Some results on the super domination number of a graph
设$G=(V,E)$是一个单图. $G$的支配集是子集$S\subseteq V$，使得不在$S$中的每个顶点与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。一个控制集$S$称为$G$的超控制集，如果对于每个顶点$u\in \overline{S}=V-S$，存在$v\in S$使得$N(v)\cap \overline{S}=\{u\}$ . $G$的最小超控制集的基数，记为$γ_{sp}(G)$，是$G$的超控制数。本文研究了几类图的超控制数，并给出了几类图运算的上界。
2022-04-22 math.CO
Three domination number and connectivity in graphs
在图G中，一个顶点支配自己和它的邻居。V的子集S称为G的控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的一个顶点控制。控制数gamma G是控制集的最小基数。一个图G的集合S的子集V称为图G的双控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的两个顶点控制。双控制集的最小基数称为G的双控制数。在图G中，一个顶点支配自己和它的邻居。V的子集S称为G的控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的一个顶点控制。控制数gamma G是控制集的最小基数。一个图G的子集S称为图G的双控制集，如果V中的每个顶点至少被S中的两个顶点控制。双控制集的最小基数称为G的双控制数。一个连通图G的连通度γ G是指除去G中的顶点后G成为不连通图或平凡图的最小数目。本文引入了图的三控制的概念。得到了图的三个控制数和连通度的一个上界，并刻画了相应的极图。
2015-02-16 math.CO
Domination versus independent domination in regular graphs
图$G$中的顶点集$S$是控制集，如果$G$的每个顶点都在$S$中或与$S$中的一个顶点相邻。此外，如果$S$是独立集，则$S$是独立支配集。$G$的控制数$γ(G)$是$G$中控制集的最小基数，而$G$的独立控制数$i(G)$是$G$中独立控制集的最小基数。证明了对所有整数$k \geq 3$，若$G$是连通的$k$ -正则图，则$\frac{i(G)}{γ(G)} \leq \frac{k}{2}$具有相等性当且仅当$G = K_{k,k}$ .先前仅已知$k\leq 6$的结果。这肯定地回答了Babikir和Henning最近提出的一个问题。
2020-10-26 math.CO
Some results on the super domination number of a graph II
设$G=(V,E)$是一个简单图。$G$的支配集是子集$S\subseteq V$，使得不在$S$中的每个顶点与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。一个控制集$S$称为$G$的超控制集，如果对于每个顶点$u\in \overline{S}=V-S$，存在$v\in S$使得$N(v)\cap \overline{S}=\{u\}$ . $G$的最小超控制集的基数，记为$γ_{sp}(G)$，是$G$的超控制数。本文得到了关于图的超控制数的更多结果。同时，我们给出了两两不相交连通图的链和簇的超控制数的一些精确界。
2022-05-05 math.CO
Maximum Number of Minimum Dominating and Minimum Total Dominating Sets
给定一个控制（或全控制）数γ>=2的连通图，我们求出控制集和全控制集的最大个数m_γ和m_{γ,T}.当γ= 2时给出了一个精确的答案，当γ>=3时给出了下界.
2013-08-14 math.CO
Domination and Closure
一个扩张的单调算子是控制的;如果它也是幂等的，它是闭包算子。虽然它们具有不同的性质，但这两种离散算子也是交织在一起的。每个闭包算子都是支配算子，每个支配算子都包含一个闭包。两者都可以是连续集变换的基础。表现出范畴拉回的支配算子构成了伽罗瓦联络，并且必须是反拟群闭包算子。提出了涉及社交网络和学习空间的应用
2015-01-13 math.CO
On accurate domination in graphs
图$G$的控制集是一个子集$D \subseteq V_G$，使得不在$D$中的每个顶点都与$D$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。$G$的精确控制数，记作$γ_{\rm a}(G)$，是$G$的控制集的最小集合$D$的基数，并且没有$V_G \setminus D$的$|D|$ -元素子集是$G$的控制集。研究了精确控制数等于控制数的图.特别地，所有树$G$，其中$γ_{\rm a}(G) = γ(G)$被表征。此外，我们还比较了图的精确控制数与不同冠的控制数。
2017-10-09 math.CO
On the maximum number of minimum dominating sets in forests
Hedetniemi，Hedetniemi，Hutson问是否每棵树的控制数$γ$有最多$2^γ$最小控制集。Bien给出了一个反例，它允许构造具有控制数$γ$和$2.0598^γ$最小控制集的森林.证明了每一个具有控制数$γ$的森林最多有$2.4606^γ$最小控制集，每一个具有独立数$α$的树最多有$2^{α-1}+1$最大独立集.
2018-04-11 math.CO
Roman domination in Cartesian product graphs and strong product graphs
图$G$的顶点集$S$是$G$的控制集，如果$S$之外的每个顶点都与属于$S$的至少一个顶点相邻。$G$的控制集的最小基数称为$G$的控制数。一个映射$f : V \rightarrow \{0, 1, 2\}$是图$G$上的罗马控制函数，如果对于每个具有$f(v) = 0$的顶点$v$，存在一个与$v$相邻的顶点$u$，使得$f(u) = 2$。罗马控制函数的权由$f(V) =\sum_{u\in V}f(u)$给出。$G$上罗马控制函数的最小权称为$G$的罗马控制数。本文研究了笛卡儿积图和强积图的罗马控制数。更确切地说，我们研究了乘积图的罗马控制数与因子的罗马控制数之间的关系。
2011-11-15 math.CO
On computational and combinatorial properties of the total co-independent domination number of graphs
一个图$G$的顶点子集$D$是一个全控制集，如果$G$的每个顶点都至少与$D$的一个顶点相邻.如果由$V-D$导出的子图是无边的且至少有一个顶点，则称全控制集$D$为全余独立控制集.任何全余独立控制集的最小基数是$G$的全余独立控制数，记为$γ_{t,coi}(G)$。本文研究了$γ_{t,coi}(G)$的一些复杂性和组合性质。具体地说，我们证明了，决定是否$γ_{t,coi}(G)\le k$为一个给定的整数$k$是一个NP完全问题，并给出了几个界限$γ_{t,coi}(G)$。另外，由于任何全余独立控制集也是全控制集，我们刻画了所有具有相等的全余独立控制数和全控制数的树。
2017-08-29 math.CO
Edge Cut Domination, Irredundance, and Independence in Graphs
如果图$G=(V,E)$的子图$\langle V,G-F \rangle$是不连通的，则图$G=(V,E)$的边控制集$F$是\textit{edge cut dominating set}. $G$的\textit{edge cut domination number} $γ_{ct}(G)$是$G.$的边割控制集的最小基数。本文研究了图的边割控制数及其与其它参数的关系。我们还介绍了边割无关性和边割无关性的性质。
2016-05-06 math.CO
On global location-domination in graphs
图$G$的控制集$S$称为定位-控制集，简称LD-集，如果$S$中所有不属于$S$的顶点$v$都由属于$S$的$v$的邻居集唯一确定.最小基数的位置控制集称为$LD$ -码，LD-码的基数是位置控制数$λ(G)$。图$G$的LD-集$S$是全局的，如果它是$G$及其补图$\overline{G}$的LD-集。全局位置控制数$λ_g(G)$是$G$的全局LD-集的最小基数。本文给出了图及其补图的位置控制集与位置控制数之间的一些关系。
2013-12-03 math.CO
The Paired Domination Number of Cubic Graphs
设G是一个没有孤立点的简单无向图。图G的一个成对控制集是一个能导出一个具有完美匹配的子图的控制集。图G的成对控制数γpr（G）是它的最小成对控制集的大小。Goddard和Henning证明了除Petersen图外，对于δ（G）{\geq }为3的图G，γpr（G）{\leq } 4 n/7成立.本文对三次图证明了这个猜想。
2020-11-25 math.CO
Secure Domination in Digraphs
给定一个图G =（V，E），V的一个子集S是支配的，如果对V-S中的每一个v，存在u在S中使得uv在E中. V的一个控制子集S是安全的，如果对于V-S中的每一个v，S中存在u使得（S - {u}）U {v}是控制的。在这项工作中，我们将安全控制集的概念以四种不同的方式扩展到有向图，它们都有有趣的应用，并证明了一些结果。
2015-03-13 math.CO
Strong Equality of Roman and Weak Roman Domination in Trees
我们给出了罗马控制数强等于弱罗马控制数的树的一个构造性刻画，即每一个最小权的弱罗马控制函数都是罗马控制函数.我们的特征是基于五个单扩张操作，并揭示了这些树的几个结构特性。
2015-07-17 math.CO
Uniform hypergraphs and dominating sets of graphs
一个（简单）超图是一个有限集的两两不可比集族H。我们称一个超图H是控制超图，如果至少存在一个图G使得G的极小控制集的集合等于H。给定一个超图，我们感兴趣的是确定它是否是一个控制超图，如果不是这种情况，我们希望找到在某种意义上接近它的控制超图，即控制完成。在这里，我们将集中讨论包含所有具有相同基数的子集的超图族，即最大大小的一致超图。具体来说，我们的特点是这些超图H在这个家庭中的控制超图，在任何其他情况下，我们证明了超图H是唯一确定的一些其控制完成，H可以从他们恢复使用一个合适的超图操作。
2016-05-05 math.CO
Bounding the Porous Exponential Domination Number of Apollonian Networks
给定一个顶点集为V的图G，若V的子集S是一个控制集，则V中的每个顶点要么在S中，要么与S中的某个顶点相邻。最小控制集的大小称为G的控制数。我们研究了一种称为多孔指数支配的支配变体，其中V的每个顶点v被S的每个顶点s分配一个权重，该权重随着v和s之间的距离的增加而呈指数下降。S是G的多孔指数控制集，如果S中的所有顶点分配给G中的顶点的总重量至少为1。G的多孔指数控制数是G的最小多孔指数控制集的大小。在本文中，我们计算边界的多孔指数控制数的特殊图称为阿波罗网络。
2014-09-19 math.CO
Domination inequalities and dominating graphs
本文研究图的支配关系与支配图族，明确支配图性质，结合已知结果与有限反射群生成弱规范图的前期结论，重新探讨关联以揭示更广泛的支配图类。
2024-05-26 math.CO
Upper k-tuple total domination in graphs
设$G=(V,E)$是一个单图.对于任意整数$k\geq 1$，如果$V$中的每个顶点在集合中至少有$k$邻居，则称$V$的子集为$G$的$k$ -元组全控制集. $G$的最小$k$ -元组全控制集的最小基数称为$G$的$k$ -元组全控制数。本文引入$G$的上$k$ -元组全控制数的概念，作为$G$的最小$k$ -元组全控制集的最大基数，研究了在几类图上求最大基数的最小$k$ -元组全控制集的问题，以及求一般界和刻画.同时，我们还得到了笛卡尔图和向量积图的上$k$ -元组全控制数的一些结果.
2018-08-13 math.CO
Secure domination number of $k$-subdivision of graphs
本文研究图的k-细分操作对安全支配数的影响，通过将原图每条边替换为长度为k的路径，探讨细分图的安全支配数性质与计算方法。
2023-05-27 math.CO
Properties of Partial Dominating Sets of Graphs
一个集合$S\subseteq V$是$G$的控制集，如果$V - S$中的每个顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的控制数$γ(G)$等于控制集$S$在$G$中的最小基数;我们说这样的集$S$是$γ$ -集。对此的概括是Case、Hedetniemi、Laskar和Lipman于2017年提出的部分支配[3，2]。在部分控制中，一个集合$S$是$p$ -控制集，如果它控制$V$中的一部分$p$顶点。p-控制数$γ_{p}(G)$是$G$中$p$ -控制集的最小基数。本文研究了部分控制集的进一步性质，特别是与图的乘积和部分控制集的定位有关的性质。我们还引入了一个$p$ -影响集的概念，作为所有$p$ -支配集的联合，为一个固定的$p$，并研究了它的一些性质。
2019-06-01 math.CO
Super Domination: Graph Classes, Products and Enumeration
支配集问题是组合优化中最著名的问题之一。其定义如下。对于给定的简单图$G=(V,E)$，$G$的控制集是一个子集$S\subseteq V$，使得$ V \setminus S$中的每个顶点至少与$S$中的一个顶点相邻.此外，DSP的问题是找到一个最小尺寸的控制集和相应的最小尺寸，PDMATHAMN的控制数。在这篇文章中，我们研究了DSP的一个变体，即超支配集问题（SDSP），它在过去几年中引起了人们的广泛关注。一个控制集$S$称为$G$的超控制集，如果对每个顶点$u\in \overline{S}=V \setminus S$，存在一个$v\in S$使得$N(v)\cap \overline{S}=\{u\}$ .类似地，SDSP是寻找一个最小尺寸的超控制集，以及相应的最小尺寸，$G$的超控制数。DSP和SDSP的决策变体都被证明是$\mathcal{NP}$ -硬的。在本文中，我们提出了紧界的超控制数的邻域电晕产品，PDMATHAMV-胶合，和Hajós和两个图。此外，我们提出了无限的家庭达到我们的界限图。最后，我们给出了某些图类的最小超控制集的确切个数。特别地，圈的超支配集的数量具有相当令人惊讶的性质，因为它在基于$n\mod4$的集合$\{4,n,2n,\frac{5n^2-10n}{8}\}$的值之间变化。
2022-10-31 math.CO
A Linear-Time Algorithm for the Maximum Matched-Paired-Domination Problem in Cographs
设$G=(V,E)$是一个没有孤立点的图。$G$中的匹配是$G$中的一组独立边。$G$中的完美匹配$M$是使得$G$的每个顶点与$M$的一条边关联的匹配。一个集合$S\subseteq V$是$G$的一个\textit{paired-dominating set}，如果$V-S$中的每个顶点都与$S$中的某个顶点相邻，并且由$S$导出的子图$G[S]$至少包含一个完美匹配.配对控制问题是寻找$G$的一个具有最小基数的配对控制集。一个集合$MPD\subseteq E$是$G$的一个\textit{matched-paired-dominating set}，如果$MPD$是由$G$的一个成对支配集$S$诱导的$G[S]$的一个完美匹配。需要注意的是，配对支配问题可以看作是寻找$G$的具有最小基数的匹配配对支配集。令$\mathcal{R}$是$V$的子集，$MPD$是$G$的匹配配对支配集，并且令$V(MPD)$表示与$MPD$的边关联的顶点集。$G$ w.r.t.的\textit{maximum matched-paired-dominating set} $MMPD$。$\mathcal{R}$是一个匹配配对支配集，使得$|V(MMPD)\cap \mathcal{R}|\geqslant |V(MPD)\cap \mathcal{R}|$。如果$MPD$中的边的两个顶点都不在…
2009-02-06 math.CO
Perfect Roman domination in middle graphs
图$G$的中间图$M(G)$是通过将$G$的每条边精确地细分一次并且连接$G$的邻边的所有这些新引入的顶点而获得的图。图$G$上的完美罗马控制函数是满足以下条件的函数$f : V(G) \rightarrow \{0, 1, 2\}$：每个具有$f(v)=0$的顶点$v$恰好与一个具有$f(u)=2$的顶点$u$相邻。完美罗马控制函数$f$的权是顶点权的和。完美罗马控制数是$G$上完美罗马控制函数的最小权。本文给出了具有相等罗马控制数和完美罗马控制数的中间图的一个刻划。
2021-06-03 math.CO
End Super Dominating Sets in Graphs
设$G=(V,E)$是一个单图. $G$的支配集是子集$S\subseteq V$，使得不在$S$中的每个顶点与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的最小控制集的基数，记为$γ(G)$，是$G$的控制数。如果两个顶点相邻，则它们是邻居。超控制集是一个控制集$S$，它具有一个附加的性质，即$V \setminus S$中的每个顶点在$S$中都有一个邻居，该邻居不与$V \setminus S$中的其他顶点相邻。如果$V \setminus S$中的每个顶点的度至少为~ $2$，则$S$是一个端超控制集.端点超控制数是端点超控制集的最小基数。给出了端超控制集作为网络的主服务器和临时服务器的应用。我们确定了特定类图的端超控制数的精确值，并计算了这些图的端超控制集的个数。通过点（边）的去除和收缩对图进行修改，建立了图的端超控制数的紧上界。
2022-11-14 math.CO
Locating-Dominating Sets of Functigraphs
图$G$的定位控制集是$G$的控制集，使得$G$在控制集外的每个顶点由其在控制集内的邻域唯一标识。$G$的位置控制数是$G$中位置控制集的最小基数。设$G_{1}$和$G_{2}$是图$G$和$f:V(G_{1})\rightarrow V(G_{2})$的不相交的副本.函数图$F^f_{G}$由顶点集$V(G_{1})\cup V(G_{2})$和边集$E(G_{1})\cup E(G_{2})\cup \{uv:v=f(u)\}$组成。本文研究了从$G$到$F^f_{G}$的位置控制数的变化，得到了位置控制数的精确上下界.对于函数$f$的所有可能的定义，我们还研究了完全图的函数图的位置控制数。我们还得到了一类完全图的生成子图的函数图的位置控制数。
2017-09-15 math.CO
Co-even Domination Number of a Modified Graph by Operations on a Vertex or an Edge
本文研究对图的顶点或边进行若干操作后所得修改图的共偶支配数，扩展了共偶支配集在图变换下的性质与计算。
2024-01-15 math.CO
Nordhaus-Gaddum bounds for locating domination
图G的一个控制集S称为度量定位控制集，如果它也是定位的，即如果每个顶点v都由它到S中顶点的距离向量唯一确定。此外，如果每个不在S中的顶点v也由v属于S的邻居集唯一确定，则称它是定位控制的。最小基数的定位、度量定位控制和定位控制集分别称为b-码、e-码和l-码。Nordhaus-Gaddum界是图G与其补图G的参数之和或乘积的紧下界或上界。本文给出了位置数b、度量位置数e和位置控制数l的Nordhaus-Gaddum界。此外，在每种情况下，图族达到相应的界限的特点。
2012-07-27 math.CO
Computational complexity aspects of super domination
设$G$是一个图。一个控制集$D\subseteq V(G)$是一个超控制集，如果对每个顶点$x\in V(G) \setminus D$都存在$y\in D$使得$N_G(y)\cap (V(G)\setminus D)) = \{x\}$。$G$的最小超控制集的基数是$G$的超控制数。给出了树$T$的超控制数的一个精确公式，并证明了$T$的最小超控制集可以在线性时间内计算.证明了如果$G$是围长至少为$8$的二部图，则判定图$G$的超控制数至多为给定整数是NP-完全的.确定了图的所有$k$ -剖分的超控制数。有趣的是，在一半的情况下，精确的值可以有效地计算从所获得的公式，而在其他情况下，计算是困难的。在得到这些公式的同时，引入了II-匹配数，并证明了它们在计算上是难以确定的。
2023-02-17 math.CO
New results on metric-locating-dominating sets of graphs
一个图的控制集$S$是一个度量定位控制集，如果图的每个顶点与$S$中元素的距离是唯一可区分的，这样一个控制集的最小基数称为度量定位控制数。在本文中，我们进行了一项研究，在一般图和特定族中，将度量定位控制集与其他特殊集：分解集、控制集、定位控制集和双重分解集联系起来。我们首先根据树的度量-位置-控制数与度量维数和控制数之间的关系刻画了树类。然后，我们给出了度量定位控制集到定位控制集和双可解集的不同转化方法。我们的方法产生新的界限上的最小基数的所有这些集，其中一些涉及的参数还没有相关到目前为止。
2016-04-13 math.CO
Disjunctive domination in trees
在本文中，我们研究了一个参数，可以说是最重要的控制参数，即控制数的松弛。鉴于现代网络的庞大规模，许多现有的支配类型结构的实现是昂贵的。到目前为止，关于支配集和总支配集的主题的变化往往集中在增加限制上，这反过来又提高了它们的实现成本。Goddard等人提出并研究了一种控制数的松弛方法，称为析取控制。$G$中顶点的集合$D$是$G$中的析取控制集，如果每个不在$D$中的顶点都与$D$中的一个顶点相邻，或者至少有两个顶点在$G$中与$D$相距$2$。$G$的析取控制数$γ^{d}_2(G)$是$G$中析取控制集的最小基数。证明了如果$T$是一个具有$l$叶子和$s$支撑点的$n$阶树，则$\frac{n-l+3}{4}\leq γ^{d}_2(T)\leq \frac{n+l+s}{4}$ .此外，我们的特点家庭的树木达到这些界限。
2018-08-29 math.CO
k-Tuple Restrained Domination in Graphs
对$k \ge 1$为整数，一个最小度至少为~ $k-1$的图$G$的顶点集$S$是$G$的$k$ -元组控制集，如果$S$的每个顶点至少与$S$中的$k-1$顶点相邻，且$V(G) \setminus S$的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻;也就是说，对于$G$的每个顶点$v$，都有$|N_G[v] \cap S| \ge k$，其中$N_G[v]$表示$v$的闭合邻域，它由$v$和$v$的所有邻居组成。$G$的$k$ -元组约束控制集是$G$的$k$ -元组控制集$S$，其附加性质是$S$之外的每个顶点至少具有$S$之外的$k$邻居. $G$的$k$ -元组约束控制集的最小基数是$G$的$k$ -元组约束控制数.当$k=1$时，$k$ -元组的限制控制数是已得到充分研究的限制控制数.本文确定了几类图的$k$ -元组限制控制数。建立了一般图的$k$ -元组限制控制数的紧上界.给出了图的$k$ -元组约束支配数的基本性质，它是将$V(G)$划分为$G$的$k$ -元组约束支配集的最大类数.
2018-08-13 math.CO
Domination Value in $P_2 \square P_n$ and $P_2 \square C_n$
一个集合$D \subseteq V(G)$是一个图$G$的一个\emph{dominating set}，如果$G$的每个不在$D$中的顶点都至少与$D$中的一个顶点相邻。$G$的一个\emph{minimum dominating set}，也称为一个$γ(G)$ -集，是$G$的一个最小基数的控制集。对于每个顶点$v \in V(G)$，我们定义$v$的\emph{domination value}为$v$所属的$γ(G)$ -集的数目。本文找到了$P_2 \square P_n$和$P_2 \square C_n$的最小控制集的总数并刻画了控制值。
2012-03-01 math.CO
Perfect Edge Domination in $P_6$-free Graphs and in Graphs Without Efficient Edge Dominating Sets
Universidad Nacional de General Sarmiento（圣马丁国立大学）；Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas（国家科学研究委员会）；Instituto de Cálculo and Departamento de Computación, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学计算研究所与计算机科学系）；Instituto de Cálculo and Departamento de Matemática, Universidad de Buenos Aires（布宜诺斯艾利斯大学计算研究所与数学系）
本文研究了在$P_6$-free图及无高效边支配集图中的完美边支配问题，证明了相关决策问题的NP难性，并提出了一种三次时间算法用于求解最小完美支配集。
2026-03-05 math.CO
A Vizing-type result for semi-total domination
简单无孤立点图$G$中的顶点集$S$是$G$的半全控制集，如果它是$G$的控制集，并且$S$的每个顶点与$S$的另一个顶点之间的距离不超过2. $G$的半全控制数，记为$γ_{t2}(G)$，是$G$的半全控制集的最小基数。本文研究图的笛卡儿积的半全控制。我们的主要结果建立了对任何图$G$和$H$，$γ_{t2}(G\,\square\, H)\ge \frac{1}{3}γ_{t2}(G)γ_{t2}(H)$。
2018-03-13 math.CO
New Upper Bounds on the Distance Domination Numbers of Grids
在1992年的PhD论文Chang确定了一种有效的方法来支配$m \times n$网格图，并证明他的构造给出了相对较大网格的最有效支配集。在2011年，Gonçalves、Pinlou、Rao和Rassé证明了Chang的猜想，建立了网格控制数的闭公式。2013年3月，Fata，Smith和Sundaram通过将Chang的控制集构造推广到$k$-距离控制集，建立了格图的$k$-距离控制数的上界。本文改进了Fata，Smith和Sundaram关于网格的$k$-距离控制数的上界.
2014-10-15 math.CO
The Independent Domination Polynomial
图$G=(V,E)$的顶点子集$W\subseteq V$是一个独立控制集，如果$V\backslash W$中的每个顶点都与$W$中的至少一个顶点相邻，并且$W$中的顶点是两两不相邻的.独立控制多项式是图中独立控制集个数的一般生成函数。本文研究了独立控制多项式的性质以及与计数问题的一些有趣的联系。
2016-02-26 math.CO
The complexity of total edge domination and some related results on trees
对于具有点集$V$和边集$E$的图$G = (V, E)$，$E$的子集$F$称为$\emph{edge dominating set}$（或$\emph{edge dominating set}$）. $\emph{total edge dominating set}$），如果$E\backslash F$中的每条边（分别在$E$中）与$F$中的至少一个边相邻，则边支配集（分别为$G$的总边支配集）是{ \em边支配数}（分别是{ \em总边控制数}），表示为$γ^{'}(G)$（分别$γ_t^{'}(G)$）。本文证明了最大度为3的二部图的全边控制问题是NP-完全的。我们还设计了一个线性时间算法来解决这个问题的树。最后，对于图$G$，我们给出了不等式$γ^{'}(G)\leqslant γ^{'}_{t}(G)\leqslant 2γ^{'}(G)$，并刻画了得到不等式上界或下界的树$T$.
2019-10-13 math.CO
Domination structure in 3-connected graphs
本文从最近的角度研究了3-连通图的结构。它规定了3-连通图的最小控制集。同时，我们计算了结构的个数，得到了结构的上界。利用它，在多项式时间内确定了3-连通图的最小控制集。
2019-10-01 math.CO
Partial Domination in Graphs
一个集合$S\subseteq V$是$G$的控制集，如果$V - S$中的每个顶点都与$S$中的至少一个顶点相邻。$G$的控制数$γ(G)$等于控制集$S$在$G$中的最小基数;我们说这样的集$S$是$γ$ -集。支配理论研究的最大焦点是确定$γ(G)$的值。根据定义，所有顶点必须被$γ$ -集支配。在本文中，我们建议放宽这一要求，寻求一组顶点，占主导地位的一个图的顶点的规定分数。我们特别关注$1/2$支配，即支配图$G$至少一半顶点的顶点集。关键词：部分控制，控制集，部分控制数，控制数
2017-05-08 math.CO
Some new results on the total domination polynomial of a graph
设$G = (V, E)$是阶为$n$的简单图. $G$的全控制集是$V$的一个子集$D$，$V$的每个顶点都与$D$的某些顶点相邻。$G$的全控制数等于$G$的全控制集的最小基数，记为$γ_t(G)$ . $G$的全控制多项式是多项式$D_t(G,x)=\sum_{i=γ_t(G)}^n d_t(G,i)x^i$，其中$d_t(G,i)$是大小为$i$的$G$的全控制集的数目。$D_t(G,x)$的根称为$G$的全控制根。$D_t(G,x)$的不相关边是边$e \in E$，使得$D_t(G, x) = D_t(G\setminus e, x)$。在本文中，我们刻画具有这种性质的边缘。同时，我们也得到了正则图的全控制集个数的一些结果。最后，我们研究了具有恰好两个全控制根$\{-3,0\}$，$\{-2,0\}$和$\{-1,0\}$的图。
2017-05-02 math.CO
On $k$-tuple and $k$-tuple total domination numbers of regular graphs
设$G$是$n$阶连通图，其最小顶点度至少为$k$。如果$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻，则$G$中的顶点子集$S$是$k$ -元组全支配集。$G$的$k$ -元组全控制集的最小基数是$G$的$k$ -元组全控制数，记为$γ_{\times k,t}(G)$ . Henning和Yeo在\cite{hen}中证明了，如果$G$是不同于Heawood图的三次图，则$γ_{\times 2, t}(G) \leq \frac{5}{6}n$，并且这个界是尖锐的.类似地，$k$元组支配集是$G$，$V (G)$的顶点的子集$S$，使得对于每个顶点$v$，$|N[v] \cap S| \geq k$，其中$N[v] = \{v\}\cup \{u \in V(G) : uv \in E(G)\}$。$G$的$k$ -元组控制数，记作$γ_{\times k}(G)$，是$G$的$k$ -元组控制集的最小基数.本文给出了$r$ -正则图的$(r-1)$ -元组全控制数的一个上界的简单计算方法。并给出了$r$ -正则图的$r$ -元组控制数的一个上界.此外，我们的方法给出了算法，计算控制集与给定的界限，而以前的方法是存在的。
2018-01-20 math.CO
Dominating sequences in grid-like and toroidal graphs
图$G$的不同顶点的最长序列$S$，使得$S$的每个顶点支配某个不被其前面的顶点支配的顶点，称为Grundy支配序列; $S$的长度是$G$的Grundy支配数。本文研究了四种标准图积：笛卡尔积、字典积、直积和强积的Grundy控制数。对于每一个乘积，我们给出了Grundy控制数的一个下界，它对字典序乘积是精确的，对强乘积是精确的.在大多数情况下，精确的Grundy控制数是由路和/或圈的乘积确定的。
2016-07-01 math.CO
The p-Domination Number of Complete Multipartite Graphs
设$G=(V,E)$是一个图，$p$是一个正整数.一个子集$S\subseteq V$称为$G$的一个$p$ -支配集，如果不在$S$中的每个顶点在$S$中至少有$p$邻居. $p$ -控制数是$G$中$p$ -控制集的最小基数。本文对任意正整数$p$建立了完全多部图的$p$ -控制数的精确公式。
2012-05-01 math.CO
$k$-tuple domination on Kneser graphs
本文研究 Kneser 图的多重支配，计算特定图的 $2$-packing 数与最小 $k$-元组支配集，并刻画支配数为 $k+r$ 及 $K(n,2)$ 的情形。
2024-04-05 math.CO
Near-domination in graphs
一个图的顶点u t-支配一个顶点v，如果最多有t个不同于u，v的顶点与v相邻而不与u相邻;一个图是t-支配的，如果对于每对不同的顶点，其中一个顶点t-支配另一个顶点。我们的主要结果是，如果一个图是t-支配的，那么它接近（在适当的意义上）是0-支配的。我们还表明，一个类似的声明有向图是假的，并讨论了一些连接的埃尔多斯-Hajnal猜想。
2019-02-28 math.CO
On the Real Roots of Domination Polynomials
阶为$n$的图$G$的控制集$S$是$G$的顶点的子集，使得每个顶点要么在$S$中，要么与$S$的一个顶点相邻。控制多项式由$D(G,x) = \sum d_k x^k$定义，其中$d_k$是具有基数$k$的$G$中的控制集的数目。本文证明了控制多项式的实根的闭包是$(-\infty,0]$。
2020-12-30 math.CO
Independent transversal domination number of a graph
设$G=(V, E)$是一个图。一个集合$S\subseteq V(G)$是$G$的{ \it支配集}，如果$V\setminus S$中的每个顶点都与$S$的一个顶点相邻。$G$的{ \it控制数}，记为$γ(G)$，是$G$的最小控制集的基数。此外，如果控制集$S$与$G$的每个最大独立集相交，则它是$G$的{ \it独立横截控制集}。$G$的{ \it独立横截控制数}记为$γ_{it}(G)$，是$G$的最小独立横截控制集的基数. 2012年，Hamid开创了图的独立横控制的研究，并提出了以下两个猜想：猜想1。若$G$是$n$上的非完全连通图，则有$γ_{it}(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$ .猜想2.如果G是连通二部图，则$γ_{it}(G)$是$γ(G)$或$γ(G)+1$。我们证明了猜想1一般不成立。最近，猜想2被Ahangar，Samodivkin，Yero部分验证为真。在这里，我们证明了猜想2的全部陈述。此外，我们还给出了Hamid定理的一个正确的版本.最后，我们回答了Martínez，Almira和Yero提出的一个关于图的独立横截全控制的问题。
2017-04-20 math.CO
Generalized domination structure in cubic graphs
本文研究了立方图中的广义支配结构，通过特定方法确定最小支配集，并在多项式时间内解决该问题。
2025-12-12 math.CO
Hypo-efficient domination and hypo-unique domination
对于图$G$，设$γ(G)$为其控制数。定义图G为（i）次有效控制图（或次$\mathcal{ED}$图），如果$G$没有有效控制集（EDS），但通过从$G$中移除单个顶点形成的每个图都具有至少一个EDS，以及（ii）次唯一控制图（一个次$\mathcal{UD}$图），如果$G$至少有两个最小支配集，但$G-v$对每个$v\in V(G)$都有唯一的最小支配集。我们证明了每一个次$\mathcal{UD}$图$G$的阶至少为$3$是连通的，并且对所有的$v \in V(G)$都是$γ(G-v) < γ(G)$.利用图的控制数和最大度得到了次$\mathcal{P}$图的阶的一个紧上界，其中$\mathcal{P} \in \{\mathcal{UD}, \mathcal{ED}\}$。家庭的循环图，实现这些界限。我们还证明了任何次$\mathcal{UD}$图的束缚数不大于最小度加1。
2016-01-10 math.CO
Double Total Domination in Harary Graphs
设$G$是一个最小度至少为2的图。一个集合$D\subseteq V$是$G$的一个双全控制集，如果每个顶点都与$D$中的至少两个顶点相邻。$G$的二重全控制数$γ_{\times 2,t}(G)$是$G$的二重全控制集的最小基数。本文主要研究Harary图的双全控制数。
2016-03-08 math.CO
More on total domination polynomial and $\mathcal{D}_t$-equivalence classes of some graphs
设$G = (V, E)$是阶为$n$的简单图. $G$的全控制集是$V$的一个子集$D$，$V$的每个顶点与$D$的某些顶点相邻. $G$的全控制数等于$G$的全控制集的最小基数，记为$γ_t(G)$ . $G$的全控制多项式是多项式$D_t(G,x)=\sum_{i=γ_t(G)}^n d_t(G,i)x^i$，其中$d_t(G,i)$是大小为$i$的$G$的全控制集的数目。如果$D_t(G,x)=D_t(H,x)$，则称两个图$G$和$H$是全控制等价的或简单的$\mathcal{D}_t$ -等价的. $G$的等价类，记作$[G]$，是所有图$\mathcal{D}_t$ -等价于$G$的集合。本文研究了某些图的$\mathcal{D}_t$ -等价类。此外，我们还引入了全控制多项式是单峰的图族。
2021-06-12 math.CO
The Domination Equivalence Classes of Paths
阶为$n$的图$G$的控制集$S$是$G$的顶点的子集，使得每个顶点要么在$S$中，要么与$S$的一个顶点相邻。控制数$G$，记作$γ(G)$，是$G$的最小控制集的基数。控制多项式由$D(G,x) = \sum d(G,i)x^i$定义，其中$d(G,i)$是具有基数$i$的$G$中的控制集的数目。如果$D(G,x)=D(H,x)$为$G$和$H$，则认为这两个图是$\mathcal{D}$等价图。$G$的等价类，记作$[G]$，是所有图$\mathcal{D}$ -等价于$G$的集合。推广了以前的结果，我们确定了所有路径的等价类。
2017-10-11 math.CO
Packing and domination parameters in digraphs
给定一个有向图$D=(V,A)$，如果$B$的顶点之间没有弧连接，并且对于任意两个顶点$x,y\in B$，$x$和$y$的内邻集是不相交的，则集合$B\subset V$是$D$中的填充集。集合$S$是$D$中的控制集（开控制集），如果不在$S$中（在$V$中）的每个顶点在$S$中都有内邻。此外，如果由$S$导出的子图没有孤立点，则称控制集$S$为全控制集.本文研究了有向图的最大势填充集和最小势（全开）控制集。证明了有向树的填充和控制的两个最优集达到相同的值，并给出了它的一些应用，给出了所有连通反功能有向图的类似等式，刻画了所有满足这些等式的有向图$D$.此外，对有向图分别给出了填充集和控制集的最大和最小基数的精确界。最后，我们提出了两个开放的问题的解决方案，涉及总的和开放的最小基数控制集，指出在[澳大利亚。J. Combin。39（2007），283- 292]。
2018-05-10 math.CO
