On The Vertex Folkman Numbers $F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-1)$ and $F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-2)$%
Nedyalko Nenov
本文计算了几个Folkman数。
In this paper several Folkman numbers are computed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the Vertex Folkman Numbers $F_v(2,...,2;q)$
对于一个图$G$的符号$G\tov(a_1,...,a_r)$意味着在每个$G$的顶点的$r$ -着色对于一些$i\in\{1,...,r\}$存在一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数\[ \FN=\min\{|V(G)|:G\tov(a_1,...,a_r)\text{and}K_q\nsubseteqq G\} \]。本文将在$k\le 12$和$r$足够大时计算Folkman数$F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-k+1)$.我们还证明了一些顶点和边Folkman数的新的界限。
New upper bound for a class of vertex Folkman numbers
本文改进了一些顶点Folkman数的已知界。
New recurrent inequality on a class of vertex Folkman numbers
给出了一类顶点Folkman数的一个新的递归不等式.
An example of a 16-vertex Folkman edge (3,4)-graph without 8-cliques
本文证明了边Folkman数的一个新的上边界。在以前的论文中，我们已经证明了这个界限是精确的。
New bounds on the vertex Folkman number $F_v(2, 2, 2, 3; 4)$
对于图$G$，表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$意味着对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色，存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。定义顶点Folkman数$F_v(a_1, ..., a_s; q)$为$$F_v(a_1, ..., a_s; q) = \min\{\vert V(G) \vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_q \not\subseteq G\}.$$.本文改进了已知的$F_v(2, 2, 2, 3; 4)$的界，借助于计算机证明了$20 \leq F_v(2, 2, 2, 3; 4) \leq 22$ .
Chromatic Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_1 \ge \cdots \ge a_r \ge 2$，我们记为$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$当且仅当对于顶点集$V(G)$的每一个$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1, \cdots, r\}$，在$G$中存在一个单色$K_{a_i}$.顶点Folkman数$F_v(a_1 ,\cdots ,a_r; s)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$K_s$图$G$，使得$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ .众所周知，如果$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$，则$χ(G) \geq m$，其中$m = 1+ \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$。本文研究了具有色数$χ(G)=m$的一类Folkman图$G$，从而引出了色Folkman数的新概念。我们建设性地证明了一些存在性结果，其中包括：对于所有的$r,s \ge 2$，存在$K_{s+1}$ -free图$G$，使得$G \rightarrow (s,\cdots_r,s)^v$和$G$对于这个$r$ -color arrowing成立具有最小可能的色数$r(s-1)+1$.我们还猜想，在某些情况下，我们的构造是最好的，特别是对于每个$s \ge 2$，…
The vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9$, if $\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于任何$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G) \vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .借助计算机证明了$F_v(2, 2, 5; 6) = 16$，并证明了$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9,$$若$\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$ .我们还得到了界$$m + 9 \leq F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \leq m + 10,$$，如果$\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$。关键词：Folkman数，Ramsey数，团数，独立数，色数
A Note on Upper Bounds for Some Generalized Folkman Numbers
我们基于积图给出了广义顶点Folkman数的一些新的构造性上界。它们导致了一些特殊情况下的广义边Folkman数，包括$F_e(K_3,K_4-e; K_5) \leq 27$和$F_e(K_4-e,K_4-e; K_5) \leq 51$的新的上界。后一个界限来自于51个顶点上的$K_5$ -free图的构造，对于该图，其边的每一个用两种颜色着色的边包含单色$K_4-e$。
On Some Generalized Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_i\ge 1$，表达式$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$表示对于$G$的顶点的任何$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1,\cdots,r\}$，在$G$中存在单色$a_i$ -团.顶点Folkman数定义为$F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$是$H$ -free和$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中$H$是一个图.此类顶点Folkman数已针对$H=K_s$和$s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$进行了广泛研究。如果所有$i$都是$a_i=a$，那么我们使用符号$F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令$J_k$是缺少一条边的完全图$K_k$，即$J_k=K_k-e$。在这项工作中，我们专注于顶点Folkman数与$H=J_k$，特别是$k=4$和$a_i\le 3$。1976年Nešetzil和Rödl的一个结果意味着$F_v(3^r;J_4)$对于任何$r\ge 2$都是定义良好的。我们提出了一个新的和更直接的证明这一事实。最简单但已经很有趣的情况是$F_v(3,3;J_4)$，我们通过使用$J_4$ -free过程建立了135的上限。我们获得了其他一些小的情况下，$F_v(a…
The vertex Folkman number $F_v(3,3;5)$ equals~$8$
研究确定了顶点Folkman数$F_v(3,3;5)$为8，通过构造一个无$K_5$的图，并证明其满足特定的着色条件。
Modified vertex Folkman numbers
设$a_1, ..., a_s$为正整数。对于图$G$的表达式$$ G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) $$意味着，对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色（$s$着色），存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。如果$m$和$p$是正整数，则$$ G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} $$意味着对于任意正整数$a_1, ..., a_s$（$s$不固定），使得$\sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1 = m$和$\max{\{a_1, ..., a_s\}} \leq p$，我们有$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$。设$$ \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q) = \{G : G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} \mbox{ and } ω(G) < q\}. $$修改的顶点Folkman数由等式$$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{p}; q) = \min{\{|V(G)| : G \in \widetilde{\mathcal{H…
On the vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$ when $\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$ or $7$
设$G$是一个图，$a_1, ..., a_s$是正整数.那么$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$意味着对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色，存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。顶点Folkman数$F_v(a_1, ..., a_s; q)$由等式定义：$$ F_v(a_1, ..., a_s; q) = \min\{|V(G)| : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_q \not\subseteq G\}. $$设$m = \sum\limits_{i=1}^s (a_i - 1) + 1$。很容易看出$F_v(a_1, ..., a_s; q) = m$是$q \geq m + 1$。文[11]证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m) = m + \max\{a_1, ..., a_s\}$ .当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 5$时，我们知道所有的数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$，而当$\max\{a_1, ..., a_s\} \geq 6$时，这些数字都不知道。在本文中，我们计算的数字$F_v(a_1, ..., a_s;…
On the Nonexistence of Some Generalized Folkman Numbers
对于一个无向简单图$G$，我们记为$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$当且仅当对于它的每个顶点的红-蓝着色，存在一个红色的$H_1$或一个蓝色的$H_2$。广义顶点Folkman数$F_v(H_1, H_2; H)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$H$图$G$，使得$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$ .当考虑边的着色时，广义边Folkman数$F_e(H_1, H_2; H)$的定义与此类似.我们表明，$F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$和$F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$是很好地定义为$k \geq 3$。我们证明了某些$H$，特别是$H=B_3$，其中$B_k$是$k$三角页的书图，和$H=K_1+P_4$的$F_e(K_3,K_3;H)$的不存在性.本文提出了三个关于广义Folkman数的问题，包括边Folkman数$F_e(K_3, K_3; B_4)$，$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$和$F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$的存在性问题.我们的结果导致了一些一般的不等式涉及双色和B-Folkman数。
On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$
图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$
The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19
不包含$q$顶点$K_q$上的完全图，且具有边的每一个双色着色中存在一个单色三角形的性质的图的集合记为$\mathcal{H}_e(3, 3; q)$ .考虑边Folkman数$F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$。Folkman在1970年证明了$F_e(3, 3; q)$存在的充要条件是$q \geq 4$。从拉姆齐数$R(3, 3) = 6$可以清楚地看出，如果$q \geq 7$，则$F_e(3, 3; q) = 6$。还已知$F_e(3, 3; 6) = 8$和$F_e(3, 3; 5) = 15$。由Folkman和其他一些作者的构造得出的数$F_e(3, 3; 4)$的上界是不好的。在1975年鄂尔多斯提出的问题，以证明不等式$F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$。1978年，斯宾塞解决了这个鄂尔多斯问题。$F_e(3, 3; 4) \leq 786$的最后一个上界是由Lange、Radziszowski和Xu在2012年获得的，他们证明了$F_e(3, 3; 4) \leq 786$。这个数的最佳下界是19，是Radziszowski和Xu在10年前得到的。本文通过证明$F_e(3, 3; 4) \geq 20$改进了这一结果。最后，通过证明$20 \leq F_v(2,…
Lower bounding the Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于每个$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G)\vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .我们知道所有数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$的确切值，当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 6$和数字$F_v(2, 2, 7; 8) = 20$。在\cite{BN15a}中，我们提出了一种获得这些数字的下界的方法。利用该方法和一个新的改进算法，在$\max\{a_1, ..., a_s\} = 7$的特殊情况下，证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \geq m + 11$和这个界对所有的$m$都是精确的.这些数字的已知上限是$m + 12$。在文章的最后，我们还证明了下界$19 \leq…
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