发表机构
College of Computer Science, Nankai University（南开大学计算机学院）
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本文证明了图论中团划分数与团覆盖数之差的最大值相关量 \\(d_n\\) 的阶为 \\(\Theta(n^{4/3})\\)，否定了 Erdős 等人关于 \\(d_n=O(n)\\) 的猜想。
AI 中文摘要
对于图 \\(G\\)，设 \\(\operatorname{cp}(G)\\) 和 \\(\operatorname{cc}(G)\\) 分别为将 \\(G\\) 的边进行划分和覆盖所需的最少团数。定义 \\(\sigma_n = \max_{\lvert V(G)\rvert=n} \bigl(\operatorname{cp}(G)-\operatorname{cc}(G)\bigr)\\)，\\(d_n=\left\lfloor\frac{n^2}{4}\right\rfloor-\sigma_n\\)。1983年，Erdős、Faudree 和 Ordman 提出 \\(d_n=O(n)\\) 是否成立的问题。此前，Caccetta、Erdős、Ordman 和 Pullman 构造的图表明 \\(d_n=O(n^{3/2})\\)。我们证明 \\(d_n=\Theta(n^{4/3})\\)，从而确定了该差值的正确阶，并对上述问题给出了否定回答。
英文摘要
For a graph \(G\), let \(\operatorname{cp}(G)\) and \(\operatorname{cc}(G)\) be the minimum numbers of cliques in an edge partition and a clique cover of \(G\), respectively. Set $σ_n = \max_{\lvert V(G)\rvert=n} \bigl(\operatorname{cp}(G)-\operatorname{cc}(G)\bigr), d_n=\left\lfloor\frac{n^2}{4}\right\rfloor-σ_n.$ In 1983, Erdős, Faudree, and Ordman asked whether \(d_n=O(n)\). Caccetta, Erdős, Ordman, and Pullman previously constructed graphs showing \(d_n=O(n^{3/2})\). We prove that $d_n=Θ(n^{4/3}),$ thereby determining the correct order of the deficit and answering their question in the negative.
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