Chromatic Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_1 \ge \cdots \ge a_r \ge 2$，我们记为$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$当且仅当对于顶点集$V(G)$的每一个$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1, \cdots, r\}$，在$G$中存在一个单色$K_{a_i}$.顶点Folkman数$F_v(a_1 ,\cdots ,a_r; s)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$K_s$图$G$，使得$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ .众所周知，如果$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$，则$χ(G) \geq m$，其中$m = 1+ \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$。本文研究了具有色数$χ(G)=m$的一类Folkman图$G$，从而引出了色Folkman数的新概念。我们建设性地证明了一些存在性结果，其中包括：对于所有的$r,s \ge 2$，存在$K_{s+1}$ -free图$G$，使得$G \rightarrow (s,\cdots_r,s)^v$和$G$对于这个$r$ -color arrowing成立具有最小可能的色数$r(s-1)+1$.我们还猜想，在某些情况下，我们的构造是最好的，特别是对于每个$s \ge 2$，…
2019-05-27 math.CO
A Note on Upper Bounds for Some Generalized Folkman Numbers
我们基于积图给出了广义顶点Folkman数的一些新的构造性上界。它们导致了一些特殊情况下的广义边Folkman数，包括$F_e(K_3,K_4-e; K_5) \leq 27$和$F_e(K_4-e,K_4-e; K_5) \leq 51$的新的上界。后一个界限来自于51个顶点上的$K_5$ -free图的构造，对于该图，其边的每一个用两种颜色着色的边包含单色$K_4-e$。
2017-08-01 math.CO
On Some Generalized Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_i\ge 1$，表达式$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$表示对于$G$的顶点的任何$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1,\cdots,r\}$，在$G$中存在单色$a_i$ -团.顶点Folkman数定义为$F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$是$H$ -free和$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中$H$是一个图.此类顶点Folkman数已针对$H=K_s$和$s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$进行了广泛研究。如果所有$i$都是$a_i=a$，那么我们使用符号$F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令$J_k$是缺少一条边的完全图$K_k$，即$J_k=K_k-e$。在这项工作中，我们专注于顶点Folkman数与$H=J_k$，特别是$k=4$和$a_i\le 3$。1976年Nešetzil和Rödl的一个结果意味着$F_v(3^r;J_4)$对于任何$r\ge 2$都是定义良好的。我们提出了一个新的和更直接的证明这一事实。最简单但已经很有趣的情况是$F_v(3,3;J_4)$，我们通过使用$J_4$ -free过程建立了135的上限。我们获得了其他一些小的情况下，$F_v(a…
2022-12-08 math.CO
The vertex Folkman number $F_v(3,3;5)$ equals~$8$
研究确定了顶点Folkman数$F_v(3,3;5)$为8，通过构造一个无$K_5$的图，并证明其满足特定的着色条件。
2026-05-10 math.CO
Modified vertex Folkman numbers
设$a_1, ..., a_s$为正整数。对于图$G$的表达式$$ G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) $$意味着，对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色（$s$着色），存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。如果$m$和$p$是正整数，则$$ G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} $$意味着对于任意正整数$a_1, ..., a_s$（$s$不固定），使得$\sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1 = m$和$\max{\{a_1, ..., a_s\}} \leq p$，我们有$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$。设$$ \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q) = \{G : G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} \mbox{ and } ω(G) < q\}. $$修改的顶点Folkman数由等式$$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{p}; q) = \min{\{|V(G)| : G \in \widetilde{\mathcal{H…
2015-11-06 math.CO
On the vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$ when $\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$ or $7$
设$G$是一个图，$a_1, ..., a_s$是正整数.那么$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$意味着对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色，存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。顶点Folkman数$F_v(a_1, ..., a_s; q)$由等式定义：$$ F_v(a_1, ..., a_s; q) = \min\{|V(G)| : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_q \not\subseteq G\}. $$设$m = \sum\limits_{i=1}^s (a_i - 1) + 1$。很容易看出$F_v(a_1, ..., a_s; q) = m$是$q \geq m + 1$。文[11]证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m) = m + \max\{a_1, ..., a_s\}$ .当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 5$时，我们知道所有的数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$，而当$\max\{a_1, ..., a_s\} \geq 6$时，这些数字都不知道。在本文中，我们计算的数字$F_v(a_1, ..., a_s;…
2017-04-08 math.CO
On the Nonexistence of Some Generalized Folkman Numbers
对于一个无向简单图$G$，我们记为$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$当且仅当对于它的每个顶点的红-蓝着色，存在一个红色的$H_1$或一个蓝色的$H_2$。广义顶点Folkman数$F_v(H_1, H_2; H)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$H$图$G$，使得$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$ .当考虑边的着色时，广义边Folkman数$F_e(H_1, H_2; H)$的定义与此类似.我们表明，$F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$和$F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$是很好地定义为$k \geq 3$。我们证明了某些$H$，特别是$H=B_3$，其中$B_k$是$k$三角页的书图，和$H=K_1+P_4$的$F_e(K_3,K_3;H)$的不存在性.本文提出了三个关于广义Folkman数的问题，包括边Folkman数$F_e(K_3, K_3; B_4)$，$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$和$F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$的存在性问题.我们的结果导致了一些一般的不等式涉及双色和B-Folkman数。
2018-06-19 math.CO
Revisiting a theorem by Folkman on graph colouring
我们给出了Jon H. 03 The Lost of the Woman（1969）任何图的色数至多是$2$加上所有子图上顶点数的一半与独立数之差的最大值。
2020-03-23 math.CO
On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$
图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$
2019-04-23 math.CO
The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19
不包含$q$顶点$K_q$上的完全图，且具有边的每一个双色着色中存在一个单色三角形的性质的图的集合记为$\mathcal{H}_e(3, 3; q)$ .考虑边Folkman数$F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$。Folkman在1970年证明了$F_e(3, 3; q)$存在的充要条件是$q \geq 4$。从拉姆齐数$R(3, 3) = 6$可以清楚地看出，如果$q \geq 7$，则$F_e(3, 3; q) = 6$。还已知$F_e(3, 3; 6) = 8$和$F_e(3, 3; 5) = 15$。由Folkman和其他一些作者的构造得出的数$F_e(3, 3; 4)$的上界是不好的。在1975年鄂尔多斯提出的问题，以证明不等式$F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$。1978年，斯宾塞解决了这个鄂尔多斯问题。$F_e(3, 3; 4) \leq 786$的最后一个上界是由Lange、Radziszowski和Xu在2012年获得的，他们证明了$F_e(3, 3; 4) \leq 786$。这个数的最佳下界是19，是Radziszowski和Xu在10年前得到的。本文通过证明$F_e(3, 3; 4) \geq 20$改进了这一结果。最后，通过证明$20 \leq F_v(2,…
2016-09-12 math.CO
Lower bounding the Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于每个$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G)\vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .我们知道所有数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$的确切值，当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 6$和数字$F_v(2, 2, 7; 8) = 20$。在\cite{BN15a}中，我们提出了一种获得这些数字的下界的方法。利用该方法和一个新的改进算法，在$\max\{a_1, ..., a_s\} = 7$的特殊情况下，证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \geq m + 11$和这个界对所有的$m$都是精确的.这些数字的已知上限是$m + 12$。在文章的最后，我们还证明了下界$19 \leq…
2017-11-05 math.CO
Use of MAX-CUT for Ramsey Arrowing of Triangles
1967年，Erdans和Hajnal提出了一个问题：是否存在一个$K_4$ -free图，它不是两个无三角形图的并？找到这样一个图涉及解决一个特殊情况下的经典拉姆齐箭头操作。Folkman在1970年证明了这些图的存在性，它们现在被称为Folkman图。Erdibs提供了100美元，用于确定是否存在一个小于$10^{10}$顶点。这个问题一直悬而未决，直到1988年，斯宾塞在一篇开创性的论文中使用概率技术证明了一个$3\times 10^9$阶的Folkman图的存在性（在一个勘误表之后），而没有明确地构造它。2008年，Dudek和Rödl开发了一个策略，通过近似相关图的最大割来构造新的Folkman图，并使用它将上界提高到941。我们改进这个界限首先使用他们的近似技术，然后进一步到786与MAX-CUT半定规划松弛中使用的Goemans-Williamson算法。
2013-03-20 cs.DM math.CO
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
2023-09-18 math.CO
Vertex-Maximal Lattice Polytopes Contained in 2-Simplices
由平面热带曲线的射线数的边界问题出发，我们研究了以下问题：给定$n\in\mathbb{N}$和一个么模$2$ -单纯形$Δ$，$n\cdot Δ$中包含的格多面体的最大顶点数是多少？我们确定这个数字为$\mathbb{N}$的一个无限子集，通过提供一个家庭的顶点极大多面体，并给出其他情况下的界限。
2018-05-25 math.CO
Generalized Outerplanar Turán numbers and maximum number of k-vertex subtrees
本文证明了给定阶二叉树中k-顶点子树的最大数目的一个渐近结果。这个问题等价于确定n-顶点外平面图中k+2-圈的最大个数，从而确定了所有圈的广义外平面Turán数.我们还确定了路的广义外平面Turán数Pk作为k的函数的指数增长性，这意味着任意树的广义外平面Turán数的数量级。边界与Catalan数序列密切相关。
2021-02-23 math.CO
A note on coloring vertex-transitive graphs
利用图的团数$ω$和最大度$Δ$证明了点传递图的色数$χ$的界.我们猜想每个点传递图都满足$χ\le \max \left\{ω, \left\lceil\frac{5Δ+ 3}{6}\right\rceil\right\}$，并证明了支持这个猜想的结果。最后，对于具有$Δ\ge 13$的点传递图，我们证明了Borodin-Kostochka猜想，即，$χ\le\max\{ω,Δ-1\}$。
2014-04-25 math.CO
Independent Sets in n-vertex k-chromatic, \ell-connected graphs
研究了$n$ -点$k$ -色$\ell$ -连通图中独立集个数的最大化问题.首先，我们考虑最大化的独立集在这样的图与$n$足够大的总数，对于这个问题，我们使用的稳定性参数，以找到唯一的极值图。我们发现，我们的结果持有的$n$ -顶点$k$ -色图的最小程度至少$\ell$，再次为$n$足够大的大家庭。我们还最大化了$n$ -点3-色2-连通图中每个固定大小的独立集的数目。最后，我们解决了所有$n$ -顶点$k$ -色$\ell$ -连通图上大小为2的独立集的数量最大化（等价地，最小化边的数量）。
2019-07-09 math.CO
Strong cliques in vertex-transitive graphs
一个集团（分别为，独立集）是强的，如果它与每个极大独立集（分别是，每个最大集团）。一个图是CIS的，如果它的所有极大团都是强的，如果它允许它的顶点集划分为强团，则它是可局部化的。本文证明了点传递图$Γ$中的团$C$是强的当且仅当对$Γ$的每个极大独立集$I$都有$|C||I|=|V(Γ)|$.基于这个结果，我们证明了一个点传递图是CIS的当且仅当它允许一个强团和一个强独立集。本文对含有强团的点传递图进行了分类，并给出了含有强团的$5$ -价点传递图的部分刻划.我们的结果意味着，每一个点传递图的价最多$5$，允许一个强团是局部化的。我们回答了一个开放的问题，提供了一个例子的顶点传递CIS图是不可本地化的。
2018-08-28 math.CO
On the number of maximal independent sets: From Moon-Moser to Hujter-Tuza
本文将极值图论中关于极大独立集个数的两个经典结果联系起来。Moon和Moser确定了$n$ -顶点图中极大独立集的最大数目mis $(n)$. Hujter和Tuza确定了无三角形$n$ -顶点图中极大独立集的最大数目mis $_\bigtriangleup(n)$.本文确定了一个$n$ -顶点图中不含大小为$t+1$的诱导三角形匹配的极大独立集的最大数目mis $_t(n)$.我们还重新证明了Kahn和Park关于$n$ -顶点无三角形图的极大独立集的最大数目mis $_{\bigtriangleup,t}(n)$的稳定性结果，该图不包含大小为$t+1$的诱导匹配.
2022-05-09 math.CO
Graphs having extremal monotonic topological indices with bounded vertex $k$-partiteness
图$G$的点$k$ -有部性$v_k(G)$定义为从$G$中删除产生$k$ -有部图的顶点的最少数目.在本文中，我们引入两个概念：单调递减拓扑指数和单调递增拓扑指数，刻画了具有最小Wiener指数、最大Harry指数、最大互反度距离、最小偏心距离和、最小相邻偏心距离和指数、最大连通偏心指数分别研究了具有固定顶点数$n$和固定顶点$k$ -部分性的图的最大Zagreb指数.
2017-08-03 math.CO
On the inducibility problem for random Cayley graphs of abelian groups with a few deleted vertices
给定一个$k$ -顶点图$H$和一个整数$n$，具有最大导出$H$拷贝数的$n$ -顶点图是什么？这个问题与Pippenger和Golumbic在1975年提出的归纳问题密切相关，该问题要求$n$ -顶点图的$k$ -顶点子集的最大可能分数，该分数诱导$H$的副本。Huang，Lee和第一作者证明了：对于随机$k$ -顶点图$H$，使$H$的导出拷贝数最大的$n$ -顶点图几乎必然是$H$的平衡迭代blow-up.本文考虑了从阿贝尔群的随机Cayley图$\widetilde{H}$中删除少量顶点得到图$H$的情形。我们证明，在这种情况下，几乎肯定所有的$n$顶点图最大化的诱导副本的$H$的数量是平衡的迭代爆破的$\widetilde{H}$。
2021-03-02 math.CO
On the maximum value of conflict-free verex-connection number of graphs
顶点有色图中的一条路称为{ \it conflict-free}，如果在它的一个顶点上使用了一种颜色。一个顶点有色图称为{ \it无冲突顶点连通}，如果图的任意两个顶点通过无冲突路径连接，则称该图为{ \it无冲突顶点连通数}，记为$vcfc(G)$，定义为使$G$无冲突顶点连通所需的最小颜色数. Li等证明了对于$n$阶的连通图$G$，$vcfc(G)\leq vcfc(P_n)$ .我们确认该猜想是正确的，并提出了一个相关的猜想Czap等人介绍的无冲突连接数。
2017-09-05 math.CO
On vertex peripherians and Wiener index of graphs with fixed number of cut vertices
该研究聚焦固定割点数的图的顶点距离与Wiener指数问题，构造了含最大距离顶点的n顶点固定割点数图，并刻画了至多3个割点的n顶点图中Wiener指数最大的图的特征。
2024-07-14 math.CO
The maximum number of triangles in graphs without vertex disjoint friendship graphs
School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）；School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；Faculty of Environment and Information Sciences, Yokohama National University（横滨国立大学环境信息学部）
本文确定了不含(t+1)个不相交友谊图的图中三角形的最大数量，并刻画了极值结构，扩展了之前的研究结果。
2026-05-07 math.CO
Max Min vertex cover and the size of Betti tables
设$G$是$n$顶点上不含孤立点的有限单图，$I(G) \subseteq S = K[x_1, \dots, x_n]$是它的边理想.本文研究了度量投射维数的整数对和$S/I(G)$的正则性。我们证明了如果$S/I(G)$的投射维数达到最小值$2\sqrt{n}-2$，那么除了一个例外，它的正则性一定是1。当正则性达到最小值1时，我们也给出了$S/I(G)$的投射维数谱的完整描述。
2020-04-15 math.CO
Tricyclic graphs with maximal revised Szeged index
定义了图$G$的修正Szeged指数为$Sz^*(G)=\sum_{e=uv \in E}(n_u(e)+ n_0(e)/2)(n_v(e)+ n_0(e)/2),$，其中$n_u(e)$和$n_v(e)$分别是$G$中距顶点$u$比距顶点$v$近的顶点数和距顶点$v$比距顶点$u$近的顶点数，$n_0(e)$是与$u$和$v$等距的顶点数.本文给出了连通三圈图的修正Szeged指数的一个上界，并刻画了达到这个上界的图.
2013-06-30 math.CO
Maximum density of vertex-induced perfect cycles and paths in the hypercube
令$H$和$K$是$d$立方体$Q_d$的顶点集$V(Q_d)$的子集（我们在$Q_d$中称为$H$和$K$配置）.如果存在将$H$发送到$K$的$Q_d$的自同构，则我们说$K$是$H$的\emph{exact copy}。如果$d$是一个正整数，$H$是$Q_d$中的一个配置，我们定义$π(H,d)$为极限，因为$n$在$V(Q_n)$的所有子集$S$上，在与$S$相交的$Q_n$的子$d$-立方体中，达到最大分数的无穷大。我们确定了$π(C_8,4)$和$π(P_4,3)$，其中$C_8$是$Q_4$中的"完美" 8-圈，$P_4$是$Q_3$中的"完美" 4点路，并对$d$较大时的$π(C_{2d},d)$和$π(P_{d+1},d)$进行了讨论.在我们的证明中，与具有某些性质的序列的计数和某些小图的归纳有关。特别地，我们需要确定二部图族中两条顶点不相交边的诱导数。
2020-09-18 math.CO
Enumerating the total number of subtrees of trees
研究了在给定顶点数的某些类型的树上，哪些树使子树或含叶子树的总数最小或最大。主要结果如下：（1）子树总数的Sharp上界（分别为确定具有给定匹配数的$n$ -顶点树中的包含叶子的子树）;结果，具有最大化子树的总数（相应地，包含叶子的子树）的支配数$γ$的$n$ -顶点树包含子树的叶子）的特征。(2)\，确定了最大度至少为$Δ$的$n$ -顶点树中包含叶子的子树总数的精确下界;因此，最大度至少为$Δ$的$n$ -顶点树具有最小化子树总数的完美匹配。包含子树的叶子）的特征。(3)\、尖鞋帮（分别为下）界的所有$n$ -顶点树与$k$叶之间的子树的总数（分别.确定直径为$d$的所有$n$ -顶点树的集合。
2012-06-14 math.CO
The Maximum Number of Pentagons in a Planar Graph
1979年，Hakimi和Schmeichel考虑了$n$ -顶点平面图可平面图中给定长度的圈数的最大化问题。他们精确地确定了三角形和$4$ -圈的最大数目，并提出了五边形的最大数目的猜想。在这项工作中，我们证实了他们的猜想。进一步，我们刻画了具有最大五边形数的$n$ -顶点可平面图。
2022-12-04 math.CO
Vertex-edge marking score of certain triangular lattices
顶点-边标记游戏在图$G=(V,E)$上的两个玩家之间进行，其中一个玩家标记顶点，另一个标记边。参与者希望分别最小化/最大化与未标记顶点关联的标记边的数量。$G$的顶点边着色数是完美发挥可达到的最大分数。Brešar等人，[4]，给出了有限可平面图的点边染色数的一个上界$5$.目前还不知道边界是否严密。本文针对文[4]中的问题，证明了平面的无穷正则三角化的点边染色数为4。我们还给出了两个一般的技术，使我们能够计算在许多相关的三角化的平面的顶点边染色数。
2022-01-10 math.CO
On the minimum number of maximal distance-$k$ independent sets in trees
National Research University Higher School of Economics（国立高等经济大学）
研究确定了n顶点树中最大距离-k独立集的最小可能数量，给出了公式并分析了达到此界限的树类及数量增长速率。
2026-04-30 math.CO
On the maximum number of connected induced subgraphs of a graph
我们将这些图的结构的一个给定的顺序，最大限度地提高了7个不同的图类，每个与其他规定的参数，如最小度，独立数，顶点覆盖数，顶点连通度，边连通度，色数，桥的数量，从而有助于填补文献中的空白连接诱导子图的数量。
2023-03-03 math.CO
Bicyclic graphs with maximal revised Szeged index
修正的Szeged指数$Sz^*(G)$被定义为$Sz^*(G)=\sum_{e=uv \in E}(n_u(e)+ n_0(e)/2)(n_v(e)+ n_0(e)/2),$，其中$n_u(e)$和$n_v(e)$分别是$G$中距离顶点$u$比距离顶点$v$更近的顶点数和距离顶点$v$比距离顶点$u$更近的顶点数，而$n_0(e)$是距离$u$和$v$等距离的顶点数。Hansen利用AutoGraphiX对$n \geq 6$阶连通双圈图$G$的修正Szeged指数做出了如下猜想：$$ Sz^*(G)\leq \{{array}{ll} (n^3+n^2-n-1)/4,& {if $n$ is odd}, (n^3+n^2-n)/4, & {if $n$ is even}. {array}. $$具有相等性当且仅当$G$是通过复制一个顶点从圈$C_{n-1}$获得的图。本文对这一猜想给出了一个证实性的证明。
2011-04-12 math.CO
On the Maximum Number of Vertices of Critically Embedded Graphs
定义一个图的边界点，该点嵌入在欧几里德平面中，且该点仅与一条边关联。本文研究嵌入在欧氏平面上的具有有限个边界点的图。我们对它们施加的简单几何条件是，从每个非边界顶点延伸的边的单位向量之和将等于零。我们称这样的图为临界图，并要求在给定的边界大小下，最大化临界图的顶点数。本文的主要结果给出了平面临界图的最大顶点数的一个尖锐的上界，其中每个非边界顶点的度为3或4。
2015-01-08 math.CO
On the Vertex Position Number of Graphs
在本文中，我们推广的概念，可见性从一个点在一个整数格的设置图论。对于连通图$G$的一个顶点$x$，我们称一个集合$S \subseteq V(G)$是一个\emph{$x$-position set}，如果对于任何$y \in S$，$G$中的最短$x,y$ -路不包含$S\setminus \{ y\}$的点.我们研究了图中最大$x$ -位置集的最大和最小阶数，确定了常见图类的最大和最小阶数，并给出了围长、顶点度、直径和半径的界。最后讨论了求图的最大顶点位置集的复杂性。
2022-09-19 math.CO
Further results on the rainbow vertex-disconnection of graphs
设$G$是一个顶点着色的非平凡连通图.如果$G$的顶点集的子集$X$中的任意两个顶点具有不同的颜色，则称$X$为彩虹。图$G$称为\emph{rainbow vertex-disconnected}，如果对于$G$的任意两个顶点$x$和$y$，存在一个顶点子集$S$，使得当$x$和$y$不相邻时，$S$是彩虹图，且$x$和$y$属于$G-S$的不同分支;而当$x$和$y$相邻时，$S+x$或$S+y$为彩虹，$x$和$y$属于$(G-xy)-S$的不同组分。这样的顶点子集$S$被称为$G$的\emph{rainbow vertex-cut}。对于连通图$G$，$G$的\emph{rainbow vertex-disconnection number}，记为$rvd(G)$，是使$G$彩虹顶点不连通所需的最小颜色数。本文利用图的最小度和最大度给出了图的彩虹点不连通数的界。本文给出了图$G$的最大尺寸的一个严格的上界，其中$rvd(G)=k$为$k\geq\frac{n}{2}$。然后我们用彩虹点不连通数$n-1$刻画了$n$阶图，并得到了具有$rvd(G)=n-1$的图$G$的最大图长.此外，我们得到了一个尖锐的阈值函数的性质$rvd(G(n,p))=n$，并证明了几乎所有的图$G$有$rvd(G)=rvd(\overline{G})=n$。最后，我们得到了阶为$n\geq 24$的…
2020-06-14 math.CO
Inequalities of Independence Number, Clique Number and Connectivity of Maximal Connected Domination Critical Graphs
一个$γ_{c}$ -边临界图是对每个$uv \in E(\overline{G})$具有连通控制数$γ_{c}(G) = k$和$γ_{c}(G + uv) < k$的图$G$.进一步地，一个$2$ -连通图$G$称为$γ_{c}$ -顶点临界图，如果对所有$v \in V(G)$都有$γ_{c}(G) = k$和$γ_{c}(G - v) < k$.一个极大$k$ - $γ_{c}$ -点临界图是同时是$k$ - $γ_{c}$ -边临界和$k$ - $γ_{c}$ -点临界的图.设$κ, δ, ω$和$α$分别为连通最小度、团数和独立数。本文证明了每个极大$γ_{c}$ -顶点临界图$G$满足$α\leq δ$，并且这个界是最佳可能界.进一步证明了$G$满足$α+ ω\leq n - 1$，并刻画了所有达到上界的图。证明了若$G$满足$κ< δ$，则$G$的每两个顶点都由Hamilton路连接。
2022-08-18 math.CO
Sharp Bounds and Precise Values for the $N_i$-Chromatic Number of Graphs
设$G$是一个连通的无向图.~ $G$的顶点着色$f$是$N_i$ -顶点着色，如果对于$G$中的每个顶点$x$，分配给$N_G(x)$的不同颜色的数量至多为$i$。$G$的$N_i$ -色数，用$t_i(G)$表示，是在$G$的$N_i$ -顶点着色中使用的颜色的最大数量。本文给出了图$G$的$t_i(G)$的顶点覆盖数、最大度和直径的精确界.在某些情况下，我们还确定了$t_i(G)$的精确值。
2022-08-19 math.CO
Sharp lower bounds for the number of maximum matchings in bipartite multigraphs
本文研究了部分为$X$和$Y$的二部多重图G在各种条件下的最小最大匹配数，改进了M的下界。大厅当$|X|=n$时，$X$中的每个顶点的度至少为$k$，并且$X$中的每个顶点至少有$r$个不同的邻居，当$n\ge r$时最小值为$r!(k-r+1)$，当$n<r$时最小值为$[r+n(k-r)]\prod_{i=1}^{n-1}(r-i)$。当每个顶点至少有两个邻居和$|Y|-|X|=t\ge 0$时，最小值为$[(n-1)t+2+b](t+1)$，其中$b=|E(G)|-2(n+t)$。我们还确定在其他几种情况下的最大匹配的最小数量。我们提供各种锐度结构。
2022-11-18 math.CO
Symmetry breaking in planar and maximal outerplanar graphs
图$G$的可区别数（指数）$D(G)$（$D'(G)$）是最小整数$d$，使得$G$有一个用$d$标记的顶点（边）标记，该标记仅由平凡自同构保持。本文研究了极大外平面图（MOP图），证明了除$K_3$外，MOP图最多可由两个点（边）标号区分。我们还计算了Halin图和Mycielskian图的可区别数和可区别指数。
2018-01-25 math.CO
A note on acyclic vertex-colorings
证明了具有最大度$Δ$的图的无圈色数小于$2.835Δ^{4/3}+Δ$ .这改进了以前的上界，即$50Δ^{4/3}$。为此，我们从Alon，McDiarmid和Reed以及Esperet和Parreau的作品中汲取灵感。
2013-12-19 math.CO
On the maximum number of maximum independent sets in connected graphs
刻画了给定阶$n$和给定独立数$α$的使最大独立集个数最大化的连通图.对于$3\leq α\leq n/2$，存在一个唯一的这样的图，该图由$\left\lceil\frac{n}α\right\rceil$阶和$\left\lfloor\frac{n}α\right\rfloor$阶的$α$团的不相交并集产生，通过在最大团中选择顶点$x$并在$x$和每个剩余$α-1$团中的顶点之间添加边。我们的结果证实了Derikvand和Oboudi的一个猜想[关于图的最大独立集的数量，组合数学学报3（2014）29-36]。
2018-06-28 math.CO
Tight Bounds for Potential Maximal Cliques Parameterized by Vertex Cover
我们证明了一个具有$n$顶点和顶点覆盖为$k$的图至多有$4^k + n$潜在的最大团。我们还证明了，对于每个正整数$k$，存在一个图的顶点覆盖的大小$k$，$O(k^2)$顶点，和$Ω(4^k)$潜在的最大团。我们的结果扩展了Fomin，Liedloff，Montealegre和Todinca的结果，他们证明了$poly(n) 4^k$的上界，但留下了下界作为一个开放问题。
2020-11-23 cs.DS math.CO
Maximum number of symmetric extensions in the random graph
该研究将二项随机图中最大度、k顶点集最大公共邻居数等依分布收敛于Gumbel变量的结论，推广到一类对称扩展场景，发现其极限分布未必属于Gumbel族。
2023-06-09 math.CO math.PR
Enumeration and Maximum Number of Minimal Connected Vertex Covers in Graphs
连通顶点覆盖问题是计算机科学的经典问题之一，在Garey和Johnson的专著中已经提到。虽然寻找最小尺寸或重量的连通顶点覆盖的优化和决策变量得到了很好的研究，但令人惊讶的是，没有关于图的最小连通顶点覆盖的枚举或最大数量的工作。本文证明了一个图的最小连通点覆盖的最大数目至多为1.8668^n，并且这些顶点覆盖可以在O（1.8668^n）的时间内被枚举。对于弦度至多为5的图，我们能够给出一个更好的上界，对于弦图和距离遗传图，我们能够给出最小连通顶点覆盖的最大数目的严格界。
2016-02-24 cs.DM cs.DS math.CO
On graphs related to co-maximal ideals of a commutative ring
本文研究了上极大图$\Om(R)$、$\Om(R)$的诱导子图$\G(R)$（其顶点集为$R\setminus (U(R)\cup J(R))$）和$\G(R)$的收缩图$\G_r(R)$，其中$R$是交换环.我们证明了$\G(R)$的核是三角形和矩形的并集，而$\G(R)$中的顶点是核中的端点或顶点。对于非局部环$R$，我们证明了$\G(R)$的色数和团数与$R$的极大理想的个数相同.在顶点集$\{Rx|\,x\in R\setminus (U(R)\cup J(R))\}$上引入了图$\G_r(R)$，并研究了图$\G_r(R)$的图性质.
2011-06-01 math.AC math.CO
Stability of the Centrality of Unions of Networks on the Same Vertex Set
设$G^1(V,E_1)$和$G^2(V,E_2)$是同一顶点集$V$上的两个网络，并考虑边的并集$G(V, E_1 \cup E_2)$。本文研究了合成网络$G(V, E_1 \cup E_2)$的度、介数和特征向量中心性的稳定性。具体地说，假设$v^1_{max}$和$v^c_{max}$分别是$G^1(V,E_1)$和$G(V, E_1 \cup E_2)$的最高中心顶点，我们要找到$Pr(v^1_{max} = v^c_{max})$。
2013-09-25 cs.SI math.CO nlin.AO
Maximizing Algebraic Connectivity with $2(n-2)$ Edges: The Large Vertex Number Case
Stony Brook University（石溪大学）；Northeastern University（东北大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文证明了$n\ge123$时，$2(n-2)$条边的$n$顶点有限简单图中，完全二部图$K_{2,n-2}$使代数连通性最大，同时完成了含小$n$范围的Lean形式化。
2026-09-15 cs.LO math.CO math.SP
