How many cliques can a clique cover cover?
本文研究了利用图的团覆盖进行团计数的问题。应用包含/排除原理来确定$m$团的集合$\mathcal{C} = \{c_1, \ldots, c_m\}$的图并集中大小为$r$的团的数目。这导致了更深入的检查所涉及的集和轨道分区，$Γ$，幂集$\mathcal{P}(\mathcal{N}_{m})$的$\mathcal{N}_{m} = \{1, \ldots, m\}$。应用于集团，这种划分使洞察集团枚举和集团内的集团覆盖，包括集团的大小$r$的数量表达式，以及这些图上的集团的生成函数产生新的结果。商图模这个划分提供了一个简洁的表示，以确定集团和最大集团在图联合。分区还提供了一个自然和强大的框架，相关的问题，如枚举诱导连接组件，通过借鉴连接到极值集合论通过相交集。
2022-06-29 math.CO
Infinitely many minimal classes of graphs of unbounded clique-width
著名的Robertson和Seymour定理指出，在小闭图类族中，存在唯一的树宽无界的极小图类，即可平面图类。在树宽的情况下，限制到子闭类是合理的，因为一个图的树宽绝不会小于它的任何子闭类的树宽。然而，这不是相对于图的宽度的情况，因为图的宽度可以比它的子图的宽度小小于。另一方面，图的cn-width永远不会小于它的任何诱导子图的cn-width，这使得我们在研究cn-width时，只能局限于遗传类（即在取诱导子图下封闭的类）。到目前为止，文献中只发现了200多个具有无界宽度的图的极小遗传类。在本文中，我们证明了这样的类的家庭是无限的。此外，我们表明，同样是真实的关于线性的candle-width。
2017-01-30 cs.DM math.CO
Local Clique Covering of Graphs
一个单图G的k-团覆盖是指G的一个边被它的团覆盖，使得每个顶点至多包含在k个团中。G允许k-团覆盖的最小k称为G的局部团覆盖数，记为$lcc(G)$。局部团覆盖数可以看作是团覆盖数的局部对应，其等于覆盖所有边的团的最小总数。在本文中，这个问题的几个方面进行了研究，并讨论了它与其他知名问题的关系。此外，我们还研究了无爪图及其子类的局部团覆盖数。特别地，证明了每个无爪图的局部团覆盖数至多为$cΔ/ \logΔ$，其中$Δ$是图的最大度，$c$是泛常数.它还表明，该界是紧的，直到一个常数因子。进一步证明了线性区间图的局部团数是由$\logΔ+ 1/2 \log \logΔ+ O(1)$限定的.最后，作为副产品，得到了一个新的集合系统相交对的Bollobas型不等式。
2012-10-25 math.CO
Compressed Cliques Graphs, Clique Coverings and Positive Zero Forcing
与图相关的迫零参数已经被研究了十多年，并且随着相关应用数量的增长而越来越受欢迎。特别是，众所周知，这些参数与某些顶点覆盖有关。继续沿着这些路线，我们调查的背景下，某些集团覆盖的正零强迫。这里考虑的一个关键对象是压缩团图。我们研究了一些与压缩团图相关的性质，包括：唯一性，禁止子图，连接到约翰逊图，和正迫零。
2015-08-28 math.CO
Maximizing the number of vertices of an N-clique cover of the edges of a graph on N vertices
到目前为止，关于按团覆盖图的边的所有工作都集中在寻找覆盖图的最小团数上。在本文中，我们确定了覆盖一个图的团的数目与图的顶点数相同，并给出了在这种覆盖是可能的情况下，这些团的顶点数之和的上界。
2017-03-08 math.CO
On Clique Coverings of Complete Multipartite Graphs
图$G$的团覆盖是指图$G$的一组团，使得$G$的任何边都包含在这些团中，团覆盖的权是其中团的大小之和.图$G$的sigma团覆盖数$scc(G)$定义为$G$的团覆盖的最小可能权.令$ K_t(d) $表示完全$ t $ -部图，其中每个部分的大小为$d$。本文证明了对任何固定的PDMATHAMR，都有$$\lim_{t \rightarrow \infty} scc(K_t(d))= \frac{d}{2} t\log t.$$.这证明了Davoodi，Javadi和Omoomi的一个猜想是错误的.
2018-09-05 math.CO
Sigma clique covering of graphs
sigma团覆盖数（分别为sigma团划分数），记为sc（G）（分别为scp（G）），定义为存在G的团的集合的最小整数k，覆盖（分别为划分）G的所有边，使得团的大小之和至多为k。在本文中，在一些结果中，我们提供了一些紧界的SCC和SCP。
2015-03-09 math.CO
Uncountably many minimal hereditary classes of graphs of unbounded clique-width
本研究通过字母表{0,1,2,3}上的无限字定义二部遗传图类，刻画其团宽无界及极小性的条件，构造出不可数个无界团宽的极小遗传图类，同时证明相关猜想的一个方向成立、另一方向不成立。
2021-04-01 math.CO
When do graph covers preserve the clique dynamics of infinite graphs?
本文研究无限图在三角覆盖映射下团动力学（收敛/发散）的保持性，给出反例并证明两类局部条件足以保证覆盖稳定性。
2025-03-28 math.CO
Clique covers of H-free graphs
一个完全二部图$K_{n/2,n/2}$需要$n^2/4$团来覆盖它的所有边，但是如果$G$没有$K_{t,t}$诱导子图，需要多少团来覆盖它的所有边呢？我们证明了$O(|G|^{2-1/(2t)})$团足够的，也证明了，即使没有独立集的大小为4的图，我们可能需要超过线性许多团。这解决了最近在里昂举行的一次会议上讨论的两个问题。
2022-11-22 math.CO
Some results and problems on clique coverings of hypergraphs
对于$k$ -一致超图$F$，我们考虑参数$Θ(F)$，它是$F$的团覆盖的最小尺寸.我们推导出$F$属于不同类别的超图的$Θ(F)$的界。
2022-12-12 math.CO
Well-quasi-ordering does not imply bounded clique-width
本文给出了一类遗传的图，它具有无界的图宽，并且通过导出子图关系是良准序的。这一结果对Daligault，Rao和Rassé在（“Well-quasi-order of relabel functions”，Order，27（3）：301- 315，2010）中提出的问题提供了否定的答案。
2015-03-02 cs.DM math.CO
Clique Coverings and Claw-free Graphs
令$\cal C$是$E(G)$的团覆盖，令$v$是$G$的顶点。顶点$v$（相对于$\cal C$）的化合价，用$val_{\cal C}(v)$表示，是包含$v$的$\cal C$中的团的数目。定义$G$的局部团覆盖数$lcc(G)$为最小整数$k$，对于该最小整数，对每个顶点$v\in V(G)$，存在$E(G)$的团覆盖使得$val_{\cal C}(v)$至多为$k$.在本文中，除了其他结果，我们证明了，如果$G$是一个无爪图，那么$lcc(G)+χ(G)\leq n+1$。
2016-08-27 math.CO
Bounded Clique-Width of ($S_{1,2,2}$,Triangle)-Free Graphs
如果一个图没有同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则称它是（$H_1,H_2$）-free的. Dabrowski和Paulusma发现了13个关于（$H_1,H_2$）-free图的宽度是否有界的公开情形。其中之一是（$S_{1,2,2}$，triangle）-free图类。本文证明了这类图具有有界的连通宽度。因此，也（$P_1+2P_2$，三角形）-自由图有界的cron-width解决了Dabrowski和Paulusma的另一个公开问题。与此同时，Paulusma告诉我们，在2015年12月，Dabrowski，Dross和Paulusma证明了（$S_{1,2,2}$，triangle）-free graphs（和其他一些图类）具有有界的cumber-width。
2016-08-13 cs.DM math.CO
Bounding the Clique-Width of $H$-free Split Graphs
一个图是$H$ -free的，如果它没有同构于$H$的导出子图.本文继续研究完美图子类的宽度的有界性。我们确定了五类新的$H$ -自由分裂图，其candle-width是有界的。我们的主要结果，通过结合新的和已知的结果，提供了一个分类的所有，但两个顽固的情况下，也就是说，有两个潜在的例外，我们确定所有的图$H$的类的$H$ -自由分裂图有界的宽度。
2015-09-14 cs.DM math.CO
On the Clique-Width of Unigraphs
图的宽度是一个研究得很好的图参数。对于有界宽度的图，许多NP-困难的问题可以是多项式时间可解的。这一事实激发了一些研究，以调查是否在某一类图的campus宽度是有界的或没有。我们专注于unigraphs，也就是说，图是唯一确定的度序列同构。我们证明了每一个幺图的cum-width至多为4。由此可见，许多NP-困难的问题对于单图来说是多项式时间可解的。
2022-01-31 cs.DM cs.DS math.CO
Clique-width and induced topological minors
Warsaw University of Technology（华沙理工大学）；University of Warsaw（华沙大学）；FAMNIT and IAM, University of Primorska（普里莫斯卡大学 FAMNIT 与 IAM）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究证明，当图H不包含诱导子图H的子图时，团宽有界当且仅当H是P4、paw或diamond的诱导子图，解答了Dabrowski等人提出的问题。
2026-05-14 cs.DM math.CO
Covering the edges of a random graph by cliques
图G的团覆盖数是指覆盖图G的边所需的最小团数。本文考虑随机图G（n，p），其中p是常数.证明了在概率为1-o（1）的情况下，G（n，p）的团数为Theta（n^2/ \log^2 n）.
2011-03-24 math.CO
Hereditary Graph Product Structure and $\cal H$-clique-width
Faculty of Informatics, Masaryk University（马萨里克大学信息学院）
本文提出H-clique宽度作为图的新型结构度量，用于继承传统图积结构。通过路径类等图类，H-clique宽度定义为图G可表示为强积图的诱导子图的最小整数t。证明了平面图积结构定理等可由诱导子图包含关系表述。
2026-05-07 cs.DM math.CO
Domination, Eternal Domination, and Clique Covering
永恒和m-永恒控制涉及到使用移动卫士来保护图免受无穷序列在顶点的攻击。永恒支配允许一个守卫每次攻击移动，而在m-永恒支配模型中，每次攻击可以移动多个守卫。本文研究了由图的控制数、永恒控制数、m-永恒控制数、独立性和团覆盖数组成的不等式链。在其他结果中，我们刻画了控制和永恒控制数等于2的二部图和无三角图，具有相等m-永恒控制和团覆盖数的树，以及两类具有相等控制、永恒控制和团覆盖数的图。
2014-07-20 math.CO
Bounding the Clique-Width of $H$-free Chordal Graphs
一个图是$H$ -free的，如果它没有同构于$H$的导出子图. Brandstädt，Engelfriet，Le和Lozin证明了独立数不超过3的弦图类具有无界的弦宽。Brandstädt，Le和Mosca错误地认为gem和co-gem是仅有的两个1-顶点$P_4$ -扩张$H$，其中无$H$弦图类具有有界弦宽。事实上，我们证明了bull-free弦图和co-chair-free弦图的弦宽分别至多为3和4。特别地，我们发现了四类新的$H$ -自由弦图的有界弦宽度。我们的主要结果，通过结合新的和已知的结果，提供了一个分类的所有，但两个顽固的情况下，也就是说，有两个潜在的例外，我们确定所有的图$H$的类的$H$ -免费弦图有界弦宽度。我们说明了这种分类的有用性，用于分类其他类型的图形类证明类的$(2P_1+P_3,K_4)$ -免费的图形有界弦宽度通过减少到$K_4$ -免费弦图。最后，我们给出了$H$ -free弱弦图的弦宽（无界）性的一个完全分类。
2015-09-28 cs.DM math.CO
Clique-Width for Graph Classes Closed under Complementation
由于它的算法和结构特性，簇宽度是一个重要的图参数。一个图类是遗传的，如果它可以用一个（不一定是有限的）禁止导出子图的集合${\cal H}$来刻画。本文系统地研究了补闭遗传图类的边宽度的有界性。首先，我们扩展了已知的分类的$|{\cal H}|=1$的情况下，分类的有界性的每一个集${\cal H}$的自补图的cron-width。然后我们彻底解决了$|{\cal H}|=2$的案子。特别是，我们确定了一类新的$(H,\overline{H})$ -自由图的有界的cumber-width（作为一个副作用，这只留下六类$(H_1,H_2)$ -自由图，这是不知道他们的cumber-width是否有界）。在得到了$|{\cal H}|=2$情形的分类后，我们研究了禁止自补图对图宽有界性的影响。令人惊讶的是，我们证明了对于一个至少有五个顶点的自补图集合${\cal F}$，$(\{H,\overline{H}\}\cup {\cal F})$ -free图的宽度有界性的分类与$|{\cal H}|=2$的情况一致当且仅当${\cal F}$不包含公牛（在少于五个顶点上的唯一非空自补图是$P_1$和$P_4$，而无$P_4$的图最多具有$2$的宽度）。最后，我们讨论了我们的结果的着色问题的后果。
2017-06-08 cs.DM math.CO
Bounding Clique-Width via Perfect Graphs
给定两个图$H_1$和$H_2$，一个图$G$是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它不包含与$H_1$或$H_2$同构的子图.本文继续了最近对$(H_1,H_2)$ -free图的圈宽的研究，提出了三类新的有界圈宽和无界圈宽的$(H_1,H_2)$ -free图.这四个新的图类的共同点是它们的两个禁止导出子图之一是菱形图（从四个顶点上的团中删除一条边而得到的图）。为了证明前三种情况下的团宽度的有界性，我们开发了一种技术，结合结合减少完美图的子类的有界团覆盖数。我们扩展我们的无界性证明的第四种情况下，图同构是图同构完全相同的图形类。我们还表明，我们的结果的计算复杂性的着色问题限制在$(H_1,H_2)$ -自由图的影响。
2015-01-13 cs.DM math.CO
Edge Clique Covers in Graphs with Independence Number Two: a Special Case
图$G$的边团覆盖数$ecc(G)$是其并集覆盖$G$的所有边的完全子图的最小集合的大小。证明了所有独立数为2的单图都满足$ecc(G)\leq n$ .首先，我们提出了一类图包含难以覆盖的边缘，但满足猜想。其次，我们描述了一个大类的图$G$，使$ecc(G)\leq \frac{3}{2}n$。这个类很容易描述。
2021-12-07 math.CO
Graph classes with and without powers of bounded clique-width
本文研究幂有界团宽图类，给出了该性质的充要条件，并在由单个或两个连通禁止导出子图定义的图类中刻画了其特征，同时证明了对于任意正整数 $k$ 存在仅在 $k$ 次幂下有界团宽的图类。
2015-05-10 cs.DM math.CO
Clique-width of Graph Classes Defined by Two Forbidden Induced Subgraphs
如果一个图没有与有限族$\{H_1,\ldots,H_p\}$中的任何图同构的导出子图，则称它是$(H_1,\ldots,H_p)$ -free的.无$H$图类有界圈宽当且仅当$H$是4-顶点路$P_4$的导出子图.研究了由两个禁止导出子图$H_1$和$H_2$定义的图类的宽度的有界性.在我们的研究之前，尚不清楚开放病例的数量是否有限。我们对这个问题提供了肯定的答案。为了减少开放的情况下，我们确定新的图形类的有界宽度和新的图形类的无界宽度。为了获得后者的结果，我们首先提出了一个新的，通用的建设图类的无界的宽度。我们的结果解决了一类$(H_1,H_2)$ -free图的圈宽的有界性或无界性问题：（i）对于所有的$(H_1,H_2)$对，除了两个非等价的情形外，两者都是连通的;（ii）对于所有的$(H_1,H_2)$对，除了11个非等价的情形外，其中至少有一个是不连通的.我们还考虑类的特点是禁止一个有限的家庭的图$\{H_1,\ldots,H_p\}$作为子图，未成年人和拓扑未成年人，分别，并完全确定这些类有界的宽度。最后，我们展示了我们的结果对图颜色的算法后果
2015-01-13 cs.DM math.CO
Product irregularity strength of graphs with small clique cover number
对于一个没有孤立点和孤立边的图$X$，一个乘积-不规则标号$ω:E(X)\rightarrow \{1,2,\ldots,s\}$，首先由Anholcer在2009年定义，是$X$的边的标号，使得对于$X$的任何两个不同的顶点$u$和$v$，与$u$关联的边的标号的乘积不同于与$v$关联的边的标号的乘积。存在产品不规则标记的最小$s$被称为$X$的产品不规则强度，并由$ps(X)$表示。图的团覆盖数是划分其顶点集的最小团数。本文证明了具有团覆盖数$2$或$3$的连通图的乘积无规强度与$3$相等，但有一些小的例外.
2018-06-27 math.CO
On the clique covering numbers of Johnson graphs
研究 Johnson 图的顶点团覆盖数，给出小参数情形的恒等式、小图计算值与一般界，并利用恒重 lexicode 构造特定 $J(2k,k)$ 的最优覆盖。
2025-02-20 math.CO
A framework for minimal hereditary classes of graphs of unbounded clique-width
本文提出一个基于二维网格和三元组参数定义的遗传图类框架，统一刻画无界团宽的最小类，并通过新参数和 Ramsey 理论等新方法给出无界性与最小性的判定条件。
2023-10-31 cs.DM math.CO
Minimal classes of graphs of unbounded clique-width defined by finitely many forbidden induced subgraphs
我们发现了新的遗传类的图是最小的（相对于集包含）的无界的cnumber-width。新的例子包括分裂置换图和双链图。每个类的特征在于一个有限的列表的最小禁止诱导子图。这些，因此，反驳了一个猜想，由于Daligault，Rao和Rupasse从2010年声称，所有这样的最小类必须定义的无限多个禁止诱导子图。在同一篇论文中，Daligault，Rao和Rupasse提出了另一个猜想，即每一个无限宽度的遗传类都必须包含一个标号的无限反链。我们表明，我们在这里考虑的两个例子类满足这个猜想。事实上，他们每个人都包含一个典型的标记无限反链，这导致我们提出了一个更强的猜想：每一个遗传类的图是最小的无界的cuble-width包含一个典型的标记无限反链。
2018-10-04 cs.DM math.CO
The Inductive Graph Dimension from The Minimum Edge Clique Cover
本文证明了两个图的联的递归（Knill）维数有一个简单的公式：$\mathrm{dim\,} (G_1+G_2) = 1 +\mathrm{dim\,} G_1+ \mathrm{dim\,} G_2$ .利用这个公式，我们导出了一个图的最小团覆盖的Knill维数的表达式。该公式的一个推论是，由相同阶$N$的完全图$K_N$的任意并集构成的图将具有维数$N-1$。最后，我们找到了一个图的Knill维数的下限和上界。
2020-12-22 math.CO
Clique covers and decompositions of cliques of graphs
本文研究图的边与t顶点团的团覆盖和分解问题，证明了Erdős猜想及Dau等人猜想的分数松弛和渐近最优版本，方法结合Zykov对称化、Frankl-Rödl nibble与Szemerédi正则引理。
2026-09-16 math.CO
On the $4$-clique cover number of graphs
本研究针对t≥4时t-团覆盖数由Turán图T_{n,t}最大化的猜想，结合归纳框架、贪心划分等新技术，证实了t=4时的猜想，推进了团覆盖数极值问题的研究。
2025-06-12 math.CO
Minimum-excess coverings of complete graphs by 3-, 4-, and 5-cliques
VSB–Technical University of Ostrava（俄斯特拉发理工大学）；University of Ostrava（俄斯特拉发大学）；Charles University（查理大学）
研究用3、4、5阶团完全覆盖K_v的两层优化：第一层最小化边重复次数（过剩），第二层在最小过剩中最小化团数，确定所有v的最小过剩并给出部分精确值。
2026-10-01 math.CO
Clique decompositions and covers for large graphs
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）
本文针对大图的团分解与覆盖问题，解决了Erdős等人提出的两个团相关猜想，确定了等号成立的情况，采用线性规划对偶性、图删除引理等方法完成证明。
2026-08-27 math.CO
Domination polynomial of clique cover product of graphs
设$G$是阶为$n$的简单图。$G$的控制多项式是多项式$D(G, x)=\sum_{i=1}^n d(G,i) x^i$，其中$d(G,i)$是大小为$i$的$G$的控制集的数目。对于两个图$G$和$H$，设$\mathcal{C} = \{C_1,C_2, \cdots, C_k\}$是$G$和$U\subseteq V(H)$的团覆盖。我们考虑由$G$得到的团覆盖积，记为$G^\mathcal{C} \star H^U$：对于每个团$C_i \in \mathcal{C}$，添加图$H$的一个副本，并将$C_i$的每个顶点连接到$U$的每个顶点.证明了团覆盖积$G^\mathcal{C} \star H^{V(H)}$或简称$G^\mathcal{C} \star H$的控制多项式为\[ D(G^\mathcal{C} \star H,x)=\prod_{i=1}^k\Big [\big((1+x)^{n_i}-1\big)(1+x)^{|V(H)|}+D(H,x)\Big], \]，其中每个团$C_i \in \mathcal{C}$都有$n_i$个顶点.作为结果，我们研究了某些图族的$\mathcal{D}$ -等价类。此外，我们还完整地描述了友谊图的$\mathcal{D}$ -等价类的聚合$n$副本的长度为3的循环图与一个共同的顶点。
2016-05-08 math.CO
On the difference between clique partition and clique covering numbers
College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）
本文证明了图论中团划分数与团覆盖数之差的最大值相关量 \\(d_n\\) 的阶为 \\(\Theta(n^{4/3})\\)，否定了 Erdős 等人关于 \\(d_n=O(n)\\) 的猜想。
2026-09-18 math.CO
Largest reduced neighborhood clique cover number revisited
设$G$是一个图，而$t\ge 0$ .由${\hatβ}_t(G)$表示的$G$的最大缩减邻域团覆盖数是可以覆盖$H$中顶点的任何闭合邻域的最小数目的团中的最大的、$G$的总体$t$ -浅子$H$。已知${\hatβ}_t(G)\le s_t$，其中$G$是一个不可比图，$s_t$是同构于$s_t$叶上诱导星的最大$t-$浅子图中的叶数.在本文中，我们给出了一个概述的性质${\hatβ}_t(G)$，包括连接到最大约化平均密度的$G$，或$\bigtriangledown_t(G)$，介绍了一类图的有界邻域团覆盖数，并推导出一个简单的下限和上界这个重要的图参数。我们宣布两个apturtures，一个值的${\hatβ}_t(G)$，另一个分离定理（相对于一定的措施）的一类有趣的图，即类的不可比图，我们怀疑有一个多项式有界的邻域集团覆盖数，当最大的诱导星的大小是有界的。
2017-05-07 math.CO
The number of cliques in graphs covered by long cycles
设$G$是一个2-连通$n$ -顶点图，$N_s(G)$是$G$中$s$ -团的总数.令$k\ge 4$和$s\ge 2$为整数。在本文中，我们证明了，如果$G$有一个边$e$，这是不是在任何周期的长度至少$k$，那么$N_s(G)\le r{k-1\choose s}+{t+2\choose s}$，其中$n-2=r(k-3)+t$和$0\le t\le k-4$。这一结果解决了Ma和Yuan的一个猜想，并提供了Fan，Wang和Lv的一个定理的一个集团版本。作为直接推论，如果$N_s(G)> r{k-1\choose s}+{t+2\choose s}$，则$G$的每条边都被长度至少为$k$的圈覆盖。
2021-11-30 math.CO
Locally checkable problems parameterized by clique-width
我们继续Bonomo-Braberman和Gonzalez在2020年发起的关于$r$ -局部可检查问题的研究。我们提出了一个动态规划算法，作为输入的一个图与相关的cnumber-width表达式，并解决了$1$ -局部检查的问题，在一定的限制。我们证明了，它运行在多项式时间在图的有界宽度，当颜色的数量是固定的局部可检查的问题。此外，我们提出了第一次扩展我们的框架，考虑到颜色类的大小，全球性的，从而扩大了一套问题，可解决的多项式时间与我们的方法在有界的cnc宽度的图形。作为示例，我们应用此设置来表明，当通过candle-width参数化时，$[k]-$罗马支配问题是FPT，而$k$ -社区问题、Max PDS和其他变体是XP。
2022-06-28 cs.CC cs.DM cs.DS
Clique-Width for Hereditary Graph Classes
由于其在理解算法易处理性中的用途，cnum-width是一个被充分研究的图参数：如果图类${\cal G}$的cnum-width由常数限制，则通常NP完全的大范围问题可以被证明是在${\cal G}$上多项式时间可解的。基于这个原因，许多图类的簇宽度的有界性或无界性已经被研究和确定。我们调查这些结果的遗传图类，这是封闭的下采取诱导子图的图类。然后，我们讨论这些结果的算法后果，特别是着色和图同构问题。我们还解释了遗传图类的诱导子图关系对簇宽有界性和良拟序性的结果之间可能存在的强联系。
2019-01-07 cs.CC cs.DM cs.DS
The Inductive Graph Dimension from The Minimum Edge Clique Cover
本文证明了归纳定义的图维数在连接运算下具有简单的可加性。两个单图的连接的维数是1加上组成图的维数之和：$\mathrm{dim}\, (G_1+ G_2) = 1 +\mathrm{dim}\, G_1+ \mathrm{dim}\, G_2$。利用这个公式，我们导出了任意有限单图的最小边团覆盖的归纳维数的表达式。这个公式的一个推论是：任何最大团都是$N$阶的有限单图都有维数$N-1$ .最后，我们找到了一个单图的诱导维数的上界，根据它的团数。
2020-12-21 math.CO
Minimal normal graph covers
一个图是正规的，如果它允许一个团覆盖$\mathcal C$和一个稳定集覆盖$\mathcal S$，使得$\mathcal C$中的每个团和$\mathcal S$中的每个稳定集有一个公共顶点。对$(\mathcal{C,S})$是图的正规覆盖。我们给出了正规覆盖的极值性质。对于正整数$c,s$，如果一个顶点数为$n$的图的正规覆盖的团的大小至多为$c$，稳定集的大小至多为$s$，则$c+s\geq\log_2(n)$ .对于无穷多个$n$，我们也给出了一个图的结构与$n$顶点，允许一个正常的覆盖团和稳定集的大小小于$0.87\log_2(n)$。进一步证明了对所有的$n$，存在一个正规图，它的顶点数为$n$，团数为$Θ(\log_2(n))$，独立数为$Θ(\log_2(n))$ .当$c$或$s$非常小时，我们可以描述所有具有尽可能多的顶点数的正规图，这些顶点数允许正规覆盖的团的大小最多为$c$，稳定集的大小最多为$s$。然而，即使对于$c$和$s$的适度小的值，这样的极值图仍然难以捉摸。
2016-01-06 math.CO
A generalization of the Grid Theorem
一个图的树宽至多为$k$，如果它可以从一组顶点数至多为$k+1$的图中通过一系列团和得到.对于每个非负整数$θ$，定义一个图的$θ$树宽度至多为$k$，如果它可以从一组图中获得，每个图具有至多$k+1$顶点，通过大小小于$θ$的团的团和序列。我们找到了具有大$θ$ -树宽度的图的不可避免的子图，并得到了Robertson和Seymour的网格定理作为推论。
2016-09-28 math.CO
Approximation algorithms on $k-$ cycle covering and $k-$ clique covering
给定一个权值为$\mathbf w: E\rightarrow Z^{|E|}_{+}$的加权图$G(V,E)$。$k-$圈覆盖是$E$的边子集$A$，使得$G-A$没有$k-$圈。$k-$圈覆盖的最小权是$k-$圈上的加权覆盖数，记为$τ_{k}(G_{w})$。本文设计了$k$为奇数时$k-$圈上加权覆盖数的一个$k-1/2$逼近算法。给定一个权值为$\mathbf w: E\rightarrow Z^{|E|}_{+}$的加权图$G(V,E)$。$k-$团覆盖是$E$的边子集$A$，使得$G-A$没有$k-$团。$k-$团覆盖的最小权是$k-$团上的加权覆盖数，记为$\widetilde{τ_{k}}(G_{w})$。本文设计了$k-$团上加权覆盖数的一个$(k^{2}-k-1)/2$逼近算法。最后讨论了完全图$K_{n}$中$k-$团覆盖与$k-$团填充之间的关系。
2018-07-18 cs.DM math.CO
Counting equitable $k$-colorings in graphs of bounded clique-width
IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
研究有界团宽图中公平 $k$ 着色的计数问题，给出多项式时间算法并证明团宽依赖最优，同时改进线性团宽算法，并证明 $P_t$-free 图中公平列表 $3$ 着色可次指数时间计数。
2026-06-26 cs.DM math.CO
On the largest reduced neighborhood clique cover number of a graph
设$G$是一个图，而$t\ge 0$.引入了一个新的图参数--$G$的最大约化邻域团覆盖数，记作${\hatβ}_t(G)$.具体地，${\hatβ}_t(G)$是最大的，整体$t$-浅子$H$的$G$，最小数目的团，可以覆盖$H$中的顶点的任何封闭邻域。我们验证${\hatβ}_t(G)=1$时，$G$是弦，和，${\hatβ}_t(G)\le s$，其中$G$是一个不可比图，没有一个$t-$浅未成年人是同构的诱导星$s$叶。此外，${\hatβ}_t(G)$的一般性质，包括连接到最大约化平均密度的$G$，或$\bigtriangledown_t(G)$的研究和调查。例如，我们展示了${{\hatβ}_t(G)\over 2}\le \bigtriangledown_t(G)\le p.{\hatβ}_t(G),$，其中$p$是最大完全图的大小，该图是$G$的$t-minor$。此外，我们证明了任何最小团覆盖的最大比例的最大独立集采取的整体$t-$子式的$G$是一个下界的${\hatβ}_t(G)$。我们进一步引入一类有界邻域团覆盖数，其中${\hatβ}_t(G)$对每个$t\ge 0$具有有限值，并验证了肥胖对象的几何相交图（深度没有限制）对该类的成员资格。这些结果支持了关于邻域团覆盖数为多项式有界的类图在一定测度下可能存在分离器定理的猜想。
2016-12-11 math.CO
Local Clique Covers and Chromatic Number
本文证明了局部团覆盖数与色数之和不超过顶点数加一的猜想，并给出了达到等号时图的结构性质及诱导匹配的改进界。
2026-09-09 math.CO
Well-quasi-ordered classes of bounded clique-width
University of Warsaw（华沙大学）；INP Bordeaux, LaBRI, CNRS（波尔多国立理工学院，LaBRI实验室，法国国家科学研究中心）
研究在顶点标记下由诱导子图关系良拟序的有界团宽图类，证明了给定有限表示时可判定该类是否为标记良拟序，并给出了结构刻画。
2026-05-28 cs.FL cs.LO math.CO
Cohen-Macaulay $r$-partite graphs with minimal clique cover
本文给出了$r$ -部图的边环是Cohen-Macaulay的必要条件。证明了如果$G$是一个$r$ -部Cohen-Macaulay图，且该图被一些大小为$r$的不相交团覆盖，则团覆盖是唯一的.
2012-10-04 math.AC math.CO
On the difference between clique partition and clique covering numbers of graphs
本文研究图的团划分数与团覆盖数的差值函数$f(n)$，针对Erdős等人提出的相关问题，通过证明$f(n)=\bigl\rfloor n^2/4\bigl\rfloor-\text{Θ}(n^{4/3})$，给出该问题的否定答案。
2026-08-13 math.CO
A program to find families of graphs in Free$\{C_4,4K_1\}$ with bounded clique width
研究不含4-圈和4-独立集作为导出子图的图类Free{C4,4K1}的子类的团宽，引入(k,l,m)-分解框架证明可分解图类有界团宽，并给出程序发现的例子，同时展示某些图具有无界团宽的超图族。
2026-06-17 cs.DM math.CO
Faster Algorithms For Vertex Partitioning Problems Parameterized by Clique-width
许多NP难问题，如支配集问题，都是以宽度为参数的FPT问题。对于给定了$k$ -表达式的图，其控制集可以在$4^k n^{O(1)}$时间内求出.然而，没有已知的FPT算法用于计算最优的$k$表达式。对于秩宽$k$的图，如果我们依靠已知的算法通过秩宽计算$(2^{3k}-1)$ -表达式，然后使用$(2^{3k}-1)$ -表达式求解支配集，则上述算法只会给出$4^{2^{3k}} n^{O(1)}$的运行时间。已经有克服这种指数跳跃的结果;最著名的算法可以通过避免构建$k$表达式来及时求解支配集$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$ [Bui-Xuan，Telle和Vatshelle.快速动态规划求解局部可检查顶点子集和顶点划分问题。理论计算。科学，2013. doi：10.1016/j.tcs.2013.01.009]。我们将其改进为$2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$。事实上，我们表明，对于一个图的candle-width $k$，一大类的支配和分区问题（LC-VSP），包括支配集，可以解决$2^{O(k\log{k})} n^{O(1)}$。我们的主要工具是一个变体的秩宽度使用的秩的$0$ - $1$矩阵的有理域，而不是二进制字段。
2014-03-12 cs.DM cs.DS math.CO
Some Probabilistic Results on Width Measures of Graphs
固定参数易处理（FPT）算法在时间f（p（x））poly（|x|）中运行，其中f是输入x的某个参数p的任意函数，poly是某个多项式函数。树宽、分支宽度、顶点宽度、NLC宽度、秩宽度和布尔宽度是在设计和分析图上问题的此类算法时经常使用的参数。本文证明了一个简单随机模型图的树宽、枝宽、簇宽、NLC-宽度和秩宽的渐近几乎必然（aas）存在Omega（n）下界.这就提出了重要的问题的FPT算法使用相应的分解的一般性。
2009-10-17 math.CO
