边Folkman数Fe（3，5;13）的新上界

Folkman数的一个指数型上界

An exponential-type upper bound for Folkman numbers

对于给定的整数$k$和$r$，Folkman数$f(k;r)$是图$G$中的最小顶点数，该图在$k+1$顶点上不包含团，但对于它的每一个边划分成$r$部分，某个部分包含一个$k$阶团。Folkman（1970）对$r=2$以及Nešetzil和Rödl（1976）对任意$r$证明了Folkman数的存在性（有限性），但是这些证明导致了$f(k;r)$上界非常弱。最近，Conlon和Gowers分别独立地得到了$f(k;2)$上的一个双指数界.在这里，我们建立了一个进一步的改进，通过显示$f(k;r)$上的上界是指数的多项式函数的$k$和$r$。这与已知的下限$2^{Ω(rk)}$相当。我们的证明依赖于Saxton和Samason（2015）的最新结果（或者，Balogh，Morris和Samotij（2015）的最新结果），从中我们推导出随机图中Ramsey定理的定量版本。

2016-03-01math.CO

一类广义Folkman数的不存在性

On the Nonexistence of Some Generalized Folkman Numbers

对于一个无向简单图$G$，我们记为$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$当且仅当对于它的每个顶点的红-蓝着色，存在一个红色的$H_1$或一个蓝色的$H_2$。广义顶点Folkman数$F_v(H_1, H_2; H)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$H$图$G$，使得$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$ .当考虑边的着色时，广义边Folkman数$F_e(H_1, H_2; H)$的定义与此类似.我们表明，$F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$和$F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$是很好地定义为$k \geq 3$。我们证明了某些$H$，特别是$H=B_3$，其中$B_k$是$k$三角页的书图，和$H=K_1+P_4$的$F_e(K_3,K_3;H)$的不存在性.本文提出了三个关于广义Folkman数的问题，包括边Folkman数$F_e(K_3, K_3; B_4)$，$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$和$F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$的存在性问题.我们的结果导致了一些一般的不等式涉及双色和B-Folkman数。

2018-06-19math.CO

边Folkman数$F_e(3, 3; 4)$大于19

The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19

不包含$q$顶点$K_q$上的完全图，且具有边的每一个双色着色中存在一个单色三角形的性质的图的集合记为$\mathcal{H}_e(3, 3; q)$ .考虑边Folkman数$F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$。Folkman在1970年证明了$F_e(3, 3; q)$存在的充要条件是$q \geq 4$。从拉姆齐数$R(3, 3) = 6$可以清楚地看出，如果$q \geq 7$，则$F_e(3, 3; q) = 6$。还已知$F_e(3, 3; 6) = 8$和$F_e(3, 3; 5) = 15$。由Folkman和其他一些作者的构造得出的数$F_e(3, 3; 4)$的上界是不好的。在1975年鄂尔多斯提出的问题，以证明不等式$F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$。1978年，斯宾塞解决了这个鄂尔多斯问题。$F_e(3, 3; 4) \leq 786$的最后一个上界是由Lange、Radziszowski和Xu在2012年获得的，他们证明了$F_e(3, 3; 4) \leq 786$。这个数的最佳下界是19，是Radziszowski和Xu在10年前得到的。本文通过证明$F_e(3, 3; 4) \geq 20$改进了这一结果。最后，通过证明$20 \leq F_v(2,…

2016-09-12math.CO

关于顶点Folkman数$F_v(2,...,2;q)$

On the Vertex Folkman Numbers $F_v(2,...,2;q)$

对于一个图$G$的符号$G\tov(a_1,...,a_r)$意味着在每个$G$的顶点的$r$ -着色对于一些$i\in\{1,...,r\}$存在一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数\[ \FN=\min\{|V(G)|:G\tov(a_1,...,a_r)\text{and}K_q\nsubseteqq G\} \]。本文将在$k\le 12$和$r$足够大时计算Folkman数$F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-k+1)$.我们还证明了一些顶点和边Folkman数的新的界限。

2009-03-23math.CO

Folkman线性家族

A Folkman Linear Family

对于图形$F$和$G$，令$F\to (G,G)$表示$F$的任何红/蓝边着色包含单色$G$。定义Folkman数$f(G;p)$为图$F$的最小阶，使得$F\to (G,G)$和$ω(F) \le p$。本文证明了具有$Δ(G)\le Δ$的$n$阶图$G$的$f(G;p)\le cn$，其中$Δ\ge 3$，$c=c(Δ)$和$p=p(Δ)$是正常数.

2014-09-03math.CO

小阶的边传递图和对Folkman 1967年问题的回答

Edge-transitive graphs of small order and the answer to a 1967 question by Folkman

本文介绍了一种利用小度传递置换群的忠实表示求所有小阶边传递图的方法，并说明了如何用这种方法求出阶数达到$47$的所有边传递图和阶数达到$63$的所有二部边传递图.我们也给出了一个答案，1967年的问题Folkman关于半对称图的大价，事实上，我们表明，半对称图的顺序$2n$和价$d$，比例$d/n$可以任意接近$1$。

2018-08-16math.COmath.GR

随机图和Folkman数的Ramsey性质

Ramsey properties of random graphs and Folkman numbers

对于两个图，$G$和$F$，以及一个整数$r\ge2$，如果$G$的边的每个$r$ -着色都导致$F$的单色副本，则我们写为$G\rightarrow (F)_r$。1995年，前两个作者建立了Ramsey性质$G(n,p)\to (F)_r$的阈值边概率，其中$G(n,p)$是一个随机图，通过将完全图的每条边独立地包含在$n$顶点上而获得，概率为$p$。最初的证明是基于Szemerédi的正则性引理，这导致了所涉及的参数之间的塔式依赖关系。在这里，对于$r=2$，我们提供了一个独立的证明的定量版本的拉姆齐阈值定理，只有双指数之间的依赖关系的常数。作为推论，我们得到了双色Folkman数的一个双指数上界。通过一种不同的证明技术，康伦和高尔斯独立地得到了类似的结果。

2016-07-15math.CO

关于$(3, 3)$图的独立数和Folkman数$F_e(3, 3; 4)$

On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$

图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$

2019-04-23math.CO

关于小Folkman图箭向K₂或K₃

On Small Folkman Graphs Arrowing $K_2$ or $K_3$

Rochester Institute of Technology（罗切斯特理工学院）

本文研究了小Folkman数，针对k≤4且a_i∈{2,3}的情况，排除了K₄、K₅、K₆及J₄、J₅等图，证明了W₅自由图中F_e(3,3;W₅)的存在性，并探讨了F_v(3,3;¬P₂∪P₃)的理论结果。

2026-05-15math.CO

一类广义顶点Folkman数

On Some Generalized Vertex Folkman Numbers

对于图$G$和整数$a_i\ge 1$，表达式$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$表示对于$G$的顶点的任何$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1,\cdots,r\}$，在$G$中存在单色$a_i$ -团.顶点Folkman数定义为$F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$是$H$ -free和$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中$H$是一个图.此类顶点Folkman数已针对$H=K_s$和$s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$进行了广泛研究。如果所有$i$都是$a_i=a$，那么我们使用符号$F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令$J_k$是缺少一条边的完全图$K_k$，即$J_k=K_k-e$。在这项工作中，我们专注于顶点Folkman数与$H=J_k$，特别是$k=4$和$a_i\le 3$。1976年Nešetzil和Rödl的一个结果意味着$F_v(3^r;J_4)$对于任何$r\ge 2$都是定义良好的。我们提出了一个新的和更直接的证明这一事实。最简单但已经很有趣的情况是$F_v(3,3;J_4)$，我们通过使用$J_4$ -free过程建立了135的上限。我们获得了其他一些小的情况下，$F_v(a…

2022-12-08math.CO

Folkman数$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$的下界

Lower bounding the Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$

对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于每个$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G)\vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .我们知道所有数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$的确切值，当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 6$和数字$F_v(2, 2, 7; 8) = 20$。在\cite{BN15a}中，我们提出了一种获得这些数字的下界的方法。利用该方法和一个新的改进算法，在$\max\{a_1, ..., a_s\} = 7$的特殊情况下，证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \geq m + 11$和这个界对所有的$m$都是精确的.这些数字的已知上限是$m + 12$。在文章的最后，我们还证明了下界$19 \leq…

2017-11-05math.CO

关于有限Hindman数

On finitary Hindman's numbers

Spencer问，Folkman-Sanders定理的Paris-Harrington版本是否有原始递归上界。我们对这个问题给予肯定的回答。

2018-12-17math.CO

大色数导出子图的导出子图

Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number

本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。

2023-09-18math.CO

给定顶点数和边数的图的完美匹配数和有向2-因子数的上界

Upper bounds on the number of perfect matchings and directed 2-factors in graphs with given number of vertices and edges

给出了具有给定顶点数和边数的单图中完美匹配数的一个上界。我们应用这个结果给出了2n阶有向完全二部平衡图中2-因子个数的一个上界。当n为偶数时，上界是尖锐的。对于n奇数，我们提出一个关于一个尖锐的上界的猜想。

2014-07-31math.CO

边极小、边极大和$l$ -超树的边数界

Bounds on the Number of Edges of Edge-minimal, Edge-maximal and $l$-hypertrees

在他们的论文中，超树中边数的界限，G.Y. Katona和P.G.N. Szabó在$k$ -一致超图中引入了一个新的、自然的超树定义，并给出了边数的上下界上界。他们还定义了边极小、边极大和$l$ -超树，并证明了$l$ -超树的边数的一个上界。本文证明了上述文献中关于$k$ -一致超树的边数的$\binom{n}{k-1}$上界的渐近尖锐性。对$2$ -超树的边数上界进行了改进，并给出了一个一般的扩张构造及其结果.给出了$k$ -一致边极小超树的最大边数的上下上界和$k$ -一致边极大超树的边数的下界.在前一种情况下，证明了其上界渐近地为$\frac{1}{k-1}\binom{n}{2}$ .

2017-07-03math.CO

几乎平面二部图边数的上界

Upper bound on the number of edges of an almost planar bipartite graph

设$G$是一个二部图，它的$v\ge 4$顶点上不含环和多条边，并且可以画在平面上，使得任意边至多与另一条边相交.我们证明了这样的图对于偶数$v\ne 6$至多有$3v-8$边，对于奇数$v$和$v=6$至多有$3v-9$边.对于所有的$v\ge 4$的例子表明，这些界限是紧的构造。最后讨论了平面上完全二部图的一个作图问题，使得任意边至多与另一条边相交。{ \sc关键词：}拓扑图，平面图，二部图。

2013-07-03math.CO

3-边连通图的Frank数的改进上界

Improved upper bound on the Frank number of $3$-edge-connected graphs

本文研究3-边连通图的Frank数，将Hörsch和Szigeti猜想的上界从7改进为5，证明了每个3-边连通图的Frank数至多为5。

2023-05-30math.CO

边着色无限完全图和二部图中单色路的上密度

Upper density of monochromatic paths in edge-coloured infinite complete graphs and bipartite graphs

定义具有$V(G) \subseteq \mathbb{N}$的无限图$G$的上密度为$\overline{d}(G) = \limsup_{n \rightarrow \infty}{|V(G) \cap \{1,\ldots,n\}|}/{n}$。设$K_{\mathbb{N}}$是顶点集为$\mathbb{N}$的无限完全图. Corsten、DeBiasio、Lamaison和Lang证明，在$K_{\mathbb{N}}$的每个$2$ -边着色中，存在一个最高密度至少为$(12 + \sqrt{8})/17$的单色路径，这是最好的可能。在本文中，我们将这个结果推广到$k$ -边着色的$K_{\mathbb{N}}$为$k \ge 3$。我们猜想每个$k$ -边色$K_{\mathbb{N}}$都包含一个单色路径，其上密度至少为$1/(k-1)$，这是最好的可能性（当$k-1$是素数幂时）。我们证明，这是真的，当$k = 3$和渐近时$k =4$。此外，我们表明，这个问题可以推导出它的二分变体，这是独立的利益。

2022-10-25math.CO

图的上可嵌入性与边关联的对换乘积

Upper Embeddability of Graphs and Products of Transpositions Associated with Edges

本文研究图的边序如何决定由边关联对换乘积得到的顶点置换，利用图嵌入刻画了存在边序使该置换为完全循环置换的图，并给出 Eden 关于恒等置换问题的一个反例。

2024-04-03math.CO

几类图的星边染色

Star edge coloring of some classes of graphs

图的\textit{A star edge coloring}是不含双色路和四圈的正常边染色.本文建立了树和次立方外平面图的紧上界，并导出了外平面图的一个上界。

2013-07-04math.CO

冠的线性Turán数的改进的上界

Improved Upper Bound on the Linear Turán Number of the Crown

线性$3$ -图是一组顶点和一组边的集合，这些边是顶点的三个元素子集，使得任意两条边至多相交于一个顶点。皇冠$C$是一个特殊的$3$ -图，由三条成对不相交的边组成，称为宝石，以及与所有三个宝石相交的第四条边。对于一个线性$3$ -图$F$，线性图兰数$ex(n,F)$是不包含$F$作为子图的任何线性$3$ -图中的最大边数.目前，关于冠的线性Turán数的最好的上界是\[ 6 \Big \lfloor \frac{n-3}{4}\Big \rfloor \leq ex(n, C) \leq 2n. \]，本文将其上界改进为$ex(n,C) < \frac{5n}{3}$ .

2021-09-06math.CO

2-连通图彩虹连通数的一个精确上界

Sharp upper bound for the rainbow connection numbers of 2-connected graphs

一个边有色图$G$，其中邻边可以着色相同，如果$G$的任意两个顶点通过一条边具有不同颜色的路径连接，则该图是彩虹连通的。连通图$G$的彩虹连接数$rc(G)$是使$G$彩虹连通所需的最小颜色数。本文对任意阶为$n$的2-连通图$G$，给出了$rc(G)\leq\lceil\frac{n}{2}\rceil$的一个精确的上界，它改进了Caro等人的结果.

2011-05-26math.CO

边缘数报告1：$n \leq 43$的最新技术水平估计

Edge number report 1: State of the art estimates for $n \leq 43$

这第一个提取的报告包含了我所知道的电子数$e(3,k;n)$，$n \leq 43$的所有下限和上界。除了24个之外，所有的都是已知的（确切地）。很少有证据被给出。上经典拉姆齐数界的一些后果被提及。

2014-10-07math.CO

图的边罗马控制

Edge Roman domination on graphs

图$G$的边罗马控制函数是满足如下条件的函数$f\colon E(G) \rightarrow \{0,1,2\}$：每个具有$f(e)=0$的边$e$与具有$f(e')=2$的边$e'$相邻. $G$的边罗马控制数，用$γ'_R(G)$表示，是$G$的边罗马控制函数$f$的最小权$w(f) = \sum_{e\in E(G)} f(e)$。本文证明了Akbari，Ehsani，Ghajar，Jalaly Khalilabadi和Sadeghian Sadeghabad的一个猜想：如果$G$是$n$顶点上的最大度$Δ$的图，则$γ_R'(G) \le \lceil \fracΔ{Δ+1} n \rceil$ .当反例的边罗马控制数为$\frac{2Δ-2}{2Δ-1} n$时，证明了$\frac{2Δ-2}{2Δ-1} n + \frac{2}{2Δ-1}$是连通图的一个上界.进一步，我们给出了$k$ -退化图的边罗马控制数的一个上界，推广了Akbari，Ehsani，Ghajar，Jalaly Khalilabadi和Sadeghian Sadeghabad的结果.我们还证明了一个尖锐的上界次三次图。此外，我们还证明了平面图在$n$顶点上的边罗马控制数至多为$\frac{6}{7}n$，从而证实了Akbari和Qajar的一个猜想.我们还显示了一个上限周长至少为5，是2-细胞嵌入…

2014-08-13math.CO

超立方体的4-和6-无圈子图的大小的上界

Upper bounds on the size of 4- and 6-cycle-free subgraphs of the hypercube

本文对Razborov的旗代数机作了一些修改，使之适用于超立方体。我们用这种改进的方法证明了n维超立方体的无4圈子图的最大边数至多是它的边数的0.6068倍。我们还将n维超立方体的无6圈子图的边数的上界从2 - 1的平方根提高到0.3755倍。此外，我们还证明了如果n维超立方体是偏序集，则不含4-圈的诱导子图的三个中间层的最大顶点密度至多为2.15121乘以n选n/2.

2012-05-09math.CO

图的邻点可区别色数的一个改进的上界

An improved upper bound on the adjacent vertex distinguishing chromatic index of a graph

图G的邻点可区别染色是指图G的正常边染色使得任意一对邻顶点与不同的颜色集相关联。图G的邻点可区别染色所需的最少颜色数记为$χ'_a(G)$ .本文证明了对任意一个具有最大度$Δ$且无孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 5（$Δ+2$）/2.这改进了[S. Akbari，H. Bidkhori，N. Nosrati，r-Strong edge colorings of graphs，Discrete Math.306（2006），3005-3010]，其中指出对于任何没有孤立边的图G，$χ_a'(G)$ <= 3 $Δ$。

2012-08-11math.CO

Thrackles：一个改进的上界

Thrackles: An Improved Upper Bound

一个{ \em thrackle}是在平面上画的一个图，使得它的每对边恰好相遇一次：要么在一个公共端点，要么在一个适当的交叉点。证明了$n$顶点的任何簇至多有$1.3984n$边。{ \em Quasi-thrackle}的定义类似，不同的是不共享顶点的每对边都允许交叉{ \em奇数}次。它还表明，一个准thrackle的$n$顶点的最大边数是${3\over 2}(n-1)$，这个界是最好的可能的无限多个值的$n$。

2017-08-27math.CO

线图彩虹连通数的上界

Upper bounds for the rainbow connection numbers of line graphs

边有色图$G$中的一条路径，其中邻边可以着色相同，如果它的两条边都不着色相同，则称为彩虹路径。一个非平凡连通图$G$是彩虹连通的，如果对于$G$的任意两个顶点，有一条彩虹路将它们连接起来.用$rc(G)$表示的$G$的彩虹连接数被定义为存在着色使得$G$是彩虹连接的颜色的最小数目。本文主要研究了含三角形的线图的彩虹连通数，得到了$rc(L(G))$的两个明显的上界，它们是由$G$的边不相交三角形的个数决定的，其中$L(G)$是$G$的线图.我们也给出了迭代线图的一些结果。

2010-01-02math.CO

可平面图无圈色指数的一个新上界

A new upper bound on the acyclic chromatic indices of planar graphs

图$G$的无圈边染色是不产生双色圈的正常边染色。$G$的非循环色指数$a'(G)$是使得$G$具有使用$k$颜色的非循环边着色的最小整数$k$。证明了对任意简单图$G$，有最大度$Δ$的图，有$a'(G)\le Δ+2$.本文证明了：如果$G$是平面图，则$a'(G)\leqΔ+7$ .这改进了Basavaraju等人[{ \em可平面图的无环边着色}，SIAM J. Discrete Math.，25（2011），pp. 463-478]，它说每个平面图$G$都满足$a'(G)\leqΔ+12$。

2012-05-31math.CO

图的符号边控制数的上界

Upper bounds on the signed edge domination number of a graph

简单图$G=(V,E)$的带符号边支配函数（或SEDF）是函数$f: E\rightarrow \{1,-1\}$，使得$\sum_{e'\in N[e]}f(e')\ge 1$对每个边$e\in E$成立，其中$N[e]$是$G$中与$e$共享至少一个端点的边的集合。令$γ_s'(G)$表示所有SEDF $f$中$f(G)$的最小值，其中$f(G)=\sum_{e\in E}f(e)$ .在2005年，Xu提出了$γ_s'(G)\le n-1$，其中$n$是$G$的阶。这个猜想已被证明为两种情况$v_{odd}(G)=0$和$v_{even}(G)=0$，其中$v_{odd}(G)$（resp. $v_{even}(G)$）是奇数（分别为偶数）$G$中的顶点。本文证明了徐氏关于$v_{even}(G)\in \{1, 2\}$的猜想.我们还表明，对于任何简单的图$G$的顺序$n$，$γ_s'(G)\le n+v_{odd}(G)/2$和$γ_s'(G)\le n-2+v_{even}(G)$时，$v_{even}(G)>0$，从而$γ_s'(G)\le (4n-2)/3$。我们的结果改进了$γ_s'(G)\le \lceil 3n/2\rceil$的当前最佳上界。

2020-10-25math.CO

列出最大度为4的图的强边染色

List strong edge-coloring of graphs with maximum degree 4

图$G$的强边染色是使得长度为3的路上的任意两条边接收不同颜色的边染色。我们用$χ_{s}'(G)$表示强色指数，它是允许$G$强边着色的最小颜色数。1985年Erdens和Nešetzil证明了$χ_{s}'(G)$的上界是$\frac{5}{4}Δ^{2}$，当$Δ$是偶数时，$Δ$是奇数时，$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$是$\frac{1}{4}(5Δ^{2}-2Δ+1)$，其中$Δ$是$G$的最大次数。当$Δ\leq3$ .由于Cranston之前的研究，$Δ=4$最著名的上界是22。本文将Cranston的结果推广到列表强边染色，即证明了当$Δ=4$时，列表强边染色指数的上界为22。

2018-01-21math.CO

增广立方体交叉数的一个上界

An upper bound for the crossing number of augmented cubes

图$G$的{ \it good drawing}是这样的图，其中边是非自相交的，并且每两条边最多有一个公共点，该公共点是公共端顶点或交叉点。图$G$的{ \it交叉数}是在平面中$G$的良好绘图中边的最小成对交叉数。由S.A. Choudum和V. Sunitha提出的互连网络是一种重要的互连网络，具有良好的拓扑性质和应用。本文得到了$AQ_n$小于$26/324^{n}-(2n^2+7/2n-6)2^{n-2}$的交叉数的上界。

2012-10-23math.CO

有向循环对策阈值偏差的一个非平凡上界

A non-trivial upper bound on the threshold bias of the Oriented-cycle game

在Bollobás和Szabó介绍的定向循环博弈中，两个名为OMaker和OBreaker的参与者交替引导$K_n$的边。OMaker只定向一条边，而OBreaker允许在一条边和$b$边之间定向。如果最终锦标赛包含有向循环，则OMaker获胜，否则OBreaker获胜。Bollobás和Szabó指出，对于像$n-3$这样大的偏差，如果OBreaker必须在每一轮中精确地取$b$的边，则OMaker有一个获胜的策略。最近本埃利泽，Krivelevich和Sudakov，表明OMaker有一个获胜的策略，每当$b\leq \frac{n}{2}-2$这个游戏.在本文中，我们证明了OBreaker有一个获胜的策略，只要$b\geq \frac{5n}{6}+2$。此外，在OBreaker的情况下，需要在每次移动中精确地直接$b$边缘，我们表明，OBreaker赢得了$b\geq \frac{19n}{20}$，只要$n$是足够大的。这驳斥了Bollobás和Szabó的猜想。

2016-05-18math.CO

终端可配对完全图最大度的一个改进上界

An improved upper bound on the maximum degree of terminal-pairable complete graphs

如果存在边不相交路径连接$D$的每个需求边的端顶点，则图$G$相对于与$G$在同一顶点集上的需求多重图$D$是终端可配对的。在本文中，我们改进了最大$Δ(n)$的上界，并证明了$n$顶点上的完全图对于任意最大度至多为$Δ(n)$的需求重图都是终端配对的.这证明了最初由Csaba、Faudree、Gyárfás、Lehel和Schelp提出的一个猜想是错误的。

2017-08-22math.CO

Hajnal无三角形对策极值形式的一个上界

An upper bound on the extremal version of Hajnal's triangle-free game

游戏开始时，$n$顶点上的图是空的，两个玩家交替向图中添加边。只有不形成三角形的移动才是有效的。游戏结束时，达到一个最大的三角形自由图。一个玩家的目标是尽快结束游戏，而另一个玩家则试图延长游戏。在最优博弈中，博弈的长度（博弈的边数）称为$K_3$博弈饱和数。在本文中，我们证明了这个数的上界。

2014-09-29math.CO

二部图和次三度图的星边染色

On star edge colorings of bipartite and subcubic graphs

一个图的星边染色是指没有长为4的$2$ -染色路或圈的正常边染色。$G$的星色指数$χ'_{st}(G)$是使$G$具有带$t$颜色的星边着色的最小数目$t$。我们证明了完全二部图的星色指数的上界，特别是我们得到了紧的上界的情况下，一个部分的大小最多$3$。我们还考虑了二部图$G$，其中一部分中的所有顶点具有最大度$2$，另一部分中的所有顶点具有最大度$b$。设$k$为整数（$k\geq 1$），证明了若$b=2k+1$则$χ'_{st}(G) \leq 3k+2$ ;若$b=2k$则$χ'_{st}(G) \leq 3k$ ;两个上界都是尖锐的.最后，我们考虑了著名的猜想，次三次图的星色指数最多$6$，特别是我们解决了这个猜想的三次Halin图。

2020-01-27math.CO

网格Ramsey问题的一个改进的上界

An improved upper bound for the grid Ramsey problem

对于一个正整数$r$，令$G(r)$是最小的$N$，使得只要笛卡儿积$K_N \times K_N$的边是$r$ -着色的，则存在一个矩形，其中两对相对的边接收相同的颜色。在本文中，我们通过证明$G(r) \leq \Big(1 - \frac{1}{128}r^{-2}\Big) r^{\binom{r+1}{2}}$来改进$G(r)$的上界，当$r$足够大时。不像以前的改进，这是基于限制交叉点大小的集合系统的大小的界限，我们的证明是一种形式的quasirandomness参数。

2018-09-25math.CO

给定阶数的最小边泛圈图

The minimum edge-pancyclic graph of a given order

本文研究了给定阶数简单边泛圈图最小规模的上下界问题，通过引入一类新图改进下界，并构造一族边泛圈图改进上界。

2025-11-03math.CO

墙中另一块砖：计算辅助证明Thrackle的改进上界

Another Brick in the Wall: A Computationally Assisted Proof of an Improved Upper Bound for Thrackles

该研究通过改进Fulek与Pach的算法，计算证明关键哑铃图非Thrackle可实现，结合Xu的框架及相关论证，将Thrackle边数上界改进为n≥4时m≤1.385(n-1)。

2026-10-14math.CO

直径为3的无桥图彩虹连通数的上界

Upper bound for the rainbow connection number of bridgeless graphs with diameter 3

边着色图$G$中的一条路径，其中相邻的边可以具有相同的颜色，如果路径的两条边都不是相同的颜色，则称为彩虹。$G$的彩虹连接数$rc(G)$是$G$存在$G$的$k$ -边染色使得$G$的每对不同的顶点通过彩虹路连接的最小整数$k$.已知对于每个整数$k\geq 2$，判定图$G$是否具有$rc(G)\leq k$是NP-困难的，且具有$rc(G)\leq k$的图$G$具有直径$diam(G)\leq k$ .在前面的文章中，我们证明了直径为2的无桥图的彩虹连接数至多为5。本文证明了直径为3的无桥图的彩虹连通数至多为9。我们还证明了对于任何半径为$r$的无桥图$G$，如果$G$的每条边都包含在三角形中，则$rc(G)\leq 3r$。作为应用，我们得到了对任意最小度至少为3的图$G$，有$rc(L(G))\leq 3 rad(L(G))\leq 3 (rad(G)+1)$ .

2011-10-13math.CO

用林数求彩虹联系数的上界

Upper Bounding Rainbow Connection Number by Forest Number

一个边着色图中的一条路是彩虹的，如果它的两条边都不是相同着色的;如果它的每对顶点之间都有一条彩虹路，那么这个图是彩虹连通的。彩虹连接图$G$所需的最小颜色数是$G$的彩虹连接数，用$\text{rc}(G)$表示。彩虹连接图$G$的一个简单方法是用不同的颜色来着色生成树的边，然后重用这些颜色中的任何一种来着色$G$的其余边。这证明了$\text{rc}(G) \le |V(G)|-1$.我们要问的是，在树状结构和彩虹着色之间，是否存在比上述琐碎论证所暗示的更强的联系。例如，是否有可能找到$\text{rc}(G)$的$t(G) -1$的上界，其中$t(G)$是$G$的最大导出树中的顶点数？答案是否定的，因为有反例表明，对于任何给定的常数$c$，即使$c\cdot t(G)$也不是$\text{rc}(G))$的上限。在这项工作中，我们表明，如果我们考虑森林数$f(G)$，$G$的最大诱导森林中的顶点数，而不是$t(G)$，那么令人惊讶的是，我们确实得到了一个上界。更具体地说，我们证明了$\text{rc}(G) \leq f(G) + 2$。我们的结果表明，彩虹连接和树状结构之间的联系比简单的基于生成树的上限所建议的更强。

2020-06-11math.CO

图的3-彩虹指数的若干上界

Some upper bounds for 3-rainbow index of graphs

边着色图$G$中的树$T$称为{ \em a rainbow tree}，如果没有给$T$的两条边指定相同的颜色. $G$的{ \em $k$ -彩虹着色}是$G$的边着色，其具有以下性质：对于$G$的$k$顶点的每个集合$S$，在$G$中存在彩虹树$T$，使得$S\subseteq V(T)$。在$G$的$k$ -彩虹着色中所需的最小颜色数是{ \em $k$ -$G$的彩虹指数}，由$rx_k(G)$表示。本文考虑了$G$的3-彩虹指数$rx_3(G)$.我们首先证明了对于具有最小度$δ(G)\geq 3$的连通图$G$，$rx_3(G)$的紧上界是$rx_3(G[D])+4$，其中$D$是$G$的连通2-控制集.然后我们确定了$K_{s,t}(3\leq s\leq t)$的一个紧上界和$(P_5,C_5)$ -free图的一个更好的上界。最后，我们得到了一般图的3-彩虹指数的一个精确界。

2013-10-09math.CO

通过二染色三角形族改进Tuza猜想的上界

An improved upper bound for Tuza's conjecture via 2-colorable triangle families

本文针对Tuza猜想，通过研究二染色三角形族的关键性质，将其上界从66/22 ν(G)改进为63/22 ν(G)。

2026-08-25math.CO

2-连通图彩虹2-连通数的一个精确上界

A sharp upper bound for the rainbow 2-connection number of 2-connected graphs

边着色图中的一条路称为{ \em rainbow}，如果它的两条边都不着色相同.对于$\ell$ -连通图$G$和具有$1\leq k\leq \ell$的整数$k$，定义$G$的{ \em彩虹$k$ -连接数} $rc_k(G)$为给$G$的边着色所需的最小颜色数，使得$G$的每两个不同的顶点至少由$k$内部不相交的彩虹路径连接. Fujita et.等人提出了一个问题：什么是最小常数$α>0$，使得对于所有2-连通图$G$在$n$顶点上，我们有$rc_2(G)\leq αn$ .本文证明了$α=1$和$rc_2(G)=n$当且仅当$G$是$n$阶圈，从而解决了这个问题.

2012-04-11math.CO

图的彩虹不连通数的界

Bounds for the rainbow disconnection number of graphs

边着色连通图的边割$R$称为彩虹割，如果边割中没有两条边着色相同.一个边着色图是彩虹不连通的，如果对于图的任意两个不同的顶点$u$和$v$，存在一个分隔它们的$u$ - $v$ -彩虹割.对于连通图$G$，$G$的彩虹不连通数，记为rd $(G)$，定义为使$G$彩虹不连通所需的最小颜色数。本文首先给出了rd $(G)$的几个紧上界，并对满足Nordhaus-Gaddum型结果上界的图进行了完全刻画.其次，我们提出了一个猜想：$λ^+(G)\leq \textnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$，其中$λ^+(G)$是上边连通度，并证明了这一猜想在许多图类中的适用性，最后，我们给出了图$G$的rd $(G)$与$G$的线图$L(G)$的彩虹点不连通数rvd $(L(G))$之间的关系.

2020-03-30math.CO

关于避免者-执行者对策中的分离猜想

On the separation conjecture in Avoider-Enforcer games

给定一个固定的图$H$，它至少有两条边和正整数$n$和$b$，在$K_n$的边集上进行的严格的$(1 \colon b)$-Enforcer $H$ -博弈有以下规则：在每一轮中，Avoider只选择一条边，然后Enforcer只选择$b$边。当且仅当包含她/他的边的子图在$K_n$的所有边被取之后是$H$ -free时，避免者获胜。图$H$相对于$n$的下限阈值是最大的$b_0$，对于该最大的$b_0$，Enforcer对于在$K_n$上进行的任何$(1\colon b)$-游戏具有获胜策略，并且上限阈值是最大的$b$，对于该最大的$b$，Enforcer赢得$(1 \colon b)$游戏。Hefetz、Krivelevich、Stojaković和Szabó的分离猜想指出，对于任何连接的$H$，在$K_n$上进行的回避者-执行者$H$ -博弈的下限阈值和上限阈值在$n$中的顺序不同。到目前为止，这个猜想只被Grzesik，Mikalački，Nagy，Naor，Patkos和Skerman验证过。我们发现，猜想成立的每一个连通图$H$，最多一个周期（和至少两个边缘），多项式之间的分离的下限和上限阈值。我们还证明了一个上界的下限阈值的任何图$H$至少有两个边缘，并表明，这个界是紧的所有图，其中每个连通组件包含最多一个循环。在此过程中，我们建立了一些数论工具，这些工具可能对这类其…

2019-01-30math.CO

关于图的广义（边）连通度

On the generalized (edge-)connectivity of graphs

图$G$的广义$k$ -连通性$κ_k(G)$是由Chartrand等人在1984年提出的.引入广义$k$ -边缘连通性$λ_k(G)$的概念是很自然的。对于一般的$k$，得到了完全图的广义$k$ -边连通度。对于$k\geq 3$，给出了$κ_k(G)$和$λ_k(G)$的紧上界和下界，即对于$n$阶连通图$G$，给出了$1\leq κ_k(G)\leq n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$和$1\leq λ_k(G)\leq n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$ .阶$n$的图，使得分别表征$κ_k(G)=n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$和$λ_k(G)=n-\lceil\frac{k}{2}\rceil$。Nordhaus-Gaddum型结果也得到了广义$k$ -连通性。对于$k=3$，我们研究了图的边连通度与广义3-边连通度之间的关系。利用图$G$的边连通度$λ$，得到了图$G$的$λ_3(G)$的上、下界，即$\frac{3λ-2}{4}\leq λ_3(G)\leq λ$，并给出了两个图类，证明了上、下界是紧的.从这些界出发，我们得到了当$G$是连通平面图时的$λ(G)-1\leq λ_3(G)\leq λ(G)$，以及图与线图的广义3-连通度与广义3-边连通度之间的关系。

2013-05-14math.CO

图的对策色指数的一个新的上界

A new upper bound on the game chromatic index of graphs

我们研究的两个球员的游戏中，制造商和断路器交替着色的边缘，一个给定的图$G$与$k$颜色，使相邻的边缘永远不会得到相同的颜色。Maker的目标是在游戏结束时，所有边都是彩色的。反之亦然，只要有一个未着色的边缘，每个颜色都被阻挡，断路器就赢了。游戏色指数$χ'_g(G)$表示Maker具有获胜策略的最小$k$。平凡界$Δ(G) \le χ_g'(G) \le 2Δ(G)-1$对每个图$G$成立，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。在2008年，Beveridge，Bohman，Frieze和Pikhurko证明了对于每个$δ>0$，存在一个常数$c>0$，使得$χ'_g(G) \le (2-c)Δ(G)$对任何具有$Δ(G) \ge (\frac{1}{2}+δ)v(G)$的图都成立，并证明了这同样对每个图$G$都成立。本文证明了$χ'_g(G) \le (2-c)Δ(G)$对所有具有$Δ(G) \ge C \log v(G)$的图$G$都成立.此外，我们考虑一个有偏见的版本的游戏，其中断路器被允许颜色$b$边缘每回合，并给出边界上的颜色数量需要制造商赢得这个有偏见的游戏。

2018-02-13math.CO

关于图的彩虹指数的上界的注记

Note on the upper bound of the rainbow index of a graph

边着色图$G$中的一条路径，如果它的每两条边接收不同的颜色，则它是彩虹路径，其中相邻的边可以着色相同。连通图$G$的彩虹连接数，记为$rc(G)$，是对$G$的边进行着色所需的最小颜色数，使得$G$的每两个顶点之间存在连接彩虹路径。类似地，$G$中的树是彩虹树，如果它的两条边没有接收到相同的颜色。在$G$的边着色中需要的颜色的最小数量被称为$V(G)$的$k$彩虹索引，其被表示为$rx_k(G)$，其中$k$是整数，使得$2\leq k\leq n$。Chakraborty等人得到了如下结果：对于每个$ε> 0$，最小度至少为$εn$的连通图有界彩虹连通，其中界仅依赖于$ε$ . Krivelevich和Yuster证明了如果$G$有$n$顶点和最小度$δ(G)$则有$rc(G)<20n/δ(G)$ .这个界限后来被Rewran等人改进为$3n/(δ(G)+1)+3$。由于$rc(G)=rx_2(G)$，一个自然的问题出现了：对于一般的$k$，确定$rx_k(G)$作为最小度$δ(G)$的函数的真实行为。本文利用$G$的最小度$δ(G)$，通过Szemerédi正则引理、连通$2$ -步控制集、连通$(k-1)$ -控制集和$k$ -控制集，给出了$rx_k(G)$的上界.

2014-07-22math.CO

边划分到诱导-2K₂-自由双图

Edge partitions into induced-$2K_2$-free bipartite graphs

University of Szeged（塞格德大学）

本文研究了将双图边划分到诱导-2K₂-自由双图的问题，确定了最小部分数并探讨了相关界限和复杂性。

2026-02-28math.CO

曲面图中控制相关参数的上界

Upper bounds for domination related parameters in graphs on surfaces

本文利用图的阶和欧拉示性数给出了图的全控制数、弱连通控制数和连通控制数的紧上界.利用图的可定向/不可定向亏格和最大度给出了图的约束束缚数、总约束束缚数和约束边连通度的上界.

2013-10-06math.CO

$MD$ -数的上界与极图的刻画

Upper bounds for the $MD$-numbers and characterization of extremal graphs

对于边着色图$G$，如果$M$的边着色为相同的颜色，则称$G$的边割$M$为单色图。图$G$称为单色不连通图，如果图$G$的任意两个不同的顶点被单色边割分开.对于连通图$G$，$G$的单色断开数（或简称$MD$ -number），用$md(G)$表示，是为了使$G$单色断开而允许的最大颜色数。对于直径为1的图，它们是完全图，因此它们的$MD$ -数是$1$。对于直径至少为3的图，我们可以构造$2$ -连通图，使得它们的$MD$ -数可以任意大;而对于直径为2的图$G$，我们证明了如果$G$是$2$ -连通图，则$md(G)\leq 2$，如果$G$有割点，则$md(G)$等于$G$的块数.因此，我们将重点研究直径为2的PDMATHAMR-连通图，并分别给出了它们的$MD$ -数依赖于连通度和独立数的两个上界。我们还刻画了$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ -连通图（具有大连通度）的图，其$MD$ -数是$2$，并且$2$ -连通图（具有小连通度）的$MD$ -数达到上界$\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor.$对于连通度小于$\frac n 2$的图，我们证明了如果图的连通度与其阶$n$是线性的，则它的$MD$ -数的上界是一个常数，这暗示我们留下一个猜想：对于$k$ -连通图$G$，$md(G)\leq…

2020-09-04math.CO

平点集三角剖分数的一个较好上界

A better upper bound on the number of triangulations of a planar point set

证明了平面上基数为$n$的点集不能是其凸包的多个$59^n O(n^{-6})$直边三角剖分的顶点集。这改进了$276.75^n$的先前上界。

2002-04-18math.CO

Berge饱和数的线性上界

A linear upper bound for Berge saturation numbers

School of Mathematics and Statistics, Fuzhou University（福州大学数学与统计学院）

本文针对至少含一条边的固定有限简单图$F$，证明了$k$均匀超图的Berge-$F$-饱和数$\text{sat}_k(n,\text{Berge-}F)$为$O_{F,k}(n)$，即存在线性上界，解决了相关猜想的单图情形。

2026-10-09math.CO