson和Wormald（1990）提出的一个长期存在的猜想。进一步证明了对任意ε>0，每个（1+ε）-tough $2K_2$ -free图都是棱柱-Hamilton图，并给出了相应棱柱中哈密顿圈的有效构造，以及其他一些类似的结果.

平衡二部有向图中每个偶数长度的圈

Cycles of each even lengths in balanced bipartite digraphs

设$D$是$2a\geq 4$阶的强连通平衡二部有向图.令$x,y$是$D$中的不同顶点。如果$x\rightarrow z$和$y\rightarrow z$，则$\{x,y\}$支配顶点$z$;在这种情况下，我们称这对$\{x,y\}$支配。在本文中，我们证明：（i）。如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$有$a\geq 4$和$ max\{d(x), d(y)\}\geq 2a-1$，则$D$包含长度为$2a-2$的圈或$D$是有向圈。（ii）。如果对于每个支配顶点对$\{x,y\}$，$D$包含长度为$2a-2\geq 6$和$max \{d(x), d(y)\}\geq 2a-2$的圈，则对于任何$k$，$1\leq k\leq a-1$，$D$包含长度为$2k$的圈。（iii）。如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$，$a\geq 4$和$ max\{d(x), d(y)\}\geq 2a-1$，则对每个$k$，$1\leq k\leq a$，$D$包含长度为$2k$的圈，除非$D$同构于仅有一个8阶例外有向图。

Dominating ideals and closed neighborhood ideals of graphs

We study the closed neighborhood ideals and the dominating ideals of graphs, in particular, of trees and cycles. We prove that the closed neighborhood ideals and the dominating ideals of trees are normally torsion-free. The closed neighborhood ideals and the dominating ideals of cycles fail to be normally torsion-free. However, we prove that the closed neighborhood ideals of cycles admit the (strong) persistence property and the dominating ideals of cycles are nearly normally torsion-free.

含3-环或4-环的三次图的2-优惠券着色

2-Coupon Coloring of Cubic Graphs Containing 3-Cycle or 4-Cycle

针对“含3-环的连通三次图是否存在两个不相交全控制集”的问题，本文给出否定答案，同时证明含4-环时结论成立，并由此推导出含钻石图的连通三次图可划分为两个全控制集的已知结论。

稳定数为3的图的连通控制集

Connected Dominating Sets in Graphs With Stability Number Three

在图G的独立数a（G）=3且无诱导无弦圈C7的特殊情况下，证明了存在顶点数n（D）≤ 4的连通控制集D.利用连通控制集的概念，定义了一个新的不变量h（G），它不超过Hadwiger数.对于所考虑的图，证明了h（G）>=n（G）/4.

圈由它们的控制多项式决定

Cycles are determined by their domination polynomials

设$G$是阶为$n$的单图. $G$的支配集是$G$的顶点的集合$S$，使得$G$的每个顶点要么在$S$中，要么与$S$中的顶点相邻。$G$的控制多项式是多项式$D(G,x)=\sum_{i=1}^{n} d(G,i) x^{i}$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。本文证明了圈是由它们的控制多项式决定的。

路与幂的支配多项式

The domination polynomial of powers of paths and cycles

本文将Alikhani和Peng关于图支配序列单峰性的猜想，从Beaton和Brown已验证的路和环，进一步推广至路与环的任意幂。

二部有向图中准哈密顿圈的一个充分条件

A sufficient condition for pre-Hamiltonian cycles in bipartite digraphs

设$D$是一个强连通平衡二部有向图，其阶为$2a\geq 10$，不是有向圈.设$x,y$是$D$中的不同顶点。如果$x\rightarrow z$和$y\rightarrow z$，则$\{x,y\}$支配顶点$z$;在这种情况下，我们称这对$\{x,y\}$支配。在本文中，我们证明：如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$都有$ max\{d(x), d(y)\}\geq 2a-2$，则$D$包含所有长度的圈$2,4, \ldots , 2a-2$或$D$同构于我们指定的某个10阶有向图.

立方图中的广义支配结构

Generalized domination structure in cubic graphs

本文研究了立方图中的广义支配结构，通过特定方法确定最小支配集，并在多项式时间内解决该问题。

Novel ways of enumerating restrained dominating sets of cycles

Let $G = (V, E)$ be a graph. A set $S \subseteq V$ is a restrained dominating set (RDS) if every vertex not in $S$ is adjacent to a vertex in $S$ and to a vertex in $V - S$. The restrained domination number of $G$, denoted by $γ_r(G)$, is the smallest cardinality of a restrained dominating set of $G$. Finding the restrained domination number is NP-hard for bipartite and chordal graphs. Let $G_n^i$ be the family of restrained dominating sets of a graph $G$ of order $n$ with cardinality $i$, and let $d_r(G_n, i)=|G_n^i|$. The restrained domination polynomial (RDP) of $G_n$, $D_r(G_n, x)$ is defi…

4-连通图中的大圈

Large cycles in 4-connected graphs

对于具有最小度$δ$和连通度$κ$的4-连通图$G$，要么含有长度至少为$4δ-κ-4$的圈，要么$G$中的最长圈是控制圈.

关于$k$ -端生成树和控制树

On $k$-ended spanning and dominating trees

最多有$k$叶的树称为$k$结束树。一个2-端生成树是一个哈密尔顿路，一个哈密尔顿圈可以被认为是一个1-端生成树。关于少叶生成树的最早的结果是：如果$k$是正整数，$G$是一个阶为$n$的连通图，其中每对不相邻的顶点$x,y$都有$d(x)+d(y)\ge n-k+1$，则$G$有一个生成$k$ -结束树。本文从两个方面改进了这一结果，并基于广义参数$t_k$ -最大$k$ -端树的阶，证明了控制$k$ -端树的一个类似结果.特别地，$t_1$是周长（最长循环的长度），而$t_2$是最长路径的阶数。

控制极大外平面图与Hamilton平面三角剖分

Dominating maximal outerplane graphs and Hamiltonian plane triangulations

设$G$是一个图，$γ(G)$表示$G$的控制数，即$S$的最小顶点集的基数，使得$G$的每个顶点要么在$S$中，要么与$S$中的一个顶点相邻. Matheson和Tarjan证明了具有足够多$n$顶点的平面三角剖分具有$γ(G)\le n/4$。他们的推测仍未确定。本文证明了：（1）顶点为$n$的极大外平面图有$γ(G)\le \lceil \frac{n+k} 4\rceil$，其中$k$是$G$的边界上连续的2度顶点的距离至少为3的对的个数;（2）顶点为$n \ge 23$的Hamilton平面三角剖分$G$有$γ(G)\le 5n/16 $ .我们还指出了Li等人在[Discrete Appl. Math.198（2016）164-169]中最近发表的关于这个主题的几个不正确的结果，并提供了反例。

二部有向图中存在哈密顿圈的充分条件

Sufficient conditions for Hamiltonian cycles in bipartite digraphs

证明了平衡二部有向图中存在哈密顿圈的两个尖锐的充分条件。设$D$是一个强连通的平衡二部有向图.设$x,y$是$D$中的不同顶点。如果$x\rightarrow z$和$y\rightarrow z$，则$\{x,y\}$支配顶点$z$;在这种情况下，我们称这对$\{x,y\}$支配。(i){ \it如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$有$a\geq 4$和$max \{d(x), d(y)\}\geq 2a-1$，则要么$D$是哈密尔顿的，要么$D$同构于一个8阶例外有向图。} (ii){ \it如果对每个控制顶点对$\{x,y\}$有$a\geq 5$和$d(x)+d(y)\geq 4a-3$，则$D$是哈密尔顿的。}第一个结果改进了R. Wang（arXiv：1506.07949 [math.CO]）的第二个结果，特别地，建立了Bang-Jensen，Gutin和Li（J. Graph Theory，22（2），1996）关于阶数至少为10的强连通平衡二部有向图的一个猜想。

关于平衡二部有向图的准哈密顿圈

On pre-Hamiltonian cycles in balanced bipartite digraphs

设$D$是$2a\geq 10$阶的强连通平衡二部有向图.设$x,y$是$D$中的不同顶点。如果$x\rightarrow z$和$y\rightarrow z$，则$\{x,y\}$支配顶点$z$;在这种情况下，我们称这对$\{x,y\}$支配。在本文中，我们证明：{ \it如果$D$的底层无向图不是2-连通的，并且对于每个控制顶点对$\{x,y\}$都是$max\{d(x), d(y)\}\geq 2a-2$，则$D$包含长度为$2a-2$的圈，除非$D$同构于我们指定的某个10阶有向图。

Domination broadcast: A case study on a combination of cycle graph and sunlet graph

Domination in graphs has long been studied and is applied to signal distribution problem. For example, telecommunication companies want to spread the signal from broadcast stations by transmitting varying signal strength to all receiving stations. This problem can be interpreted in a term of graph theory. Assume that broadcast companies need to spread the signal in graphs by using broadcast stations with varying signal strength so that the signal could be sent to all the vertices. However, broadcast stations with stronger signal are generally more expensive. The distribution of signal was conf…

图的圈控制、独立性和不可约性

Cycle Domination, Independence and Irredundance in graphs

如果导出子图$\langle S\rangle$是无圈的，则称图$G = (V, E)$中的顶点集$S$为{ \em圈独立};如果导出子图$\langle S\rangle$是二部的，则称其为{ \em奇圈独立dendet}.一个集合$S$是{ \em循环支配}（分别为{ \em奇循环支配}），如果对于每个顶点$u \in V \setminus S$，存在顶点$v \in S$，使得$u$和$v$分别包含在a（resp.奇数周期）在$\langle S \setminus \{u\}\rangle$中的周期。集合$S$是{ \em循环无冗余}（分别奇循环无冗余），如果对于每个顶点$v \in S$，存在顶点$u \in V \setminus S$，使得$u$和$v$在（分别）奇数周期）周期，但$\langle S \setminus \{u\}\rangle$不在$\langle S \cup \{u\} \setminus \{v\}\rangle$的周期中。在本文中，我们提出了这些新的概念，它涉及到一个自然的方式独立，控制和不可约图。特别是，我们构造类似的控制不平等链，这些新的概念。

$X$ -联积上的Grundy控制序列

Grundy dominating sequences on $X$-join product

本文研究了图$G$与图族$\mathcal R=\{G_v: v\in V(G)\}$的$X$ -联积$G\hookleftarrow \mathcal R$的Grundy控制数.这些结果使我们扩展了已知的几个图族，在这些图族中可以有效地计算这个参数。我们证明了，如果，对于所有的$v\in V(G)$，$G_v$的Grundy控制数是给定的，$G$是一个权力的一个循环，一个权力的一条道路，或分裂图，计算的Grundy控制数的$G\hookleftarrow \mathcal R$可以在多项式时间内完成。特别是，权力的循环和路径的结果来自多项式减少这些图上的最大权重独立集问题。因此，当$G$是圈的幂、路的幂或分裂图时，我们导出了计算字典序积$G\circ H$的Grundy控制数的封闭公式，推广了Bresar等人在2016年给出的关于圈和路的结果。此外，当$G$是分裂图时，关于$X$ -连接积的结果也提供了计算$(q,q-4)$图、伙伴有限图和扩展的$P_4$ -负载图的Grundy控制数的多项式时间算法，这些图类在少数$P_4$的图的层次中是高的.

曲面三角剖分中的控制集

Dominating Sets in Triangulations on Surfaces

图G的一个控制集D是一个集合，使得G的每个顶点v要么在该集合中，要么与该集合中的一个顶点相邻。Matheson和Tarjan（1996）证明了任意n-顶点平面三角剖分都有一个大小不超过n/3的控制集，并且当n足够大时，给出了n/4的界。King和Pelsmajer最近证明了这一点，最大度至多为6。Plummer和Za（2009）以及Honjo、Kawarabayashi和Nakamoto（2009）将n/3界扩展到曲面上的三角剖分。我们证明了两个相关的结果：（i）存在一个常数c，使得任何最大度不超过6的n顶点平面三角剖分都有一个大小不超过n/6 + c的控制集。(ii)对于任意曲面S，非负t，且n> 0，存在C使得对于S上任意n-顶点三角剖分且至多t个顶点的度数不为6，存在大小至多为n（1/6 + n）+ C的控制集。作为证明的一部分，我们还证明了任何一个非可定向曲面的n-顶点三角剖分有一个长度不超过2sqrt（n）的不可收缩圈。Albertson和Hutchinson（1986）证明了对于非球面的可定向曲面的n-顶点三角剖分有一个长度为sqrt（2n）的不可收缩圈，但对于非可定向曲面还没有类似的结果。

关于控制图的结构

On the structure of dominating graphs

图$G$的$k$ -支配图$D_k(G)$定义在由基数至多为$k$的$G$的支配集组成的顶点集上，如果两个这样的集合增加或删除一个顶点而不同，则它们是相邻的.一个图是控制图，如果它同构于$D_k(G)$，对于某些图$G$和某些正整数$k$ .对无孤立点图的Haas和Seyffarth问题进行了讨论，证明了：若$G$是一个具有$G\cong D_k(G)$的$n\ge 2$阶图，则对某些$n\ge 4$，$k=2$和$G=K_{1,n-1}$.本文还证明了对于给定的$r$，连通图的$r$ -正则连通控制图的个数是有限的。特别地，$C_6$和$C_8$是圈类中仅有的控制图。同时也得到了关于控制图的阶的一些结果。

禁止配置与无向2-近最佳匹配图中的支配双 clique

Forbidden configurations and dominating bicliques in undirected 2-quasi best match graphs

本文研究了无向2-近最佳匹配图的结构特性，证明其不含长路径或循环作为诱导子图，并探讨了其支配双 clique分解的性质。

关于无长路无圈图的连通支配集的一个注记

A Note on Connected Dominating Set in Graphs Without Long Paths And Cycles

连通控制数$γ_c$和控制数$γ$的比从上到下严格有界为3。Zverovich证明了对每一个连通的无$(P_5,C_5)$图，$γ_c = γ$ .在本文中，我们研究了$γ$和$γ_c$的相互依赖性的$(P_k,C_k)$ -自由图类，$k \ge 6$。我们证明了，对于每一个连接的$(P_6,C_6)$ -自由图，$γ_c \le γ+ 1$保持，并有一个家庭的$(P_6,C_6)$ -自由图与任意大的值$γ$达到这个界限。此外，对于每个连通的$(P_8,C_8)$ -free图，$γ_c / γ\le 2$，和存在一族$γ$达到这个界的$(P_7,C_7)$ -free图.在$(P_9,C_9)$ -free图类中，一般界$γ_c / γ\le 3$是渐近尖的.

Italian Domination of Cartesian Products of Directed Cycles

An Italian dominating function on a (di)graph $G$ with vertex set $V(G)$ is a function $f: V(G) \to \{0, 1, 2\}$ such that every vertex $v \in V(G)$ such that $f(v) = 0$ has an (in)neighbour assigned 2 or two (in)neighbours assigned 1. We complete the investigation of the Italian domination numbers of Cartesian products of directed cycles.

A Note on Large Cycles in Graphs Around Conjectures of Bondy and Jung

Two new sufficient conditions for generalized cycles (including Hamilton and dominating cycles as special cases) in an arbitrary k-connected graph (k=1,2,...) are derived, which prove the truth of Bondy's (1980) famous conjecture for some variants significantly improving the result expected by the given hypothesis. Similarly, two new lower bounds for the circumference (the length of a longest cycle) are established for the reverse hypothesis proposed by Jung (2001).

计算树和环上权重为 $k$ 的意大利支配集

Counting Weight-$k$ Italian Dominating Sets on Trees and Cycles

本文研究路径、树和环上意大利支配函数的计数问题，提出动态规划算法计算所有权重系数，并给出环上系数的闭式表达式，验证了已知的意大利支配数。

有向图的永恒控制集与图的定向

Eternal dominating sets on digraphs and orientations of graphs

研究了有向图的永恒控制数和m-永恒控制数。我们将已知的图的结果推广到有向图。我们还考虑了问题“定向（m-）永恒的统治”，包括在寻找一个方向的图，最大限度地减少其永恒的支配数。我们证明了计算定向永远控制数是NP-困难的，并刻画了定向m-永远控制数为2的图。我们还研究了树、圈、完全图、完全二部图、平凡完美图以及各种格和积图上的这两个参数。

图的张量积的Hamilton圈分解

On Hamilton Cycle Decompositions of Tensor Products of Graphs

$G$的Hamilton分解是将其边集划分为不相交的Hamilton圈。Manikandan和Paulraja证明了：如果$G$和$H$是Hamilton圈可分解的循环图，且其中至少有一个是非二部的，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.本文证明了：如果$G$是具有某些性质的Hamilton圈可分解循环图，$H$是Hamilton圈可分解重图，则它们的张量积是Hamilton圈可分解的.特别地，某些稀疏Hamilton圈可分解循环图的张量积是Hamilton圈可分解的。

格状图和环形图中的控制序列

Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs

图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。

路与圈的字典积中的全局防御联盟

Global Defensive Alliances in the Lexicographic Product of Paths and Cycles

图$G$的顶点集合$S$是$G$的\textit{defensive alliance}，如果对于每个$v \in S$，它保持$|N[v] \cap S| \geq |N[v]-S|$。如果联盟$S$也是支配集，则称为$global$。本文给出了路与圈的字典序积的全局防御联盟数的精确值。

Hamilton圈的Hamilton-Waterloo问题与C4k-factors

The Hamilton-Waterloo problem for Hamilton cycles and C4k-factors

本文给出了Hamilton圈和C4 k-因子对所有正整数k的Hamilton-Waterloo问题的完全解。

图的染色集和控制集的重构研究综述

Reconfiguration of Colourings and Dominating Sets in Graphs: a Survey

本文综述了图的着色和控制集的重构结果。图$G$的$k$ -着色图$\mathcal{C}_{k}(G)$的顶点对应于图$G$的真$k$ -着色，当两个$k$ -着色的颜色恰好有一个顶点不同时，它们是相邻的.类似地，$g$的$k$ -边着色图$\mathcal{EC}_{k}(G)$的顶点是$G$的真$k$ -边着色，其中如果两个$k$ -边着色中的一个可以通过沿边肯普链切换两种颜色而从另一个获得，则两个$k$ -边着色是相邻的，即，最大的双色交替路径或边的循环。$k$ -支配图$\mathcal{D}_{k}(G)$的顶点是基数为$k$或更小的$G$的（不一定是最小的）支配集，如果一个支配集可以通过添加或删除一个顶点从另一个支配集获得，则两个支配集在$\mathcal{D}_{k}(G)$中相邻。另一方面，当我们限制控制集为最小控制集时，例如，我们得到不同类型的控制重构图，这取决于顶点是否沿着边交换。我们认为这些和相关类型的着色和控制重构图。猜想、问题和未决问题在相关章节中陈述。

无 $4$-环三次图独立支配数的紧界

Tight bound for independent domination of cubic graphs without $4$-cycles

本文证明不含 $4$-环的三次图满足独立支配数 $i(G)\le\frac{5}{14}|V(G)|$，该界紧且改进既有结果，并推出 $i(G)/γ(G)\le5/4$。

无孪生图的定位全控制集：一个猜想

Locating-total dominating sets in twin-free graphs: a conjecture

图$G$的全控制集是$G$的顶点的集合$D$，使得$G$的每个顶点都在$D$中有邻居。$G$的一个定位全控制集是$G$的一个全控制集$D$，它具有一个附加的性质，即$D$外的每两个不同的顶点在$D$中有不同的邻居;也就是说，对于$D$外的不同的顶点$u$和$v$，$N(u) \cap D \ne N(v) \cap D$，其中$N(u)$表示$u$的开邻域。一个图是无孪生的，如果每两个不同的顶点有不同的开邻域和闭邻域。$G$的位置全控制数，记作$LT(G)$，是$G$中位置全控制集的最小基数。众所周知，每一个$n \geq 3$阶连通图都有一个大小至多为$\frac{2}{3}n$的全控制集。我们猜想，如果$G$是一个$n$阶的无孤立点的无孪生图，则$LT(G) \leq \frac{2}{3}n$ .证明了不含$4$ -圈的图的猜想.证明了若$G$是$n$阶的无孪生图，则$LT(G) \le \frac{3}{4}n$ .

Two Hamiltonian cycles

If the line graph of a graph $G$ decomposes into Hamiltonian cycles, what is $G$? We answer this question for decomposition into two cycles.

New Ore-type Conditions for Hamilton Cycles and Spanning Trees with few leaves

New Ore-type conditions for Hamilton cycles and spanning trees with few leaves are presented.

无限三次图中的Hamilton圈

Hamilton cycles in infinite cubic graphs

研究B的问题。Mohar等人的研究结果，证明了每一个端度为3的单端Hamilton三次图都含有第二个Hamilton圈.我们还构造了两个例子，表明这一结果并不延伸到给出第三个Hamilton圈，也不延伸到两端的情况。

关于图中的受限联盟：界和精确值

On restrained coalitions in graphs: bounds and exact values

本文研究了图中的受限联盟问题，证明了受限联盟数RC(G)不大于联盟数C(G)，并确定了环和树的受限联盟数。

符号广义Petersen图和符号I-图的双重控制的一些界

Some Bounds on the Double Domination of Signed Generalized Petersen Graphs and Signed I-Graphs

在图$G$中，一个顶点支配它自己和它的邻居。如果$D$支配$G$的每个顶点至少两次，则子集$D \subseteq V(G)$是$G$的双支配集。带符号图$Σ= (G,σ)$是一个图$G$，它的所有边都被分配了正符号或负符号的$σ$。一个符号图中的圈是正的，如果它的边符号之积是正的。一个有符号图是平衡的，如果它的所有圈都是正的。一个子集$D \subseteq V(Σ)$是$Σ$的一个双控制集，如果它满足以下条件：（i）$D$是$G$的一个双控制集，（ii）$Σ[D:V \setminus D]$是平衡的，其中$Σ[D:V \setminus D]$是由$Σ$的边诱导的$Σ$的子图，其中一个端点在$D$中，另一个端点在$V \setminus D$中。$Σ$的最小双重控制集的基数是双重控制数$γ_{\times 2}(Σ)$。本文给出了符号三次图的双控制数的界。我们还得到了符号广义Petersen图和符号I-图的双控制数的一些界。

具有少量哈密顿环的4-正则4-连通哈密顿图

4-regular 4-connected Hamiltonian graphs with few Hamiltonian cycles

该研究证明了存在哈密顿环数量有界的无穷多族4-正则4-连通哈密顿图，并提出5-正则5-连通情形下是否存在同类图族的开放问题。

不连通Character图与奇控制集

Disconnected Character graphs and odd Dominating sets

设$Γ$是有限单图.如果$D$是$Γ$的一个控制集，使得每个$x\in D$都包含在$Γ$的一个奇圈的顶点集中，那么我们说$D$是$Γ$的一个奇控制集.对于有限群$G$，设$Δ(G)$表示建立在$G$的不可约复特征标的度集上的特征标图。本文证明了$Δ(G)$的补图包含奇控制集的充要条件是$Δ(G)$是具有非二部补图的不连通图.

不含哈密顿圈的三度平面正则图

On planar regular graphs degree three without Hamiltonian cycles

给出了可平面图存在哈密顿圈的必要条件。给出了不含哈密顿圈的三度正则可平面图的例子。

关于少色Hamilton圈的一点注记

A remark on Hamilton cycles with few colors

Akbari、Etesami、Mahini和Mahmoody证明了$K_n$的每一个具有$n$颜色的真边着色都包含一个具有$\leq O(\log n)$颜色的Hamilton圈。他们证明了总有一个带有$\leq 8\sqrt n$颜色的Hamilton圈。在本文中，我们将这个界限改进为$O(\log^3 n)$。

计数平铺图中的遍历 Hamilton 圈

Counting traversing Hamiltonian cycles in tiled graphs

该研究把遍历 Hamilton 圈计数推广到广义平铺图，并证明固定瓦片集合下可按图规模线性时间计数，属于固定参数可处理问题。

完全图与不交叉哈密顿圈的交叉数

On the Crossing Number of Complete Graphs with an Uncrossed Hamiltonian Cycle

本文证明了一个完全图的交叉数的新的下界，假设它是以这样一种方式画的，它包含一个哈密顿圈没有交叉。

随机图的模式着色Hamilton圈

Pattern Colored Hamilton Cycles in Random Graphs

考虑了随机着色随机图中模式Hamilton圈的存在性。给定一个在一组颜色$\{1,2,\ldots,r\}$上的字符串$Π$，我们说一个Hamilton循环是$Π$着色的，如果当我们绕着这个循环时，图案以长度$|Π|$的间隔重复。我们证明了这样一个循环存在的一个首中时。我们还证明了一个首中时的结果$Π$ -连接的相关概念。

双重广义Petersen图的Hamilton圈

Hamilton Cycles in Double Generalized Petersen Graphs

Watkins（1969）通过对Petersen图的改进，首次引入了广义Petersen图（GPG）。Zhou和Feng（2012）对GPG进行了改进，引入了双广义Petersen图（DGPG）。Kutnar和Petecki（2016）证明了DGPG在特殊情况下是Hamilton的，并证明了所有的DGPG都是Hamilton的。本文构造了所有DGPG中的Hamilton圈。

On hamiltonian cycles in Cayley graphs of order pqrs

Let $G$ be a finite group. We show that if $|G| = pqrs$, where $p$, $q$, $r$, and $s$ are distinct odd primes, then every connected Cayley graph on $G$ has a hamiltonian cycle.

求三次可平面图中哈密顿圈的一个算法

An algorithm for finding Hamiltonian Cycles in Cubic Planar Graphs

首先证明了在三次可平面图中寻找哈密顿圈与在对偶图中寻找具有特定性质的树之间的一一对应关系。利用这些信息，我们构造了一个精确的算法，在三次可平面图中寻找哈密顿圈。我们的算法的最坏情况下的时间复杂度是O $(2^n)$。

关于4k阶Hamilton k-正则二部图的圈结构

On the cycle structure of hamiltonian k-regular bipartite graphs of order 4k

证明了一个$2n>8$阶的Hamilton $n/2$ -正则二部图$G$包含一个长为$2n-2$的圈.此外，如果可以选择这样一个圈来省略一对相邻的顶点，则$G$是双泛圈的。