Clique-width of unit interval graphs
Vadim V. Lozin
在单位区间图类中，已知图宽是无界的。在本文中，我们证明了这是一个最小的遗传类的无限的cumber-width，即，在单位区间图的每个遗传子类中，cn-width是有界的。
The clique-width is known to be unbounded in the class of unit interval graphs. In this paper, we show that this is a minimal hereditary class of unbounded clique-width, i.e., in every hereditary subclass of unit interval graphs the clique-width is bounded by a constant.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Clique Cover Width and Clique Sum
对于无向图$G$中的团覆盖$C$，$C$的团覆盖图是通过将$C$中的每个团的顶点收缩为单个顶点而获得的图。G的团覆盖宽度，记为$CCW(G)$，是$G$的所有团覆盖图的带宽的最小值。当$G$是$G_1$与$G_2$的团和时，我们证明了$CCW(G) \le 3/2(CCW(G_1) + CCW(G_2))$ .
Linear Clique-Width for Hereditary Classes of Cographs
已知这类上图具有无界的线性上图宽度。证明了一类遗传上图具有有界线性圈宽当且仅当它不包含所有的拟阈值图或它们的补图。证明借用的想法从枚举置换类。
Linear clique-width and modular decomposition
本文研究了线性团宽与模分解的关系，证明了遗产类图具有有界线性团宽的充要条件，并扩展了之前关于凝聚图的研究。
Eigenvalue location in graphs of small clique-width
对于常数$c$，找到一个与$A - cI$全等的对角矩阵，其中$A$是图$G$的邻接矩阵，可以让我们快速地说出给定区间内特征值的个数。如果$G$具有candle-width $k$并且对应的$k$ -表达式已知，则对角化可以在时间$O(\text{poly}(k) n)$中完成，其中$n$是$G$的阶。
Minimal forbidden induced subgraphs of graphs of bounded clique-width and bounded linear clique-width
在研究有界簇宽和有界线性簇宽的满泡模型图时，我们确定了满泡模型图类中最小的禁止诱导子图的完备集.在这篇注记中，我们证明了（几乎所有的）这些图是所有图类中的最小图。作为推论，我们可以给出有界圈宽图和有界线性圈宽图的最小禁止诱导子图的集合。
Infinitely many minimal classes of graphs of unbounded clique-width
著名的Robertson和Seymour定理指出，在小闭图类族中，存在唯一的树宽无界的极小图类，即可平面图类。在树宽的情况下，限制到子闭类是合理的，因为一个图的树宽绝不会小于它的任何子闭类的树宽。然而，这不是相对于图的宽度的情况，因为图的宽度可以比它的子图的宽度小小于。另一方面，图的cn-width永远不会小于它的任何诱导子图的cn-width，这使得我们在研究cn-width时，只能局限于遗传类（即在取诱导子图下封闭的类）。到目前为止，文献中只发现了200多个具有无界宽度的图的极小遗传类。在本文中，我们证明了这样的类的家庭是无限的。此外，我们表明，同样是真实的关于线性的candle-width。
Uncountably many minimal hereditary classes of graphs of unbounded clique-width
本研究通过字母表{0,1,2,3}上的无限字定义二部遗传图类，刻画其团宽无界及极小性的条件，构造出不可数个无界团宽的极小遗传图类，同时证明相关猜想的一个方向成立、另一方向不成立。
Well-quasi-ordering does not imply bounded clique-width
本文给出了一类遗传的图，它具有无界的图宽，并且通过导出子图关系是良准序的。这一结果对Daligault，Rao和Rassé在（“Well-quasi-order of relabel functions”，Order，27（3）：301- 315，2010）中提出的问题提供了否定的答案。
Bounded Clique-Width of ($S_{1,2,2}$,Triangle)-Free Graphs
如果一个图没有同构于$H_1$或$H_2$的导出子图，则称它是（$H_1,H_2$）-free的. Dabrowski和Paulusma发现了13个关于（$H_1,H_2$）-free图的宽度是否有界的公开情形。其中之一是（$S_{1,2,2}$，triangle）-free图类。本文证明了这类图具有有界的连通宽度。因此，也（$P_1+2P_2$，三角形）-自由图有界的cron-width解决了Dabrowski和Paulusma的另一个公开问题。与此同时，Paulusma告诉我们，在2015年12月，Dabrowski，Dross和Paulusma证明了（$S_{1,2,2}$，triangle）-free graphs（和其他一些图类）具有有界的cumber-width。
Bounding the Clique-Width of $H$-free Split Graphs
一个图是$H$ -free的，如果它没有同构于$H$的导出子图.本文继续研究完美图子类的宽度的有界性。我们确定了五类新的$H$ -自由分裂图，其candle-width是有界的。我们的主要结果，通过结合新的和已知的结果，提供了一个分类的所有，但两个顽固的情况下，也就是说，有两个潜在的例外，我们确定所有的图$H$的类的$H$ -自由分裂图有界的宽度。
Coloring problem of signed interval graphs
最近定义了符号图的色数。研究了区间图的染色和团问题，并建立了多项式时间算法。在这里，我们考虑这些问题的签署区间图，并证明了签署区间图的着色问题是NP-完全的，而他们的普通团的问题是在P。我们还研究了进一步相关问题的复杂性。
On the Clique-Width of Unigraphs
图的宽度是一个研究得很好的图参数。对于有界宽度的图，许多NP-困难的问题可以是多项式时间可解的。这一事实激发了一些研究，以调查是否在某一类图的campus宽度是有界的或没有。我们专注于unigraphs，也就是说，图是唯一确定的度序列同构。我们证明了每一个幺图的cum-width至多为4。由此可见，许多NP-困难的问题对于单图来说是多项式时间可解的。
Clique-width and induced topological minors
研究证明，当图H不包含诱导子图H的子图时，团宽有界当且仅当H是P4、paw或diamond的诱导子图，解答了Dabrowski等人提出的问题。
Hereditary Graph Product Structure and $\cal H$-clique-width
本文提出H-clique宽度作为图的新型结构度量，用于继承传统图积结构。通过路径类等图类，H-clique宽度定义为图G可表示为强积图的诱导子图的最小整数t。证明了平面图积结构定理等可由诱导子图包含关系表述。
Bounding the Clique-Width of $H$-free Chordal Graphs
一个图是$H$ -free的，如果它没有同构于$H$的导出子图. Brandstädt，Engelfriet，Le和Lozin证明了独立数不超过3的弦图类具有无界的弦宽。Brandstädt，Le和Mosca错误地认为gem和co-gem是仅有的两个1-顶点$P_4$ -扩张$H$，其中无$H$弦图类具有有界弦宽。事实上，我们证明了bull-free弦图和co-chair-free弦图的弦宽分别至多为3和4。特别地，我们发现了四类新的$H$ -自由弦图的有界弦宽度。我们的主要结果，通过结合新的和已知的结果，提供了一个分类的所有，但两个顽固的情况下，也就是说，有两个潜在的例外，我们确定所有的图$H$的类的$H$ -免费弦图有界弦宽度。我们说明了这种分类的有用性，用于分类其他类型的图形类证明类的$(2P_1+P_3,K_4)$ -免费的图形有界弦宽度通过减少到$K_4$ -免费弦图。最后，我们给出了$H$ -free弱弦图的弦宽（无界）性的一个完全分类。
Clique-Width for Graph Classes Closed under Complementation
由于它的算法和结构特性，簇宽度是一个重要的图参数。一个图类是遗传的，如果它可以用一个（不一定是有限的）禁止导出子图的集合${\cal H}$来刻画。本文系统地研究了补闭遗传图类的边宽度的有界性。首先，我们扩展了已知的分类的$|{\cal H}|=1$的情况下，分类的有界性的每一个集${\cal H}$的自补图的cron-width。然后我们彻底解决了$|{\cal H}|=2$的案子。特别是，我们确定了一类新的$(H,\overline{H})$ -自由图的有界的cumber-width（作为一个副作用，这只留下六类$(H_1,H_2)$ -自由图，这是不知道他们的cumber-width是否有界）。在得到了$|{\cal H}|=2$情形的分类后，我们研究了禁止自补图对图宽有界性的影响。令人惊讶的是，我们证明了对于一个至少有五个顶点的自补图集合${\cal F}$，$(\{H,\overline{H}\}\cup {\cal F})$ -free图的宽度有界性的分类与$|{\cal H}|=2$的情况一致当且仅当${\cal F}$不包含公牛（在少于五个顶点上的唯一非空自补图是$P_1$和$P_4$，而无$P_4$的图最多具有$2$的宽度）。最后，我们讨论了我们的结果的着色问题的后果。
Bounding Clique-Width via Perfect Graphs
给定两个图$H_1$和$H_2$，一个图$G$是$(H_1,H_2)$ -free的，如果它不包含与$H_1$或$H_2$同构的子图.本文继续了最近对$(H_1,H_2)$ -free图的圈宽的研究，提出了三类新的有界圈宽和无界圈宽的$(H_1,H_2)$ -free图.这四个新的图类的共同点是它们的两个禁止导出子图之一是菱形图（从四个顶点上的团中删除一条边而得到的图）。为了证明前三种情况下的团宽度的有界性，我们开发了一种技术，结合结合减少完美图的子类的有界团覆盖数。我们扩展我们的无界性证明的第四种情况下，图同构是图同构完全相同的图形类。我们还表明，我们的结果的计算复杂性的着色问题限制在$(H_1,H_2)$ -自由图的影响。
Graph classes with and without powers of bounded clique-width
本文研究幂有界团宽图类，给出了该性质的充要条件，并在由单个或两个连通禁止导出子图定义的图类中刻画了其特征，同时证明了对于任意正整数 $k$ 存在仅在 $k$ 次幂下有界团宽的图类。
Clique-width of Graph Classes Defined by Two Forbidden Induced Subgraphs
如果一个图没有与有限族$\{H_1,\ldots,H_p\}$中的任何图同构的导出子图，则称它是$(H_1,\ldots,H_p)$ -free的.无$H$图类有界圈宽当且仅当$H$是4-顶点路$P_4$的导出子图.研究了由两个禁止导出子图$H_1$和$H_2$定义的图类的宽度的有界性.在我们的研究之前，尚不清楚开放病例的数量是否有限。我们对这个问题提供了肯定的答案。为了减少开放的情况下，我们确定新的图形类的有界宽度和新的图形类的无界宽度。为了获得后者的结果，我们首先提出了一个新的，通用的建设图类的无界的宽度。我们的结果解决了一类$(H_1,H_2)$ -free图的圈宽的有界性或无界性问题：（i）对于所有的$(H_1,H_2)$对，除了两个非等价的情形外，两者都是连通的;（ii）对于所有的$(H_1,H_2)$对，除了11个非等价的情形外，其中至少有一个是不连通的.我们还考虑类的特点是禁止一个有限的家庭的图$\{H_1,\ldots,H_p\}$作为子图，未成年人和拓扑未成年人，分别，并完全确定这些类有界的宽度。最后，我们展示了我们的结果对图颜色的算法后果
A framework for minimal hereditary classes of graphs of unbounded clique-width
本文提出一个基于二维网格和三元组参数定义的遗传图类框架，统一刻画无界团宽的最小类，并通过新参数和 Ramsey 理论等新方法给出无界性与最小性的判定条件。
Minimal classes of graphs of unbounded clique-width defined by finitely many forbidden induced subgraphs
我们发现了新的遗传类的图是最小的（相对于集包含）的无界的cnumber-width。新的例子包括分裂置换图和双链图。每个类的特征在于一个有限的列表的最小禁止诱导子图。这些，因此，反驳了一个猜想，由于Daligault，Rao和Rupasse从2010年声称，所有这样的最小类必须定义的无限多个禁止诱导子图。在同一篇论文中，Daligault，Rao和Rupasse提出了另一个猜想，即每一个无限宽度的遗传类都必须包含一个标号的无限反链。我们表明，我们在这里考虑的两个例子类满足这个猜想。事实上，他们每个人都包含一个典型的标记无限反链，这导致我们提出了一个更强的猜想：每一个遗传类的图是最小的无界的cuble-width包含一个典型的标记无限反链。
Clique covers of complete graphs and piercing multitrack intervals
本文研究多轨区间的穿刺问题，证明在 k-wise 相交的 t-区间集合中至少有 (k-1)/(k+1)n 个可被 t 点穿刺，并将结果推广到树的子树及边着色完全图的单色团覆盖问题。
Locally checkable problems parameterized by clique-width
我们继续Bonomo-Braberman和Gonzalez在2020年发起的关于$r$ -局部可检查问题的研究。我们提出了一个动态规划算法，作为输入的一个图与相关的cnumber-width表达式，并解决了$1$ -局部检查的问题，在一定的限制。我们证明了，它运行在多项式时间在图的有界宽度，当颜色的数量是固定的局部可检查的问题。此外，我们提出了第一次扩展我们的框架，考虑到颜色类的大小，全球性的，从而扩大了一套问题，可解决的多项式时间与我们的方法在有界的cnc宽度的图形。作为示例，我们应用此设置来表明，当通过candle-width参数化时，$[k]-$罗马支配问题是FPT，而$k$ -社区问题、Max PDS和其他变体是XP。
Clique-Width for Hereditary Graph Classes
由于其在理解算法易处理性中的用途，cnum-width是一个被充分研究的图参数：如果图类${\cal G}$的cnum-width由常数限制，则通常NP完全的大范围问题可以被证明是在${\cal G}$上多项式时间可解的。基于这个原因，许多图类的簇宽度的有界性或无界性已经被研究和确定。我们调查这些结果的遗传图类，这是封闭的下采取诱导子图的图类。然后，我们讨论这些结果的算法后果，特别是着色和图同构问题。我们还解释了遗传图类的诱导子图关系对簇宽有界性和良拟序性的结果之间可能存在的强联系。
A generalization of the Grid Theorem
一个图的树宽至多为$k$，如果它可以从一组顶点数至多为$k+1$的图中通过一系列团和得到.对于每个非负整数$θ$，定义一个图的$θ$树宽度至多为$k$，如果它可以从一组图中获得，每个图具有至多$k+1$顶点，通过大小小于$θ$的团的团和序列。我们找到了具有大$θ$ -树宽度的图的不可避免的子图，并得到了Robertson和Seymour的网格定理作为推论。
Counting equitable $k$-colorings in graphs of bounded clique-width
研究有界团宽图中公平 $k$ 着色的计数问题，给出多项式时间算法并证明团宽依赖最优，同时改进线性团宽算法，并证明 $P_t$-free 图中公平列表 $3$ 着色可次指数时间计数。
Well-quasi-ordered classes of bounded clique-width
研究在顶点标记下由诱导子图关系良拟序的有界团宽图类，证明了给定有限表示时可判定该类是否为标记良拟序，并给出了结构刻画。
Clique Polynomials and Chordal Graphs
$G$的完全子图数的普通生成函数称为$G$的团多项式，记为$C(G,x)$。$C(G,x)$的实根称为图$G$的团根。Hajiabolhasan和Mehrabadi证明了团多项式在区间$[-1,0)$中总是有一个实根。此外，他们还证明了无三角形图类只有团根。在这里，我们推广了他们的结果表明，类的$K_4$ -自由弦图也只有团根。此外，我们证明了这个类总是有一个团根$-1$。最后，我们总结了几个重要的问题和建议的文件。
A program to find families of graphs in Free$\{C_4,4K_1\}$ with bounded clique width
研究不含4-圈和4-独立集作为导出子图的图类Free{C4,4K1}的子类的团宽，引入(k,l,m)-分解框架证明可分解图类有界团宽，并给出程序发现的例子，同时展示某些图具有无界团宽的超图族。
Faster Algorithms For Vertex Partitioning Problems Parameterized by Clique-width
许多NP难问题，如支配集问题，都是以宽度为参数的FPT问题。对于给定了$k$ -表达式的图，其控制集可以在$4^k n^{O(1)}$时间内求出.然而，没有已知的FPT算法用于计算最优的$k$表达式。对于秩宽$k$的图，如果我们依靠已知的算法通过秩宽计算$(2^{3k}-1)$ -表达式，然后使用$(2^{3k}-1)$ -表达式求解支配集，则上述算法只会给出$4^{2^{3k}} n^{O(1)}$的运行时间。已经有克服这种指数跳跃的结果;最著名的算法可以通过避免构建$k$表达式来及时求解支配集$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$ [Bui-Xuan，Telle和Vatshelle.快速动态规划求解局部可检查顶点子集和顶点划分问题。理论计算。科学，2013. doi：10.1016/j.tcs.2013.01.009]。我们将其改进为$2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$。事实上，我们表明，对于一个图的candle-width $k$，一大类的支配和分区问题（LC-VSP），包括支配集，可以解决$2^{O(k\log{k})} n^{O(1)}$。我们的主要工具是一个变体的秩宽度使用的秩的$0$ - $1$矩阵的有理域，而不是二进制字段。
Some Probabilistic Results on Width Measures of Graphs
固定参数易处理（FPT）算法在时间f（p（x））poly（|x|）中运行，其中f是输入x的某个参数p的任意函数，poly是某个多项式函数。树宽、分支宽度、顶点宽度、NLC宽度、秩宽度和布尔宽度是在设计和分析图上问题的此类算法时经常使用的参数。本文证明了一个简单随机模型图的树宽、枝宽、簇宽、NLC-宽度和秩宽的渐近几乎必然（aas）存在Omega（n）下界.这就提出了重要的问题的FPT算法使用相应的分解的一般性。
Clique-Width: Harnessing the Power of Atoms
本文研究了hereditary图类原子的clique-width有界性，证明了存在特定的(H1,H2)对，使得这些原子的clique-width有界。
On the complete width and edge clique cover problems
一个完全图是其中每两个顶点相邻的图。对于图$G=(V,E)$，$G$的完全宽度是最小$k$，使得存在$k$独立集$\mathtt{N}_i\subseteq V$，$1\le i\le k$，使得由$G$通过在集$\mathtt{N}_i$，$1\le i\le k$内的某些顶点之间添加一些新边而得到的图$G'$是完全图。图的完全宽度问题是决定给定图的完全宽度是否至多为$k$。本文研究完全宽度问题。我们证明了完全宽度问题在$3K_2$ -free二部图上是NP-完全的，在$2K_2$ -free二部图和$(2K_2,C_4)$ -free图上是多项式可解的。作为一个副产品，我们得到了以下新的结果：边团覆盖问题是NP-完全的$\overline{3K_2}$ -free的共二部图和多项式可解的$C_4$ -free的共二部图和$(2K_2, C_4)$ -free的图。我们还给出了$k$ -探针完全图的一个特征，这意味着完全宽度问题允许一个至多$2^k$顶点的核。这为边团覆盖问题允许至多$2^k$顶点的核这一已知事实提供了另一个证明。最后我们确定了所有具有小完全宽度$k\le 3$的图。
Identifying Codes in the Complementary Prism of Cycles
证明了在$n$阶循环的互补棱柱中的最小阶识别码具有$7n/9+Θ(1)$阶.此外，我们还观察到，一个图的互补棱镜宽度至多为$k$，并讨论了一些算法的结果。
Automorphisms of Set Families and of Families of Cliques in an Interval Graph in FPT Time
我们考虑以下与图同构密切相关的问题。在简化的版本中，任务是计算给定集合族（或超图）的自同构群，即给定集合的所有自同构与其元素的某些置换相容的群。在一般情况下，所讨论的集合族是给定区间图的团（称为标记团）的集合，任务是计算由底层区间图的自同构产生的团的所有排列的群。这个问题显然是至少一样难的图同构（GI-硬）已经在简化版本-考虑一个图的边缘集家庭，我们给出了一个FPT时间算法参数化的最大数量的集在家庭中是不可比拟的包含（其反链大小）。据我们所知，一般版本的问题还没有制定在文献中。该问题受到弦图同构问题的特殊情况研究的启发;即，简化的集合族版本是我们用于所谓的Sd-图同构的FPT算法[MFCS 2021]的核心，而通用版本扩展并改进了我们用于有界叶数弦图同构的FPT算法[WALCOM 2022]中的繁琐技术步骤。新算法结合了两个经典的工具-PQ-树的区间图和Babai的塔的群体，在一个非平凡的方式。
Classifying the Clique-Width of $H$-Free Bipartite Graphs
设$G$是一个二部图，$H$是一个具有固定二划分$(B_H,W_H)$的二部图.我们考虑三种不同的，自然的方式禁止$H$作为诱导子图在$G$。首先，如果$G$不包含$H$作为导出子图，则它是无$H$的。第二，如果$G$不含$H$，或者不含具有$B_H\subseteq B_G$和$W_H\subseteq W_G$的双分区$(B_G,W_G)$，则$G$是强不含$H$的.第三，如果$G$不含$H$，或者具有至少一个含$B_H\not\subseteq B_G$或$W_H\not\subseteq W_G$的双分区$(B_G,W_G)$，则$G$弱不含$H$. Lozin和Volz刻画了所有的二部图$H$，其中强$H$ -free二部图类具有有界的宽度.我们扩展他们的结果，给出完整的分类的其他两个变种的$H$ -freeness。
Unit Incomparability Dimension and Clique Cover Width in Graphs
对于无向图$G$中的团覆盖$C$，$C$的{ \it团覆盖图}是通过将$C$中的每个团的顶点收缩为单个顶点而获得的图。$G$的{ \it团覆盖宽度}，用$CCW(G)$表示，是$G$中所有团覆盖图的带宽的最小值。已知任何具有$CCW(G)=1$的$G$是不可比较图，因此称为{ \it单位不可比较图}。我们引入{ \it单位不可比维数$G$ }，记为$Udim(G)$，使其为最小整数$d$，使得存在具有$V(H_i)=V(G), i=1,2,...,d$的单位不可比图$H_i$，使得$E(G)=\cap_{i=1}^d E(G_i)$ .我们证明了一个建立不等式$Udim(G)\le CCW(G)$的分解定理。具体地说，给定任何$G$，都有单位不可比图$H_1,H_2,...,H_{CC(W)}$与$V(H_i)=V(G)$，使得和$E(G)=\cap_{i=1}^{CCW} E(H_i)$。此外，$H_i$是共二分的，对于$i=1,2,...,CCW(G)-1$。此外，我们观察到，$CCW(G)\ge s(G)/2-1$，其中$s(G)$是在一个最大的诱导星的$G$的叶数，并使用拉姆齐理论给出一个上界$s(G)$，当$G$表示为一个交叉图使用我们的分解定理。最后，当$G$是不可比较图时，证明了$CCW (G)\le s(G)-1$ .
Well-Quasi-Ordering versus Clique-Width: New Results on Bigenic Classes
Daligault，Rao和Rassé提出了一个问题：一类由诱导子图关系良好拟序的遗传图是否具有有界的图宽. Lozin，Razgon和Zamaraev最近表明，这是不正确的类定义的无穷多个禁止诱导子图。然而，在许多情况下禁止诱导子图的问题仍然是开放的，我们猜想，在这种情况下，答案是肯定的。已知该猜想对于由单个禁止诱导子图$H$定义的图类成立，因为这样的图是良好准序的，并且具有有界的宽度当且仅当$H$是$P_4$的诱导子图。对于双基因图类，即由两个禁止的诱导子图定义的图类，这两种分类中都存在几种开放情况。在本文中，我们得到了一些新的结果，良好的拟序性的双基因类，其中每一个支持的猜想。
Isomorphism Testing for Graphs of Bounded Rank Width
本文给出了一个算法，对任意固定的k，在多项式时间内判定秩宽度不超过k的图的同构。由于图的团宽是以其秩宽为界的，我们还得到了团宽有界的图类的多项式时间同构判定。
Structural Parameterizations of Clique Coloring
一个图的团染色是指给它的顶点分配颜色，使得没有最大团是单色的。我们开始研究团染色问题的结构参数化，这个问题是问一个给定的图是否有一个团染色与$q$颜色。对于固定的$q \ge 2$，当输入图与其宽度为$tw$的树分解一起给定时，我们给出了一个$\mathcal{O}^{\star}(q^{tw})$ -时间算法。我们补充这个结果与匹配的下界下的强指数时间假设。我们还表明，（当颜色的数量是无界的）团染色是XP参数化的团宽度。
Clique-width and Well-Quasi-Ordering of Triangle-Free Graph Classes
Daligault，Rao和Rassé提出了一个问题，即是否每个遗传的图类都有界的宽度，这些遗传的图类是由诱导子图关系良准序的. Lozin，Razgon和Zamaraev（JCTB 2017+）对这个问题给出了否定的答案，但他们的反例是一类只能由无限多个禁止诱导子图表征的图。这就提出了一个问题，是否有一个肯定的答案，为非线性定义的遗传图类。除了两个顽固的情况下，这已被证实时，最多有两个诱导子图$H_1,H_2$是禁止的。我们确认它的两个顽固的情况下，即为$(H_1,H_2)=(\mbox{triangle},P_2+P_4)$的情况下，通过证明类的$(\mbox{triangle},P_2+P_4)$ -免费的图有界的宽度和良好的准有序。我们的技术是基于一个特殊的分解的$3$ -部图。我们还使用这种技术来证明类的$(\mbox{triangle},P_1+P_5)$ -免费的图，这是已知的有界的宽度，是良好的准有序。我们的结果使我们能够完成的分类图$H$的类$(\mbox{triangle},H)$ -自由图是良好的准有序。
Clique coloring $B_1$-EPG graphs
本文研究 $B_1$-EPG 图的团着色问题，证明其是 $4$-团可着色的，并给出了基于图表示构造该着色的线性时间算法。
Hereditary 2-WQO Graph Classes Have Bounded Clique-Width
研究遗传图类，利用一元依赖的结构/非结构二分法及相关性质，通过排除良连接集证明遗传 2-WQO 图类有有界团宽度，证实 Pouzet 猜想。
Classes of graphs with small rank decompositions are chi-bounded
一类图G是chi-有界的，如果G中图的色数由团数的函数有界.我们证明了，如果一个类G是chi-有界的，那么每一类图允许一个分解沿切割的小秩图从G是chi-有界的。作为推论，我们得到了每一类具有有界秩宽度（或等价地，秩宽度）的图都是chi-有界的。
An optimal XP algorithm for Hamiltonian cycle on graphs of bounded clique-width
本文证明了，给定$n$ -顶点图的一个宽度为cumulus的$k$ -表达式，\textsc{Hamiltonian Cycle}可以在时间$n^{\mathcal{O}(k)}$中求解.这改进了Espaniel等人（WG 2001）在时间上运行的朴素算法$n^{\mathcal{O}(k^2)}$，并且它也与Fomin等人的下限结果相匹配，即除非指数时间假设失败，否则没有算法在时间上运行$n^{o(k)}$（SIAM. J. Computing 2014）。我们提出了一种利用$k$顶点上的二边着色重图的代表集技术。其基本思想是，对于一个二边着色多重图，交替使用不同颜色的边的欧拉迹的存在性可以由两个信息确定：与每个顶点关联的着色边的数量，以及多重图的连通性。通过这个想法，我们避免了朴素算法的瓶颈，该算法将所有可能的多重图存储在具有最多$n$边的$k$顶点上。
Stable graphs of bounded twin-width
证明了任意一类单稳定且具有有界孪生宽度的图$\mathscr C$都可以由具有有界稀疏孪生宽度的图转换而来。这推广了有界线性连续宽度类和有界连续宽度类的类似结果。同时也暗示了有界孪生宽度的单子稳定类是线性$χ$ -有界的。
Local Clique Covering of Graphs
一个单图G的k-团覆盖是指G的一个边被它的团覆盖，使得每个顶点至多包含在k个团中。G允许k-团覆盖的最小k称为G的局部团覆盖数，记为$lcc(G)$。局部团覆盖数可以看作是团覆盖数的局部对应，其等于覆盖所有边的团的最小总数。在本文中，这个问题的几个方面进行了研究，并讨论了它与其他知名问题的关系。此外，我们还研究了无爪图及其子类的局部团覆盖数。特别地，证明了每个无爪图的局部团覆盖数至多为$cΔ/ \logΔ$，其中$Δ$是图的最大度，$c$是泛常数.它还表明，该界是紧的，直到一个常数因子。进一步证明了线性区间图的局部团数是由$\logΔ+ 1/2 \log \logΔ+ O(1)$限定的.最后，作为副产品，得到了一个新的集合系统相交对的Bollobas型不等式。
Conflict-Free Coloring: Graphs of Bounded Clique Width and Intersection Graphs
该研究探讨图的无冲突着色问题，分析团宽度与最少着色数的关系，针对多种图类给出紧的上下界与判定复杂度，解决了区间图开邻域无冲突着色的公开问题。
Critical properties of bipartite permutation graphs
二部置换图具有许多重要的性质。特别是，这个类是至关重要的研究团和秩宽度的图，因为它是一个最小的遗传类的图无界团和秩宽度。它还包含了一些重要的子类，这是至关重要的其他参数，如图lettericity或灌木深度，并相对于其他概念，如良好的准序或算法问题的复杂性。在本文中，我们确定各种类型的二部置换图的临界子类。
Fully polynomial FPT algorithms for some classes of bounded clique-width graphs
参数化的复杂性理论已经能够对图上NP难优化问题的关键结构属性进行精细分类，从而更好地理解其真正的困难。最近，P中的问题的硬度结果是使用合理的复杂性理论假设实现的，例如：强指数时间假设（SETH），3SUM和所有对最短路径（APSP）。根据这些假设，许多图论问题不承认真正的次二次算法，甚至不承认真正的次三次算法（Williams and Williams，FOCS 2010 and Abboud，Grandoni，Williams，SODA 2015）。解决上述问题的一个核心技术是固定参数多项式时间问题的固定参数算法（P-FPT）。该技术由Abboud、Williams和Wang在SODA 2016中引入，并由Husfeldt（IPEC 2016）和Fomin等人（SODA 2017）继续使用树宽作为参数。将这种技术应用于另一个重要的图形参数candle-width，仍有待完成。在本文中，我们研究了几个图论问题的硬度结果存在，如周期问题（三角形检测，三角形计数，周长，直径），距离问题（直径，偏心率，Gromov双曲，介数中心）和最大匹配。我们提供了硬度的结果和完全多项式FPT算法，使用cnum-width和它的一些上界作为参数（分裂宽度，模宽度和$P\_4$ -稀疏）。我们认为，我们最重要的结果是一个${\cal O}(k^4 \cdot n + m)$时间算法计算的最大匹配，其中$…
Bounds for the Clique Cover Width of Factors of the Apex Graph of the Planar Grid
$G$的{ \it团覆盖宽度}，用$ccw(G)$表示，是通过将$G$的团覆盖中的团收缩为单个顶点而获得的所有图的带宽的最小值。对于$i=1,2,...,d,$，设$G_i$是一个具有$V(G_i)=V$的图，而$G$是一个具有$V(G)=V$和$E(G)=\cap_{i=1}^d(G_i)$的图，那么我们写$G=\cap_{i=1}^dG_i$，并称每个$G_i,i=1,2,...,d$为$G$的一个因子。我们感兴趣的情况下，$G_1$是弦，和$ccw(G_i),i=2,3...,d$的每个因素$G_i$是“小”。这里我们给出了一个否定的结果。具体地，令${\hat G}(k,n)$是通过将度为$n^2$的一组$k$顶点连接到$n\times n$网格的所有顶点，然后在这些$k$顶点中添加一些可能的边而获得的图。我们证明，如果${\hat G}(k,n)=\cap_{i=1}^dG_i$，与$G_1$弦，那么，$max_{2\le i\le d}\{ccw(G_i)\}\ge {n^{1\over d-1}\over 2.{(2c)}^{1\over {d-1}}}$，其中$c$是一个常数。此外，对于$d=2$，我们构造了一个弦图$G_1$和一个具有$ccw(G_2)\le {n\over 2}+k$的图$G_2$，使得${\hat G}(k,n)=G_1\cap G_2$。最后…
Comparing Width Parameters on Graph Classes
本文研究树宽、团宽、孪生宽、mim宽、sim宽和树独立数在特殊图类（如$K_{t,t}$-子图自由图、线图和$K_{t,t}$-自由图）上的等价性与有界性关系，主要结果证明有界mim宽的$K_{t,t}$-自由图有界树独立数，并探讨宽度参数在图幂下的保持性。
Colouring Diamond-free Graphs
着色问题是指给定一个图$G$和一个整数$k$，决定$G$是否允许（适当的）$k$着色。对所有顶点数不超过5的图$H$，我们对无$(\mbox{diamond},H)$图着色的计算复杂性进行了分类.我们的证明是基于结合已知的结果一起证明的cube-width是有界的$(\mbox{diamond}, P_1+2P_2)$ -free图。我们处理这种情况的技术是将所考虑的图简化为具有非常特定分解的$k$ -partite图。作为这个一般技术的副产品，我们也能够证明的有界性的其他四个新的类的$(H_1,H_2)$ -自由图的宽度。因此，我们的工作也继续了最近的系统研究到（无）有界的$(H_1,H_2)$ -free图的宽度，和我们的五个新的类有界的宽度减少开放的情况下，从13到8。
Colouring Square-Free Graphs without Long Induced Paths
对于无$H$的图，{ \sc着色}的复杂性是完全理解的，但是如果两个导出子图$H_1$和$H_2$是禁止的，则仍然存在主要的复杂性差距.设$H_1$为$s$ -顶点循环$C_s$，$H_2$为$t$ -顶点路径$P_t$ .我们证明了{ \sc着色}对于$s=4$和$t\leq 6$是多项式时间可解的，加强了几个已知的结果。我们的主要方法是发起一个遗传图类的原子（图没有团割集）的团宽度的有界性的研究。我们首先证明了无$H$图和无$H$原子的圈宽有界性的分类是一致的。然后，我们表明，这是不是这样的情况下，如果两个图是禁止的：我们证明了$(C_4,P_6)$ -自由原子的最大宽度约18。我们的关键证明成分是一个分而治之的方法来界定的一个子类的$C_4$ -免费的图形和建设的一个新的界限上的candel-width（一般）图的candel-width递归定义的子图诱导的齐次对和三元组的集合。作为补充，我们证明了{ \sc Colouring}对于$s=4$和$t\geq 9$是\NP -完全的，这是关于无$(C_4,P_t)$图的{ \sc Colouring}的第一个硬度结果.结合我们的新的结果与已知的结果导致几乎完全二分法的\cn限制到$(C_s,P_t)$ -免费的图形。
Graph Isomorphism for $(H_1,H_2)$-free Graphs: An Almost Complete Dichotomy
我们解决了图同构的计算复杂性，其特征在于两个禁止诱导子图$H_1$和$H_2$的所有，但六对$(H_1,H_2)$的图类。Schweitzer以前证明了开放案例的数量是有限的，但没有指定开放案例。Grohe和Schweitzer证明了图同构在有限宽度的图类上是多项式时间可解的。我们的工作结合了已知的结果，如这些新的结果。通过利用图同构与连通宽度之间的关系，我们同时将$(H_1,H_2)$ -free图连通宽度有界的开放情况减少到5种.
Supersolvable saturated matroids and chordal graphs
一个拟阵是超可解的，如果它有一个极大的平坦链，每个平坦链都是模的。一个拟阵是饱和的，如果每个圆平坦是模的。在这篇文章中，我们提出了超可解饱和拟阵类似的弦图，我们表明，弦图的几个结果在此拟阵的上下文中。特别是，我们认为拟阵类似物的减少团图和团树的弦图。后者是前者的最大权生成树。我们还表明，拟阵类似的团树是一个最佳分解的拟阵参数的树宽度。
Transducing Linear Decompositions of Tournaments
本文证明，对于有界线性团宽的竞赛图，可以通过一阶转导产生有界宽度的团分解，从而得出CMSO与存在性MSO在竞赛图上等价。
Interval graph limits
给出了稠密区间图的极限定理。该理论的发展背离了通常的描述的图形极限作为一个对称函数$W(x,y)$的单位平方，与$x$和$y$均匀的间隔$(0,1)$。相反，我们修复一个$W$并更改坐标$x$和$y$的底层分布。我们找到的选择，使我们的极限是连续的。连接到随机区间图，包括一些例子。我们还给出了区间图的色数和团数的连续性结果。对一般图极限给出了极限描述唯一性的一些结果。
On the existence of $δ$-temporal cliques in random simple temporal graphs
该研究针对随机简单时间图模型，利用概率方法证明了最大$\delta$-团大小的尖锐阈值，揭示其与Erdos-Renyi随机图最大团规模相近，并据此推测$\delta$-时间团问题的多项式时间算法难以实现高成功率。
Peaks and peak-nestings on unit interval graphs
本文在单位区间图上引入峰嵌套统计量，通过Dyck路径与双色Motzkin路径的双射细化Touchard恒等式，研究各类子图的多项式性质，并联系格路径拟阵。
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