A small 6-chromatic two-distance graph in the plane
Jaan Parts
基于一个只有16个顶点的图，给出了具有两个禁止距离的欧氏平面的色数下界的一个新的简单证明。
We give a new, simple proof for the lower bound of the chromatic number of the Euclidean plane with two forbidden distances, based on a graph with only 16 vertices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A 6-chromatic odd-distance graph in the plane
奇距离图的两个顶点被一条边连通当且仅当它们的欧氏距离是奇数。在平面上构造了一个6色奇距离图。
On chromatic numbers of some distance graphs
本文给出了n为无穷多时距离图$G(n,3,2)$的色数.在大部分情况下，我们还改进了$χ(G(n,r,s))$的上界.
On lower bounds of the order of $k$-chromatic unit distance graphs
本文给出了欧氏平面上$k$ -色单位距离图的最小顶点数的精确数值。
Maximal distance spectral radius of 4-chromatic planar graphs
证明了风筝图$K_4^{(n)}$唯一地最大化了所有连通的$4$ -色可平面图在$n$顶点上的距离谱半径.
Yet Another Species of Forbidden-distances Chromatic Number
本文提出点集的一种新型色数，即禁距离色数的变种，并加以研究。
The chromatic number of the plane is at least 5 - a new proof
我们给出了一个替代的证明，即给定平面的任何4-着色，存在两个相距单位距离的点是同色的。
Unit distance graphs with ambiguous chromatic number
首先，拉斯洛·塞克利（Laszlo Szekely）和最近的萨哈龙·谢拉（Saharon Shelah）和亚历山大·索伊费尔（Alexander Soifer）提出了无限图的例子，这些图的色数取决于为集合论选择的公理。这类图的存在性可能与平面问题的色数有关。本文构造了一类新的具有模糊色数的图。它们是顶点集为R^n的单位距离图，因此可以进一步证明平面的色数可能依赖于集合论。
A $6$-chromatic two-distance graph in the plane
我们证明了，如果一个颜色的每一个点的欧几里德平面的五种颜色之一，那么存在两个点的相同的颜色是距离$1$或距离$2$分开。
On upper bounds for the multi-fold chromatic numbers of the plane
平面$χ_m$的多重色数是最小的颜色数$k$，足以使欧几里德平面的每个点都精确地用$m$颜色着色，使得对于彼此相距单位距离的任何一对点，$k$集合的两个对应的$m$子集不包含任何公共颜色。我们考虑平面的$m$ -fold色数的上界.我们的主要结果是，对于任何$m$不等式$χ_m<(1+2/\sqrt3)^2\cdot m+3.501$成立。
The chromatic number of the plane is at least 5
我们提出了一个家庭的有限单位距离图的平面上，不是4-collapse，从而提高了下界的Hadwiger-Nelson问题。迄今为止，我们发现的最小的图有1581个顶点。
The Fractional Chromatic Number of the Plane
平面的色数是以平面上的点为顶点的不可数无限图的色数，如果两点之间的距离为1，则两点之间有一条边。这个色数记为$χ(\mathcal{R}^2)$。这个问题是在1950年提出的，此后不久就证明了$4\le χ(\mathcal{R}^2)\le 7$。这两个界限都很容易证明，但60多年过去了，它们仍然是最著名的。本文研究了平面的分数色数$χ_f(\mathcal{R}^2)$。之前的最佳界限（四舍五入至小数点后五位）为$3.5556 \le χ_f(\mathcal{R}^2)\le 4.3599$。这里我们将下界改进为$76/21\approx3.6190$。
A 5-chromatic same-distance graph in the hyperbolic plane
平面问题的色数要求最少的颜色数，使得平面上的每一点都可以被赋予一种颜色，并且没有两个相距单位距离的点是相同颜色的。现在知道答案是5、6或7。在这里，我们考虑的背景下的双曲平面的问题。证明了存在一个距离$d\approx 1.375033509$，使得双曲平面的每一个4-着色都包含两个相距$d$的点，这两个点同色.
The vector graph and the chromatic number of the plane, or how NOT to prove that $χ(\mathbb{E}^2)>4$
已知平面的色数$χ\left(\mathcal{E^2}\right)$是4和7之间的某个整数，包括4和7。我们证明了一个有限的结果，说，粗略地说，一个不能增加的下界$χ\left(\mathcal{E^2}\right)$粘贴Moser Spectrometry在一起，甚至可数许多。
On the balanced upper chromatic number of finite projective planes
本文研究了所有色类大小相差至多一个的超图的顶点着色（平衡着色）和每个超边至少包含两个相同颜色的顶点的超图的顶点着色（无彩虹着色）。对于任何超图$H$，使$H$有平衡的无彩虹$k$ -染色的最大数称为超图的平衡上色数。通过对所有$q$确定Deskeresian射影平面$\mathrm{PG}(2,q)$的平衡上色数，证实了Araujo-Pardo，Kiss和Montejano的猜想.此外，我们还渐近地确定了几类非Deskenesian射影平面的平衡上色数，并利用概率方法给出了任意射影平面的平衡上色数的一般下界，该下界确定了直到乘法常数的参数.
Computing Small Unit-Distance Graphs with Chromatic Number 5
我们提出了一种新的方法来减少具有给定性质的图的大小。我们的方法，这是基于子句证明最小化，使我们能够计算几个553顶点的单位距离图的色数5，而最小的公布的单位距离图的色数5有1581个顶点。后一个图是由Aubrey de Grey构造的，表明平面的色数至少为5。我们的图缺乏4-着色是由于在某些顶点上强制执行了清晰的模式。此外，我们的图表可以在一秒钟内得到机械验证，这表明该模式是基于一个相当短的论点。
Distance graphs having large chromatic numbers and not containing cliques or cycles of given size
本文研究了处于组合几何和图论边缘的经典Nelson-Hadwiger问题。它涉及$ {\mathbb R}^n $中距离图的着色，即，图，使得它们的顶点是向量，它们的边是距给定的正数集合一定距离的向量对。在团数和围长的不同限制条件下，得到了这类图的色数的一系列新的下界。
Some Results on Local Distance Antimagic Chromatic Number of Graphs
本文针对不含孤立顶点的图，研究图的联图及图与空图的字典积的局部距离反魔法色数，推进了该图论参数的相关研究。
A Moser-spindle-free 5-chromatic unit distance graph on 2131 vertices in the plane
针对Hadwiger-Nelson问题，本研究构造出不含Moser纺锤体的2131顶点5色单位距离图，改进了此前64513顶点的同类结果，利用21顶点7对称单位距离图的弧完成构造。
The distance-t chromatic index of graphs
本文考虑两个图的着色问题，其中对于某个固定的正整数$t$，距离至多为$t$的边被赋予不同的颜色.我们得到了两个上界的距离- $t$色指数，最少的颜色需要这样的着色。一个是最大度至多为$Δ$的图的$(2-\eps)Δ^t$的界，其中$\eps$是与$t$无关的某个绝对正常数。另一个是最大度至多为$Δ$且围长至少为$2t+1$的图的$O(Δ^t/\log Δ)$（作为$Δ\to\infty$）的界。第一个界限是Molloy和Reed关于强色指数的界限的类似物。第二个界限是紧的常数乘法因子，证明一类图的周长至少$g$，对于每个固定的$g \ge 3$，任意大的最大程度$Δ$，距离- $t$色指数至少$Ω(Δ^t/\log Δ)$。
A set of chromatic roots which is dense in the complex plane and closed under multiplication by positive integers
我们研究了一个非常大的图族，其中的成员包括不相交的路径与极端集团确定的集团。这种广泛的特性自然地概括了具有众所周知的色多项式的各种较小的图形族。对于由其分支团路至少有一个平凡极值团的图组成的子族中的任意成员，我们导出了一个相对简单的公式，并利用这个公式证明了这些图的所有非整数色根的集合在乘自然数下是闭的. Sokal的一个著名结果引出了我们的主要结果，即存在一组色根，它在复平面上是稠密的，而且在正整数乘法下是封闭的。我们的研究结果提供了相当大的重量卡梅隆猜想，谁建议，这种封闭性可能是一个通用的功能的色多项式。我们也希望我们所提供的公式能对那些用色多项式计算的人有所帮助。
The chromatic number of the Minkowski plane -- the regular polygon case
Hadwiger-Nelson问题要求最少的颜色数，这样平面上的每一点都可以被分配一种颜色，并且没有两个相隔单位距离的点是相同颜色的。现在已知答案是$5$、$6$或$7$。这里我们考虑闵可夫斯基平面的上下文中的问题，其中单位圆是具有$8$、$10$或$12$顶点的正多边形。我们证明，在每一种情况下，也需要至少五种颜色。
On the chromatic number of the plane for map-type colorings
本文研究地图型着色的 Hadwiger-Nelson 平面色数问题，证明在边界非单位圆弧且每个顶点三界相交的条件下至少需要 7 种颜色，并推广到任意多边形区域的正常着色。
A Triangle-free, 4-chromatic $\mathbb{Q}^3$ Euclidean Distance Graph Scavenger Hunt!
对于$d > 0$，定义$G(\mathbb{Q}^3, d)$为顶点集是有理空间$\mathbb{Q}^3$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们相距欧几里得距离$d$。设$χ(\mathbb{Q}^3, d)$是这样一个图的色数，或者换句话说，是给$\mathbb{Q}^3$上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔$d$的两个点不会得到相同的颜色。Benda和Perles在20世纪70年代提出了一个开放性问题，即是否存在$d$使得$χ(\mathbb{Q}^3, d) = 3$。通过多年来的大量努力，已经针对$d$的许多值确定了$χ(\mathbb{Q}^3, d)$，并且对于$χ(\mathbb{Q}^3, d)$尚未被精确地固定的所有那些距离$d$，已知$χ(\mathbb{Q}^3, d) \in \{3,4\}$。在我们的工作中，我们详细介绍了几个搜索算法，我们已经找到$4$ -色的各种图$G(\mathbb{Q}^3, d)$的色数是以前未知的子图。最后，我们推测不存在$3$ -半色$G(\mathbb{Q}^3, d)$.在此过程中，我们提出了几个相关的问题，我们认为这些问题本身就很有趣。
The chromatic number of the plane is at least 5 -- a human-verifiable proof
给出了平面的色数至少为5这一已知事实的新证明。这个证明的主要区别是它可以在没有计算机帮助的情况下手动验证。
Eigenvalue bounds for the quantum chromatic number of graph powers
本文定义了图的量子k-距离色数，并证明三个经典的k-距离色数特征值界在量子情形下同样成立，由此确定了更多使量子参数与经典参数相等的图类。
Quantum Chromatic Number of Subgraphs of Orthogonality Graphs and the Distance-2 Hamming Graph
本文研究了正交图子图和距离-2汉明图的量子色数，利用组合设计技术确定了它们的精确值。
First non-trivial upper bound on the circular chromatic number of the plane
我们考虑著名的Nelson-Hadwiger问题的圆形版本。众所周知，4种颜色是必要的，7种颜色足以以这样的方式对欧几里得平面进行着色，即距离不同的点得到不同的颜色。在$r$ -圆形着色中，我们指定周长为$r$的圆的长度为1的弧，以使距离为1的点得到不相交的弧。本文证明了$r=4+\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 6.30$的$r$ -圆染色的存在性.这是平面的$r$ -圆染色的第一个结果，其中$r$小于7。我们还显示$r$ -圆形着色的平面与$r<7$的情况下，当我们需要不相交的弧点的距离属于内部$[\frac{10}{11}, \frac{12}{11}]$。
The chromatic number of the plane with an interval of forbidden distances is at least 7
本文证明 Exoo 猜想：对任意正禁距区间宽度，欧几里得平面及任意 Minkowski 平面的色数至少为7，且当区间足够小时恰好为7。
Coloring Distance Graphs on the Integers
给定一个正整数的集合D，整数上的关联距离图是以整数为顶点的图，如果它们的差在D中，则不同顶点之间有一条边。研究了距离图的色数。我们证明了，如果$D = {d_1,d_2,d_3,...}$，且对所有n都有$d_n | d_{n+1}$，则距离图有一个适当的4-染色。我们进一步找到了所有这类距离图的精确色数。其次，我们刻画了具有周期真染色的距离图，并给出了色数与周期真染色存在性之间的关系。
On the Smallest Eigenvalues and Quantum Chromatic Numbers of Hamming Graphs and Generalizations
本文研究了距离参数小于一半长度的汉明图的最小特征值，给出了渐近下界，并应用于量子色数的下界。
Chromatic properties of the Euclidean plane
设$G$为平面上的单位距离图。组合几何中一个著名的问题是确定$G$的色数。已知$4\le χ(G)\le 7$ . 7的上界是使用平面的平铺得到的。本文研究了两个问题，我们寻求适当的着色$G$，增加限制的启发平铺：让$H(ε)$是图的顶点是点的${\mathbb R}^2$，与边缘之间的两个点，如果它们的距离位于区间$[1,1+ε]$。我们表明，对于小$ε$，$0<ε\le \frac{3\sqrt{2}}{4}-1$，我们有$6\le χ(H(ε))\le 7$。这改进了Exoo和Grytczuk等人的结果，即$5\le χ(H(ε))$适用于小$ε$。假设$G$是适当着色的，但两个纯色区域在某个邻域内沿直线相交。至少需要使用5种颜色。
Constructing 5-chromatic unit distance graphs embedded in the Euclidean plane and two-dimensional spheres
本文主要研究二维球面或平面中色数大于4的单位距离图的求法。此类图为平面上的Nelson-Hadwiger问题的色数及其对球体情况的推广提供了下界。构造了一系列嵌入平面的顶点数为64513的5色单位距离图。与先前已知的例子不同，这些图不包含Moser主轴作为子图。给出了在两个半径值上嵌入球面的5-色图的构造。即构造了嵌入单位边长二十面体外接球的372个顶点的5-色单位距离图和嵌入大二十面体外接球的972个顶点的5-色图。
Graph minimization, focusing on the example of 5-chromatic unit-distance graphs in the plane
本文提出了一种新的图极小化方法，该方法要求保持图的某些性质，并给出了一种有效的检验方法。我们将此方法应用于极小化5-色单位距离图，得到了一个有509个顶点和2442条边的图。
On Chromatic Numbers of Integer and Rational Lattices
本文给出了整数格和某些有理空间及其它格的色数的新的上界。特别地，我们证明了对于任何具体的临界距离$d$，具有临界距离$\sqrt{2d}$的$\Z^{n}$的色数在$n$中有多项式增长，其指数小于或等于$d$（有时这个估计是尖锐的）.同样的陈述不仅在欧几里德范数中成立，而且在任何$l_{p}$范数中也成立。此外，我们还给出了$\Q_{p}^{n}$的一些小维数的具体估计和色数的上界，这里的$\Q_{p}$指的是所有有理数环都有不可被某些素数整除的因子.
On the expansion constant and distance constrained colourings of hypergraphs
对于任意两个非负整数h和k，h > k，图G的L（h，k）-着色是这样的顶点着色，使得邻顶点允许至少相差h的颜色，并且相隔两个距离的顶点允许至少相差k的颜色。使G允许L（h，k）-着色且具有最大色δ的最小正整数δ称为L（h，k）-色数（L（h，k）-着色数）记为λ_{h，k}（G）.本文讨论超图中一些有趣的不变量。实际上，我们研究了超图的谱间隙与L（2，1）-色数之间的关系。本文给出了k-正则单图的L（2，1）-色数与其谱隙和展开常数之间的一些不等式。利用强色数、强独立数和最大度等超图不变量，得到了L（h，k）-色数的上界.利用超树的最大度确定了超树的L（2，1）-色数的一个精确上界。最后，我们讨论了几类超图的笛卡儿积的L（2，1）-染色。
Proof of the Finiteness of the Chromatic Number of Two-Dimensional Lacunary Distance Graphs
通过将一维孤立集方法扩展到二维，并利用缺项矩阵定理，证明了由二维缺项向量序列生成的整数距离图具有有限色数。
On the chromatic number of 2-dimensional spheres
西蒙斯在1976年证明，半径严格大于$1/2$的2维球面的每一个着色都有一对距离为1的单色点。我们证明了这个猜想。
The Chromatic Number of $\mathbb{R}^{n}$ with Multiple Forbidden Distances
设$A\subset\mathbb{R}_{>0}$是一个有限距离集，$G_{A}(\mathbb{R}^{n})$是一个顶点集$\mathbb{R}^{n}$和边集$\{(x,y)\in\mathbb{R}^{n}:\ \|x-y\|_{2}\in A\}$的图，$χ(\mathbb{R}^{n},A)=χ\left(G_{A}(\mathbb{R}^{n})\right)$ .我们改进了$\barχ(\mathbb{R}^{n};m)$的现有最佳下界，并证明了\[ \barχ(\mathbb{R}^{n};m)\geq\left(Γ_χ\sqrt{m+1}+o(1)\right)^{n} \]，其中$Γ_χ=0.79983\dots$是一个显式常数.我们的完整结果更一般，并且适用于这个图中的团。令$χ_{k}(G)$表示为$G$着色所需的最小颜色数，使得没有颜色包含$(k+1)$ -团，并且令$\barχ_{k}(\mathbb{R}^{n};m)$表示对于大小为$m$的任何距离集所取的最大值。使用分区秩方法，我们表明，\[ \barχ_{k}(\mathbb{R}^{n};m)>\left(Γ_χ\sqrt{\frac{m+1}{k}}+o(1)\right)^{n}. \]
Note on the chromatic number of Minkowski planes: the regular polygon case
著名的Hadwiger-Nelson问题要求为欧几里得平面上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔单位距离的两个点不会被分配相同的颜色。本文考虑Minkowski度量平面上的一个变形问题，其中单位圆是一个偶数且至多22个顶点的正多边形。我们提出了一个单格-子格着色方案，使用6种颜色，证明了上面的Minkowski平面的色数至多为6。这个结果对于顶点数超过8的正多边形是新的。
The Maximum Chromatic Number of the Disjointness Graph of Segments on $n$-point Sets in the Plane with $n\leq 16$
本文研究了平面上处于一般位置的 $n$ 点集的线段不相交图 $D(P)$ 的最大色数 $d(n)$，证明了 $d(n)=n-2$ 当且仅当 $n\in\{3,4,\ldots,16\}$。
Lower bounds for the measurable chromatic number of the hyperbolic plane
考虑顶点集为双曲平面的图$\mathbb{H}(d)$，其中两点在距离等于某个$d>0$时与一条边相连.求这个图的色数是著名的哈德维格-纳尔逊问题的双曲类比，这个问题是关于给欧几里得平面上的点着色，使得距离$1$远的点接收不同的颜色。如在欧几里德情形中，可以通过对所有$d$的$4$来下界$\mathbb{H}(d)$的色数。使用谱方法，我们证明，如果颜色类是可测量的，那么至少$6$颜色是需要适当的颜色$\mathbb{H}(d)$时，$d$是足够大的。
On $4$-chromatic Schrijver graphs: their structure, non-$3$-colorability, and critical edges
给出了$4$ -色Schrijver图的非$3$ -可染性的一个初等证明，从而也为$4$ -色Kneser图提供了这样的证明.为此，我们使用一个完整的描述结构的$4$ -色Schrijver图，已经给出了布劳恩，甚至更早的未发表的手稿李。我们还处理连接到表面四边形。特别地，我们证明了$4$ -色Schrijver图的一个生成子图使克莱因瓶四边化，而另一个生成子图使射影平面四边化.后者是Kaiser和Stehl 'ık的一个结果的特例。我们刻画了$4$ -色Schrijver图的色临界边，并对高色数Schrijver图的色临界边的刻画给出了初步的结果.最后，我们表明（除了两种情况下的小参数），我们提出的四边形的克莱因瓶的子图是边色临界的。类似的结果，子图的四边形的射影平面是一个直接的后果，早期的结果由金贝尔和Gimassen，并已注意到凯泽和Stehl 'ık。
Distance graphs with large chromatic number and arbitrary girth
在这篇文章中，我们考虑的问题有关的两个著名的组合主题。其中之一是关于空间的色数。另一类是大围长（最短圈的长度）和大色数的图。也就是说，我们证明了对于任何$l\in \mathbb{N}$，存在一个$\mathbb{R}^n$中的距离图序列，其围长至少为$l$，且其色数等于$(c+\bar{o}(1))^n$，且具有$c>1$ .
The surface of a sufficiently large sphere has chromatic number at most 7
我们提出了一种方法来分配，对于任何半径$r$大于约12.44，七种颜色之一，每个点在$\mathbb{R}^3$躺在距离$r$从原点，使得没有两个点在单位距离彼此被分配相同的颜色。这种构造的存在与最近的证明形成了对比，对于任何正值$\varepsilon$，如果没有两个指定相同颜色的点位于$[1,1+\varepsilon]$中的任何距离处（并且具有某些其他限制，这些限制也满足我们的着色），那么对于任何有限的$r\ge18$，需要八种颜色，即使当$\varepsilon \leq\frac{\sqrt{7}}{2} - 1$时，平面中的七种颜色就足够了。
Topology and chromatic number of random $ε$-distance graphs on spheres
给定$0<α\leqπ$，$ε>0$和$n$，我们通过画$d$ i.i.d.当$u$和$v$之间的测地线距离为$ε$ -接近$α$时，顶点和边$u {\sim} v$的均匀随机点。该模型推广了球面上的距离图，也推广了随机Borsuk图。已知拓扑工具可以给出Borsuk图的色数的紧界。我们现在研究这些拓扑不变量之一的效率，即Lóvasz的邻域复形的连通性，以限制该模型的随机图的色数。我们表明，在一般情况下，这个界表现不好，但是，它仍然产生一些有用的界限尺寸$d=1$和2。
A unit-distance graph in the plane with independence ratio below 1/4
通过精心选择的两顶点增广，将27顶点构造的几何分数色数从4提升到严格大于4，证明存在有限单位距离图其独立比严格小于1/4，从而否定Erdős问题并推出平面分数色数严格大于4。
Local Distance Antimagic Vertex Coloring of Graphs
本文引入了图的局部距离反魔幻色数参数，并计算了相关图的局部距离反魔幻色数。
$S$-packing colorings of distance graphs $G(\mathbb{Z},\{2,t\})$
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(a_1,a_2,\ldots)$，如果对于任何不同的顶点$u,v\in V(G)$和$f(u)=f(v)=i$，$G$中$u$和$v$之间的距离大于$a_i$，则映射$f:V(G) \rightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -packing $k$ -染色.使得$G$具有$S$ -填充$k$ -着色的最小$k$是$G$的$S$ -填充色数$χ_S(G)$.本文考虑距离图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$，其中$t>1$是以$\mathbb{Z}$为顶点集的奇数，如果$|i-j|\in\{2,t\}$与$i,j\in\mathbb{Z}$相邻.我们确定了图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$的$S$ -填充色数，其中$S$是任意序列，对所有的$i$，其值都是$a_i\in\{1,2\}$.此外，我们给出了距离图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$的$d$ -距离色数的上下界，在$d\ge t-3$的情况下给出了精确的值。讨论了循环图的$S$ -填充色数的意义.
Packing Chromatic Number of Distance Graphs
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得$G$的顶点可以被划分为不相交的类$X_1, ..., X_k$，其中$X_i$中的顶点的两两距离大于$i$。本文研究了无限距离图$G(Z, D)$的填充色数，即以整数集合$Z$为顶点集，且两个不同顶点$i, j \in Z$相邻的图当且仅当$|i - j| \in D$ .本文主要研究具有$D = \{1, t\}$的距离图。我们改进了Togni等人的一些结果。证明了对于足够大的奇数$t$，有$χ_ρ(G(Z, D)) \leq 35$;对于足够大的偶数$t$，有$χ_ρ(G(Z, D)) \leq 56$.我们还给出了$t \geq 9$的一个下界12，并用小$t$收紧了$χ_ρ(G(Z, D))$的几个间隙。
Coloring, location and domination of corona graphs
图$G$的顶点着色是对图$G$的顶点的颜色分配，使得图$G$的每两个邻顶点具有不同的颜色。图的一个与着色有关的性质也是图的顶点的颜色或标号的分配，其中标号的过程是根据一个额外的条件来完成的。一个图$G$的顶点集$S$是$G$中的控制集，如果$S$之外的每个顶点都与至少一个属于$S$的顶点相邻。$G$的控制参数是指在$G$的顶点上满足某种控制性质和其它条件的图的结构。本文研究了冠图的着色、控制和位置等数学性质。研究了冠图的距离- $k$染色.特别地，通过冠图的距离- $k$色数与其因子的距离- $k$色数之间的关系，得到了冠图的距离-2色数和距离-3色数的紧界.此外，我们还给出了路与任意图的晕的距离- $k$色数的精确值。另一方面，我们得到了冠图的罗马控制数和位置控制数的界。给出了冠图的$k$ -控制数、距离- $k$-控制数、独立控制数、自序数和同序数的封闭公式。
Chromatic numbers for the hyperbolic plane and discrete analogs
我们研究了双曲平面的着色，类似于欧氏平面的Hadwiger-Nelson问题。其思想是使用最少数量的颜色对点进行着色，使得距离恰好为$d$的两个点的颜色不相同。这个问题取决于$d$，并遵循Kloeckner的策略，我们显示线性上界的必要数量的颜色。在平行，我们研究了同样的问题$q$ -正规树，并显示类似的结果。对于这两种设置，我们还考虑了一种变体，该变体包括用距离间隔替换$d$。
A note on the chromatic number of Kneser graphs on chambers of projective planes and incidence-free sets
本文通过简单证明展示了在投影平面的 incidence 图中，X 和 Y 的补集之间存在完美匹配，从而将投影平面室的克罗内克图着色数问题与 incidence 图的 incidence-free 数问题联系起来。
A generalization of Zhu's theorem on six-valent integer distance graphs
本文证明Zhu关于三元整数距离图色数的定理是作者先前关于阿贝尔群上Cayley图色数一般方法（针对3×2矩阵情形）的特例，从而推广了该定理。
On the cromatic number of infinitesimal plane layer
考虑平面色数问题的自然推广。本文考虑空间$\mathbb{R}^n \times [0,\varepsilon]^k$的色数$χ$，其中有任意小的$\varepsilon$ .我们证明了$5 \leqχ(\mathbb{R}^2\times [0,\varepsilon])\leq 7$和${6\leq χ(\mathbb{R}^2\times [0,\varepsilon]^2) \leq 7}$ .我们也考虑自然的问题，从这种考虑。
Nordhaus-Guddam Type Relations of Three Graph Coloring Parameters
设G是一个单图。图G的顶点的染色称为：（i）2-真染色，如果距离为2的顶点接收不同的颜色;（ii）内射染色，如果拥有共同邻居的顶点接收不同的颜色;（iii）正方形染色，如果距离至多为2的顶点接收不同的颜色。本文研究了2-真色数、单射色数和平方色数的Nordhaus-Guddam型不等式.
Distance Laplacian eigenvalues of graphs and chromatic and independence number
对于$n$阶的连通图$G$，令$Diag(Tr)$是顶点传递的对角矩阵，$D(G)$是$G$的距离矩阵。定义$G$的距离拉普拉斯矩阵为$D^L(G)=Diag(Tr)-D(G)$，$D^{L}(G)$的特征值称为$G$的距离拉普拉斯特征值。令$\partial_{1}^{L}(G)\geq \partial_{2}^{L}(G)\geq \dots \geq \partial_{n}^{L}(G)$是$G$的距离拉普拉斯特征值。给定一个区间$I$，令$m_{D^{L} (G)} I$（或简称为$m_{D^{L} } I$）是$G$的距离拉普拉斯特征值的个数，这些特征值位于区间$I$中。对于给定的区间$I$，我们用图$G$的独立数$α(G)$、色数$χ$、悬挂顶点数和直径$d$来确定$m_{D^{L} }I$.特别地，我们证明了$m_{D^{L}(G) }[n,n+2)\leq χ-1$，~ $m_{D^{L}(G) }[n,n+α(G))\leq n-α(G)$，并且证明了这些不等式是尖锐的.我们还表明，$m_{D^{L} (G )}\bigg( n,n+\left\lceil\frac{n}χ\right\rceil\bigg)\leq n- \left\lceil\frac{n}χ\right\rceil-C_{\overline{G}}+1 $，其中$C_{\overline…
On the locating chromatic number of infinite trees
本文研究了无限树的定位色数，给出了其具有有限定位色数的充要条件，并提出了一种适用于有限树和无限树的定位着色计算算法。
Chromatic Numbers of Exact Distance Graphs
本文研究精确距离图的色数，利用广义着色数给出Nešetřil和Ossona de Mendez结果的更简单证明和更优上界，并改进了平面图及$K_t$-次图无关图的下界。
On the Universality and Extremality of graphs with a distance constrained colouring
图的lambda着色（或$L(2,1)-$着色）是将非负整数（具有最小分配$0$）分配给其顶点，使得相邻顶点必须接收间隔至少为2的整数，并且距离为2的顶点必须接收不同的整数。图$G$的λ色数（或称$λ$数）是在图$G$的所有可能λ着色上的所有最大赋正整数中的最小正整数。在这里，我们主要表明，每一个图的λ色数$t$可以嵌入到一个图，λ色数$t$，它允许一个分区的顶点集成相等大小的颜色类。进一步证明了若一个λ色数为$t\geq5$的$n-$顶点图，其中$n\geq t+1$包含最大边数，则该图的顶点集允许公平划分.对于这种被接纳的公平分区，在子集的每对$(A,B)$之间存在$0$或$\min\{|A|,|B|\}$数量的边（即，粗略地，这种分区是“稀疏样”公平分区）。在这里，我们建立了一个分类结果，确定所有可能的$n-$顶点图的λ色数$t\geq3$，其中$n\geq t+1$，其中包含最大数量的边缘。这样的分类为二十多年前由约翰·P·乔治和大卫·W·乔治提出的一个问题提供了解决方案。毛罗
Clique colourings of geometric graphs
一个图的团着色是顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最少的颜色数是团色数。给定平面中的点$n$和阈值$r>0$，对应的几何图具有顶点集$\{v_1,\ldots,v_n\}$，并且当$x_i$和$x_j$之间的欧氏距离至多为$r$时，不同的$v_i$和$v_j$相邻。我们研究了这类图的团色数。我们首先证明了平面上任意几何图的团色数至多为9，并简要地考虑了高维几何图。然后研究了平面上随机几何图$RG$的团色数的渐近性质，其中$n$随机点独立均匀分布在一个适当的正方形中.我们看到，随着$r$从0开始增加，对于非常小的$r$，团色数很可能是1，然后对于小的$r$，团色数是2，然后对于较大的$r$，团色数至少是3，最后降回2。
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