The Eternal Game Chromatic Number of a Graph
游戏着色是一个研究得很好的两人游戏，其中每个玩家每次正确地着色图的一个顶点，直到所有顶点都着色。本文介绍了一种“永恒”的版本的游戏着色，其中的顶点着色和重新着色的颜色集在一个序列的回合。在给定的轮中，每个顶点被着色或重新着色一次，以便保持适当的着色。参与人1希望永远保持正确的着色，而参与人2希望强制着色过程失败。图$G$的永恒博弈色数被定义为使得参与者1总是能够在$G$上赢得博弈的颜色集合中所需的最小颜色数。我们认为这个新的游戏的几个变化，并显示其行为的一些基本类的图。
2019-04-16 math.CO
On the game chromatic number of sparse random graphs
给定一个图G和一个整数k，两个博弈者轮流用k种颜色对图G的顶点逐一着色，使得相邻的顶点得到不同的颜色。如果在游戏结束时，$G$的所有顶点都被着色，则第一个玩家获胜。博弈色数χ g（G）是第一个局中人有获胜策略的最小k。该文件\cite{BFS}开始分析这个参数的随机图G_{n,p}的渐近行为。本文对平均度为np=O（1）的图和随机正则图作了进一步的分析。
2018-06-08 math.CO
On graphs with maximum difference between game chromatic number and chromatic number
本文解决了 Matsumoto 关于博弈色数与色数之差最大值的猜想，通过修改博弈规则证明等号仅在小阶图和 Turán 图上成立，并否定顶点标记博弈的类似结果。
2024-11-08 math.CO
The independence coloring game on graphs
我们提出了一个新的着色游戏的图，称为独立着色游戏，这是由两个玩家具有相反的目标。游戏的结果是图$G$的顶点的适当着色，并且Alice的目标是在游戏期间使用尽可能少的颜色，而Bob希望最大化颜色的数量。该游戏由回合组成，在回合$i$中，其中$i=1,2,,\ldots$，玩家轮流选择$G$的先前已标记的顶点并赋予其颜色$i$（因此，在每一回合中，所选顶点形成独立集）。当$G$的所有顶点都被选中（并因此着色）时，游戏结束，当两个玩家都相对于他们的目标进行最佳游戏时，游戏期间的总回合数称为独立游戏色数，$χ_{ig}(G)$，$G$。实际上，我们考虑了独立博弈色数的四个不同版本，这取决于谁开始一个博弈，谁开始下一轮。证明了新的博弈不变量介于图的色数和最大度加$1$之间，并刻画了四个版本的博弈不变量都等于$2$的图.我们比较了独立对策色数的不同版本，并与经典对策色数进行了比较。此外，我们还证明了树的独立对策色数可以是任意大的。
2021-03-25 math.CO
The Eternal Game Chromatic Number of Random Graphs
永恒图着色问题（英语：Eternal graph colouring problem）是由Klostermeyer和Mendoza提出的一个图形着色游戏，两个玩家轮流为一个图形着色。本文研究了随机图的永恒对策色数。我们表明，高概率$χ_{g}^{\infty}(G_{n,p}) = (\frac{p}{2} + o(1))n$为奇数$n$，甚至$n$时，$p=\frac{1}{k}$为一些$k \in \mathbb{N}$。该上限适用于偶数$n$和$p$的任何其他值，但我们推测在这种情况下该上界并不明显。最后，我们回答了克洛斯特迈耶和门多萨提出的一个问题。
2020-01-23 math.CO
Feedback game on $3$-chromatic Eulerian triangulations of surfaces
本文研究了曲面的$3$ -色欧拉三角剖分上的反馈对策。我们证明了，游戏的赢家对每个$3$色欧拉三角形的表面，其所有的顶点都有度$0$模$4$总是固定的。此外，我们还研究的情况下，$3$ -色欧拉三角剖分的表面，至少有两个顶点，其程度是$2$模$4$，特别是，我们确定了赢家的游戏中的一个具体的一类这样的图，称为八面体路径。
2020-02-25 cs.DM math.CO
Graph colorings with restricted bicolored subgraphs: II. The graph coloring game
我们考虑图着色游戏，一个游戏中，两个球员轮流适当的着色图的顶点，一个球员试图完成适当的着色，和其他球员试图阻止适当的着色。证明了如果图$G$有一个适当的染色，且每个双色子图的对策色数是有界的，则$G$的对策色数是有界的.作为这个结果的推论，我们证明了对于两个具有有界对策色数的图$G_1$和$G_2$，笛卡儿积$G_1 \square G_2$具有有界对策色数，回答了X.竹我们还得到了两个图的强积$G_1 \boxtimes G_2$的对策色数的一个上界。
2021-11-08 math.CO
A new upper bound on the game chromatic index of graphs
我们研究的两个球员的游戏中，制造商和断路器交替着色的边缘，一个给定的图$G$与$k$颜色，使相邻的边缘永远不会得到相同的颜色。Maker的目标是在游戏结束时，所有边都是彩色的。反之亦然，只要有一个未着色的边缘，每个颜色都被阻挡，断路器就赢了。游戏色指数$χ'_g(G)$表示Maker具有获胜策略的最小$k$。平凡界$Δ(G) \le χ_g'(G) \le 2Δ(G)-1$对每个图$G$成立，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。在2008年，Beveridge，Bohman，Frieze和Pikhurko证明了对于每个$δ>0$，存在一个常数$c>0$，使得$χ'_g(G) \le (2-c)Δ(G)$对任何具有$Δ(G) \ge (\frac{1}{2}+δ)v(G)$的图都成立，并证明了这同样对每个图$G$都成立。本文证明了$χ'_g(G) \le (2-c)Δ(G)$对所有具有$Δ(G) \ge C \log v(G)$的图$G$都成立.此外，我们考虑一个有偏见的版本的游戏，其中断路器被允许颜色$b$边缘每回合，并给出边界上的颜色数量需要制造商赢得这个有偏见的游戏。
2018-02-13 math.CO
The Game Chromatic Number of Complete Multipartite Graphs
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；Gdansk University of Technology（格但斯克理工大学）
该研究针对无单点集的完全多部图的游戏色数问题，为博弈双方Alice和Bob设计了最优策略，证明策略可在线性时间内计算，且色数仅由图划分的集合数量与大小决定。
2026-10-12 cs.DM math.CO
The game chromatic number of generalized Mycielski graphs of paths and cycles
Guizhou University（贵州大学）；Yangzhou University（扬州大学）
针对路径和圈的广义Mycielski图，确定其游戏色数介于4至5之间，得出M_2(P_5)与M_2(P_6)的游戏色数精确值为4，证明其不随层数和基础图阶数增长而超过5。
2026-09-03 math.CO
Chromatic Nim finds a game for your solution
我们在一堆代币上玩尼姆的变体。根据下面的规则，选择你最喜欢的正整数递增序列，并给这些符号涂上颜色。对应于序列中的数字的级别上的每个令牌都被着色为红色;如果级别不对应于序列中的数字，则将其着色为绿色。现在在任意数量的堆栈上玩尼姆，额外的规则是：如果所有顶部的代币都是绿色的，那么你可以做任何你喜欢的动作。在两个栈上，我们给出了一些流行的序列，如Beatty序列和著名的Thue-Morse序列中对应于0的邪恶数赢得正常播放版本的明确特征。我们还提出了一个更一般的解决方案，它只取决于颜色的“占主导地位”的序列。我们的构造解决了Fraenkel在BIRS 2011组合博弈研讨会上提出的一个问题。
2016-02-25 math.CO
Hat chromatic number of graphs
研究了无环图$G$的帽子色数：无环图的每个顶点上都有一个参与者，对手在每个参与者的头上放置一顶$K$颜色的帽子，两个参与者可以看到对方的帽子当且仅当他们在邻顶点.所有玩家同时尝试猜测他们帽子的颜色。玩家不能交流，但在帽子被放置之前集体决定一个策略。帽子的色数，$μ(G)$，是最大的颜色数$K$，这样玩家就能够确定一个策略，该策略将确保对于每一个可能的帽子位置，至少有一个猜测是正确的。我们计算了几类图的$μ(G)$，对于其他的，我们建立了一些界限。建立了帽色数、色数与色数之间的联系。我们还介绍了该游戏的几个变体：多次猜测、对允许策略的限制或对着色的限制。我们展示了如何修改后的游戏可以用来获得有趣的结果，为原来的游戏的例子。
2019-05-10 math.CO
A biased edge coloring game
本文定义非对称 $(m,1)$-边着色博弈及博弈色指数，给出树上界，确定部分毛虫图和所有轮图的精确值，并证明增大 $m$ 未必降低色指数。
2025-01-14 math.CO
Fractional chromatic number of a random subgraph
众所周知，完全图$K_n$的随机子图具有色数$Θ(n/\log n)$ w. h. p. Boris Bukh询问是否同样适用于任何$n$ -色图的随机子图，至少在预期中。本文证明了：对于分数色数至少为$n$的图，其随机子图的分数色数至少为$n/(8\log_2(4n))$且概率大于$1-\frac{1}{2n}$ .这给出了肯定的答案加强布赫的问题的分数色数。
2018-07-17 math.CO
On the chromatic number of random regular hypergraphs
本文对固定$r$、大固定$d$和$n \rightarrow \infty$的随机$r$ -均匀$d$ -正则超图在$n$顶点上的色数和独立数的可能值进行了估计.
2022-12-31 math.CO
On the concentration of the chromatic number of random graphs
假设0<p<1是固定的。Shamir和Spencer在20世纪80年代证明了G（n，p）中随机图的色数集中在长度约为n^{1/2}的区间内。在这篇说明中，我们证明了Noga Alon的一个结果，证明了色数集中在一个长度约为n^{1/2}/log n的区间中.
2017-10-18 math.CO
Non-concentration of the chromatic number of a random graph
我们证明了$G_{n, \frac 12}$的色数不集中在少于$n^{\frac 14 - \varepsilon}$的连续值上。这就解决了Erdos和其他几位作者提出的一个长期存在的问题。
2020-04-23 math.CO
Asymmetric coloring games on incomparability graphs
考虑下面这个关于图$G$的游戏：Alice和Bob轮流从一组固定的颜色中为$G$的顶点着色;当整个图都着色时Alice获胜，而当一些未着色的顶点被留下时Bob获胜。$G$的游戏色数是允许Alice赢得游戏的最小颜色数。$G$的博弈Grundy数的定义类似，只是参与者根据首次拟合规则给顶点着色，并且他们只决定应用该规则的顺序。$(a,b)$ -游戏色数和Grundy数的定义类似，不同之处在于Alice在每一轮中为$a$顶点着色，Bob为$b$顶点着色。我们研究这些参数的行为的不可比图的偏序集有界宽度。我们猜想的$(a,b)$对的$(a,b)$ -游戏色和Grundy数有界的偏序集的宽度方面的一个完整的特征，我们证明了它给出了一个必要条件，并提供了一些证据，其充分性。我们还证明了对策的色数不受Grundy数的约束，从而回答了Havet和Zhu的一个问题.
2015-03-16 cs.DM math.CO
Paintability of $r$-chromatic graphs
本文研究最大度较大且色数有界的图，利用Alon–Tarsi定向和严格3型退化参数，分别给出可涂绘性与DP-可涂绘性的改进上界。
2025-09-28 math.CO
A Connected Version of the Graph Coloring Game
图着色游戏是一个两人游戏，其中，给定图G和一组k种颜色，两个玩家Alice和Bob轮流对G的未着色顶点进行适当着色，Alice采取第一步行动。爱丽丝赢得游戏当且仅当G的所有顶点最终都着色。然后定义图G的博弈色数为Alice在G上进行k种颜色的图着色博弈时具有获胜策略的最小整数k。在本文中，我们介绍和研究了一个新的版本的图着色游戏，要求，在每个玩家的回合后，由一组着色顶点诱导的子图是连通的。图G的连通对策色数是指Alice在G上进行k种颜色的连通图着色对策时，能使Alice获胜的最小整数k。证明了每一个外平面图的连通对策色数至多为5，并且存在连通对策色数为4的外平面图。此外，我们证明了对于每个整数k $\ge$ 3，存在二部图，其中Bob在每个二部图上赢得了k种颜色的连通着色游戏，而Alice在每个二部图上赢得了两种颜色的连通着色游戏。
2020-03-16 cs.DM math.CO
The chromatic number of random lifts of complete graphs
图$G$的一个$n$ -提升是一个图，从该图有一个到$G$的$n$ -到- $1$覆盖映射. Amit，Linial，and Matou \v sek（2002）提出了一个问题，即$K_5$的随机$n$ -提升的色数是否集中在一个值上.我们考虑这个问题的$G=K_{d+1}$，并表明，对于固定的$d\ge 3$的随机提升$K_d$的色数是（渐近几乎肯定）$k$或$k+1$，其中$k$是满足$d < 2k \log k$的最小整数。此外，我们表明，大约一半的$d$值，色数集中在$k$。对色数上界的论证使用了小子图条件化方法，并且可以推广到$G$的随机$n$ -提升，对于任何固定的$d$ -正则图$G$。
2021-09-27 math.CO
Chromatic number of random graphs: an approach using a recurrence relation
本文提出一种递推关系以快速计算随机图色数的期望值，并与精确枚举、蒙特卡洛等方法比较验证其有效性。
2025-02-03 math.CO
Distinguishing Chromatic Number of Random Cayley graphs
图$G$的\textit{Distinguishing Chromatic Number}，表示为$χ_D(G)$，首先在\cite{collins}中定义为正确着色$G$所需的最小颜色数，使得图$G$的非平凡自同构$ϕ$不固定$G$的每个颜色类。在本文中，我们考虑随机凯莱图$Γ(A,S)$定义在某些阿贝尔群$A$和证明，至少有概率$1-n^{-Ω(\log n)}$，我们有，$χ_D(Γ)\leχ(Γ) + 1$。
2016-04-11 math.CO
Chromatic Number of Random Kneser Hypergraphs
最近，Kupavskii~[{ \it]关于{K}neser和{S}chrijver图的随机子图. J. Combin。理论系列A，{ \rm 2016}}]研究了随机Kneser图$\KG_{n,k}(ρ)$的色数，证明了在许多情况下，随机Kneser图$\KG_{n,k}(ρ)$和Kneser图$\KG_{n,k}$的色数几乎必然是闭的.他还标志着研究色数的随机Kneser超图$\KG^r_{n,k}(ρ)$作为一个非常有趣的问题。借助于Borsuk-Ulam定理的组合推广--$\Z_p$ -Tucker引理，通过引入随机一般Kneser超图的色数的几乎必然下界，将Kupavskii的结果推广到随机一般Kneser超图.粗略地说，作为我们结果的一个特例，我们证明了随机Kneser超图$\KG^r_{n,k}(ρ)$和Kneser超图$\KG^r_{n,k}$的色数在许多情况下几乎必然是闭的.此外，限制到Kneser和{S}chrijver图，我们提出了一个纯粹的组合证明的改进Kupavskii的结果。对于任意的超图$\HH$，我们给出了无单色$K_{t,\ldots,t}^r$子超图的$\KG^r(\mathcal{H})$的着色所需的最少颜色数的下界，其中$K_{t,\ldots,t}^r$是完全的$r$ -均匀$r$ -部超图，其顶点为$t r$，使得它的每个部分都有$t$…
2016-08-14 math.CO
On the chromatic number of random d-regular graphs
本文证明了对任意固定的d，随机d-正则图渐近几乎必然可以用k种颜色着色，其中k是满足d<2（k-1）log（k-1）的最小整数.根据Molloy和Reed先前的下界，这建立了色数渐近几乎必然为k-1或k。此外，如果d>（2k-3）log（k-1），则丢弃值k-1，从而精确地确定色数。因此，我们改进了Achlioptas和Moore最近宣布的结果，其中允许色数取值k+1。我们的证明适用于小的子图调理方法的平衡k-着色，着色是平衡的，如果每种颜色的顶点数是相等的。
2008-12-15 math.CO
On the chromatic number of random Cayley graphs
设G是基数为N的阿贝尔群，其中（N，6）= 1，A是G的随机子集.在顶点集G上通过连接x和y形成图Gamma_A当且仅当x + y在A中。然后，几乎肯定当N趋于无穷大时，色数chi（Gamma_A）至多为（1 + o（1））N/2 log_2 N.当G = Z/NZ，N撇时，这是渐近尖锐的。在2013年8月剑桥举行的Bela Bollobas 70岁生日纪念会议上提出。
2016-07-22 math.CO
The $\!{}\bmod k$ chromatic index of random graphs
图$G$的$\!{}\bmod k$色指数是对$G$的边着色所需的最小颜色数，使得每种颜色的边所跨越的子图具有与$1\!\!\pmod k$全等的所有度。最近，作者证明了每个图的$\!{}\bmod k$色指数至多为$198k-101$，对于大的$k$，改进了Scott [Discrete Math.175，1-3（1997），289-291]的结果。本文研究了随机图的$\!{}\bmod k$色指数。我们证明了对于每个整数$k\geq2$，存在$C_k>0$使得如果$p\geq C_kn^{-1}\log{n}$和$n(1-p) \rightarrow\infty$为$n\to\infty$，则以下成立：如果$k$是奇数，则$G(n,p)$的$\!{}\bmod k$色指数渐近地几乎必然等于$k$，而如果$k$是偶数，则$G(2n,p)$的$\!{}\bmod k$色指数（分别为$G(2n+1,p)$）渐近几乎必然等于$k$（分别为$k+1$）。
2023-02-26 math.CO
Tight asymptotics of clique-chromatic numbers of dense random graphs
图的团色数是指图的顶点集所需的最小颜色数，使得包含的最大团都不是单色的。McDiarmid，Mitsche和Prahanat证明了二项随机图$G\left(n,\frac{1}{2}\right) $的团色数以高概率至多为$\left(\frac{1}{2}+o(1)\right)\log_2n$. Alon和Krivelevich证明了它以很高的概率大于$\frac{1}{2000}\log_2n$，并建议对数前的右常数是$\frac{1}{2}.$。我们证明了他们的猜想，并得到了一个紧浓度结果：whp $χ_c\left(G\left(n,1/2\right)\right) = \frac{1}{2}\log_2 n - Θ\left(\ln\ln n\right).$
2022-12-02 math.CO
On the exact quantum chromatic number of generalized Johnson graphs
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Anhui University（安徽大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）
本文研究广义约翰逊图的量子色数，通过构造正交表示、结合特征值分析确定两类无穷族的精确量子色数，发现其经典色数随n指数增长、量子色数线性增长，存在指数级分离。
2026-09-07 math.CO
Circular Game Coloring of Signed Graphs
本文将圆形博弈色数理论扩展至符号图，基于切换等价原理和基本圈性质，证明了平衡与反平衡符号图及二部图的紧致界限，并提出了计算复杂性与平面图扩展的开放问题。
2025-05-27 math.CO
The t-tone chromatic number of random graphs
一个图的正确的2-色调$k$ -着色是用来自$\binom{[k]}{2}$的元素标记顶点，使得相邻的顶点接收不相交的标签，并且距离为2的顶点接收不同的标签。图$G$的2-色调色数记为$τ_2(G)$，它是使$G$允许正常2-色调$k$染色的最小$k$.本文证明了对于$p\ge Cn^{-1/4}\ln^{9/4}n$，$τ_2(G_{n,p})=(2+o(1))χ(G_{n,p})$，其中$χ$表示普通的色数.对于具有$p=c/n$，$c$常数的稀疏随机图，证明了$τ_2(G_{n,p}) = \lceil{{\sqrt{8Δ+1} +5}/{2}}\rceil$，其中$Δ$表示最大度.对于更一般的$t$ -色调着色的概念，我们获得了类似的结果。
2012-10-02 math.CO
The oriented chromatic number of random graphs of bounded degree
University of Manitoba（曼尼托巴大学）；Oakland University（奥克兰大学）
本文研究了随机图的定向色数，改进了已知上界，从$O(d^2 2^d)$到$O(\sqrt{e}^d)$。
2026-02-22 math.CO
Chromatic thresholds in sparse random graphs
图$H$相对于随机图$G(n,p)$的色阈值$δ_χ(H,p)$是$d > 0$上的下确界，使得以下条件高概率成立：具有最小度$δ(G) \ge dpn$的无$H$图族$G \subset G(n,p)$具有有界色数. $δ_χ(H) :=δ_χ(H,1)$的研究始于1973年，由Erdens和Simonovits发起。最近$δ_χ(H)$被确定为所有图$H$。已知$δ_χ(H,p) =δ_χ(H)$用于所有固定的$p \in (0,1)$，但如果$p = o(1)$，则通常为$δ_χ(H,p) \ne δ_χ(H)$。在这里，我们研究稀疏随机图的问题。我们确定$δ_χ(H,p)$的大多数功能$p = p(n)$时$H\in\{K_3,C_5\}$，也为所有图$H$与$χ(H) \not\in \{3,4\}$。
2016-08-11 math.CO
On the chromatic number in the stochastic block model
该研究将二项随机图色数的经典结果推广到随机块模型，还通过允许块数增长确定了Chung-Lu模型的色数，方法基于加权独立数估计。
2023-04-28 math.CO
Random lifts of $K_5\setminus e$ are 3-colourable
Amit，Linial，and Matou \vsek（Random lifts of graphs III：independence and chromatic number，Random Struct. Algorithms，2001）提出了以下问题：随机$h$ -提升的$K_5$的色数是否渐近地（对于$h\to\infty$）几乎肯定等于一个数？本文给出了以下部分结果：$K_5\setminus e$的随机提升的色数渐近几乎必然为3。
2011-07-31 math.CO
One-point concentration of the clique and chromatic numbers of the random Cayley graph on F_2^n
Green证明了存在常数$C_1,C_2>0$使得$\mathbb{F}_2^n$上的随机Cayley图的团数$ω$满足$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(C_1n\log n < ω< C_2n\log n)=1$ .在本文中，我们找到了最好的可能的$C_1$和$C_2$。此外，我们证明了对于密度集$1$中的$n$，团数实际上集中在一个值上。作为这些结果的一个简单结果，我们还证明了色数的一点集中结果，从而证明了Bollobás著名猜想的$\mathbb{F}_2^n$类似物，并对Green的问题给出了几乎完整的答案。
2015-10-20 math.CO
The difference between the chromatic and the cochromatic number of a random graph
针对Erdős和Gimbel提出的随机图G∼Gₙ,1/2中χ(G)-ζ(G)是否whp趋于无穷的问题，我们对约95%的n值给出正面答案，解决了Erdős悬赏的问题。
2025-02-19 math.CO
The Acyclic Chromatic Index is Less than the Double of the Max Degree
图$G$的非圈色指数是指使图的所有圈都不是双色的所需的最少颜色数。在这项工作中，我们表明，$2Δ-1$颜色是足以产生这样的着色，其中$Δ$是最大程度的图。与大多数现存的色指数随机算法方法相比，其中算法预先假设足够的颜色以确定性地保证适当性，并且仅使用随机性来处理双色圈，我们的随机Moser型算法以结构化的方式产生不一定适当的随机着色，试图避免其相同奇偶性的边缘是单色的圈，只有当这个目标达到时，它才检查是否合适。它不断重复，直到达到适当。
2022-01-30 math.CO
Sharp concentration of the equitable chromatic number of dense random graphs
图$G$的均匀着色是$G$的顶点的着色，使得没有两个相邻的顶点被着色为相同的，并且另外，颜色类大小最多相差$G$。公平的色数$χ_=(G)$是为此所需的最小颜色数。研究了稠密随机图$G(n,m)$的均匀色数，其中$m = \left\lfloor p {n \choose 2} \right \rfloor $和$0<p< 0.86$是常数.这是一个众所周知的问题Bollobás是否为$p=1/2$有一个功能$f(n) \rightarrow \infty$，使任何序列的间隔长度$f(n)$，正常的色数的$G(n,m)$在于以外的间隔概率至少$1/2$，如果$n$是足够大。Bollobás提出，这很可能适用于$f(n) = \log n$。我们证明了对于\emph{equitable}色数，类似问题的答案是否定的。事实上，存在整数的子序列$(n_j)_{j}$，其中$χ_=(G(n_j,m_j)) = n/j$具有高概率，即，$χ_=(G(n_j,m_j))$集中在一个明确已知的值上。这构成了令人惊讶的窄浓度，因为在这个范围内，公平的色数，像正常的色数一样，在绝对值上相当大，即渐近地等于$n / (2\log_b n)$，其中$b=1/(1-p)$。
2017-12-20 math.CO
The chromatic number of dense random graphs
图$G$的色数$χ(G)$被定义为顶点着色所需的最小颜色数，其中没有两个邻顶点被着色相同。稠密随机图$p \in (0,1)$为常数的$G \sim G(n,p)$的色数自20世纪70年代以来得到了广泛的研究，1987年Bollobás的一个里程碑式的结果首次建立了$χ(G)$的渐近值.尽管对该结果进行了几次改进，但$χ(G)$的确切值仍然是开放的。本文建立了$χ(G)$新的上、下界。这些边界是第一个相互匹配的分母中的大小为$o(1)$的项：它们将$G \sim G(n,p)$的着色率$n/χ(G)$缩小到长度为$o(1)$的显式区间，回答了Kang和McDiarmid的问题。
2017-12-20 math.CO
The set chromatic number of random graphs
本文研究了随机图$p=p(n)$的$G(n,p)$的色数集色数.我们发现，集色数，作为$p$的函数，形成一个有趣的锯齿形。
2015-02-04 math.CO math.PR
On the Quantum Chromatic Gap
本文提出Khot的d对1博弈猜想的量子伪心灵感应版本，证明若其成立则量子与经典色数差距无界，并给出两个独立技术结果。
2025-03-29 cs.CC cs.LO math.CO
Chromatic thresholds in dense random graphs
图$H$相对于随机图$G(n,p)$的色阈值$δ_χ(H,p)$是$d > 0$上的下确界，使得以下条件高概率成立：具有最小度$δ(G) \ge dpn$的无$H$图族$G \subset G(n,p)$具有有界色数.参数$δ_χ(H) := δ_χ(H,1)$的研究始于1973年，由Erdens和Simonovits提出，并于最近确定了所有图的$H$。在本文中，我们表明，$δ_χ(H,p) = δ_χ(H)$为所有固定的$p \in (0,1)$，但通常$δ_χ(H,p) \ne δ_χ(H)$，如果$p = o(1)$。我们也取得了重大进展，确定$δ_χ(H,p)$的范围内$p = n^{-o(1)}$的所有图形$H$。在稀疏随机图的问题是有点复杂，并在一个单独的文件中研究。
2016-08-11 math.CO
The Edge-Distinguishing Game
该研究提出图着色博弈 EDGe，以边区分色数界定玩家行动，并判定特定图与图族中的获胜方，同时结合博弈论和 Game of Cycles 的既有计算成果。
2025-08-28 math.CO
The coloring game on matroids
若相同颜色的元素构成一个独立集，则拟阵的基集的着色是真的。对于一个无环拟阵$M$，它的色数$χ(M)$是一个真染色中的最小颜色数。在本说明中，我们研究了这个参数的博弈论变体。假设Alice和Bob使用固定的颜色集合交替地正确地给拟阵$M$的基集着色。当整个拟阵都被着色，或者它们到达一个不能进一步适当扩展的部分着色时，博弈结束。爱丽丝在第一种情况下获胜，而鲍勃在第二种情况下获胜。$M$的博弈色数，记作$χ_{g}(M)$，是Alice有获胜策略的颜色集合的最小大小。很明显，是$χ_{g}(M)\geqχ(M)$。我们证明了每个拟阵$M$的上界$χ_{g}(M)\leq 2χ(M)$。这改进和扩展了Bartnicki，Grytczuk和Kierstead的结果，他们证明了$χ_{g}(M)\leq 3χ(M)$对图形拟阵成立。我们的界几乎是紧的，因为我们构造了一个满足$χ(M_k)=k$和$χ_{g}(M_k)=2k-1$的拟阵族$M_k$（对于$k\geq 3$）。
2014-12-26 math.CO
Total Game Coloring of Graphs
考虑了著名的图着色对策的全变式。本文给出了几类图的全对策色数的精确值，并给出了先局者获胜的策略。并给出了对策的总色数与对策的色指数之间的关系。
2012-10-29 cs.DM math.CO
Eigenvalue bounds for the quantum chromatic number of graph powers
本文定义了图的量子k-距离色数，并证明三个经典的k-距离色数特征值界在量子情形下同样成立，由此确定了更多使量子参数与经典参数相等的图类。
2025-03-04 math.CO
On the majority game chromatic number of forests and other graphs
Indian Institute of Technology Jodhpur（印度技术学院乔德普尔分校）；Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究多数着色博弈的色数，证明无环图（最大度≤4）的多数博弈色数≤3，路径、星图、完全图≤2，并证明预着色扩展问题及其博弈版本分别为NP完全和PSPACE完全。
2026-10-07 cs.DM math.CO
Colouring games based on autotopisms of Latin hyper-rectangles
Hamming图的每一个部分着色都与一个部分拉丁超矩形唯一相关。在本文中，我们介绍了$Θ$ -稳定的$(a,b)$ -着色游戏的汉明图，一个变种的$(a,b)$ -着色游戏，使每一步必须尊重一个给定的自同构$Θ$的部分拉丁超矩形。我们通过它的色数来研究这个变体的复杂性。我们特别关注的二维情况下，游戏是在两个完全图的笛卡儿积，也对超立方体的情况下。
2017-07-02 math.CO
On the chromatic number of a random hypergraph
考虑了具有$n$顶点和$cn$边的随机$r$ -均匀超图的$k$ -着色问题，其中当$n$趋于无穷大时，$k$，$r$，$c$保持不变. Achlioptas和Naor表明，色数的随机图在这种情况下，$r=2$，必须有两个容易计算的值之一，因为$n$趋于无穷大。我们给出了一个完整的推广随机一致超图的结果。
2015-01-04 cs.DM math.CO
The Distant-l Chromatic Number of Random Geometric Graphs
随机几何图$G_n$是通过在公共有界概率分布下独立地选取$\mathbb{R}^d$中的$n$顶点而得到的，其中两个顶点相邻当且仅当它们的$l^p$ -距离至多为$r_n$ .我们研究了$l\ge1$的$G_n$的远- $l$色数$χ_l(G_n)$.在几乎处处收敛的意义下，给出了$χ_l(G_n)$与色数$χ(G_n)$之比的完整图象.
2009-09-21 math.CO math.PR
Lower bounds on the chromatic number of random graphs
我们证明了一个公式预测的基础上非严格的物理参数[Zdeborova和Krzakala：物理修订版E（2007）]提供了一个下界的色数的稀疏随机图。证明是基于数学物理中的插值方法。在随机正则图的情况下，下界可以用代数表示，而在二项式随机的情况下，我们得到一个变分公式。作为应用，我们计算了随机图的小（平均）度的色数的改进的显式下界。此外，展示了如何从这些新结果中轻松地重新推导出以前通过冗长而复杂的组合参数获得的大度数的渐近公式。
2021-10-19 cs.DM math.CO
Expected Chromatic Number of Random Subgraphs
给定图$G$和$p \in [0,1]$，设$G_p$表示通过以概率$p$保持每条边独立而获得的$G$的随机子图。Alon、Krivelevich和Sudokov证明了$\mathbb{E} [χ(G_p)] \geq C_p \frac{χ(G)}{\log |V(G)|}$，Bukh则证明了$\mathbb{E}[χ(G_p)] \geq C_p \frac{χ(G)}{\log χ(G)}$的改进。证明了$\mathbb{E}[χ(G_p)]$的一个新的谱下界，作为对Bukh猜想的一个进展.我们还提出了一个更强的猜想：对于任何固定的$p \leq 1/2$，在所有固定色数的图中，$\mathbb{E}[χ(G_p)]$被完全图最小化。当$G$是平面或$χ(G) < 4$时，我们证明了这个更强的猜想.我们还考虑较弱的下限$\mathbb{E}[χ(G_p)]$提出的Shinkar在最近的一篇论文中，我们回答了两个开放的问题，Shinkar否定，并提出了一个可能的改进。
2018-11-05 math.CO
Conflict-free coloring of graphs
从极值和概率的角度研究了图的无冲突色数chi_{CF}。本文解决了Pach和Tardos关于n-顶点图的最大无冲突色数的问题。我们的构造是随机的。在此基础上，我们研究了Erdens-Rényi随机图G（n，p）的无冲突色数的演化，并给出了p=omega（1/n）的渐近性.我们还表明，对于p \geq 1/2的无冲突的色数不同于控制数最多3。
2013-09-19 math.CO
