An example of a 16-vertex Folkman edge (3,4)-graph without 8-cliques
N. Kolev, N. Nenov
本文证明了边Folkman数的一个新的上边界。在以前的论文中，我们已经证明了这个界限是精确的。
In this paper we prove a new upper bouhd on an edge Folkman number. In a previous paper we have proved that this bound is exact.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
New upper bound for a class of vertex Folkman numbers
本文改进了一些顶点Folkman数的已知界。
New recurrent inequality on a class of vertex Folkman numbers
给出了一类顶点Folkman数的一个新的递归不等式.
On The Vertex Folkman Numbers $F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-1)$ and $F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-2)$%
本文计算了几个Folkman数。
On the Vertex Folkman Numbers $F_v(2,...,2;q)$
对于一个图$G$的符号$G\tov(a_1,...,a_r)$意味着在每个$G$的顶点的$r$ -着色对于一些$i\in\{1,...,r\}$存在一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数\[ \FN=\min\{|V(G)|:G\tov(a_1,...,a_r)\text{and}K_q\nsubseteqq G\} \]。本文将在$k\le 12$和$r$足够大时计算Folkman数$F_v(\underbrace{2,...,2}_r;r-k+1)$.我们还证明了一些顶点和边Folkman数的新的界限。
An exponential-type upper bound for Folkman numbers
对于给定的整数$k$和$r$，Folkman数$f(k;r)$是图$G$中的最小顶点数，该图在$k+1$顶点上不包含团，但对于它的每一个边划分成$r$部分，某个部分包含一个$k$阶团。Folkman（1970）对$r=2$以及Nešetzil和Rödl（1976）对任意$r$证明了Folkman数的存在性（有限性），但是这些证明导致了$f(k;r)$上界非常弱。最近，Conlon和Gowers分别独立地得到了$f(k;2)$上的一个双指数界.在这里，我们建立了一个进一步的改进，通过显示$f(k;r)$上的上界是指数的多项式函数的$k$和$r$。这与已知的下限$2^{Ω(rk)}$相当。我们的证明依赖于Saxton和Samason（2015）的最新结果（或者，Balogh，Morris和Samotij（2015）的最新结果），从中我们推导出随机图中Ramsey定理的定量版本。
On the independence number of $(3, 3)$-Ramsey graphs and the Folkman number $F_e(3, 3; 4)$
图$G$称为$(3, 3)$ -Ramsey图，如果在图$G$的两种颜色的边的每一个着色中都有一个单色三角形.不含4-团的$(3, 3)$ -Ramsey图的最小顶点数记为$F_e(3, 3; 4)$ .数字$F_e(3, 3; 4)$被称为最想要的福克曼号码。已知$20 \leq F_e(3, 3; 4) \leq 786$ .本文证明了：如果$G$是一个不含4-团的$n$ -顶点$(3, 3)$ -Ramsey图，则有$α(G) \leq n - 16$，其中$α(G)$表示$G$的独立数.利用新得到的$α(G)$上界和复杂的计算机计算，我们得到了新的下界$$F_e(3, 3; 4) \geq 21.$$
New bounds on the vertex Folkman number $F_v(2, 2, 2, 3; 4)$
对于图$G$，表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$意味着对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色，存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。定义顶点Folkman数$F_v(a_1, ..., a_s; q)$为$$F_v(a_1, ..., a_s; q) = \min\{\vert V(G) \vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_q \not\subseteq G\}.$$.本文改进了已知的$F_v(2, 2, 2, 3; 4)$的界，借助于计算机证明了$20 \leq F_v(2, 2, 2, 3; 4) \leq 22$ .
The vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9$, if $\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于任何$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G) \vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .借助计算机证明了$F_v(2, 2, 5; 6) = 16$，并证明了$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = m + 9,$$若$\max\{a_1, ..., a_s\} = 5$ .我们还得到了界$$m + 9 \leq F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \leq m + 10,$$，如果$\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$。关键词：Folkman数，Ramsey数，团数，独立数，色数
Chromatic Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_1 \ge \cdots \ge a_r \ge 2$，我们记为$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$当且仅当对于顶点集$V(G)$的每一个$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1, \cdots, r\}$，在$G$中存在一个单色$K_{a_i}$.顶点Folkman数$F_v(a_1 ,\cdots ,a_r; s)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$K_s$图$G$，使得$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$ .众所周知，如果$G \rightarrow (a_1 ,\cdots ,a_r)^v$，则$χ(G) \geq m$，其中$m = 1+ \sum_{i=1}^r (a_i - 1)$。本文研究了具有色数$χ(G)=m$的一类Folkman图$G$，从而引出了色Folkman数的新概念。我们建设性地证明了一些存在性结果，其中包括：对于所有的$r,s \ge 2$，存在$K_{s+1}$ -free图$G$，使得$G \rightarrow (s,\cdots_r,s)^v$和$G$对于这个$r$ -color arrowing成立具有最小可能的色数$r(s-1)+1$.我们还猜想，在某些情况下，我们的构造是最好的，特别是对于每个$s \ge 2$，…
A Note on Upper Bounds for Some Generalized Folkman Numbers
我们基于积图给出了广义顶点Folkman数的一些新的构造性上界。它们导致了一些特殊情况下的广义边Folkman数，包括$F_e(K_3,K_4-e; K_5) \leq 27$和$F_e(K_4-e,K_4-e; K_5) \leq 51$的新的上界。后一个界限来自于51个顶点上的$K_5$ -free图的构造，对于该图，其边的每一个用两种颜色着色的边包含单色$K_4-e$。
On Some Generalized Vertex Folkman Numbers
对于图$G$和整数$a_i\ge 1$，表达式$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v$表示对于$G$的顶点的任何$r$ -着色，对于某种颜色$i \in \{1,\cdots,r\}$，在$G$中存在单色$a_i$ -团.顶点Folkman数定义为$F_v(a_1,\dots,a_r;H) = \min\{|V(G)| : G$是$H$ -free和$G \rightarrow (a_1,\dots,a_r)^v\}$，其中$H$是一个图.此类顶点Folkman数已针对$H=K_s$和$s>\max\{a_i\}_{1\le i \le r}$进行了广泛研究。如果所有$i$都是$a_i=a$，那么我们使用符号$F_v(a^r;H)=F_v(a_1,\dots,a_r;H)$。令$J_k$是缺少一条边的完全图$K_k$，即$J_k=K_k-e$。在这项工作中，我们专注于顶点Folkman数与$H=J_k$，特别是$k=4$和$a_i\le 3$。1976年Nešetzil和Rödl的一个结果意味着$F_v(3^r;J_4)$对于任何$r\ge 2$都是定义良好的。我们提出了一个新的和更直接的证明这一事实。最简单但已经很有趣的情况是$F_v(3,3;J_4)$，我们通过使用$J_4$ -free过程建立了135的上限。我们获得了其他一些小的情况下，$F_v(a…
The vertex Folkman number $F_v(3,3;5)$ equals~$8$
研究确定了顶点Folkman数$F_v(3,3;5)$为8，通过构造一个无$K_5$的图，并证明其满足特定的着色条件。
Modified vertex Folkman numbers
设$a_1, ..., a_s$为正整数。对于图$G$的表达式$$ G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) $$意味着，对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色（$s$着色），存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。如果$m$和$p$是正整数，则$$ G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} $$意味着对于任意正整数$a_1, ..., a_s$（$s$不固定），使得$\sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1 = m$和$\max{\{a_1, ..., a_s\}} \leq p$，我们有$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$。设$$ \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q) = \{G : G \overset{v}{\rightarrow} {m}\big\vert_{p} \mbox{ and } ω(G) < q\}. $$修改的顶点Folkman数由等式$$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{p}; q) = \min{\{|V(G)| : G \in \widetilde{\mathcal{H…
On the vertex Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$ when $\max\{a_1, ..., a_s\} = 6$ or $7$
设$G$是一个图，$a_1, ..., a_s$是正整数.那么$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$意味着对于$G$的顶点在$s$颜色中的每个着色，存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得存在颜色$i$的单色$a_i$ -团。顶点Folkman数$F_v(a_1, ..., a_s; q)$由等式定义：$$ F_v(a_1, ..., a_s; q) = \min\{|V(G)| : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_q \not\subseteq G\}. $$设$m = \sum\limits_{i=1}^s (a_i - 1) + 1$。很容易看出$F_v(a_1, ..., a_s; q) = m$是$q \geq m + 1$。文[11]证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m) = m + \max\{a_1, ..., a_s\}$ .当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 5$时，我们知道所有的数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$，而当$\max\{a_1, ..., a_s\} \geq 6$时，这些数字都不知道。在本文中，我们计算的数字$F_v(a_1, ..., a_s;…
On the Nonexistence of Some Generalized Folkman Numbers
对于一个无向简单图$G$，我们记为$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$当且仅当对于它的每个顶点的红-蓝着色，存在一个红色的$H_1$或一个蓝色的$H_2$。广义顶点Folkman数$F_v(H_1, H_2; H)$定义为最小整数$n$，对于该整数，存在一个$n$阶的无$H$图$G$，使得$G \rightarrow (H_1, H_2)^v$ .当考虑边的着色时，广义边Folkman数$F_e(H_1, H_2; H)$的定义与此类似.我们表明，$F_e(K_{k+1},K_{k+1};K_{k+2}-e)$和$F_v(K_k,K_k;K_{k+1}-e)$是很好地定义为$k \geq 3$。我们证明了某些$H$，特别是$H=B_3$，其中$B_k$是$k$三角页的书图，和$H=K_1+P_4$的$F_e(K_3,K_3;H)$的不存在性.本文提出了三个关于广义Folkman数的问题，包括边Folkman数$F_e(K_3, K_3; B_4)$，$F_e(K_3, K_3; K_1+C_4)$和$F_e(K_3, K_3; \overline{P_2 \cup P_3} )$的存在性问题.我们的结果导致了一些一般的不等式涉及双色和B-Folkman数。
Lower bounding the Folkman numbers $F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$
对于一个图$G$的表达式$G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s)$的意思是，对于每个$G$的顶点的$s$ -着色存在$i \in \{1, ..., s\}$，使得有一个单色$a_i$ -团的颜色$i$。考虑顶点Folkman数$$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) = \min\{\vert V(G)\vert : G \overset{v}{\rightarrow} (a_1, ..., a_s) \mbox{ and } K_{m - 1} \not\subseteq G\}.$$，其中$m = \sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1$ .我们知道所有数字$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1)$的确切值，当$\max\{a_1, ..., a_s\} \leq 6$和数字$F_v(2, 2, 7; 8) = 20$。在\cite{BN15a}中，我们提出了一种获得这些数字的下界的方法。利用该方法和一个新的改进算法，在$\max\{a_1, ..., a_s\} = 7$的特殊情况下，证明了$F_v(a_1, ..., a_s; m - 1) \geq m + 11$和这个界对所有的$m$都是精确的.这些数字的已知上限是$m + 12$。在文章的最后，我们还证明了下界$19 \leq…
The edge Folkman number $F_e(3, 3; 4)$ is greater than 19
不包含$q$顶点$K_q$上的完全图，且具有边的每一个双色着色中存在一个单色三角形的性质的图的集合记为$\mathcal{H}_e(3, 3; q)$ .考虑边Folkman数$F_e(3, 3; q) = \min\{|V(G)| : G \in \mathcal{H}_e(3, 3; q)\}$。Folkman在1970年证明了$F_e(3, 3; q)$存在的充要条件是$q \geq 4$。从拉姆齐数$R(3, 3) = 6$可以清楚地看出，如果$q \geq 7$，则$F_e(3, 3; q) = 6$。还已知$F_e(3, 3; 6) = 8$和$F_e(3, 3; 5) = 15$。由Folkman和其他一些作者的构造得出的数$F_e(3, 3; 4)$的上界是不好的。在1975年鄂尔多斯提出的问题，以证明不等式$F_e(3, 3; 4) < 10^{10}$。1978年，斯宾塞解决了这个鄂尔多斯问题。$F_e(3, 3; 4) \leq 786$的最后一个上界是由Lange、Radziszowski和Xu在2012年获得的，他们证明了$F_e(3, 3; 4) \leq 786$。这个数的最佳下界是19，是Radziszowski和Xu在10年前得到的。本文通过证明$F_e(3, 3; 4) \geq 20$改进了这一结果。最后，通过证明$20 \leq F_v(2,…
On Small Folkman Graphs Arrowing $K_2$ or $K_3$
本文研究了小Folkman数，针对k≤4且a_i∈{2,3}的情况，排除了K₄、K₅、K₆及J₄、J₅等图，证明了W₅自由图中F_e(3,3;W₅)的存在性，并探讨了F_v(3,3;¬P₂∪P₃)的理论结果。
Some remarks on Folkman graphs for triangles
研究Folkman图的存在性，通过Hermitian unital构造几何图序列H_q，证明H_q中三角形系统满足Ramsey性质，且随机修改可消除K_4并保持性质。
Strong cliques in vertex-transitive graphs
一个集团（分别为，独立集）是强的，如果它与每个极大独立集（分别是，每个最大集团）。一个图是CIS的，如果它的所有极大团都是强的，如果它允许它的顶点集划分为强团，则它是可局部化的。本文证明了点传递图$Γ$中的团$C$是强的当且仅当对$Γ$的每个极大独立集$I$都有$|C||I|=|V(Γ)|$.基于这个结果，我们证明了一个点传递图是CIS的当且仅当它允许一个强团和一个强独立集。本文对含有强团的点传递图进行了分类，并给出了含有强团的$5$ -价点传递图的部分刻划.我们的结果意味着，每一个点传递图的价最多$5$，允许一个强团是局部化的。我们回答了一个开放的问题，提供了一个例子的顶点传递CIS图是不可本地化的。
Spectral Applications of Vertex-Clique Incidence Matrices Associated with a Graph
该研究引入图的顶点-团关联矩阵，推导图负特征值、负惯性指数及相关能量的界，推广无符号拉普拉斯矩阵等概念，并借此证明多类满足q(G)=2的图，建立了团划分、边团覆盖与图谱的关联。
Coloring $Δ$-Critical Graphs With Small High Vertex Cliques
我们证明了$K_{χ(G)}$是唯一一个具有$χ(G) \geq Δ(G) \geq 6$和$ω(\mathcal{H}(G)) \leq \left \lfloor \frac{Δ(G)}{2} \right \rfloor - 2$的临界图$G$.这里$\mathcal{H}(G)$是在度至少为$χ(G)$的顶点上导出的$G$的子图。设置$ω(\mathcal{H}(G)) = 1$证明了Kierstead和Kostochka的一个猜想。
Clique covers and decompositions of cliques of graphs
本文研究图的边与t顶点团的团覆盖和分解问题，证明了Erdős猜想及Dau等人猜想的分数松弛和渐近最优版本，方法结合Zykov对称化、Frankl-Rödl nibble与Szemerédi正则引理。
Clique Coverings and Claw-free Graphs
令$\cal C$是$E(G)$的团覆盖，令$v$是$G$的顶点。顶点$v$（相对于$\cal C$）的化合价，用$val_{\cal C}(v)$表示，是包含$v$的$\cal C$中的团的数目。定义$G$的局部团覆盖数$lcc(G)$为最小整数$k$，对于该最小整数，对每个顶点$v\in V(G)$，存在$E(G)$的团覆盖使得$val_{\cal C}(v)$至多为$k$.在本文中，除了其他结果，我们证明了，如果$G$是一个无爪图，那么$lcc(G)+χ(G)\leq n+1$。
Clique-partitioned graphs
$nv$阶的图$G$，其中$n\geq 2$和$v\geq 2$被称为弱$(n,v)$ -团划分的，如果其顶点集可以以唯一的方式分解为$n$顶点不相交的$v$ -团。它是强$(n,v)$ -团划分的，如果另外，$G$的唯一$v$ -团是分解中的$n$团。我们确定这样的图的结构，具有最大可能的边数。
Turán numbers of vertex-disjoint cliques in $r$-partite graphs
对于两个图$G$和$H$，图兰数$ex(G,H)$是不包含$H$的副本的$G$的子图中的最大边数。Chen、Li和Tu确定了所有$k\geq 1$的图兰数$ex(K_{m,n},kK_2)$ [7]。在本文中，我们将确定所有$r\geq 3$和$k\geq 1$的图兰数$ex(K_{a_1,\ldots,a_r},kK_r)$。
Strong cliques in diamond-free graphs
图中的强团是与所有包含极大稳定集相交的团。强团在完美图的研究中起着重要的作用。我们研究强集团类的钻石免费图，从结构和算法的角度来看。我们发现，以下五个NP-难或合作NP-难问题仍然难以解决时，限制类的钻石免费图：是一个给定的集团强？这个图有一个强团吗？每个顶点都包含在一个强团中吗？给定顶点集的一个划分为团，划分中的每个团都是强的吗？顶点集能划分成强团吗？在积极的一面，我们表明，以下两个问题，其计算复杂性是开放的一般可以解决的线性时间类的钻石无图：是每一个最大团强？每一条边都包含在一个强集团中吗？这些结果是由无钻石图的一个特征得到的，其中每个极大团都是强的，这也意味着这类图的一个改进的Erdens-Hajnal性质。
Turán number of four vertex-disjoint cliques
本文通过Hajnal-Szemerédi定理的证明思想和电荷法，确定了不含四个不相交完全子图的n顶点图的最大边数。
On Greedy Clique Decompositions and Set Representations of Graphs
1994年S. McGuinness证明了n-顶点图的任何贪婪团分解最多有$\lfloor n^2/4 \rfloor$团（图的贪婪团分解，J.图论18（1994）427-430），其中团分解是指边集的团划分，图的贪婪团分解是通过从图中逐个移除最大团直到图为空来获得的。这个结果解决了P. Winkler的一个猜想。一个单图G的多族集表示是一个不一定是相异的集合族，其中每个成员表示G中的一个顶点，并且两个集合的交是非空的当且仅当G中两个相应的顶点相邻。众所周知，对于图G，多族集表示与边集的团覆盖之间存在一一对应关系。此外，对于一个图，一个可以有一个一对一的对应关系之间的特定的多族集表示与相交大小最多为一和团分区的边缘集。本文研究了n-顶点图的不同集合表示的变形，包括求图的边集的相应团划分的贪婪方法。类似地，在这种情况下，我们得到了一个结果，任何贪婪团分解的n-顶点图有最多$\lfloor n^2/4 \rfloor$团。
Cliques in Graphs Excluding a Complete Graph Minor
本文考虑了以下问题：在没有$K_t$ -子式的$n$ -顶点图中，$k$ -团的最大数目是多少？这个问题推广了$K_t$ -子式的极值函数，它对应于$k=2$的情况。给出了$t\leq 9$和$k$的所有值的精确答案。我们还确定了一个$n$ -顶点图中没有$K_t$ -子图的最大团总数为$t\leq 9$。对一般$t$的情况作了几点观察。
A note on graphs with disjoint maximal cliques ans a link with evasiveness
本文证明了一个有限点传递图如果有一个团与所有极大团相交，则它是完全图。这给出了一个肯定的答案，在顶点传递图的情况下，Berge和Payan提出的一个问题。同时对回避猜想的一个特例给出了肯定的回答。
Number of cliques in graphs with a forbidden subdivision
证明了对所有正整数$t$，每个不含$K_t$ -剖分的$n$ -顶点图至多有$2^{50t}n$团.我们还证明，渐近，这样的图包含最多$2^{(5+o(1))t}n$集团，其中$o(1)$趋于零，$t$趋于无穷大。这有力地回答了D. Wood提出了一个问题：对于某个常数$c$，不含$K_t$ -子图的$n$ -顶点图的团数是否至多为$2^{ct}n$.
On joins of a clique and a co-clique as star complements in regular graphs
本文考虑$r$ -正则图$G$，它允许顶点集的划分使得其中一个导出子图是$s$ -顶点团和$t$ -顶点余团的并，并且表示$G$的特征值$μ$的星补.其中一个参数$s, t$小于2或$μ=r$的情况已解决。在[J. Wang，X.元湖，澳-地Liu，以指定的完全多部图为星补的正则图，线性代数应用~ 579（2019）302--319]，如果$s, t\geq 2$和$μ\neq r$，则$μ=-2, t=2$和$G=\overline{(s+1)K_2}$。对于$μ=-t$，我们验证了这个猜想是正确的。进一步研究了$μ\neq-t$的情形，证实了$t^2-4μ^2t-4μ^3=0$的猜想.对于剩余的可能性，我们确定了一个假定的反例的结构，并将其存在性与一个特定的2-类区组设计的存在性联系起来。最小的反例有1265个顶点。
Cliques in the union of $C_4$-free graphs
设$B$和$R$是两个顶点集为$V$的简单图，$G(B,R)$是顶点集为$V$的简单图，其中两个顶点相邻，如果它们在$B$和$R$中的至少一个中相邻。证明了：如果$B$和$R$是同一顶点集$V$上的两个$C_4$ -free图，且$G(B,R)$是完全图，则在$B$和$R$中存在一个$B$-团$X$，一个$R$-团$Y$和一个团$Z$，使得$V=X\cup Y\cup Z$ .此外，如果$x\in Z$，则$x$是$G(B,R)$中某个双$C_5$的顶点之一。特别地，如果$G(B,R)$也不包含双$C_5$，则$V$服从。本文证明了：如果$B$和$R$是$C_4$ -free图，则有$ω(G(B,R))\leq ω(B)+ω(R)+\frac{1}{2}\min(ω(B),ω(R))$和$ω(G(B,R))\leq ω(B)+ω(R)+ω(H(B,R))$，其中$H(B,R)$是顶点集为$V$的简单图，如果两个顶点在$B$和$R$中相邻，则它们是相邻的.
An upper bound for the clique number using clique ceiling numbers
在这篇文章中，我们提出的想法团天花板数的顶点的一个给定的图，有一个普遍的顶点。我们跟进的多项式时间算法计算的上界的团数这样的图使用团天花板数。我们比较了这个算法与一些团数的上界公式。
Induced subgraphs of induced subgraphs of large chromatic number
本文证明对于任意有边的图$F$，存在色数任意大且团数相同的图，其$F$-free导出子图色数有界，推广了多项近期定理及Folkman结果，并扩展至竞赛图、超图等结构。
Clique Cover Width and Clique Sum
对于无向图$G$中的团覆盖$C$，$C$的团覆盖图是通过将$C$中的每个团的顶点收缩为单个顶点而获得的图。G的团覆盖宽度，记为$CCW(G)$，是$G$的所有团覆盖图的带宽的最小值。当$G$是$G_1$与$G_2$的团和时，我们证明了$CCW(G) \le 3/2(CCW(G_1) + CCW(G_2))$ .
Inequalities of Independence Number, Clique Number and Connectivity of Maximal Connected Domination Critical Graphs
一个$γ_{c}$ -边临界图是对每个$uv \in E(\overline{G})$具有连通控制数$γ_{c}(G) = k$和$γ_{c}(G + uv) < k$的图$G$.进一步地，一个$2$ -连通图$G$称为$γ_{c}$ -顶点临界图，如果对所有$v \in V(G)$都有$γ_{c}(G) = k$和$γ_{c}(G - v) < k$.一个极大$k$ - $γ_{c}$ -点临界图是同时是$k$ - $γ_{c}$ -边临界和$k$ - $γ_{c}$ -点临界的图.设$κ, δ, ω$和$α$分别为连通最小度、团数和独立数。本文证明了每个极大$γ_{c}$ -顶点临界图$G$满足$α\leq δ$，并且这个界是最佳可能界.进一步证明了$G$满足$α+ ω\leq n - 1$，并刻画了所有达到上界的图。证明了若$G$满足$κ< δ$，则$G$的每两个顶点都由Hamilton路连接。
Tight Bounds for Potential Maximal Cliques Parameterized by Vertex Cover
我们证明了一个具有$n$顶点和顶点覆盖为$k$的图至多有$4^k + n$潜在的最大团。我们还证明了，对于每个正整数$k$，存在一个图的顶点覆盖的大小$k$，$O(k^2)$顶点，和$Ω(4^k)$潜在的最大团。我们的结果扩展了Fomin，Liedloff，Montealegre和Todinca的结果，他们证明了$poly(n) 4^k$的上界，但留下了下界作为一个开放问题。
Domination polynomial of clique cover product of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图。$G$的控制多项式是多项式$D(G, x)=\sum_{i=1}^n d(G,i) x^i$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。对于两个图$G$和$H$，设$\mathcal{C} = \{C_1,C_2, \cdots, C_k\}$是$G$和$U\subseteq V(H)$的团覆盖。我们考虑由$G$得到的团覆盖积，记为$G^\mathcal{C} \star H^U$：对于每个团$C_i \in \mathcal{C}$，添加图$H$的一个副本，并将$C_i$的每个顶点连接到$U$的每个顶点.证明了团覆盖积$G^\mathcal{C} \star H^{V(H)}$或简称$G^\mathcal{C} \star H$的控制多项式为\[ D(G^\mathcal{C} \star H,x)=\prod_{i=1}^k\Big [\big((1+x)^{n_i}-1\big)(1+x)^{|V(H)|}+D(H,x)\Big], \]，其中每个团$C_i \in \mathcal{C}$都有$n_i$个顶点.作为结果，我们研究了某些图族的$\mathcal{D}$ -等价类。此外，我们还完整地描述了友谊图的$\mathcal{D}$ -等价类的聚合$n$副本的长度为3的循环图与一个共同的顶点。
The Erdős--Faber--Lovász Conjecture revisited
1972年提出的Erdens-Faber-Lovász猜想指出，如果一个图$G$是$n$阶的$n$团的并集（称为定义$n$ -团），使得两个团最多可以共享一个顶点，那么$G$的顶点可以用$n$颜色适当地着色。虽然在近50年后仍然开放，但可以很容易地证明，当每个共享顶点恰好属于两个定义$n$ -团时，该猜想是正确的。在这种情况下，我们提供了一个快速而简单的算法来着色$G$的顶点，并讨论了与图的顶点分解和边着色的连接。
Clique numbers of graph unions
设$B$和$R$是两个顶点集为$V$的简单图，$G(B,R)$是顶点集为$V$的简单图，其中两个顶点相邻，如果它们在$B$和$R$中的至少一个中相邻。对于$X \subseteq V$，我们用$B|X$表示由$X$诱导的$B$的子图;让$R|X$和$G(B,R)|X$被类似地定义。如果对于每个$X \subseteq V$，$B|X$和$R|X$的团数之和至少是$G(B,R)|X$的团数，则我们说对$(B,R)$是{ \em加性}。本文给出了可加图对的一个充要刻画。这是\cite{ABC}中研究的结构问题的数值变体。
A $B$-Restricted Clique Polynomial and Connections to Tanner's Inequality
本文提出B限制的团多项式作为捕捉图结构的统一工具，通过谱理论和同态约束展示了其在局部和全局分析中的应用。
Clique decompositions and covers for large graphs
本文针对大图的团分解与覆盖问题，解决了Erdős等人提出的两个团相关猜想，确定了等号成立的情况，采用线性规划对偶性、图删除引理等方法完成证明。
On the spectral moment of graphs with given clique number
设$\mathscr{L}_{n,t}$是所有团数为$n$\，（$2\leq t\leq n)$ .本文讨论了具有给定团数的$n$ -点连通图的谱矩字典序（$S$ -序）.刻画了$\mathscr{L}_{n,t}$中具有$3\le t\le n-4$的第一个$\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n-t-1}{3}\rfloor}(n-t-3i)+1$图和最后几个$S$ -阶图.此外，在$\mathscr{L}_{n,n}\bigcup\mathscr{L}_{n,n-1}$中的所有图都有一个$S$ -阶;对于$t=n-2$和$t=n-3$的情况，集合$\mathscr{L}_{n,t}$中的前三个和前七个图分别被刻画。
Counting cliques in $1$-planar graphs
最大化不同图类的$n$ -顶点图之间的团数的问题受到了相当大的关注。我们调查这个问题的类$1$ -可平面图，我们精确地确定集团的最大总数以及集团的最大数量的任何固定大小。我们还精确地计算了这些问题的极值图。
Maximal independent sets in clique-free graphs
Nielsen证明了$n$ -顶点图中$k$大小的最大独立集（MIS）的最大数目渐近于$(n/k)^k$，其极值结构是$k$团的不相交并，其大小尽可能接近$n/k$.在本文中，我们研究了有多少MIS的大小$k$的$n$顶点图$G$可以有，如果$G$不包含一个团$K_t$。利用Gowers和B. Janzer关于Ruzsa-Szemerédi问题的推广。我们证明了当$k\le 4$。
Clique coloring of dense random graphs
图G=（V，E）的团色数是顶点着色中的最小颜色数，使得没有最大（关于包含）团是单色的。证明了二项随机图G=G（n，1/2）的团色数很可能为Ω（logn）.这解决了McDiarmid，Mitsche和Pralat的一个问题，他们证明了它是O（log n）的高概率。
Clique-factors in graphs with sublinear $\ell$-independence number
给定一个图$G$和一个整数$\ell\ge 2$，我们用$α_{\ell}(G)$表示$V(G)$中无$K_{\ell}$顶点子集的最大尺寸. Nenadov和Pehova最近的一个问题要求确定$n$ -顶点图$G$与$α_{\ell}(G) = o(n)$中的最佳可能的最小度条件，这可以看作是著名的Hajnal-Szemerédi定理的Ramsey-Turán变体。本文对所有$r\ge \ell\ge 2$，找到了具有$α_\ell(G)=n^{1-o(1)}$的$n$ -顶点图$G$中$K_r$ -因子的渐近最小度阈值.
Vertex Ramsey problems in the hypercube
如果我们对一个大的超立方体的顶点进行2-着色，我们能保证找到哪些单色子结构？称d维超立方体Q_d的顶点集S为Ramsey，如果Q_n的顶点的任意2-着色，当n足够大时，包含S的单色副本。Ramsey定理告诉我们，对于任何r \geq 1，一个足够大的r-一致超图的每一个2-着色都将包含一个大的单色团（一个完全子超图）：因此，Q_d中的任何顶点集都具有相同的权是Ramsey。一个自然的问题是：对应于不同权重的团的并集的集合S是拉姆齐集合？这个问题的答案取决于所涉及的派系的数量。特别是，我们确定工会的2或3个集团是拉姆齐，然后显示，使用概率参数，任何非平凡的工会39个或更多的集团不同的权重不能拉姆齐。一个关键的工具是一个引理，它减少了有关单色配置的问题，在超立方体的问题，单色平移的整数集。
Compressed Cliques Graphs, Clique Coverings and Positive Zero Forcing
与图相关的迫零参数已经被研究了十多年，并且随着相关应用数量的增长而越来越受欢迎。特别是，众所周知，这些参数与某些顶点覆盖有关。继续沿着这些路线，我们调查的背景下，某些集团覆盖的正零强迫。这里考虑的一个关键对象是压缩团图。我们研究了一些与压缩团图相关的性质，包括：唯一性，禁止子图，连接到约翰逊图，和正迫零。
On Clique Incidence Matrices and Derivatives of Clique Polynomials
$G$的完全子图（团）数的普通生成函数，记为$C(G,x)$，称为图$G$的团多项式。本文首先引入了由单图$G$关联的一些\emph{clique}关联矩阵，作为经典的$G$的点边关联矩阵的推广.然后，利用这些团关联矩阵，我们得到了两个团计数恒等式，可用于推导团多项式的一阶和二阶导数的两个组合公式。最后，我们总结了几个开放的问题和可能的扩展我们的主要结果团多项式的高阶导数的文件。
Cliques in Odd-Minor-Free Graphs
本文讨论：（1）图中某类团的个数的界;（2）列出图中所有团的算法。我们提出了一个简单的算法，列出所有团在$n$ -顶点图在O（n）时间每个团。对于O（1）-退化图，如不包括一个固定的子图，我们描述了一个O（n）时间算法列出所有团。证明了不含固定奇子图的图有$O(n^2)$团（这是紧的），并给出了列出所有团的$O(n^3)$时间算法.
Local Clique Covers and Chromatic Number
本文证明了局部团覆盖数与色数之和不超过顶点数加一的猜想，并给出了达到等号时图的结构性质及诱导匹配的改进界。
Independence number of graphs with a prescribed number of cliques
我们考虑以下问题所提出的鄂尔多斯在1962年。设$G$是一个$n$ -顶点图，其中$G$中$s$ -团的个数为$t$ . $G$的独立数能有多小？我们的主要结果表明，对于固定的$s$，最小可能的独立数经历了一个过渡在$t=n^{s/2+o(1)}$。在三角形的情形下（$s=3$），我们得到了如下结果，它与常数因子有很大的区别，并且推广了拉姆齐理论中的基本结果：存在$c>0$，使得每个含有$t$三角形的$n$ -顶点图的独立数至少为$$c \cdot \min\left\{ \sqrt {n \log n}\, , \, \frac{n}{t^{1/3}} \left(\log \frac{n}{ t^{1/3}}\right)^{2/3} \right\}.$$
Antimagicness of graphs with a dominating clique
本文研究了具有支配 clique 的图的 antimagic 性，提出 C-antimagic 定义并证明此类图大多为 3-antimagic。
Optimal-size clique transversals in chordal graphs
Tuza在1990年和Erdos等人在1992年提出了如下问题：如果n-顶点弦图G的每条边都包含在一个大小至少为4的团中，那么G是否有团横截，即，一组顶点满足所有非平凡的最大集团，大小最多n/4？我们证明了当n ≥ 5时，每个这样的图G都有一个大小不超过2（n-1）/7的团断面，这是G的最佳可能界.
Graphs with few 3-cliques and 3-anticliques are 3-universal
对于给定的整数k，l，我们问是否每一个大的图与足够小的数量的k-团和k-反形必须包含一个诱导副本的每一个l-顶点图。在这里，我们证明了这个要求k=l=3与一个尖锐的界限。对于k=l=4的竞赛也建立了类似的现象。
Improper coloring of graphs with no odd clique minor
作为Hadwiger猜想的一个加强，Gerards和Seymour证明了任何没有奇数$K_t$子式的图都是$(t-1)$ -可着色的.我们证明了这个猜想的两个较弱的变种。首先，我们证明了对于每个$t \geq 2$，每个不含奇数$K_t$子图的图都有一个将其顶点集划分为$6t-9$集$V_1, \dots, V_{6t-9}$的划分，使得每个$V_i$诱导出一个最大度有界的子图.其次，我们证明了，对于每个$t \geq 2$，每个图没有奇数$K_t$子有一个分区的顶点集到$10t-13$集$V_1, \dots, V_{10t-13}$，使每个$V_i$诱导一个子图的组件有界大小。第二个定理改进了Kawarabayashi（2008）的结果，该结果指出顶点集可以划分为$496t$这样的集合。
A note on simplicial cliques
基于凝聚态物理和量子信息论中的一个应用，我们证明了每个非零偶无洞无爪图都有一个单纯团，即团$K$，使得对于每个顶点$v \in K$，$v$在$K$之外的邻居集是团.事实上，我们证明了一个单纯团的存在性，在更一般的一类图所定义的禁止诱导子图。
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