The vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9$, if $\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于任何$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G) \vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .借助计算机证明了$F_v(2, 2, 5; 6) = 16$，并证明了$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9,$$若$\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$ .我们还得到了界$$m + 9 \leq F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \leq m + 10,$$，如果$\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$。关键词：Folkman数，Ramsey数，团数，独立数，色数
2015-08-15 math.CO
A Note on Upper Bounds for Some Generalized Folkman Numbers
我们基于积图给出了广义顶点Folkman数的一些新的构造性上界。它们导致了一些特殊情况下的广义边Folkman数，包括$F_e(K_3,K_4-e; K_5) \leq 27$和$F_e(K_4-e,K_4-e; K_5) \leq 51$的新的上界。后一个界限来自于51个顶点上的$K_5$ -free图的构造，对于该图，其边的每一个用两种颜色着色的边包含单色$K_4-e$。
2017-08-01 math.CO
On Some Generalized Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_i\ge 1$，表达式$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$表示对于$G$的顶点的任何$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1,\cdots,r\}$，在$G$中存在单色$a_i$ -团.顶点Folkman数定义为$F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$是$H$ -free和$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中$H$是一个图.此类顶点Folkman数已针对$H=K_s$和$s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$进行了广泛研究。如果所有$i$都是$a_i=a$，那么我们使用符号$F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令$J_k$是缺少一条边的完全图$K_k$，即$J_k=K_k-e$。在这项工作中，我们专注于顶点Folkman数与$H=J_k$，特别是$k=4$和$a_i\le 3$。1976年Nešetzil和Rödl的一个结果意味着$F_v(3^r;J_4)$对于任何$r\ge 2$都是定义良好的。我们提出了一个新的和更直接的证明这一事实。最简单但已经很有趣的情况是$F_v(3,3;J_4)$，我们通过使用$J_4$ -free过程建立了135的上限。我们获得了其他一些小的情况下，$F_v(a…
2022-12-08 math.CO
The vertex Folkman number $F_v(3,3;5)$ equals~$8$
研究确定了顶点Folkman数$F_v(3,3;5)$为8，通过构造一个无$K_5$的图，并证明其满足特定的着色条件。
2026-05-10 math.CO
Modified vertex Folkman numbers
设$a_1, ..., a_s$为正整数。对于图$G$的表达式$$ G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) $$意味着，对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色（$s$着色），存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。如果$m$和$p$是正整数，则$$ G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} $$意味着对于任意正整数$a_1, ..., a_s$（$s$不固定），使得$\sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1 = m$和$\max{\{a_1, ..., a_s\}} \leq p$，我们有$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$。设$$ \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q) = \{G : G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} \mbox{ and } ω(G) < q\}. $$修改的顶点Folkman数由等式$$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{p}; q) = \min{\{|V(G)| : G \in \widetilde{\mathcal{H…
2015-11-06 math.CO
Bounds on some edge Folkman numbers
给出了边Folkman数的一些界.
2011-05-30 math.CO
On the vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$ when $\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$ or $7$
设$G$是一个图，$a_1, ..., a_s$是正整数.那么$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$意味着对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色，存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。顶点Folkman数$F_v(a_1, ..., a_s; q)$由等式定义：$$ F_v(a_1, ..., a_s; q) = \min\{|V(G)| : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_q \not\subseteq G\}. $$设$m = \sum\limits_{i=1}^s (a_i - 1) + 1$。很容易看出$F_v(a_1, ..., a_s; q) = m$是$q \geq m + 1$。文[11]证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m) = m + \max\{a_1, ..., a_s\}$ .当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 5$时，我们知道所有的数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$，而当$\max\{a_1, ..., a_s\} \geq 6$时，这些数字都不知道。在本文中，我们计算的数字$F_v(a_1, ..., a_s;…
2017-04-08 math.CO
New Upper Bound for the Edge Folkman Number Fe(3,5;13)
本文证明了边Folkman数Fe（3，5;13）不大于21。
2008-06-09 math.CO
Computation and Bounding of Folkman Numbers
在Nedyalko Nenov教授的指导下完成博士论文。
2018-07-14 math.CO
Upper bound on the edge Folkman number $F_e(3,3,3;13)$
本文讨论了拉姆齐理论中的一类组合常数--边Folkman数。我们给出了其中一个数F_e（3，3，3;13）的上界。
2011-03-23 math.CO
Chromatic number of graphs and edge Folkman numbers
本文利用图的色数给出了图的顶点数的一个下界。我们找到这个界限是准确的图。这些结果在Foklman数理论中得到了应用。
2010-02-23 math.CO
On the Nonexistence of Some Generalized Folkman Numbers
对于一个无向简单图$G$，我们记为$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$当且仅当对于它的每个顶点的红-蓝着色，存在一个红色的$H_1$或一个蓝色的$H_2$。广义顶点Folkman数$F_v(H_1, H_2; H)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$H$图$G$，使得$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$ .当考虑边的着色时，广义边Folkman数$F_e(H_1, H_2; H)$的定义与此类似.我们表明，$F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$和$F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$是很好地定义为$k \geq 3$。我们证明了某些$H$，特别是$H=B_3$，其中$B_k$是$k$三角页的书图，和$H=K_1+P_4$的$F_e(K_3,K_3;H)$的不存在性.本文提出了三个关于广义Folkman数的问题，包括边Folkman数$F_e(K_3, K_3; B_4)$，$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$和$F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$的存在性问题.我们的结果导致了一些一般的不等式涉及双色和B-Folkman数。
2018-06-19 math.CO
Revisiting a theorem by Folkman on graph colouring
我们给出了Jon H. 03 The Lost of the Woman（1969）任何图的色数至多是$2$加上所有子图上顶点数的一半与独立数之差的最大值。
2020-03-23 math.CO
On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$
图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$
2019-04-23 math.CO
An exponential-type upper bound for Folkman numbers
对于给定的整数$k$和$r$，Folkman数$f(k;r)$是图$G$中的最小顶点数，该图在$k+1$顶点上不包含团，但对于它的每一个边划分成$r$部分，某个部分包含一个$k$阶团。Folkman（1970）对$r=2$以及Nešetzil和Rödl（1976）对任意$r$证明了Folkman数的存在性（有限性），但是这些证明导致了$f(k;r)$上界非常弱。最近，Conlon和Gowers分别独立地得到了$f(k;2)$上的一个双指数界.在这里，我们建立了一个进一步的改进，通过显示$f(k;r)$上的上界是指数的多项式函数的$k$和$r$。这与已知的下限$2^{Ω(rk)}$相当。我们的证明依赖于Saxton和Samason（2015）的最新结果（或者，Balogh，Morris和Samotij（2015）的最新结果），从中我们推导出随机图中Ramsey定理的定量版本。
2016-03-01 math.CO
The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19
不包含$q$顶点$K_q$上的完全图，且具有边的每一个双色着色中存在一个单色三角形的性质的图的集合记为$\mathcal{H}_e(3, 3; q)$ .考虑边Folkman数$F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$。Folkman在1970年证明了$F_e(3, 3; q)$存在的充要条件是$q \geq 4$。从拉姆齐数$R(3, 3) = 6$可以清楚地看出，如果$q \geq 7$，则$F_e(3, 3; q) = 6$。还已知$F_e(3, 3; 6) = 8$和$F_e(3, 3; 5) = 15$。由Folkman和其他一些作者的构造得出的数$F_e(3, 3; 4)$的上界是不好的。在1975年鄂尔多斯提出的问题，以证明不等式$F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$。1978年，斯宾塞解决了这个鄂尔多斯问题。$F_e(3, 3; 4) \leq 786$的最后一个上界是由Lange、Radziszowski和Xu在2012年获得的，他们证明了$F_e(3, 3; 4) \leq 786$。这个数的最佳下界是19，是Radziszowski和Xu在10年前得到的。本文通过证明$F_e(3, 3; 4) \geq 20$改进了这一结果。最后，通过证明$20 \leq F_v(2,…
2016-09-12 math.CO
A Folkman Linear Family
对于图形$F$和$G$，令$F\to (G,G)$表示$F$的任何红/蓝边着色包含单色$G$。定义Folkman数$f(G;p)$为图$F$的最小阶，使得$F\to (G,G)$和$ω(F) \le p$。本文证明了具有$Δ(G)\le Δ$的$n$阶图$G$的$f(G;p)\le cn$，其中$Δ\ge 3$，$c=c(Δ)$和$p=p(Δ)$是正常数.
2014-09-03 math.CO
Ramsey properties of random graphs and Folkman numbers
对于两个图，$G$和$F$，以及一个整数$r\ge2$，如果$G$的边的每个$r$ -着色都导致$F$的单色副本，则我们写为$G\rightarrow (F)_r$。1995年，前两个作者建立了Ramsey性质$G(n,p)\to (F)_r$的阈值边概率，其中$G(n,p)$是一个随机图，通过将完全图的每条边独立地包含在$n$顶点上而获得，概率为$p$。最初的证明是基于Szemerédi的正则性引理，这导致了所涉及的参数之间的塔式依赖关系。在这里，对于$r=2$，我们提供了一个独立的证明的定量版本的拉姆齐阈值定理，只有双指数之间的依赖关系的常数。作为推论，我们得到了双色Folkman数的一个双指数上界。通过一种不同的证明技术，康伦和高尔斯独立地得到了类似的结果。
2016-07-15 math.CO
Lower bounding the Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于每个$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G)\vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .我们知道所有数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$的确切值，当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 6$和数字$F_v(2, 2, 7; 8) = 20$。在\cite{BN15a}中，我们提出了一种获得这些数字的下界的方法。利用该方法和一个新的改进算法，在$\max\{a_1, ..., a_s\} = 7$的特殊情况下，证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \geq m + 11$和这个界对所有的$m$都是精确的.这些数字的已知上限是$m + 12$。在文章的最后，我们还证明了下界$19 \leq…
2017-11-05 math.CO
Some remarks on Folkman graphs for triangles
Emory University（埃默里大学）；Ghent University（根特大学）
研究Folkman图的存在性，通过Hermitian unital构造几何图序列H_q，证明H_q中三角形系统满足Ramsey性质，且随机修改可消除K_4并保持性质。
2026-06-19 math.CO
Folkman's theorem and the primes
本文通过Folkman定理（或Hindman定理）给出了素数无限性的两个新证明，扩展了利用Ramsey型定理推导素数无限性的文献。
2026-05-15 math.CO math.NT
On Small Folkman Graphs Arrowing $K_2$ or $K_3$
Rochester Institute of Technology（罗切斯特理工学院）
本文研究了小Folkman数，针对k≤4且a_i∈{2,3}的情况，排除了K₄、K₅、K₆及J₄、J₅等图，证明了W₅自由图中F_e(3,3;W₅)的存在性，并探讨了F_v(3,3;¬P₂∪P₃)的理论结果。
2026-05-15 math.CO
On finitary Hindman's numbers
Spencer问，Folkman-Sanders定理的Paris-Harrington版本是否有原始递归上界。我们对这个问题给予肯定的回答。
2018-12-17 math.CO
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
2023-09-18 math.CO
On the Secure Vertex Cover Pebbling Number
本文引入了一个新的图不变量--安全顶点覆盖卵石数，它是安全顶点覆盖和覆盖卵石数两个图不变量的组合。图G的安全顶点覆盖pebbling数是使m个pebbling的每个分布通过一系列pebbling移动都能达到G的某个安全顶点覆盖的最小数m。本文讨论了安全顶点覆盖问题和安全顶点覆盖卵石问题的复杂性。此外，我们还得到了一些基本的结果，以及完全r-部图、路、友谊图和轮图的安全点覆盖pebbling数。
2022-12-21 math.CO
The $b$-Chromatic Number and $f$-Chromatic Vertex Number of Regular Graphs
图$G$的$b$-色数，记为$b(G)$，是使G存在一个$k$色的真染色的最大正整数，其中每个色类至少包含一个与其它色类中某个顶点相邻的顶点，这样的顶点称为优势点.一个$d$-正则图$G$的$f$-色顶点数记为$f(G)$，是在一个含有$d+1$颜色的真染色中，不同颜色的主顶点的最大数目. El Sahili和Kouider证明了对任意周长为5的$d$-正则图$G$，都有$b(G)=d+1$.在补充条件下，我们研究了这一猜想，给出了部分答案。
2013-02-18 math.CO
On the vertex cover number of 3 uniform hypergraph
给定一个超图H（V;E），如果V中的一个顶点集S的每条边至少有一个顶点在S中，则称S为顶点覆盖。顶点覆盖数是顶点覆盖的最小基数，用t（H）表示。本文证明了对任意3个一致连通超图H（V;E），t（H）≤（2 m +1）/3成立，其中m是边数.此外，等式成立当且仅当H（V;E）是完美匹配的超树。
2018-07-02 math.CO
Proper vertex connection and graph operations
一个顶点着色图中的路是{ \it顶点固有路}，如果任意两个内部邻顶点的颜色不同。一个顶点着色图是{ \it真点$k$ -连通}的，如果图的任意两个顶点由图的$k$不相交的点-真路连通.对于$k$ -连通图$G$，定义$G$的{ \it真点$k$ -连通数}（记为$pvc_{k}(G)$）为使$G$真点$k$ -连通所需的最小颜色数.一个点着色图是{ \it强真点连通}，如果对图的任意两个点$u,v$，存在一条点真$u$ - $v$测地线.对于连通图$G$，$G$的{ \it强真点连通数}，记为$spvc(G)$，是使$G$强真点连通所需的最小颜色数.本文研究了两个图的并图的真点$k$ -连通数和强真点-连通数，以及图的笛卡尔积、字典序积、强积和直积，给出了图的这些运算的精确值或上界.
2017-05-06 math.CO
Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph
一个顶点有色图$G$是彩虹点连通的，如果任意一对不同的顶点通过一条内部顶点具有不同颜色的路相连。$G$的彩虹顶点连接数，用$rvc(G)$表示，是使$G$彩虹顶点连接所需的最小颜色数。本文给出了彩虹点连通数的一个Nordhaus-Gaddum型结果。证明了当$G$和$\bar{G}$都连通时，则$2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$ .给出的例子表明，上界和下界是最好的可能所有$n\geq 5$。
2011-03-17 math.CO
The Existence of Graph whose Vertex Set Can be Partitioned into a Fixed Number of Domination Strong Critical Vertex-sets
设$γ(G)$表示图$G$的控制数。如果$γ(G-v)=γ(G)-1$，则顶点$v\in V(G)$称为$G$的\emph{critical vertex}。一个图称为\emph{vertex-critical}，如果它的每个顶点是临界的。本文相应地引入了两个这样的定义：（i）一个集合$S\subseteq V(G)$称为$G$的一个\emph{strong critical vertex-set}，如果$γ(G-S)=γ(G)-|S|$ ;（ii）一个图$G$称为\emph{strong $l$-vertex-sets-critical}，如果$V(G)$可划分为$G$的$l$强临界点集.在此基础上，我们推广了点临界图的已有结果，给出了强$l$ -点集临界图的一些性质。作为核心工作，我们研究了这类图的存在性，得到了存在强$l$ -顶点集临界连通图当且仅当$l\notin\{2,3,5\}$。
2022-08-30 math.CO
Generalized Outerplanar Turán numbers and maximum number of k-vertex subtrees
本文证明了给定阶二叉树中k-顶点子树的最大数目的一个渐近结果。这个问题等价于确定n-顶点外平面图中k+2-圈的最大个数，从而确定了所有圈的广义外平面Turán数.我们还确定了路的广义外平面Turán数Pk作为k的函数的指数增长性，这意味着任意树的广义外平面Turán数的数量级。边界与Catalan数序列密切相关。
2021-02-23 math.CO
Determining the Locating Rainbow Connection Number of Vertex-Transitive Graphs
本研究围绕顶点传递图的定位彩虹连通数展开，明确该参数的定义内涵，推导出三个针对部分顶点传递图的相关定理，为该类图的彩虹连通性定位问题提供了理论结果。
2024-03-09 math.CO
A note on "Extremal graphs with bounded vertex bipartiteness number"
本文给出了\cite{MK} Maria R.定理的两个反例，凯瑟琳·T M.，贝尔纳多·S M.，有界顶点二分数的极值图，线性代数应用493（2016）28-36。并给出了修正定理和证明。
2017-04-10 math.CO
Strong domination number of Hajós sum and vertex-sum of two graphs
设$G=(V,E)$是一个单图.一个集合$D\subseteq V$是$G$的强控制集，如果对于每个顶点$x\in V\setminus D$，都存在一个顶点$y\in D$，它具有$xy\in E(G)$和$deg(x)\leq deg(y)$ .强控制数$γ_{st}(G)$定义为强控制集的最小基数。本文研究了两个图的Hajós和与点和的强控制数。
2023-02-02 math.CO
Distinguishing numbers of finite $4$-valent vertex-transitive graphs
图$G$的区别数是最小的$G$，使得$G$允许$k$ -着色，其中$G$的唯一保色自同构是恒等式。确定了有限$4$ -价点传递图的可区别数。证明了除了一个无穷族和两个以上的例子外，它们都有区别数$2$ .
2020-02-21 math.CO
Independence numbers of some double vertex graphs and pair graphs
本文确定了扇图、轮图的双顶点图及若干图族配对图的独立数，推广了双顶点图的研究。
2019-01-06 math.CO
The vertex-isoperimetric number of the incidence andnon-incidence graphs of unitals
我们得到了么正关联图的顶点等周数的上、下界，并确定了它的数量级。在单位元包含足够大的弧的情况下，这些界限一致并产生该参数的精确值。特别地，我们得到了经典么正和BM-么正的某个子族的关联图的顶点等周数的精确值。在单位元中弧的最大长度相对较小的情况下，我们得到了这个参数的一个上界，它是由关联图的顶点等周数决定的。我们还确定了任意单位元的非关联图的点等周数的精确值。
2017-12-06 math.CO
On (strong) proper vertex-connection of graphs
一个顶点着色图中的路是{ \it顶点适当路}，如果任何两个内部相邻顶点的颜色不同。一个点着色图是{ \it真点$k$ -连通}的，如果图的任意两个点由图的$k$不相交的点-真路连通.对于$k$ -连通图$G$，定义$G$的{ \it真点$k$ -连通数}为使$G$真点$k$ -连通所需的最小颜色数，记为$pvc_{k}(G)$.一个点着色图是{ \it强真点连通的}，如果对图的任意两个点$u,v$，存在一条点真$u$-$v$测地线.对于连通图$G$，$G$的{ \it强真点连通数}，记为$spvc(G)$，是使$G$强真点连通所需的最小颜色数.这些概念的灵感来自彩虹顶点$k$ -连接数$rvc_k(G)$、强彩虹顶点连接数$srvc(G)$和$k$ -连接图$G$的适当$k$ -连接数$pc_k(G)$。首先，我们确定了一般图的$pvc(G)$值和某些特殊图的$pvc_k(G)$值。我们还比较了$pvc_k(G)$和$pc_k(G)$的值。然后，对$n$阶连通图$G$，即$0\leq spvc(G)\leq n-2$，给出了$spvc(G)$的精确界.此外，我们还刻画了阶$n$的图，使得$spvc(G)=n-2,n-3$，分别。最后，我们研究了连通图$G$的三个顶点着色参数，即$spvc(G), \ srvc(G)$和色数$χ(G)$之间的关系。
2015-05-19 math.CO
New bounds for the b-chromatic number of vertex deleted graphs
一个图的b-染色是它的顶点的一个正常染色，使得每个颜色类包含一个顶点，该顶点至少与其他颜色类的一个顶点相邻。一个图的b-色数是使得该图具有k种颜色的b-染色的最大整数k。在这项工作中，我们提出的b-色数的一个顶点删除的子图的图，特别是关于两个重要的类，拟线和弦图的下界。当G是一个大围长图时，我们还得到了G -{x}的b-色数的界.
2019-04-02 math.CO
Exact generalized Turán number of vertex-disjoint paths of length two
Jiangsu Normal University（江苏师范大学）；East China Normal University（华东师范大学）
研究确定长度为二的顶点不相交路径的广义图兰数及极值图，核心方法是结合克鲁斯卡尔 - 卡托纳定理的洛瓦兹形式与离散凸性论证。
2026-07-21 math.CO
Bounds on the Rubbling and Optimal Rubbling Numbers of Graphs
图上的鹅卵石移动在一个顶点上删除两个鹅卵石，并在相邻的顶点上添加一个鹅卵石。碎石是卵石的一个版本，其中允许额外的移动。在这个新移动中，在与顶点$u$相邻的顶点$v$和$w$处各移除一个卵石，并且在顶点$u$处添加额外的卵石。如果可以使用rubbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。rubbling数是保证从$m$ pebble的任何pebble分布可到达任何顶点所需的最小数$m$。最优的rubbling数是保证$m$卵石的卵石分布所需的最小数$m$，从该卵石分布可以到达任何顶点。我们给出了边界的rubbling和最佳rubbling数。特别地，我们找到了$n$ -顶点直径$d$图的揉乱数的一个上界，并估计了直径为2的图的最大揉乱数。我们还给出了最优碎石数的一个精确上界，以及关于直径的精确上界和下界。
2010-09-27 math.CO
Conflict-free (vertex)-connection numbers of graphs with small diameters
一个（a）边（点）着色图中的一条路称为无冲突路，如果只在它的一条边（点）上使用一种颜色。一个（A）边（顶点）着色图称为无冲突（顶点）连通图，如果对于每对不同的顶点，都有一条无冲突路连接它们。对于连通图$G$，$G$的无冲突（顶点）连接数，记为$cfc(G)(\text{or}~vcfc(G))$，定义为使$G$无冲突（顶点）连接所需的最小颜色数。本文首先对直径为$2,3$和$4$的树$T$给出了精确值$cfc(T)$。基于该结果，确定了除具有直径$4$和$h(G)=2$的那些图$G$之外的任何具有$diam(G)\leq 4$的图$G$的无冲突连接数。在这种情况下，我们分别给出了具有无冲突连接数$2$和$3$的图。对于无冲突的点连接数，对于任何具有$diam(G)\leq 4$的图$G$，都确定了$vcfc(G)$的精确值.
2019-04-10 math.CO
On the edge chromatic vertex stability number of graphs
对于图$G$的任意不变$ρ(G)$，$ρ-$顶点稳定数$vs_ρ(G)$是$G$的最小顶点数，其去除导致图$H\subseteq G$具有$ρ(H)\neq ρ(G)$或具有$E(H)=\varnothing$。本文首先给出了图的$ρ$ -点稳定数的一般上下界，然后研究了图的边色稳定数$vs_{χ^{\prime}}(G)$，其中$χ^{\prime}=χ^{\prime}(G)$是$G$的边色数（色指数）.我们证明了这个参数的一些一般性结果，并确定$vs_{χ^{\prime}}(G)$为特定类别的图。
2020-04-20 math.CO
On vertex peripherians and Wiener index of graphs with fixed number of cut vertices
该研究聚焦固定割点数的图的顶点距离与Wiener指数问题，构造了含最大距离顶点的n顶点固定割点数图，并刻画了至多3个割点的n顶点图中Wiener指数最大的图的特征。
2024-07-14 math.CO
On the Chromatic Vertex Stability Number of Graphs
色顶点（相应地，边）稳定性数${\rm vs}_χ(G)$（分别为${\rm es}_χ(G)$）是图$G$的最小顶点数（分别为\边），其删除导致具有$χ(H)=χ(G)-1$的图$H$。在主要结果中，证明了如果$G$是一个具有$χ(G) \in \{ Δ(G), Δ(G)+1 \}$的图，则有${\rm vs}_χ(G) = {\rm ivs}_χ(G)$，其中${\rm ivs}_χ(G)$是独立色点稳定数.对于图$G$与$χ(G) \le \frac{Δ(G)+1}{2}$，该结果不一定成立。证明了若$χ(G) > \frac{Δ(G)}{2}+1$，则${\rm vs}_χ(G) = {\rm es}_χ(G)$ .还给出了色点稳定数的Nordhaus-Gaddum型结果。
2021-12-14 math.CO
Rainbow vertex-connection number of 2-connected graphs
连通图$G$的{ \em rainbow vertex-connection number}，$rvc(G)$，是对图的顶点进行着色所需的最小颜色数，使得每对顶点至少由一条内部顶点具有不同颜色的路径连接。本文首先确定了$n\geq 3$阶圈$C_n$的彩虹点连通数，然后在此基础上证明了对任意2-连通图$G$，$rvc(G)\leq rvc(C_n)$，给出了彩虹点连通数的一个紧上界.因此，我们证明了，对于一个连通图$G$与块分解$B_1, B_2, ..., B_k$和$t$割点，$rvc(G)\leq rvc(B_1)+rvc(B_2)+ ... +rvc(B_k)+t$。
2011-10-26 math.CO
Independent Sets in n-vertex k-chromatic, \ell-connected graphs
研究了$n$ -点$k$ -色$\ell$ -连通图中独立集个数的最大化问题.首先，我们考虑最大化的独立集在这样的图与$n$足够大的总数，对于这个问题，我们使用的稳定性参数，以找到唯一的极值图。我们发现，我们的结果持有的$n$ -顶点$k$ -色图的最小程度至少$\ell$，再次为$n$足够大的大家庭。我们还最大化了$n$ -点3-色2-连通图中每个固定大小的独立集的数目。最后，我们解决了所有$n$ -顶点$k$ -色$\ell$ -连通图上大小为2的独立集的数量最大化（等价地，最小化边的数量）。
2019-07-09 math.CO
Vertex-edge marking score of certain triangular lattices
顶点-边标记游戏在图$G=(V,E)$上的两个玩家之间进行，其中一个玩家标记顶点，另一个标记边。参与者希望分别最小化/最大化与未标记顶点关联的标记边的数量。$G$的顶点边着色数是完美发挥可达到的最大分数。Brešar等人，[4]，给出了有限可平面图的点边染色数的一个上界$5$.目前还不知道边界是否严密。本文针对文[4]中的问题，证明了平面的无穷正则三角化的点边染色数为4。我们还给出了两个一般的技术，使我们能够计算在许多相关的三角化的平面的顶点边染色数。
2022-01-10 math.CO
On Turán Number of Graphs with Small Minimum Feedback Vertex Numbers
Universidade Federal de Pernambuco（巴西联邦伯南布哥大学）；Universidade Federal de Alagoas（巴西联邦阿拉戈阿斯大学）
研究二分图基于反馈顶点数的图兰型极值问题，对最小反馈顶点数为一的二分图给出\(\text{ex}(n, H)\)上界，对最小反馈顶点数为三的二分图族证明\(\text{ex}(n, E^+_{k,t})\)的渐近表达式。
2026-07-09 math.CO
The Optimal Rubbling Number of Ladders, Prisms and Möbius-ladders
图上的鹅卵石移动在一个顶点上删除两个鹅卵石，并在相邻的顶点上添加一个鹅卵石。碎石是卵石的一个版本，其中允许额外的移动。在这个新移动中，在与顶点$u$相邻的顶点$v$和$w$处各移除一个卵石，并且在顶点$u$处添加额外的卵石。如果可以使用rubbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。最优的rubbling数是保证$m$卵石的卵石分布所需的最小数$m$，从该卵石分布可以到达任何顶点。我们确定了阶梯（$P_n\square P_2$），棱柱（$C_n\square P_2$）和Möblus阶梯的最佳揉擦数。
2016-01-09 math.CO
Effect of predomination and vertex removal on the game total domination number of a graph
博弈全控制数${γ_{g}^{t}}$是由Henning等人提出的。2015年本文研究了顶点控制对对策全控制数的影响。证明了图$G$的所有顶点$v$都有${γ_{g}^{t}}(G|v) \geq {γ_{g}^{t}}(G) - 2$，并给出了达到相等的无限族.为了实现这一点，一些新的变化的总控制游戏。顶点去除的效果也进行了研究。我们证明了${γ_{g}^{t}}(G) \leq {γ_{g}^{t}}(G-v) + 4$和${γ_{g}^{t}}'(G) \leq {γ_{g}^{t}}'(G-v) + 4$ .
2018-02-10 math.CO
Rubbling and Optimal Rubbling of Graphs
图上的鹅卵石移动在一个顶点上删除两个鹅卵石，并在相邻的顶点上添加一个鹅卵石。碎石是卵石的一个版本，其中允许额外的移动。在这个新的移动中，一个卵石在顶点v和w上与顶点u相邻的地方被移除，一个额外的卵石在顶点u上被添加。如果可以使用rubbling移动将pebble移动到某个顶点，则该顶点可以从pebble分布到达。图的rubbling数是保证从m个pebbles的任何pebbles分布中可以到达任何顶点所需的最小数m。最优的rubbling数是保证m个pebble的pebble分布所需的最小数m，其中任何顶点都是可达的。本文确定了几类含圈图的Rubbling数和最优Rubbling数。
2007-07-28 math.CO
The rainbow vertex-disconnection in graphs
设$G$是一个顶点着色的非平凡连通图.如果$G$的顶点集的子集$X$中的任意两个顶点具有不同的颜色，则称$X$为彩虹。图$G$称为\emph{rainbow vertex-disconnected}，如果对于$G$的任意两个顶点$x$和$y$，存在$G$的顶点子集$S$，使得当$x$和$y$不相邻时，$S$是彩虹图，且$x$和$y$属于$G-S$的不同分支;而当$x$和$y$相邻时，$S+x$或$S+y$是彩虹，$x$和$y$属于$(G-xy)-S$的不同组分。对于连通图$G$，$G$的\emph{rainbow vertex-disconnection number}，记为$rvd(G)$，是使$G$彩虹顶点不连通所需的最小颜色数。本文对$k\in\{1,2,n\}$用彩虹点不连通数$k$刻画了所有$n$阶图，并确定了一些特殊图的彩虹点不连通数.此外，我们还研究了具有$n$和$rvd(G)=k$阶的连通图$G$的边数极值问题，其中$k$和$n$具有$1\leq k\leq n$。
2020-03-30 math.CO
$Δ+300$ is a Bound on the Adjacent Vertex Distinguishing Edge Chromatic Number
单图$G$的邻点可区别边染色或\avd -染色是$G$的真边染色，使得没有一对邻顶点满足相同的色集.证明了具有最大度$Δ$且无孤立边的图的\avd -染色至多含有$Δ+300$色，条件是$Δ>10^{20}$ .
2006-12-31 math.CO
