Chromatic number of graphs and edge Folkman numbers
Nedyalko Dimov Nenov
本文利用图的色数给出了图的顶点数的一个下界。我们找到这个界限是准确的图。这些结果在Foklman数理论中得到了应用。
In the paper we give a lower bound for the number of vertices of a given graph using its chromatic number. We find the graphs for which this bound is exact. The results are applied in the theory of Foklman numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Chromatic Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_1 \ge \cdots \ge a_r \ge 2$，我们记为$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$当且仅当对于顶点集$V(G)$的每一个$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1, \cdots, r\}$，在$G$中存在一个单色$K_{a_i}$.顶点Folkman数$F_v(a_1 ,\cdots ,a_r; s)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$K_s$图$G$，使得$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ .众所周知，如果$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$，则$χ(G) \geq m$，其中$m = 1+ \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$。本文研究了具有色数$χ(G)=m$的一类Folkman图$G$，从而引出了色Folkman数的新概念。我们建设性地证明了一些存在性结果，其中包括：对于所有的$r,s \ge 2$，存在$K_{s+1}$ -free图$G$，使得$G \rightarrow (s,\cdots_r,s)^v$和$G$对于这个$r$ -color arrowing成立具有最小可能的色数$r(s-1)+1$.我们还猜想，在某些情况下，我们的构造是最好的，特别是对于每个$s \ge 2$，…
Revisiting a theorem by Folkman on graph colouring
我们给出了Jon H. 03 The Lost of the Woman（1969）任何图的色数至多是$2$加上所有子图上顶点数的一半与独立数之差的最大值。
Bounds on some edge Folkman numbers
给出了边Folkman数的一些界.
New Upper Bound for the Edge Folkman Number Fe(3,5;13)
本文证明了边Folkman数Fe（3，5;13）不大于21。
An example of a 16-vertex Folkman edge (3,4)-graph without 8-cliques
本文证明了边Folkman数的一个新的上边界。在以前的论文中，我们已经证明了这个界限是精确的。
Upper bound on the edge Folkman number $F_e(3,3,3;13)$
本文讨论了拉姆齐理论中的一类组合常数--边Folkman数。我们给出了其中一个数F_e（3，3，3;13）的上界。
A Note on Upper Bounds for Some Generalized Folkman Numbers
我们基于积图给出了广义顶点Folkman数的一些新的构造性上界。它们导致了一些特殊情况下的广义边Folkman数，包括$F_e(K_3,K_4-e; K_5) \leq 27$和$F_e(K_4-e,K_4-e; K_5) \leq 51$的新的上界。后一个界限来自于51个顶点上的$K_5$ -free图的构造，对于该图，其边的每一个用两种颜色着色的边包含单色$K_4-e$。
On the Nonexistence of Some Generalized Folkman Numbers
对于一个无向简单图$G$，我们记为$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$当且仅当对于它的每个顶点的红-蓝着色，存在一个红色的$H_1$或一个蓝色的$H_2$。广义顶点Folkman数$F_v(H_1, H_2; H)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$H$图$G$，使得$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$ .当考虑边的着色时，广义边Folkman数$F_e(H_1, H_2; H)$的定义与此类似.我们表明，$F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$和$F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$是很好地定义为$k \geq 3$。我们证明了某些$H$，特别是$H=B_3$，其中$B_k$是$k$三角页的书图，和$H=K_1+P_4$的$F_e(K_3,K_3;H)$的不存在性.本文提出了三个关于广义Folkman数的问题，包括边Folkman数$F_e(K_3, K_3; B_4)$，$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$和$F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$的存在性问题.我们的结果导致了一些一般的不等式涉及双色和B-Folkman数。
The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19
不包含$q$顶点$K_q$上的完全图，且具有边的每一个双色着色中存在一个单色三角形的性质的图的集合记为$\mathcal{H}_e(3, 3; q)$ .考虑边Folkman数$F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$。Folkman在1970年证明了$F_e(3, 3; q)$存在的充要条件是$q \geq 4$。从拉姆齐数$R(3, 3) = 6$可以清楚地看出，如果$q \geq 7$，则$F_e(3, 3; q) = 6$。还已知$F_e(3, 3; 6) = 8$和$F_e(3, 3; 5) = 15$。由Folkman和其他一些作者的构造得出的数$F_e(3, 3; 4)$的上界是不好的。在1975年鄂尔多斯提出的问题，以证明不等式$F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$。1978年，斯宾塞解决了这个鄂尔多斯问题。$F_e(3, 3; 4) \leq 786$的最后一个上界是由Lange、Radziszowski和Xu在2012年获得的，他们证明了$F_e(3, 3; 4) \leq 786$。这个数的最佳下界是19，是Radziszowski和Xu在10年前得到的。本文通过证明$F_e(3, 3; 4) \geq 20$改进了这一结果。最后，通过证明$20 \leq F_v(2,…
On the Vertex Folkman Numbers $F_v(2,...,2;q)$
对于一个图$G$的符号$G\tov(a_1,...,a_r)$意味着在每个$G$的顶点的$r$ -着色对于一些$i\in\{1,...,r\}$存在一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数\[ \FN=\min\{|V(G)|:G\tov(a_1,...,a_r)\text{and}K_q\nsubseteqq G\} \]。本文将在$k\le 12$和$r$足够大时计算Folkman数$F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-k+1)$.我们还证明了一些顶点和边Folkman数的新的界限。
The vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9$, if $\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于任何$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G) \vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .借助计算机证明了$F_v(2, 2, 5; 6) = 16$，并证明了$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9,$$若$\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$ .我们还得到了界$$m + 9 \leq F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \leq m + 10,$$，如果$\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$。关键词：Folkman数，Ramsey数，团数，独立数，色数
A Folkman Linear Family
对于图形$F$和$G$，令$F\to (G,G)$表示$F$的任何红/蓝边着色包含单色$G$。定义Folkman数$f(G;p)$为图$F$的最小阶，使得$F\to (G,G)$和$ω(F) \le p$。本文证明了具有$Δ(G)\le Δ$的$n$阶图$G$的$f(G;p)\le cn$，其中$Δ\ge 3$，$c=c(Δ)$和$p=p(Δ)$是正常数.
Edge-transitive graphs of small order and the answer to a 1967 question by Folkman
本文介绍了一种利用小度传递置换群的忠实表示求所有小阶边传递图的方法，并说明了如何用这种方法求出阶数达到$47$的所有边传递图和阶数达到$63$的所有二部边传递图.我们也给出了一个答案，1967年的问题Folkman关于半对称图的大价，事实上，我们表明，半对称图的顺序$2n$和价$d$，比例$d/n$可以任意接近$1$。
Ramsey properties of random graphs and Folkman numbers
对于两个图，$G$和$F$，以及一个整数$r\ge2$，如果$G$的边的每个$r$ -着色都导致$F$的单色副本，则我们写为$G\rightarrow (F)_r$。1995年，前两个作者建立了Ramsey性质$G(n,p)\to (F)_r$的阈值边概率，其中$G(n,p)$是一个随机图，通过将完全图的每条边独立地包含在$n$顶点上而获得，概率为$p$。最初的证明是基于Szemerédi的正则性引理，这导致了所涉及的参数之间的塔式依赖关系。在这里，对于$r=2$，我们提供了一个独立的证明的定量版本的拉姆齐阈值定理，只有双指数之间的依赖关系的常数。作为推论，我们得到了双色Folkman数的一个双指数上界。通过一种不同的证明技术，康伦和高尔斯独立地得到了类似的结果。
An exponential-type upper bound for Folkman numbers
对于给定的整数$k$和$r$，Folkman数$f(k;r)$是图$G$中的最小顶点数，该图在$k+1$顶点上不包含团，但对于它的每一个边划分成$r$部分，某个部分包含一个$k$阶团。Folkman（1970）对$r=2$以及Nešetzil和Rödl（1976）对任意$r$证明了Folkman数的存在性（有限性），但是这些证明导致了$f(k;r)$上界非常弱。最近，Conlon和Gowers分别独立地得到了$f(k;2)$上的一个双指数界.在这里，我们建立了一个进一步的改进，通过显示$f(k;r)$上的上界是指数的多项式函数的$k$和$r$。这与已知的下限$2^{Ω(rk)}$相当。我们的证明依赖于Saxton和Samason（2015）的最新结果（或者，Balogh，Morris和Samotij（2015）的最新结果），从中我们推导出随机图中Ramsey定理的定量版本。
On Some Generalized Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_i\ge 1$，表达式$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$表示对于$G$的顶点的任何$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1,\cdots,r\}$，在$G$中存在单色$a_i$ -团.顶点Folkman数定义为$F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$是$H$ -free和$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中$H$是一个图.此类顶点Folkman数已针对$H=K_s$和$s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$进行了广泛研究。如果所有$i$都是$a_i=a$，那么我们使用符号$F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令$J_k$是缺少一条边的完全图$K_k$，即$J_k=K_k-e$。在这项工作中，我们专注于顶点Folkman数与$H=J_k$，特别是$k=4$和$a_i\le 3$。1976年Nešetzil和Rödl的一个结果意味着$F_v(3^r;J_4)$对于任何$r\ge 2$都是定义良好的。我们提出了一个新的和更直接的证明这一事实。最简单但已经很有趣的情况是$F_v(3,3;J_4)$，我们通过使用$J_4$ -free过程建立了135的上限。我们获得了其他一些小的情况下，$F_v(a…
On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$
图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$
On Small Folkman Graphs Arrowing $K_2$ or $K_3$
本文研究了小Folkman数，针对k≤4且a_i∈{2,3}的情况，排除了K₄、K₅、K₆及J₄、J₅等图，证明了W₅自由图中F_e(3,3;W₅)的存在性，并探讨了F_v(3,3;¬P₂∪P₃)的理论结果。
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
Chromatic polynomials of 2-edge coloured graphs
利用由$2$-边着色图同态导出的$2$ -边着色图的着色定义，将色多项式的定义推广到$2$ -边着色图.我们发现封闭形式的前三个系数的多项式，推广了已知的结果的色多项式的图。当每一个顶点都与两种颜色的边关联时，我们对那些$2$ -边着色图的色多项式等于其基础图的色多项式进行了分类.最后，我们研究这个多项式的根的行为，突出的行为没有看到的色多项式的图形。
Edge chromatic index and edge-sum chromatic index for families of integral sum graphs
本文考虑整和图类$H^{-i,s}_{m,j}$满足条件$-i<0<s$，$1\leq m < i$和$1\leq j < s$，对所有$i,s, m,j\in \mathbb{N}$ .我们将边和染色和边染色应用到$H^{-i,s}_{m,j}$上。由于图完全依赖于$i$和$s$，因此不容易导出所有$i$和$s$值的理论和数值结果。在这里，我们推导出计算独立颜色类的最小数量的一般公式。计算了$i$、$s$、$m$和$j$的不同值对应的$H^{-i,s}_{m,j}$的边色数和边和色数.我们还比较了这两种技术。最后通过数值计算验证了理论分析的正确性。
Hamiltonicity of edge-chromatic critical graphs
给定一个图$G$，用$Δ$和$χ^\prime$分别表示图$G$的最大度和色指数.一个简单图$G$称为{ \it edge- $Δ$ -critical}，如果对$G$的每个真子图$H$，有$χ^\prime(G)=Δ+1$和$χ^\prime(H)\leΔ$.证明了$n$阶边色临界图的最大度至少为$\frac{2n}{3}+12$的边色临界图是Hamilton图.
On critical graphs for the chromatic edge-stability number
图$G$的{ \em边色稳定数} $es_χ(G)$是指除去这些边所得到的生成子图的色数小于图$G$的色数的最小边数.一个图$G$称为{ \em $(3,2)$ -critical}，如果$χ(G)=3$，$es_χ(G)=2$和对于任何边$e\in E(G)$，$es_χ(G-e)<es_χ(G)$。本文刻画了至少含有5个奇圈的$(3,2)$ -临界图。这回答了Brešar、Klavžar和Movarraei在[色边稳定数的临界图，{ \it离散数学。} { \bf 343}（2020）111845]。
Bounds Related to The Edge-List Chromatic and Total Chromatic Numbers of a Simple Graph
我们证明了对于一个单图$G$，有$c'(G)\leqΔ(G)+2$，其中$c'(G)$是$G$的选择指数（或边列表色数），$Δ(G)$是$G$的最大度.作为这个结果的一个简单推论，我们证明了单图的色数$χ_T(G)$满足不等式$χ_T(G)\leq\ Δ(G)+4$，全选择数$c_T(G)$也满足这个不等式.我们还将这些界与单图的Hall指数和Hall条件指数以及单图的总Hall数和总Hall条件数联系起来。
A new bound on the acyclic edge chromatic index
本文给出了具有最大度$D$的图$G$的无圈边色数$a'(G)$的一个新的界，证明了$a'(G)\leq 3.569(D-1)$ .为了得到这个结果，我们重新审视并稍微修改了[Giotis，Kirousis，Psaromiligkos和Thilikos，Theoretical Computer Science，66：40-50，2017]中描述的方法。
Introduction to dominated edge chromatic number of a graph
引入并研究了图的控制边染色。图$G$的支配边染色是指图$G$的正常边染色，使得每个色类至少被图$G$的一条边支配.所有控制边着色中的最小颜色数称为控制边色数，记为$χ_{dom}^{\prime}(G)$。我们得到了$χ_{dom}^{\prime}(G)$的一些性质，并计算了它对特定的图。此外，我们还研究了对$G$的顶点和边的操作对$G$的修改对$χ_{dom}^{\prime}(G)$的影响。最后，我们考虑了$G$的$k$ -剖分，并研究了这类图的控制边色数。
On the edge chromatic vertex stability number of graphs
对于图$G$的任意不变$ρ(G)$，$ρ-$顶点稳定数$vs_ρ(G)$是$G$的最小顶点数，其去除导致图$H\subseteq G$具有$ρ(H)\neq ρ(G)$或具有$E(H)=\varnothing$。本文首先给出了图的$ρ$ -点稳定数的一般上下界，然后研究了图的边色稳定数$vs_{χ^{\prime}}(G)$，其中$χ^{\prime}=χ^{\prime}(G)$是$G$的边色数（色指数）.我们证明了这个参数的一些一般性结果，并确定$vs_{χ^{\prime}}(G)$为特定类别的图。
Introduction to total dominator edge chromatic number
引入了图$G$的全控制边色数. $G$的全支配边染色（简称TDE-染色）是$G$的一种正常边染色，其中图的每条边与某个色类的每条边相邻。$G$的总支配边色数（简称TDEC数）$χ'^t_d(G)$是$G$的TDE染色中颜色类的最小数量。我们得到了$χ'^t_d(G)$的一些性质，并计算了特定图的这个参数。我们研究了对$G$的顶点和边进行操作修改$G$时对$χ'^t_d(G)$的影响。最后，我们考虑了$G$的$k$-子图，并研究了这类图的TDEC-数。
On $4$-chromatic Schrijver graphs: their structure, non-$3$-colorability, and critical edges
给出了$4$ -色Schrijver图的非$3$ -可染性的一个初等证明，从而也为$4$ -色Kneser图提供了这样的证明.为此，我们使用一个完整的描述结构的$4$ -色Schrijver图，已经给出了布劳恩，甚至更早的未发表的手稿李。我们还处理连接到表面四边形。特别地，我们证明了$4$ -色Schrijver图的一个生成子图使克莱因瓶四边化，而另一个生成子图使射影平面四边化.后者是Kaiser和Stehl 'ık的一个结果的特例。我们刻画了$4$ -色Schrijver图的色临界边，并对高色数Schrijver图的色临界边的刻画给出了初步的结果.最后，我们表明（除了两种情况下的小参数），我们提出的四边形的克莱因瓶的子图是边色临界的。类似的结果，子图的四边形的射影平面是一个直接的后果，早期的结果由金贝尔和Gimassen，并已注意到凯泽和Stehl 'ık。
About dependence of the number of edges and vertices in hypergraph clique with chromatic number 3
1973年，P. Erdens和L. Lovász注意到，任何边是两两相交的超图都有色数2或3。在第一种情况下，这样的超图可以有任意数量的边。然而，埃尔德什和洛瓦兹证明了在第二种情况下，边的数量是有界的。例如，如果一个超图是$ n $ -均匀的，有成对相交的边，并且有色数3，那么它的边数不超过$ n^n $。最近D Cherkashin改进了这个界限（参见\cite{Ch}）。本文在$n$ -一致超图的顶点数由具有某些$ m = m(n) $的$ n^m $从上有界的情况下，进一步改进了它。
Even factors in edge-chromatic-critical graphs with a small number of divalent vertices
有限简单连通图$G$的最大度$k$是$k$ -临界的，如果它对每条边$e\in E(G)$都有色指数$χ'(G)=k+1$和$χ'(G-e)=k$. Bej和第一作者提出了是否每个$k$ -临界图都有偶因子的问题。证明了最多有$2k-6$点为2的$k$ -临界图都有偶因子.
Critical graphs for the chromatic edge-stability number
图$G$的边色稳定数${\rm es}_χ(G)$是指除去这些边后生成的生成子图$G'$具有$χ(G')=χ(G)-1$的最小边数。引入边稳定性临界图作为图$G$，其性质是${\rm es}_χ(G-e) < {\rm es}_χ(G)$对每条边$e\in E(G)$都成立.若$G$是一个边稳定临界图，且有$χ(G)=k$和${\rm es}_χ(G)=\ell$，则$G$是$(k,\ell)$ -临界图.对$(3,2)$ -临界且至多包含四个奇圈的图进行了分类.证明了判定图$G$是否具有$χ(G)=k$且对色数是临界的问题可以在多项式时间内归结为判定图是否是$(k,2)$ -临界的问题.
$Δ+300$ is a Bound on the Adjacent Vertex Distinguishing Edge Chromatic Number
单图$G$的邻点可区别边染色或\avd -染色是$G$的真边染色，使得没有一对邻顶点满足相同的色集.证明了具有最大度$Δ$且无孤立边的图的\avd -染色至多含有$Δ+300$色，条件是$Δ>10^{20}$ .
Short Brooms in Edge-chromatic Critical Graphs
本文研究了边染色临界图中的短扫帚，证明了相关颜色缺失的性质，并验证了两个重要猜想在特定条件下的成立。
A Polynomial Time Algorithm to Find the Star Chromatic Index of Trees
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.在本文中，我们提出了一个多项式时间算法，找到一个最佳的星边着色的每棵树。我们还提供了一些严格的界限上的星色指数的树的直径最多为4，并使用这些界限，我们找到了一个公式，某些家庭的树的星色指数。
The Edge-Distinguishing Chromatic Number of Petal Graphs, Chorded Cycles, and Spider Graphs
图$G$的边可区别色数（EDCN）是最小正整数$k$，使得存在一个顶点着色$c:V(G)\to\{1,2,\dotsc,k\}$，其导出边标号$\{c(u),c(v)\}$对所有边$uv$都是不同的.以前的工作已经确定了EDCN的路径，周期和蜘蛛图与三条腿。本文确定了两瓣一圈的瓣图、一弦的圈图和四条腿的蜘蛛图的EDCN。这些是通过将图嵌入到循环完全图中来实现的。
The star edge coloring of cubic Halin graphs with star chromatic index $5$
针对三次Halin图星边色指数为5的判定公开问题，本文证明树为毛毛虫树或完全树且不等于$N_{e_2}$的三次Halin图星边色指数为5。
The list chromatic index of simple graphs whose odd cycles intersect in at most one edge
本文研究了一类单图$\mathcal{G}^*$，其中每对不同的奇圈至多相交于一条边。给出了$\mathcal{G}^*$中图的结构特征，证明了每个$G \in \mathcal{G}^*$满足列表边着色猜想.当$Δ(G) \geq 4$时，我们证明了一个关于$L(G)$中的核完美定向的更强的结果，这意味着对于每个$m \geq 1$，$G$是$(mΔ(G):m)$ -边可选择的和$Δ(G)$ -边可涂的.
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. XI. Orientations
固定一个定向图H，设G是一个团数有界且色数很大的图。如果我们以某种方式定向它的边，那么一定存在同构于H的诱导子图吗？Kierstead和Rodl对两种特殊的有向图H提出了这个问题：三边路径，第一条和最后一条边都指向内部;和星（有许多边指向外部，许多边指向内部）。Aboulker等人随后证实，这两种情况的答案都是肯定的。我们对这两个问题都给予肯定的回答。
On the list chromatic index of graphs of tree-width 3 and maximum degree at least 7
在其他结果中，它表明，3-树是$Δ$ -边选择，树宽3和最大度至少为7的图是$Δ$ -边选择。
Strong list-chromatic index of subcubic graphs is at most 10
本文研究了强边着色的列表版本，证明边权至多为6的图其强列表色指数至多为10，进而得出每个次立方图的强列表色指数至多为10，改进了已有结果。
Star Chromatic Index of Halin Graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色. $G$的星色指数是使$G$允许星边着色为$k$色的最小整数$k$。本文得到了每一个Halin图的星色指数的紧上界$\left\lfloor\frac{3Δ}{2}\right\rfloor+2$，从而证明了Dvo{sny}{á}k等人（J图论，72（2013），313--326）关于三次Halin图的猜想.
Strong list-chromatic index of subcubic graphs
图G的强$k$ -边染色是指图G的每一个色类都是诱导匹配的具有$k$色的边染色. $G$的强色指数，记为$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小$k$。1985年，Erdens和Nešetzil证明了$χ'_{s}(G)\leq\frac{5}{4}Δ(G)^2$，其中$Δ(G)$是$G$的最大次数。当$G$是一个最大度不超过3的图时，Andersen和Horák，Qing和Trotter独立地证明了这个猜想.本文研究了强边染色的列表形式。特别地，我们证明了每一个次立方图的强列表色指数至多为11，每一个平面次立方图的强列表色指数至多为10。
Every Elementary Graph is Chromatic Choosable
本文证明了初等图的列表色数等于其色数，从而表明每个初等图都是色可选择的。
Injective edge-coloring of graphs with given maximum degree
一个图$G$的边的着色是内射的，如果对于任意两条不同的边$e_1$和$e_2$，如果它们在距离$1$处在$G$中或在一个公共三角形中，则$e_1$和$e_2$的颜色是不同的.自然地，$G$的内射色指数$χ'_{inj}(G)$是$G$的内射边着色所需的最小颜色数。研究了当对$G$的围长和色数有限制时，$G$的内射色指数根据$G$的最大度可以达到多大.我们还比较了我们的边界与类似的强色指数的边界。
The Strong Chromatic Index of graphs with maximum degree $Δ$
图$G$的强边染色是使得距离至多为2的两条边不具有相同颜色的边染色。强色指数$χ'_s(G)$是$G$的强边染色中的最小颜色数。P. ErdŸ和J. Nešetřil在1985年推测，当$Δ$为偶数时，$χ'_s(G)$上界为$\frac54Δ^2$，当$Δ$为奇数时，上界为$\frac14(5Δ^2-2Δ+1)$，其中$Δ$是$G$的最大次数。本文对围长至少为$5$的图给出了一个最多使用$2Δ^2-3Δ+2$颜色的算法。特别地，我们证明了任何具有最大度$Δ=5$的图都具有带有$37$颜色的强边染色。
Injective Edge Chromatic Index of a Graph
图$G$中的三条边$e_{1}, e_{2}$和$e_{3}$是连续的，如果它们形成一条路径（以此顺序）或一个长度为3的圈。图$G = (V,E)$的内射边染色是$G$的边的染色$c$，使得如果$e_{1}, e_{2}$和$e_{3}$是$G$中的连续边，则$c(e_{1})\neq c(e_3)$。内射边着色数$χ_{i}^{'}(G)$是在这种着色中允许的最小颜色数。本文给出了几类图的$χ_{i}^{'}(G)$的精确值，给出了$χ_{i}^{'}(G)$的上界和下界，证明了检验$χ_{i}^{'}(G)= k$是否为NP-完全图.
Dominated and dominator colorings over (edge) corona and hierarchical products
图的控制染色是指图的一种正常（顶点）染色，其特征是图的每个顶点要么在其色类中是单独的，要么与至少一个色类的所有顶点相邻。图的控制染色是指每一个色类都被至少一个顶点控制的真染色。确定了电晕产物和边电晕产物的主色数色数。给出了边电晕积的支配色数的上、上界。给出了层次积的控制色数的上有界性，并确定了两因子层次积的控制色数。最后给出了控制着色在遗传网络中的一个应用。
A new upper bound on the acyclic chromatic indices of planar graphs
图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。$G$的非循环色指数$a'(G)$是使得$G$具有使用$k$颜色的非循环边着色的最小整数$k$。证明了对任意简单图$G$，有最大度$Δ$的图，有$a'(G)\le Δ+2$.本文证明了：如果$G$是平面图，则$a'(G)\leqΔ+7$ .这改进了Basavaraju等人[{ \em可平面图的无环边着色}，SIAM J. Discrete Math.，25（2011），pp. 463-478]，它说每个平面图$G$都满足$a'(G)\leqΔ+12$。
The chromatic distinguishing index of certain graphs
图$G$的区别指数，记作$D'(G)$，是指图$G$的边标号中不被任何非平凡自同构保持的最少标号数.图$G$的可区别色指数$χ'_D (G)$是使$G$有一个用$d$标号的正确边标号的最小数$d$，该标号仅由$G$的恒等自同构保持.本文计算了几类特殊图的可区别色指数。并研究了两个图的晕积和并图的可区别色指数。
Injective edge colorings of degenerate graphs and the oriented chromatic number
本文研究退化图的内射色指数，给出d-退化图的上界O(d^3 log Δ)，并证明有向色数不超过内射色指数的指数函数，从而改进曲面图的有向色数上界至O(g^6400)，解决了一个猜想。
The average degree of edge chromatic critical graphs with maximum degree seven
本文通过对$4$或$5$顶点上的路的几个新的邻接引理的研究，证明了7-临界图的平均度至少为6。它包含Vizing的可平面图猜想，可平面图具有最大程度$7$和它的推广，图嵌入在一个表面的非负欧拉示性数由于Sanders和Zhao（J. Combin. Theory Ser.B83（2001）201-212和J. Combin. Theory Ser.B87（2003）254-263）和Zhang（Graphs and Combinatorics 16（2000）467-495）。
The strong chromatic index of $(3,Δ)$-bipartite graphs
图$G=(V,E)$的强边染色是将图的边集$E$划分为诱导匹配。研究了一部分最大度至多为$3$，另一部分最大度为$Δ$的二部图.我们证明了每一个这样的图有一个强边染色使用最多$3 Δ$颜色。我们的结果证实了Brualdi和Quinn Massey ~ \cite{[BQ]}关于这类二部图的一个猜想。
Star Edge Coloring of the Cartesian Product of Graphs
图$G$的星边染色是图$G$的真边染色，使得图$G$中的每条长为4的路和圈至少使用三种不同的颜色.图$G$的星色指数是使图$G$的星边染色为图$k$色的最小整数.本文首先给出了两个图的笛卡儿积的星色数的上界。然后，我们确定的确切值的恒星色指数的$2$维网格。对于任意正整数$d$，我们还得到了路径与圈、$d$维网格、$d$维超立方体和$d$维环形网格的笛卡儿积的星色指数的上界.
The tight bound for the strong chromatic indices of claw-free subcubic graphs
设$G$是一个图，$k$是一个正整数. $G$的强$k$ -边着色是映射$ϕ: E(G)\to \{1,2,\dots,k\}$，使得对于彼此相邻或与公共边相邻的任何两个边$e$和$e'$，$ϕ(e)\neq ϕ(e')$。$G$的强色指数，记作$χ'_{s}(G)$，是使$G$具有强$k$ -边染色的最小整数$k$。Lv，Li和Zhang [Graphs and Combinatorics 38（3）（2022）63]证明了如果$G$是除三棱柱之外的无爪次三次图，则$χ_s'(G)\le 8$ .此外，他们询问上限$8$是否可以改进为$7$。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。我们的证明意味着一个线性时间算法找到强$7$ -边染色的图。我们还构造了无穷多个强色指数达到界$7$的无爪次立方图。
On the Strong Chromatic Index of Sparse Graphs
图$G$的强色指数，记为$χ_s'(G)$，是对$G$进行边着色所需的最少颜色数，使得距离至多为2的边接收不同的颜色。表示为$χ_{s,\ell}'(G)$的强列表色度索引是最小整数$k$，使得如果将大小为$k$的任意列表分配给每个边缘，则$G$可以从距离至多为2的边缘接收不同颜色的那些列表中进行边缘着色。本文利用放电方法、组合零点定理和计算证明了：如果$G$是一个次三次平面图，且有$\operatorname{girth}(G) \geq 41$，则有$χ_{s,\ell}'(G) \leq 5$，从而回答了Borodin和Ivanova [Precise upper bounding for the strong edge chromatic number of sparse planar graphs，Discuss.图论，33（4），（2014）759- 770]。我们进一步证明了如果$G$是一个次立方平面图，并且$\operatorname{girth}(G) \geq 30$，那么$χ_s'(G) \leq 5$，改进了同一篇文章中的一个界。最后，如果$G$是一个最大度不超过4的平面图，且$\operatorname{girth}(G) \geq 28$，则有$χ_s'(G) \leq 7$，改进了Wang和Zhao在[Odd graphs and its applic…
Edge density and minimum degree thresholds for $H$-free graphs with unbounded chromatic number
本文研究了图H无色图的边密度和最小度阈值之间的权衡，证明了在色阈值附近的临界窗口中，边密度可补偿局部最小度条件的不足，并给出了显式界。
A polynomial time algorithm to find star chromatic index on bounded treewidth graphs with given maximum degree
本文针对给定最大度的有界树宽图，证明了星边着色问题（已知NP完全）可在多项式时间内求解，并给出了相应算法。
On Weak Chromatic Polynomials of Mixed Graphs
一个\emph{mixed graph}是一个有向边（称为弧）和无向边的图。如果来自${1,2,...,k}$的颜色被分配给每个顶点，使得如果$uv$是边，则$u$和$v$具有不同的颜色，并且$u$的颜色小于或等于（分别为），则顶点的$k$ -着色是正确的。严格小于）$v$的颜色，如果$uv$是弧。弱者（Resp.）一个混合图的（强）色多项式计算了正确$k$ -染色的个数。利用偏序集的序多项式，建立了弱色多项式的一个互反定理，给出了在负整数上求值的解释。
List strong edge coloring of some classes of graphs
图的{ \em强边染色}是图的正常边染色，其中每个色类都是诱导匹配。图的{ \em强色数}是图的强边染色所需的最少颜色数。以类似的方式，我们可以定义列表形式的强边染色和列表形式的强色指数。本文证明了：如果$G$是一个最大度至多为4且最大平均度小于$3$的图，则其列表强色指数至多为$3Δ+ 1$，其中$Δ$是$G$的最大度.另外，我们证明了如果$G$是一个可平面图，其最大度至少为$4$，围长至少为$7$，则列表强色指数至多为$3Δ$ .
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