On the Nonexistence of Some Generalized Folkman Numbers
对于一个无向简单图$G$，我们记为$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$当且仅当对于它的每个顶点的红-蓝着色，存在一个红色的$H_1$或一个蓝色的$H_2$。广义顶点Folkman数$F_v(H_1, H_2; H)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$H$图$G$，使得$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$ .当考虑边的着色时，广义边Folkman数$F_e(H_1, H_2; H)$的定义与此类似.我们表明，$F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$和$F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$是很好地定义为$k \geq 3$。我们证明了某些$H$，特别是$H=B_3$，其中$B_k$是$k$三角页的书图，和$H=K_1+P_4$的$F_e(K_3,K_3;H)$的不存在性.本文提出了三个关于广义Folkman数的问题，包括边Folkman数$F_e(K_3, K_3; B_4)$，$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$和$F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$的存在性问题.我们的结果导致了一些一般的不等式涉及双色和B-Folkman数。
2018-06-19 math.CO
On the Vertex Folkman Numbers $F_v(2,...,2;q)$
对于一个图$G$的符号$G\tov(a_1,...,a_r)$意味着在每个$G$的顶点的$r$ -着色对于一些$i\in\{1,...,r\}$存在一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数\[ \FN=\min\{|V(G)|:G\tov(a_1,...,a_r)\text{and}K_q\nsubseteqq G\} \]。本文将在$k\le 12$和$r$足够大时计算Folkman数$F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-k+1)$.我们还证明了一些顶点和边Folkman数的新的界限。
2009-03-23 math.CO
A Folkman Linear Family
对于图形$F$和$G$，令$F\to (G,G)$表示$F$的任何红/蓝边着色包含单色$G$。定义Folkman数$f(G;p)$为图$F$的最小阶，使得$F\to (G,G)$和$ω(F) \le p$。本文证明了具有$Δ(G)\le Δ$的$n$阶图$G$的$f(G;p)\le cn$，其中$Δ\ge 3$，$c=c(Δ)$和$p=p(Δ)$是正常数.
2014-09-03 math.CO
Edge-transitive graphs of small order and the answer to a 1967 question by Folkman
本文介绍了一种利用小度传递置换群的忠实表示求所有小阶边传递图的方法，并说明了如何用这种方法求出阶数达到$47$的所有边传递图和阶数达到$63$的所有二部边传递图.我们也给出了一个答案，1967年的问题Folkman关于半对称图的大价，事实上，我们表明，半对称图的顺序$2n$和价$d$，比例$d/n$可以任意接近$1$。
2018-08-16 math.CO math.GR
Ramsey properties of random graphs and Folkman numbers
对于两个图，$G$和$F$，以及一个整数$r\ge2$，如果$G$的边的每个$r$ -着色都导致$F$的单色副本，则我们写为$G\rightarrow (F)_r$。1995年，前两个作者建立了Ramsey性质$G(n,p)\to (F)_r$的阈值边概率，其中$G(n,p)$是一个随机图，通过将完全图的每条边独立地包含在$n$顶点上而获得，概率为$p$。最初的证明是基于Szemerédi的正则性引理，这导致了所涉及的参数之间的塔式依赖关系。在这里，对于$r=2$，我们提供了一个独立的证明的定量版本的拉姆齐阈值定理，只有双指数之间的依赖关系的常数。作为推论，我们得到了双色Folkman数的一个双指数上界。通过一种不同的证明技术，康伦和高尔斯独立地得到了类似的结果。
2016-07-15 math.CO
An exponential-type upper bound for Folkman numbers
对于给定的整数$k$和$r$，Folkman数$f(k;r)$是图$G$中的最小顶点数，该图在$k+1$顶点上不包含团，但对于它的每一个边划分成$r$部分，某个部分包含一个$k$阶团。Folkman（1970）对$r=2$以及Nešetzil和Rödl（1976）对任意$r$证明了Folkman数的存在性（有限性），但是这些证明导致了$f(k;r)$上界非常弱。最近，Conlon和Gowers分别独立地得到了$f(k;2)$上的一个双指数界.在这里，我们建立了一个进一步的改进，通过显示$f(k;r)$上的上界是指数的多项式函数的$k$和$r$。这与已知的下限$2^{Ω(rk)}$相当。我们的证明依赖于Saxton和Samason（2015）的最新结果（或者，Balogh，Morris和Samotij（2015）的最新结果），从中我们推导出随机图中Ramsey定理的定量版本。
2016-03-01 math.CO
On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$
图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$
2019-04-23 math.CO
On Small Folkman Graphs Arrowing $K_2$ or $K_3$
Rochester Institute of Technology（罗切斯特理工学院）
本文研究了小Folkman数，针对k≤4且a_i∈{2,3}的情况，排除了K₄、K₅、K₆及J₄、J₅等图，证明了W₅自由图中F_e(3,3;W₅)的存在性，并探讨了F_v(3,3;¬P₂∪P₃)的理论结果。
2026-05-15 math.CO
On Some Generalized Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_i\ge 1$，表达式$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$表示对于$G$的顶点的任何$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1,\cdots,r\}$，在$G$中存在单色$a_i$ -团.顶点Folkman数定义为$F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$是$H$ -free和$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中$H$是一个图.此类顶点Folkman数已针对$H=K_s$和$s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$进行了广泛研究。如果所有$i$都是$a_i=a$，那么我们使用符号$F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令$J_k$是缺少一条边的完全图$K_k$，即$J_k=K_k-e$。在这项工作中，我们专注于顶点Folkman数与$H=J_k$，特别是$k=4$和$a_i\le 3$。1976年Nešetzil和Rödl的一个结果意味着$F_v(3^r;J_4)$对于任何$r\ge 2$都是定义良好的。我们提出了一个新的和更直接的证明这一事实。最简单但已经很有趣的情况是$F_v(3,3;J_4)$，我们通过使用$J_4$ -free过程建立了135的上限。我们获得了其他一些小的情况下，$F_v(a…
2022-12-08 math.CO
A Generalization of Schur's Theorem
本文是作者1968年的博士论文[耶鲁大学，1968年]的摘录，其中（现在）众所周知的结果，通常被称为Folkman-Rado-Sanders定理，证明。证明使用（有限）交替总和的整数和一个'迭代拉姆齐定理'的方式类似于证明舒尔定理使用差异的整数和拉姆齐定理着色的边缘的完全图。这个证明比其他所有的都要早，除了J. Folkman，他的证明基于范德瓦尔登定理。这篇论文还包含了该定理可数版本的第一个公开声明，后来被误认为是格雷厄姆和罗斯柴尔德的，但比他们的声明早了三年。
2017-12-11 math.CO
Edge-signed graphs with smallest eigenvalue greater than -2
给出了最小特征值大于-2的边符号图的结构分类。证明了Hoffman在20世纪70年代提出的关于树的线图的最小特征值的猜想。此外，我们还证明了一个更一般的结果，将Hoffman的结论推广到所有最小特征值大于-2的边符号图。我们的结果给出了最小特征值大于-3的胖Hoffman图的一个特殊分类。
2014-08-14 math.CO
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
2023-09-18 math.CO
Cohen-Macaulay edge-weighted graphs of girth $5$ or greater
本文对底层图围长至少为5的边加权图进行完全分类，从而扩大了Cohen-Macaulay边加权图的已知范围。
2023-09-24 math.AC math.CO
Coloring H-free Hypergraphs
修正$r \ge 2$和一组$r$ -均匀超图$\cH$。一个色数大于$k$的无$\cH$的$r$ -一致超图的最小边数是多少.我们调查这个问题的各种$\cH$。我们的结果包括：一个$(r,l)$ -系统是一个$r$ -一致超图，它的每两条边共享最多的$l$顶点。对于足够大的$k$，色数大于$k$的$(r,l)$ -系统中的最小边数至多为$c(k^{r-1}\log k)^{l/(l-1)}$，其中$$c<...$$这改进了以前的Kostochka-Mubayi-Rödl-Tetali \cite{KMRT}的最佳界。除了如\cite{KMRT}中所示的常数$c$之外，上限是尖锐的。具有独立邻域且色数大于$k$的$r$ -一致超图的最小边数是$\tilde k^{r+1/(r-1)}$阶为$k \to \infty$ .这推广（除了对数因子）的结果Gimbel和Gillassen \cite{GT}的三角形自由图。设$T$是$t$边的$r$ -一致超树.则每个$T$ -free $r$ -均匀超图的色数至多为$p(t)$，其中$p(t)$是$t$中的多项式.这推广了一个著名的事实，即每个$T$ -free图的色数至多为$t$ .还提出了几个开放的问题和建议。
2009-02-17 math.CO
Vertex and edge metric dimensions of unicyclic graphs
在图G中，区分V（G）中每个元素的最小有序顶点集的基数（分别为V（G）和V（G））。E（G））称为顶点（resp.边）度量维数。在[16]中证明了单圈图G的顶点和边度量维数总是从两个显式给定的连续整数中取值，这些整数是从图的结构中导出的。一个自然出现的问题是确定在什么条件下这些尺寸采取两个可能的值。在本文中，对于这两个度量维度，我们描述了三个图形配置，并证明了它需要更大的两个可能的值，当且仅当该图包含至少一个这些配置。其中一个配置对于两个维度都是相同的，而另外两个配置对于每个维度都是特定的。这使我们能够建立一个单圈图的度量维数的精确值，也可以刻画这两个维度中的每一个何时大于另一个。
2021-04-01 math.CO
Graphs with obstacle number greater than one
图$G$的\emph{obstacle representation}是$G$在平面中的直线图以及平面的连接子集的集合，称为\emph{obstacles}，其阻挡$G$的所有非边，而不阻挡$G$的任何边。\emph{obstacle number} obs $(G)$是表示$G$所需的最小障碍物数量。研究了障碍数大于1的图的结构。我们证明了二十面体有障碍数$2$，从而回答了Alpert，Koch，\& Laison提出的一个问题：是否所有平面图都有障碍数至多$1$ .我们还表明，$1$ -骨架的一个相关的多面体，\emph{gyroelongated $4$-dipyramid}，有障碍数$2$。这个图的阶是$10$，这也是已知的最小的具有障碍数$2$的图的阶。我们的一些方法涉及到可满足性问题的实例，我们利用各种“SAT求解器”来产生计算机辅助证明。
2017-04-06 math.CO
Forced Edges and Graph Structure
对于度序列，我们定义出现在该序列的每个标记实现中的边的集合为强制的，而出现在任何一个中的边为禁止的。我们研究的结构图的度序列包含强迫或禁止的边缘。在我们展示的东西中，我们确定了强迫或禁止边缘集的结构，强迫和禁止集的大小之间的关系，以及由此产生的结构后果，以实现它们。这包括证明包含强制边或禁止边的度序列的每个实现的直径不大于大于3，并且这些图是最大边连通的。
2017-11-15 math.CO
Half-arc-transitive graphs of arbitrary even valency greater than 2
半弧传递图是指点传递和边传递但不是弧传递的正则图。如果这样的图具有有限的价，则它的价是偶数，并且大于$2$。在1970年，Bouwer证明了存在一个半弧传递图的每一个偶数价大于2，通过给出一个家庭的图现在被称为$B(k,m,n)$的建设，定义为所有三元$(k,m,n)$的整数大于$1$与$2^m \equiv 1 \mod n$。在每种情况下，$B(k,m,n)$是一个$2k$ -价顶点和边传递图的顺序$mn^{k-1}$，和Bouwer表明，$B(k,6,9)$是半弧传递的所有$k > 1$。近45年的问题，究竟是半弧传递，哪些是弧传递的Bouwer的图一直悬而未决，尽管许多尝试回答it. In本文中，我们使用一个循环计数参数证明，几乎所有的图构造的Bouwer是半弧传递。事实上，我们证明了$B(k,m,n)$是弧传递的，只有当$n = 3$，或$(k,n) = (2,5)$，%和$m$是$4$，或$(k,m,n) = (2,3,7)$或$(2,6,7)$或$(2,6,21)$的倍数。特别地，当$m > 6$和$n > 5$时，$B(k,m,n)$是半弧传递的。这给出了一个简单的方法来证明，有无限多个半弧传递图的每个偶数价$2k > 2$。
2015-05-09 math.CO
On Factors with Prescribed Degrees in Bipartite Graphs
我们建立了一个新的判定双图是否有满足给定度条件的子图的准则。证明了偶图$G[X,Y]$有一个生成子图$F$使得$g(x)\leq deg_F(x) \leq f(x)$对于$x\in X$，$deg_F(y) \leq f(y)$对于$y\in Y$当且仅当$\sum\nolimits_{b\in B} f(b)\geq \sum\nolimits_{a\in A} \max \big\{0, g(a) - deg_{G-B}(a)\big\}$对于$A\subseteq X, B\subseteq Y$ .使用Folkman-Fulkerson定理，Cymer和Kano找到了一个不同的标准，用于存在这样的子图（Graphs Combin. 32（2016），2315- 2322）。我们的证明是独立的，并依赖于交替路径技术。作为应用，我们证明了霍尔定理的下列推广。一个偶图$G[X,Y]$，其中每条边至少有$m$的重数，有一个子图$F$，其中$g(x)\leq deg_F(x)\leq f(x)\leq deg(x)$为$x\in X$，$deg_F(y)\leq m$为$y\in Y$当且仅当$\sum_{y\in N_G(S)}f(y)\geq \sum_{x\in S}g(x)$为$S\subseteq X$。
2022-03-23 cs.DM math.CO
Edge-decompositions of $O(m)$-edge-connected graphs into isomorphic copies of a fixed tree of size $m$
本文证明在 $O(m)$ 边连通且满足一定最小度或围长条件下，大小为 $m$ 的倍数的简单图可边分解为任意给定大小为 $m$ 的树的同构副本，从而将此前边连通度的阶乘上界改进为线性量级。
2024-08-31 math.CO
Bandwidth reduction in rectalgular grids
我们表明，一个正方形的任意大小的二维网格的带宽可以减少，如果两个（但不小于两个）的边缘被删除。两个删除的边不能任意选择，但它们可以选择为共享公共端点或不相邻。我们还表明，矩形n × m（m大于或等于n）网格的带宽可以减少k，对于所有的k是足够小的，如果m-n+2k边缘被删除。
2003-05-26 math.CO
On the roots of all-terminal reliability polynomials
给定一个图$G$，其中每条边都以概率$q\in[0,1],$独立失效，则$G$的全终端可靠性是$G$的所有顶点可以彼此通信的概率，即操作边跨越图的概率。全终端可靠性是$q$中的一个多项式，其根（全终端可靠性根）被Brown和Colbourn证明为模至多为$1$。Royle和Sokal证明了这个猜想是错误的，他们找到了比$1$稍大的模的根。在这里，我们提出的第一个非平凡的上界的模的任何所有终端的可靠性根，在图的顶点数。我们还发现所有终端的可靠性根的模量比任何以前已知的。最后，我们考虑单图的所有终端的可靠性根，我们提出了最小的已知单图的所有终端的可靠性根的模大于$1,$，我们发现单图的所有终端的可靠性根的模大于$1$，具有更高的边连通度比任何以前已知的例子。
2017-03-30 math.CO
Decomposition of random graphs into complete bipartite graphs
本文考虑图$G$的边集的最小划分问题，即边不相交的完全二部子图的最小个数为$τ(G)$。我们证明了对于随机图$G$在$G(n,p)$中，对于$p$是不大于$1/2$的常数，对于任何正的常数$c$和$ε$，几乎必然$τ(G)$在$n- c(\ln_{1/p} n)^{3+ε}$和$n - 2\ln_{1/(1-p)} n$之间。
2015-11-26 math.CO
On Rainbow Cycles and Proper Edge Colorings of Generalized Polygons
一个单图$G$的边着色称为\textit{proper rainbow-cycle-forbidding}（PRCF），如果没有两个关联边接收相同的颜色，并且对于$G$中的任何一个圈，该圈中至少有两个边接收相同的颜色.如果图$G$允许PRCF边着色，则它被定义为\textit{PRCF-good}，否则它被认为是\textit{PRCF-bad}。在最近的工作中，Hoffman等人研究了PRCF边着色，并发现了许多围长小于或等于4的PRCF-坏图的例子。然后，他们问是否存在这样的图具有周长大于4。在我们的工作中，我们给出了一个简单的计数参数表明，霍夫曼-辛格尔顿图回答这个问题的情况下，围长5肯定的。然后，它表明，某些广义多边形，构造足够大的顺序，也是PRCF坏，从而证明存在的PRCF坏图的围长为6，8，12，和16。
2021-06-09 math.CO
Edge-connectivity keeping trees in $k$-edge-connected graphs
本文研究删除树后仍保持 $k$-边连通性的问题，证明了删除相邻顶点对的结果，并给出任意给定阶数树可被删除且保持边连通性的最小度条件。
2023-12-10 math.CO
A strengthening of the spectral chromatic critical edge theorem: books and theta graphs
Simonovits的色临界边定理指出，对于给定的具有$χ(H)=k+1$的色临界图$H$，存在一个$n_0(H)$使得在$n \geq n_0(H)$的条件下，图兰图$T_{n,k}$是关于$ex(n,H)$的唯一极值图.尼基福罗夫的先驱工作谱图理论意味着颜色临界边定理也成立，如果$ex(n,H)$是由最大谱半径和$n_0(H)$是指数函数的$|H|$。我们想知道哪些色临界图$H$满足$n_0(H)$是$|H|$的线性函数。以前的图包括完全图和奇圈。在本文中，我们发现两个新的类图：书籍和theta图。也就是说，我们证明了$n$顶点上的每一个具有$ρ(G)>ρ(T_{n,2})$的图都包含一个大小大于$\frac{n}{6.5}$的书。这可以被看作是1962年Erdibs猜想的一个谱版本，该猜想指出，$n$顶点上具有$e(G)>e(T_{n,2})$的每个图都包含一本大小大于$\frac{n}{6}$的书。另外，我们关于θ图的结果表明，如果$G$是一个阶为$n$且具有$ρ(G)>ρ(T_{n,2})$的图，则对于每个$t\leq \frac{n}{7}$，$G$包含一个长度为$t$的圈.这与Nikiforov提出的一个开放问题有关，该问题要求确定最大$c$，使得每个具有足够大阶$n$和$ρ(G)>ρ(T_{n,2})$的图$G$对于每个$t\leq cn$都包含长度为$t$的循环。
2021-09-14 math.CO
Complete subgraphs in multipartite graphs
Turan定理指出，每一个具有一定边密度的图都包含一个完全图$K^k$，并描述了唯一的极图。我们对l-部图给出了一个类似的定理。对于大的l，我们找到了最小边密度$d^k_l$，使得每一个$\ell$ -部图，其部分的两两边密度大于$d^k_l$，都包含一个$K^k$ .事实证明，$d^k_l=(k-2)/(k-1)$对于足够大的l。我们还描述了极图的结构。对于三角形的情况下，我们表明，$d^3_{13}=1/2$，反证一个猜想邦迪，沉，Zeroasse和Zeroassen。
2009-10-08 math.CO
On the Three Colorability of Planar Graphs
一个可平面图的色数不大于4，这是著名的四色定理所知道的，当可平面图是二部图时，色数等于2。当可平面图是偶三角剖分图或所有圈都大于3时，由Heawood定理和Grotszch定理可知，平面图的色数为3。当可平面图具有特定的圈长或三边圈（三角形）具有特定的距离分布时，关于这类图的三个可着色性已有许多的讨论和部分结果。本文给出了可平面图的一个新的三可染性准则，它是Heawood定理和Grotszch定理关于三角剖分和长度大于大于3的圈的推广.我们证明了具有不相交洞的三角化可平面图是3-可着色的当且仅当每个洞满足奇偶对称性质，其中洞是长度大于3的圈（面边界）。
2009-01-17 math.CO
Decomposing highly edge-connected graphs into homomorphic copies of a fixed tree
Barát和Barrassen的树分解猜想指出，对于每一棵树$T$，存在一个自然数$k(T)$，使得以下成立：如果$G$是一个$k(T)$ -边连通单图，其大小可被$T$的大小整除，则$G$可以边分解为与$T$同构的子图。到目前为止，这个猜想只在路径、恒星和一个双恒星族中得到了验证。我们证明了一个较弱的版本的树分解猜想，我们需要在分解的子图是同构的图，可以从$T$的顶点标识。我们称这样的子图为$T$的同态拷贝。这意味着在$G$的围长大于$T$的直径的附加约束下的树分解猜想。作为一个应用，我们验证了树分解猜想的直径最多为4。
2016-03-01 math.CO
Vertex and edge metric dimensions of cacti
在一个图G中，一个顶点（或边缘）度量生成器是一组顶点S，使得任何一对顶点（分别为边）与G的区别在于至少有一个顶点与S的区别：最小顶点的基数（相应地，边缘）度量生成器是顶点（或在[19]中，我们确定了G的顶点（分别为）度量维数。边）度量维数，它从两个连续的整数中取值。其中，几个循环配置被引入和顶点（分别）。边缘）度量维度仅在这些配置中的任一个存在于图中时才取两个连续值中的较大者。在本文中，我们推广的结果，仙人掌图，即图中的所有圈是两两边不交的。我们这样做，定义一个单循环的子图G的每个周期G和应用已经介绍的方法，涉及单循环图的配置。所得结果使我们能够证明仙人掌的圈秩猜想。他们还产生了一个简单的上界的仙人掌图的度量维数，我们得出结论的文件，通过说明，同样的上界持有一般。
2021-07-03 math.CO
Modulo orientations with bounded out-degrees
设$G$是一个图，$k$是一个正整数，$p:V(G)\rightarrow Z_k$是一个与$|E(G)| \stackrel{k}{\equiv}\sum_{v\in V(G)}p(v) $的映射。在本文中，我们表明，如果$G$是$(3k-3)$ -边连接，那么它有一个方向，使每个顶点$v$，$|d^+_G(v)-d_G(v)/2| < k$ ;也如果$G$包含$2k-2$边不相交的生成树，那么它承认这样的方向，但通过施加更大的度外界。
2022-05-16 math.CO
Properties, Proved and Conjectured, of Keller, Mycielski, and Queen Graphs
我们证明了关于三个图族的几个结果。对于皇后图，定义从国际象棋皇后通常的举动，我们发现边色数在几乎所有的情况下。在未经证明的情况下，我们有一个猜想支持了大量的计算，其中涉及到一个新的边着色算法的发展。猜想是边色数是最大度，除非简单的算术迫使边色数比最大度大大于1。对于Mycielski图，我们通过证明它们是Hamilton连通的（除了M（3），它是一个圈），加强了一个旧的结果：图是Hamilton的.对于Keller图G（d），在所有情况下，我们建立了G（d）的色数、边色数和独立数的精确值，并得到了除5 <= d <= 7以外的所有情况下的团覆盖数.我们还研究了Keller图的Hamilton分解，得到了G（6）上的Hamilton分解.
2016-06-25 math.CO
Quest for graphs of Frank number $3$
在图$G$的方向$O$中，当且仅当$O-e$是强连通的时，边$e$是可删除的。对于一个$3$ -边连通图$G$，Hörsch和Szigeti定义了Frank数为最小$k$，对于该最小$k$，$G$允许$k$方向，使得$G$的每条边$e$在至少一个$k$方向上是可删除的.他们证明了对每个$3$ -边连通图$G$，Frank数至多为$3$.他们证明了Petersen图具有Frank数$3$，但这是唯一具有此性质的例子。本文给出了一类具有Frank数$3$的图. Hörsch和Szigeti证明了每一个$3$ -边可着色的$3$ -边连通图至多有$3$的Frank数.考虑非$3$边可着色图作为Frank数大于$2$的候选图是很有吸引力的。有时候，讽刺是找到关键例子或反例的好来源。人们可能会怀疑各种snark都应该有Frank编号$3$。然而，我们证明了几个候选无限类的snark具有Frank数$2$。以及广义Petersen图$GP(2s+1,s)$。我们根据自己的经验制定了许多计划。
2022-09-19 math.CO
The regularity method for graphs with few 4-cycles
我们开发了一个稀疏图的正则性方法，适用于很少的4-圈的图，包括新的计数和删除引理，在这样的图5-圈。一些应用包括：* 通过删除$o(n^{3/2})$边，可以使每个不含5-圈的$n$ -顶点图成为无三角形图。* 对于$r \geq 3$，每个围长大于$5$的$n$ -顶点$r$ -图都有$o(n^{3/2})$边. * 方程$x_1 + x_2 + 2x_3 = x_4 + 3x_5$没有非平凡解的$[n]$的每个子集都有大小$o(\sqrt{n})$。
2021-09-25 math.CO
Monochromatic cycles and the monochromatic circumference in 2-coloured graphs
Li，Nikiforov和Schelp证明了阶数为n且最小度严格大于大于3 n/4的2-边着色图G包含一个长度为l的单色圈，对所有l至少为4且至多为n/2.我们证明了这个猜想足够大的n，也发现所有2-边着色图的最小程度等于3 n/4，不包含所有这样的周期。最后，我们证明了，对于所有的正常数d和足够大的n，一个最小度至少为3 n/4的n阶2-边着色图G要么包含一个长度至少为（2/3+d/2）n的单色圈，要么在两种颜色之一中包含一个长度在3到（2/3-d）n之间的圈.
2011-07-26 math.CO
On Bondage Numbers of Graphs -- a survey with some comments
一个非空图$G$的束缚数是最小边集的基数，该边集从$G$中移除后，图的控制数大于$G$的控制数。本讲对束缚数作了一个综述，包括已有的结果、存在的问题和解决办法。我们还总结了其他类型的束缚数。
2012-04-18 math.CO
Partially ordering the class of invertible trees
树T是可逆的当且仅当T有完美匹配。Godsil研究了一棵可逆树T，发现T的邻接矩阵的逆矩阵在{0，1，-1}中有元素，并且是包含T的图的带符号邻接矩阵.本文给出了这一定理的一个新的证明，它在2n个顶点上的所有可逆树的类上产生了一个偏序关系。特别地，我们证明了，给定一个可逆树T的逆图有严格更多的边缘，我们可以从T中删除一个边缘，并添加另一个边缘，以获得一个可逆树T'的中位数特征值是严格更大。这自然地扩展到偏序。我们刻画了这个偏序集的极大元和极小元，并探讨了可逆树的中值特征值的含义。
2018-03-19 math.CO
On subgraphs of $C_{2k}$-free graphs and a problem of Kühn and Osthus
设$c$表示最大常数，使得每个$C_{6}$ -free图$G$包含一个二部且$C_4$ -free子图，该子图具有$c$分数的边. Gyatriri等人表明，$\frac{3}{8} \le c \le \frac{2}{5}$ .我们证明了$c=\frac{3}{8}$ .更一般地，我们表明，任何$\varepsilon>0$，和任何整数$k \ge 2$，有一个$C_{2k}$ -自由图$G_1$不包含一个二部子图的周长大于$2k$与超过$\left(1-\frac{1}{2^{2k-2}}\right)\frac{2}{2k-1}(1+\varepsilon)$分数的$G_1$的边缘。还存在一个$C_{2k}$ -free图$G_2$，它不包含一个二部且$C_4$ -free子图，且$G_2$的边的个数不超过$\left(1-\frac{1}{2^{k-1}}\right)\frac{1}{k-1}(1+\varepsilon)$.我们的证明之一使用以下声明，我们证明使用概率的想法，推广一个定理的Erdibs：对于任何$\varepsilon>0$，和任何整数$a$，$b$，$k \ge 2$，存在一个$a$ -均匀超图$H$的围长大于$k$不包含任何$b$ -可着色子超图超过$\left(1-\frac{1}{b^{a-1}}\right)\left(1+\varepsi…
2017-08-17 math.CO
Bondage number of grid graphs
非空图$G$的束缚数$b(G)$是最小边集的基数，从$G$中移除这些边会导致图的控制数大于$G$的控制数。本文研究了一类格状图的束缚数。在这个意义下，我们得到了两条路的强积和直积的束缚数的一些界或精确值。
2014-01-15 math.CO
Chromatic Number Via Turan Number
图G的Kneser表示KG（H）是超图H的超边到G的顶点的双射赋值，使得G的两个顶点相邻当且仅当对应的超边不相交.本文引入了图的着色图兰数，并利用图的广义图兰数来确定某些图族的色数.特别地，我们确定了每个Kneser多重图KG（H）的色数，这里H的顶点集是多重图G的边集，使得每条边的重数大于1，H中的一个超边对应于G的一个子图，该子图同构于给定的单图族中的某个图.
2015-10-23 math.CO
Extremal Aspects of the Erdős--Gallai--Tuza Conjecture
Erdales，Gallai，和Tuza提出了以下问题：给定一个$n$ -顶点图$G$，让$τ_1(G)$表示一组边的最小尺寸，其删除使$G$三角形自由，并让$α_1(G)$表示一组边的最大尺寸，其中包含最多一个边缘从每个三角形的$G$。$α_1(G) + τ_1(G) \leq n^2/4$总是这样吗？我们还考虑了这个猜想的一个变体：如果$τ_B(G)$是最小的边集的删除$G$二分的大小，是否更强的不等式$α_1(G) + τ_B(G) \leq n^2/4$总是成立？通过考虑每一个版本的猜想的最小反例的结构，我们得到两个主要结果。我们的第一个结果指出，任何最小反例的原始Erdens-Gallai-Tuza猜想有“密集的边缘切割”，特别是有最小程度大于$n/2$。这意味着猜想对所有图成立当且仅当它对所有三角形图（每条边都位于三角形中的图）成立。我们的第二个结果指出，$α_1(G) + τ_B(G) \leq n^2/4$当$G$没有诱导子图同构于$K_4^-$，图得到的完全图$K_4$删除一个边缘。因此，最初的猜想也适用于这样的图。
2015-03-25 math.CO
Explorations of edge-weighted Cayley graphs and p-ary bent functions
设f是GF（p）上n维向量空间到GF（p）的映射函数。当p为2时，Bernasconi等人已经表明f的某些性质之间存在对应关系（例如，如果它是弯曲的）和它的相关凯莱图的性质。类似地，但更早，狄龙证明了f是弯曲的当且仅当f的“水平曲线”具有某些组合性质（同样，仅当p为2时）。试图调查一个类似的理论时，p是大于2使用（显然是新的）组合概念的加权部分差集。更确切地说，我们试图研究f的凯莱图的哪些性质可以用f的函数论性质来表征，以及f的哪些函数论性质对应于“水平曲线”集合的组合性质，即，f的逆映射。虽然Bernasconi对应和狄龙对应的自然概括一般是不正确的，但使用大量的计算，我们能够在一些小的情况下确定一个分类。我们的主要猜想是猜想67。
2014-06-04 math.CO
On graphs double-critical with respect to the colouring number
图G的着色数col（G）是最小的整数k，对于k，G的顶点有一个顺序，使得当按指定的顺序去掉G的顶点时，在任何步骤都不去掉其余图中度大于k-1的顶点。若图G的边e的色数G-V（e）至多为G的色数减2，则称边e是双色临界的.称一个连通图G是双余临界图，如果G的每条边都是双余临界图.本文对色数不超过5的双色临界图进行了着色。此外，我们还证明了每一个4-色临界非完全图至多有一半的边是双色临界的，且其极图恰好是至少有6个顶点的奇轮.我们观察到，对任意大于4的整数k和任意正数r，存在一个k列临界图，其双列临界边之比在1- r和1之间.
2011-08-04 math.CO
Cubic graphs with colouring defect 3
本研究针对着色亏格为3的蛇形图（不可3-边着色的立方图）建立约化理论，证明其可约化为非平凡亏格3蛇形图或由高亏格非平凡蛇形图顶点膨胀得到的图，并探讨了结果在Berge与Fulkerson猜想中的应用。
2023-10-02 math.CO
Improved Bounds for Relaxed Graceful Trees
我们引入左和右分层树作为具有特定表示的树，并定义了树的多余部分。应用这些思想，我们给出了一个范围松弛优美的标签，提高了上界的最大顶点标签由Van Bussel。对于树是大小为$m$且直径为$d$的龙虾的情况，标记产生不大于$\frac{3}{2}m-\frac{1}{2}d$的顶点标记。此外，我们发现，任何龙虾$T$与$m$边缘和直径$d$具有边缘松弛优美二部标签至少$\max\{\frac{3m-d+6}{4},\frac{5m+d+15}{8}\}$的边缘权重不同，这是一个改进的边界由罗莎和Širáregon的$α$ -树的大小，$d<\frac{m+22}{7}$和$d>\frac{5m-65}{7}$。我们还表明，存在一个边缘松弛优美的标签（不一定是二分的），至少$\max\left\{\frac{3}{4}m+\frac{d-ν}{8}+\frac{3}{2},ν\right\}$的边缘权重不同，其中$ν$的两倍大小的部分匹配的$T$。这是对Rosa和Širáregon关于$ν$和$d$的某些值的最小尺寸界的改进。我们认为这些结果是朝着Bermond猜想迈出的一步。
2016-11-24 math.CO
List covering of regular multigraphs with semi-edges
本文研究含半边正则多重图的列表覆盖复杂性，证明价大于2且含半简单顶点时 List-H-Cover 为NP完全，并给出三次图的NP-co/多项式时间二分法。
2023-06-10 cs.DM math.CO
Spectral conditions for graph rigidity in the Euclidean plane
刚性是结构不弯曲的特性。它在离散几何和力学中得到了很好的研究，并在材料科学，工程和生物科学中有应用。杆-关节框架是图$G$的一对$(G,p)$以及$G$的顶点到欧几里得平面的映射$p$。我们将$(G, p)$的边视为条，将顶点视为万向节。只要保持相邻顶点对之间的距离，顶点就可以连续移动。如果任何这样的运动保持所有顶点对之间的距离，则框架是刚性的。1970年，Laman得到了欧氏平面上刚性图的一个组合刻画。1982年，Lovász和Yemini发现了一个新的刻画，证明了每个$6$ -连通图都是刚性的。结合全局刚性的特征，他们的证明实际上意味着每个6-连通图都是全局刚性的。因此，如果Fiedler的代数连通度大于5，则$G$是全局刚性的。本文改进了这一界，证明了对于具有最小度$δ\geq 6$的图$G$，若其代数连通度大于$2+\frac{1}{δ-1}$，则$G$是刚性的;若其代数连通度大于$2+\frac{2}{δ-1}$，则$G$是全局刚性的.我们的结果意味着每个度至少为$8$的连通正则Ramanujan图是全局刚性的。我们还证明了一个更一般的结果，给出了$k$边不相交生成刚性子图存在的一个充分谱条件。同样的条件意味着一个图包含$k$边不相交的生成$2$连通子图。这一结果推广了以前的边不相交生成树的谱条件。
2021-03-01 math.CO math.GT
Belt diameter of $Π$-zonotopes
证明了任意d维变分面体通过删除带向量得到的带形的带直径不超过3。此外，如果d不大于6，则其带直径从上方以2为界。我们还表明，这些边界是尖锐的。结果证明了这类带拓扑的对偶多胞形的边图的直径分别不大于4和3。
2012-10-16 math.CO math.MG
Gonality of Expander Graphs
本文给出了图的谱扩张和边扩张的角度的下界。结果，我们看到随机3-正则图的角度渐近几乎必然大于它的亏格的七分之一。
2016-08-31 math.AG math.CO
On friendliness between trees
树间友好性的概念最早出现在三维空间中多面体相交的Lando问题的求解中。如果树的边可以被编号，使得对于每个k，s，边k和k+1之间的路径既包含边k+2s，也不包含边k+2s+1，则树对路图是友好的。定理如果一棵树包含一条包含所有度大于2的顶点的路径，那么这棵树对路径图是友好的。我们还证明了路图友好的另一个充分条件和树之间友好的一个准则，其中一个树的直径为3。
2015-09-01 math.CO math.GT
On percolation and the bunkbed conjecture
研究了乘积图$G\times K_2$上的边渗透问题.这里$G$是任何有限图，$K_2$由两个顶点$\{0,1\}$通过边连接组成。$G\times K_2$中的每条边以独立于其他边的概率$p$存在。双层床猜想指出，对于所有$G$和$p$，$(u,0)$与$(v,0)$在同一分量中的概率大于或等于对于每对顶点$u,v\in G$，$(u,0)$与$(v,1)$在同一分量中的概率。我们推广了这个猜想，并制定和证明了类似的声明随机有向图。的方法导致证明原来的猜想为特殊类的图$G$，特别是outerplanar图。
2009-11-30 math.CO math.PR
Expansion of random $0/1$ polytopes
Mihail和Vazirani的一个猜想指出，每个$0/1$多面体的图的边扩张至少为1。边扩张的任何下界给出了多面体图上随机游动的混合时间的上界。这样的随机游动是重要的，因为它们可以用于从一组均匀随机的组合对象中生成元素。Mihail和Vazirani猜想的一个较弱的形式说，在$\mathbb{R}^d$中的$0/1$多面体的图的边扩张在$d$的某个多项式函数上大于1。这个较弱版本的猜想对所有的应用都是足够的。我们的主要结果是：在$\mathbb{R}^d$中的一个$\textit{random}$ $0/1$多胞形的图的边扩张以高概率至少是$\frac{1}{12d}$.
2022-07-08 math.CO math.PR
Results on the regularity of square-free monomial ideals
在2008年的一篇论文中，第一作者和Van Tuyl证明了图G的边理想的正则性至多比G的匹配数大大于一。在本文中，我们将这个结果推广到任何无平方根的单项理想。我们定义一个简单超图中的2-拼贴是一个边的集合，其性质是对于超图的任何边E，拼贴中存在一条边F，使得|英、法|< 2。简单超图的边理想的Castelnuovo-Mumford正则性被2-拼贴的最小尺寸的倍数上界。我们还给出了一个计算点可分解超图正则性的递归公式。最后，我们证明了在图的情况下，正则性是有界的基于非退化星形子图的最大填装的一定的统计。
2016-11-16 math.AC math.CO
The Frank number and nowhere-zero flows on graphs
本文研究了3-边连通图的Frank数，将所有3-边连通图的Frank数上界从7降至4，将3-边可着色图的界降至2，并计算证明了Petersen图是顶点不超过36的唯一例外。
2024-12-20 cs.DM math.CO
