A note on the packing chromatic number of lexicographic products
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得存在$G$的$k$ -顶点染色，其中任何两个接收颜色$i$的顶点的距离至少为$i+1$ .本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的填充色数的上、下界.这两个界限在许多情况下是一致的。特别地，如果$|V(H)|-α(H)\geq {\rm diam}(G)-1$，则会发生这种情况，其中$α(G)$表示$G$的独立数。
2019-09-25 math.CO
Subdivision into i-packings and S-packing chromatic number of some lattices
图$G$中的一个$i$ -填充是一组成对距离大于$i$的顶点。对于非减整数序列$S=(s\_{1},s\_{2},\ldots)$，图$G$的$S$ -填充色数是最小整数$k$，使得存在$G$到$k$颜色的着色，其中每个着色$i$的顶点集，$i=1,\ldots, k$，是一个$s\_i$ -填充.本文描述了六角格、正方格和三角格的$i$ -填充到$j$ -填充（$j\textgreater{}i$）的各种细分.这些结果使我们能够对这些图的$S$ -填充色数进行限定，对序列$S=(s\_{i}, i\in\mathbb{N}^{*})$，$s\_{i}=d+ \lfloor (i-1)/n \rfloor$具有更精确的限定和精确值.
2015-05-28 cs.DM math.CO
Packing chromatic number of unitary Cayley graphs of $\Bbb Z_n$ and algorithmic approaches to it
本文研究 $\mathbb{Z}_n$ 酉 Cayley 图的填充色数，给出其计算结果，并提出两种元启发式算法用于求解该色数。
2025-05-09 math.CO
On the packing coloring of base-3 Sierpiński and $H$ graphs
对于非减整数序列$S=(s_1, s_2, \ldots)$，图$G$的$S$ -填充$k$ -染色是从$V(G)$到$\{1, 2,\ldots,k\}$的映射，使得具有颜色$i$的顶点的成对距离大于$s_i$ .通过设置$s_i = d + \lfloor \frac{i-1}{n} \rfloor$，我们得到了图$G$的一个$(d,n)$ -填充染色. $G$的$(d,n)$ -填充染色存在的最小整数$k$称为$G$的$(d,n)$ -填充色数。在$d$和$n$都等于1的特殊情况下，我们称之为$G$的填充色数。给出了基3 Sierpienski图$S_k$的填充色数，并给出了这类图的$(d,n)$ -填充色数$d \le 2$的新结果.利用一个动态算法，我们建立了$H$ -图$H(r)$的填充色数.
2019-09-18 math.CO
A characterization of $4$-$χ_ρ$-(vertex-)critical graphs
给定一个图$G$，一个函数$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$具有性质：$c(u)=c(v)=i$蕴涵$u$和$v$之间的距离大于$i$，称为$G$的$k$ -填充染色.存在$G$的$k$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ$ .填充色顶点-临界图是指$G$的每个顶点$x$都有$χ_ρ(G-x) < χ_ρ(G)$成立的图.一个图$G$称为填充色临界图，如果对$G$的每个真子图$H$，都有$χ_ρ(H) < χ_ρ(G)$ .这两个关于填充色数的临界图的变化已经被研究过了。所有的填充色（顶点）临界图$G$与$χ_ρ(G)=3$的特征，而只有部分结果已知的图$G$与$χ_ρ(G)=4$。本文给出了所有填充色顶点-临界图$G$与$χ_ρ(G)=4$以及所有填充色临界图$G$与$χ_ρ(G)=4$的刻画.
2021-03-19 math.CO
Contact graphs of ball packings
闭球填充的接触图是以球为顶点，切球对为边的图。我们证明了在$\mathbb{R}^3$中球的堆积（可能具有不同的半径）的接触图的平均度不大于$13.92$。我们还发现了新的上界的平均度接触图在$\mathbb{R}^4$和$\mathbb{R}^5$。
2021-07-20 math.CO math.MG
On Sierpiński packing chromatic number and recognition of Sierpiński products
本文定义并研究了Sierpiński积图的堆积染色数及其上界，确定了完全图因子的情形，并证明路径或星因子的情形下染色数为3，且可多项式时间识别树因子表示。
2025-07-09 math.CO
Packing coloring of graphs with long paths
本文研究含长路径的图的填充着色问题，引入路径对齐图积证明其多类子族填充色数有常数上界，刻画了填充色数不超过3的毛虫图结构并提出公开问题。
2025-11-16 math.CO
On the packing chromatic number of Moore graphs
图$G$的\emph{packing chromatic number $χ_ρ(G)$}是最小整数$k$，对于该最小整数，存在顶点着色$Γ: V(G)\rightarrow \{1,2,\dots , k\}$，使得颜色$i$的任何两个顶点的距离至少为$i + 1$。对于$g\in \{6,8,12\}$，$(q+1,g)$ -Moore图是围长为$g$的$(q+1)$ -正则图，它是阶为$q$的对称广义$g/2$ -图的关联图.本文研究了$(q+1,g)$ -Moore图$G$的填充色数.对于$g=6$，我们给出了$χ_ρ(G)$的精确值。对于$g=8$，我们确定$χ_ρ(G)$在广义四边形的某些结构的交叉方面。对于$g=12$，当$q\ge 9$是奇素数幂时，我们给出了这个不变量的上下界。
2019-09-25 math.CO
Graphs that are critical for the packing chromatic number
给定一个图$G$，一个着色$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$使得$c(u)=c(v)=i$暗示顶点$u$和$v$的距离大于$i$，称为$G$的填充着色。$G$的填充着色中的最小颜色数称为$G$的填充色数，并且用$χ_ρ(G)$表示。本文研究了$χ_ρ$ -临界图，即对$G$的任意真子图$H$，$χ_ρ(H)<χ_ρ(G)$ .我们刻画了直径为2的$χ_ρ$ -临界图和直径为3的$χ_ρ$ -临界块图.此外，我们还刻画了具有小填充色数的$χ_ρ$ -临界图，并考虑了$χ_ρ$ -临界树。此外，我们证明了对于任何具有$e\in E(G)$的图$G$，我们都有$(χ_ρ(G)+1)/2\le χ_ρ(G-e)\le χ_ρ(G)$，并给出了相应的实现结果，表明$χ_ρ(G-e)$可以实现界之间的任何整数。
2019-04-23 math.CO
The packing chromatic number of the infinite square lattice is between 13 and 15
在部分已知解的基础上使用SAT求解器，我们将无限正方形格的填充色数的上界从17提高到15。我们讨论了SAT解决这类问题的优点，以及比较不同的编码的性能。此外，我们再次使用SAT求解器将下限从12提高到13，证明了该技术在我们方法中的多功能性。
2017-01-25 cs.DM math.CO
Apollonian Ball Packings and Stacked Polytopes
本文研究了维数为$d\ge 3$的Apollonian $d$ -球填充与堆叠$(d+1)$ -多面体之间的关系.对于$d=3$，我们证明了堆叠的$4$ -多面体的$1$ -骨架是阿波罗$3$ -球填充的切线图当且仅当没有六个$4$ -团共享一个$3$ -团.对于高维情形，我们得到了一些部分结果。
2013-12-23 math.CO math.MG
Packing coloring of Sierpiński-type graphs
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是使$G$的顶点集可划分为集合$V_i$，$i\in \{1,\ldots,k\}$的最小整数$k$，其中每个$V_i$是$i$ -填充.本文研究了几类Sierpienski型图的填充色数。虽然它是已知的，这个数字是有界的$8$在家庭的Sierpienski图与基地$3$，我们证明了它是无界的Sierpienski图的家庭与基地大于$3$。另一方面，我们证明了Sierpienski三角图族$ST^n_3$的填充色数由$31$上有界.此外，我们建立或提供的包装色数的广义Sierpienski图$S^n_G$关于所有连通图$G$阶4。
2017-11-10 math.CO
Packing chromatic number, $(1,1,2,2)$-colorings, and characterizing the Petersen graph
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是使$G$的顶点集可划分为集合$Π_1,\ldots,Π_k$的最小整数$k$，其中$Π_i$，$i\in [k]$是$i$ -填充.提出并研究了如下猜想：若$G$是次三次图，则有$χ_ρ(S(G))\le 5$，其中$S(G)$是$G$的细分.对所有广义圈棱柱证明了该猜想。为了得到这个结果，证明了：如果$G$是圈的广义棱柱，则$G$是$(1,1,2,2)$ -可着色的当且仅当$G$不是Petersen图.对于由广义棱柱得到的图，如果广义棱柱的边集中的两个$n$ -圈中的一个被至多有一个是5-圈的圈的并集所取代，则进一步证明了猜想的正确性.本文还讨论了图的每一条边按固定次数细分所得到的图的填充色数。
2016-08-19 math.CO
Packing chromatic number of subdivisions of cubic graphs
图$G$的包装$k$ -着色是将$V(G)$划分为集合$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$1\leq i\leq k$，任何两个不同的$x,y\in V_i$之间的距离至少为$i+1$。图$G$的填充色数，$χ_p(G)$，是使$G$有填充$k$ -染色的最小$k$.对于图$G$，设$D(G)$表示由$G$通过细分每条边而获得的图。关于次三次图类$G$上的$χ_p(G)$和$χ_p(D(G))$的最大值的问题出现在几篇论文中。Gastineau和Togni问是否$χ_p(D(G))\leq 5$对任何亚立方$G$，后来Bresar，Klavzar，Rall和Wash澄清了这一点，但没有上限被证明。最近作者证明了$χ_p(G)$在次三次图类$G$中是无界的.相反，在本文中，我们证明了$χ_p(D(G))$在这个类中是有界的，并且不超过$8$。
2018-10-08 math.CO
Packing Chromatic Number of Distance Graphs
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$k$，使得$G$的顶点可以被划分为不相交的类$X_1, ..., X_k$，其中$X_i$中的顶点的两两距离大于$i$。本文研究了无限距离图$G(Z, D)$的填充色数，即以整数集合$Z$为顶点集，且两个不同顶点$i, j \in Z$相邻的图当且仅当$|i - j| \in D$ .本文主要研究具有$D = \{1, t\}$的距离图。我们改进了Togni等人的一些结果。证明了对于足够大的奇数$t$，有$χ_ρ(G(Z, D)) \leq 35$;对于足够大的偶数$t$，有$χ_ρ(G(Z, D)) \leq 56$.我们还给出了$t \geq 9$的一个下界12，并用小$t$收紧了$χ_ρ(G(Z, D))$的几个间隙。
2011-05-27 cs.DM math.CO
New lower bound on ball packing density in high-dimensional hyperbolic spaces
本文通过应用稀疏邻域图中独立集的最新定理，提出了m维双曲空间中半径为R的球填充Bowen-Radin最大密度的新下界，在m趋于无穷大时相比基本覆盖界改进了Ω(m(R+ln m))倍。
2024-09-26 math.CO math.MG
Generalizations of the Tree Packing Conjecture
Gyárfás树填充猜想断言，任何具有$2,3, ..., k$顶点的树的集合在$k$顶点上都有（边不相交的）填充到完全图中。Gyárfás和Lehel证明了该猜想在某些特殊情况下成立。我们解决的问题包装树成$k$ -色图。特别是，我们证明了，如果所有的树，但三个明星，然后他们有包装成任何$k$ -色图。我们也考虑其他几个推广的猜想。
2011-10-21 math.CO
Packing coloring of generalized Sierpinski graphs
本文研究广义Sierpiński图的堆积色数，确定了当基图为路径、圈或四阶连通图时的精确值，并证明Sierpiński三角图族$ST_4^n$的堆积色数不超过20。
2019-02-07 math.CO
Packing colouring of some classes of cubic graphs
图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）是使其顶点集V（G）可划分为k个不相交子集V1，. ..，V k，使得对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k，V i中的每两个不同顶点在G中的距离大于i。最近，Balogh，Kostochka和Liu证明了$χ$ $ρ$在次三次图类中没有界[Packing chromatic number of subcubic graphs，Discrete Math.341（2018），474483]，从而回答了以前在几篇论文中提出的问题。然而，三次图或次三次图的几个子类具有有界填充色数。在本文中，我们确定的确切值，或上，下界，包装色数的某些类别的三次图，即圆梯，所谓的H-图和广义H-图。
2018-08-14 cs.DM math.CO
Spectral bounds for distance coloring and packing parameters of graphs via semidefinite programming
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Harbin Engineering University（哈尔滨工程大学）
利用谱图论和半定规划方法，获得了与距离染色和打包相关的几个图参数的尖锐谱界，包括内射色数、开打包数、内射色指数和强色指数，并应用于超立方体的码覆盖数和开打包数，得到新的精确值和加强界。
2026-06-03 math.CO
On the maximum size packings of disks with kissing radius 3
拉斯洛·费杰斯·托特和阿拉达·赫普斯提出了以下接吻数问题的推广。给定$\mathbb{R}^d$中的一个球，考虑一个球族与它接触，另一个球族与第一个球族接触。求出在这个排列中球的最大可能个数，条件是没有两个球相交于内部，并且所有球全等。他们表明，飞机上的磁盘的答案是$19$。他们还解释说，如果有三个家庭的磁盘，而不是两个，答案是$37$。本文证实了这一猜想。
2022-05-31 math.CO math.MG
$S$-packing colorings of distance graphs $G(\mathbb{Z},\{2,t\})$
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(a_1,a_2,\ldots)$，如果对于任何不同的顶点$u,v\in V(G)$和$f(u)=f(v)=i$，$G$中$u$和$v$之间的距离大于$a_i$，则映射$f:V(G) \rightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -packing $k$ -染色.使得$G$具有$S$ -填充$k$ -着色的最小$k$是$G$的$S$ -填充色数$χ_S(G)$.本文考虑距离图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$，其中$t>1$是以$\mathbb{Z}$为顶点集的奇数，如果$|i-j|\in\{2,t\}$与$i,j\in\mathbb{Z}$相邻.我们确定了图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$的$S$ -填充色数，其中$S$是任意序列，对所有的$i$，其值都是$a_i\in\{1,2\}$.此外，我们给出了距离图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$的$d$ -距离色数的上下界，在$d\ge t-3$的情况下给出了精确的值。讨论了循环图的$S$ -填充色数的意义.
2020-05-21 math.CO
Grundy Packing Coloring of Graphs
本文提出图的 Grundy 填充色数 Γ_ρ(G)，用贪心多项式算法的最大着色值定义它，并研究其性质、复杂性、界与精确值。
2025-03-19 math.CO
On Packing Colorings of Distance Graphs
图$G$的{ \em填充色数} $χ_ρ(G)$是存在从$V(G)$到$\{1,2,\ldots ,k\}$的映射$f$使得颜色$i$的任意两个顶点的距离至少为$i+1$的最小整数$k$。研究了无限距离图$G(\mathbb{Z},D)$的填充色数，即以整数集合$\mathbb{Z}$为顶点集的图，两个不同顶点$i,j\in \mathbb{Z}$相邻当且仅当$|i-j|\in D$ .我们目前的上下界$χ_ρ(G(\mathbb{Z},D))$，显示有限的$D$，包装色数是有限的。我们的主要结果涉及距离图与$D=\{1,t\}$，我们证明了一些上界的包装色数，较小的是$t\geq 447$：$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 40$，如果$t$是奇数和$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 81$，如果$t$是偶数。
2014-02-20 cs.DM math.CO
The Packing Coloring of Distance Graphs $D(k,t)$
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是最小整数$p$，使得$G$的顶点可以被划分为不相交的类$X_{1}, ..., X_{p}$，其中$X_{i}$中的顶点的两两距离大于$i$。对于$k < t$，我们研究了无限距离图$D(k, t)$的填充色数，即以整数集$\Z$为顶点集的图，其中两个不同的顶点$i, j \in \Z$相邻当且仅当$|i - j| \in \{k, t\}$ .我们推广了Ekstein等人关于图$D (1, t)$的结果。对于足够大的$t$，我们证明，$χ_ρ(D(k, t)) \leq 30$的$k$，$t$奇数，和$χ_ρ(D(k, t)) \leq 56$的$k$，$t$奇数的正好一个。我们也给出了小$k$和$t$的$χ_ρ(D(k, t))$的上界和下界。关键词：距离图;填充着色;填充色数
2013-02-04 math.CO
Induced odd cycle packing number, independent sets, and chromatic number
图$G$的导出奇圈包装数$iocp(G)$是最大整数$k$，使得$G$包含由$k$组成的导出子图.受几何图应用的启发，Bonamy et al.~ \cite{indoc}证明了具有有界诱导奇圈填充数、有界VC维数和线性独立数的图对于其独立数存在随机EPTAS.我们证明了VC维数有界的假设是不必要的，展示了一个随机算法，对于任何整数$k\ge 0$和$t\ge 1$和任何$n$ -顶点图$G$的诱导奇循环包装数最多$k$返回时间$O_{k,t}(n^{k+4})$一个独立的$G$的集合，其大小至少是$α(G)-n/t$与高概率。另外，我们给出了具有有界奇圈填充数的图的$χ$ -有界性结果，并利用这些结果设计了一个仅假设有界诱导奇圈填充数的独立数的QPTAS。
2021-11-12 cs.DM cs.DS math.CO
On the Packing Coloring Gap of Graphs
Gebze Technical University（盖布泽理工大学）
本文研究了图的打包着色间隙，定义为删除单个顶点导致打包着色数最大减少的值，重点分析了树结构，特别是毛毛虫图，并扩展到毛毛虫图与K1的冠操作，同时给出了具有不同间隙值的图示例。
2026-05-19 math.CO
Lorentzian Coxeter systems and Boyd-Maxwell ball packings
在最近的研究无限根系，球填充的分形图案观察到，而可视化的根在仿射空间。在本文中，我们表明，所观察到的分形正是由博伊德和麦克斯韦描述的球填充。这种对应是一个更基本的结果的推论：给定洛伦兹空间中的考克斯特群的几何表示，权的极限方向集等于极限根集。此外，我们使用Coxeter复合物来描述相应的Boyd-Maxwell球填料的切线图。最后，我们列举了所有的Coxeter系统，产生Boe-Maxwell球填料。
2021-09-30 math.CO math.GR math.MG
$S$-packing chromatic vertex-critical graphs
University of West Bohemia（西波希米亚大学）；University of Maribor（马里博尔大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
本文研究了 $S$-packing 色数顶点临界图的性质，刻画了 3-和 4-临界图，并探讨了树和毛毛虫图的临界性。
2020-01-25 math.CO
Packing Coloring of Undirected and Oriented Generalized Theta Graphs
本文研究了无向（或无向）图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）.定向）图G是最小整数k，使得它的顶点集V（G）可以被划分为k个不相交子集V1，...，V k，以这样的方式，即V i中的每两个不同的顶点都在距离（分别为）处。有向距离）大于i，对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k。广义θ图$Θ$ {\ell} 1，.，{\ell} p包括由p个$\ge$ 2内部顶点不相交路径连接的两个端顶点，所述路径具有各自的长度1 $\le$ {\ell} 1 $\le$。. . $\le$ {\ell} p.证明了任意无向广义theta图的填充色数介于3和max {5，n3 + 2}之间，其中n3 =|{i/1 $\le$ i $\le$ p，{\ell} i = 3}|这两个界限都很紧。然后，我们刻画了无向广义theta图的包装色数k为每个k $\ge$ 3。我们还证明了任何定向广义theta图的填充色数介于2和5之间，并且这两个界都是紧的。
2016-09-19 cs.DM math.CO
Packing and covering balls in graphs excluding a minor
证明了对任意整数$t\ge 1$，存在一个常数$c_t$，使得对任意$K_t$ -minor-free图$G$，以及$G$中球的集合$S$，$G$中与$S$中所有球相交的顶点集的最小尺寸至多是$c_t$乘以$S$中顶点不相交球的最大数目.这是由Chepoi，Estellon和Vaxès在2007年在可平面图和具有相同半径的球的特殊情况下证明的。
2020-07-28 cs.DM math.CO math.MG
Packing coloring of hypercubes with extended Hamming codes
本文利用扩展汉明码递归构造远距离顶点集，改进了超立方体打包色数的上界，并否定了关于笛卡尔积打包着色的问题。
2023-12-22 cs.DM math.CO
Number of vertices in graphs with locally small chromatic number and large chromatic number
讨论了一个具有大色数的图的最小顶点数，使得其中每个固定半径的球都具有小的色数。本文证明了：对于每个在$\sim((n+rc)/(c+rc))^{r+1}$顶点上的图$G$，使得每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，我们有$χ(G)\leq n$ .
2014-01-31 math.CO
Packing colorings of subcubic outerplanar graphs
给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(s_1,\ldots,s_k)$，如果对$c^{-1}(i)$中任意两个不同的顶点$x$和$y$，$x$和$y$之间的距离大于$s_i$，则称这个映射$c:V(G)\longrightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -填充染色.使图$G$存在$(1,2,\ldots,k)$ -填充染色的最小整数$k$称为$G$的填充色数，记为$χ_ρ(G)$。问题的有界性的包装色数类的次三次（平面）图进行了研究，在几个较早的文件，最近它被确定为不变量是无界的类的所有次三次图。本文证明了任何2-连通二部次立方外平面图的填充色数都是$7$有界的。进一步证明了每个次三次无三角形外平面图都有$(1,2,2,2)$ -填充染色，并且存在一个次三次无三角形外平面图不允许有$(1,2,2,2)$ -填充染色.此外，还存在一个不允许$(1,2,2,3)$ -填充染色的次立方无三角形外平面图.对于二部外平面图，我们给出了一个类似的二分法：每个这样的图都允许$S=(1,3,\ldots,3)$的$S$ -填充染色，其中$3$出现$Δ$次（$Δ$是顶点的最大度），并且如果序列$S$中的一个整数$3$被$4$替换，则这个性质不成立。
2020-04-11 math.CO
S-packing chromatic critical graphs
本文引入并构造了S-填充染色临界图，刻画了临界圈，并证明了删除一条边后染色数至少减半（某些情形可改进），同时讨论界的紧性并补充了顶点临界图的相关结果。
2025-05-23 math.CO
S-packing chromatic critical paths and cycles
Ege University（伊兹密尔爱琴海大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Gebze Technical University（格布泽理工大学）
本文确定了每条路径的S-打包着色数，并识别了对应的临界路径和顶点临界路径。同时，扩展了关于S-打包临界环的先前结果，给出了完整的特征化。
2026-04-02 math.CO
The number of touching pairs of congruent sphere packings in Euclidean 3-space
本文研究三维空间中n个全等球堆积的最大接触数c(n)，证明其极小刚性，确定n=6至9时的精确值，并给出一般下界及面心立方晶格情形下的上界与渐近公式。
2026-09-28 math.CO math.MG
Notes on complexity of packing coloring
图$G=(V,E)$的某个整数$k$的填充$k$ -染色是一个映射$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$，使得颜色为$φ(u)=φ(v)$的任何两个顶点$u, v$的距离至少为$φ(u)+1$。这个概念是由频率分配问题激发的。$G$的\emph{packing chromatic number}是最小的$k$，使得存在$G$的填充$k$ -着色. Fiala和Golovach表明，确定弦图的填充色数是\NP -完全的直径正好为5。虽然这个问题很容易解决直径2，我们显示\NP -完整的任何直径至少3。我们的约化还表明，对于任何$\varepsilon > 0$，填充色数都很难在$n^{{1/2}-\varepsilon}$内近似。此外，我们设计了一个有界直径区间图的\FPT算法。这导致我们探索的问题，找到一个部分着色，最大限度地增加着色顶点的数量。
2017-12-22 cs.CC cs.DM math.CO
A Short Proof that the List Packing Number of any Graph is Well Defined
列表打包是Cambie等人在2021年提出的概念。图$G$的列表堆积数，记为$χ_{\ell}^*(G)$，是最小的$k$，使得对于将$k$颜色分配给$G$的每个顶点的任何列表分配$L$，存在$G$的$k$真$L$ -着色的集合，$\{f_1, \ldots, f_k \}$，具有性质$f_i(v) \neq f_j(v)$，无论何时$1 \leq i < j \leq k$和$v \in V(G)$。本文给出了一个简短的证明，证明了对任意图$G$，$χ_{\ell}^*(G) \leq |V(G)|$ .有趣的是，我们的证明利用了Galvin的著名结果，即任何二部多重图的线图的列表色数等于它的色数。
2022-09-16 math.CO
The Packing Chromatic Number of the Infinite Square Grid is 15
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
该研究提出新型命题编码与对称性破缺方法，将相关方法性能提升两个数量级，证明了无限方格网格的填充色数为15，解决了自2002年以来的开放问题。
2025-06-12 cs.AI cs.DM math.CO
Even More Infinite Ball Packings from Lorentzian Root Systems
Boyd（1974）提出了一类由反演生成的无限球填充。后来，麦克斯韦（1983）用洛伦兹空间中的根系解释了博伊德的构造。特别地，他证明了类空权向量对应于球填充当且仅当相关的Coxeter图是“水平$2$”。在麦克斯韦的工作中，单根形成了考克斯特群的表示空间的基础。在最近的几项研究中，考虑了更一般的根系，其中单根仅要求是正独立的。本文提出了一个几何形式的“层次”的根系，以取代麦克斯韦的图论“层次”。“然后我们证明麦克斯韦的结果自然地扩展到更一般的具有正独立单根的根系。特别是，空间样的极端射线的山雀锥对应于一个球包装当且仅当根系是$2$的水平。我们还提出了一个部分分类的水平$2$根系，即考克斯特$d$ -多面体的水平$2$与$d+2$方面。
2015-09-21 math.CO math.GR math.MG
Toric symplectic ball packing
我们定义和解决复曲面版本的辛球包装问题，在这个意义上列出所有2n维辛复曲面流形，承认一个完美的包装球嵌入在一个辛和环面等变的方式。为了做到这一点，我们首先描述了一个问题，在几何组合，这是相当于复曲面辛球包装问题。然后，我们解决这个问题，使用参数从凸几何和Delzant理论。最后给出了它在辛爆破中的应用，并提出了一些进一步的问题。
2007-04-08 math.CO math.SG
Ball packings for links
本文证明链环的球数不超过其交叉数的5倍，利用洛伦兹几何与Koebe-Andreev-Thurston圆堆积定理，并给出三维空间中显式构造项链表示的算法。
2021-04-02 math.CO math.GT
Maximal ball packings of symplectic-toric manifolds
设M是至少四维的辛复曲面流形。本文研究了环面等变情形下的辛球填充问题。我们证明了M的复曲面辛球填充集具有凸多胞体的结构。第一作者以前的工作表明，在等价条件下，当n=2时，只有CP ^1 x CP ^1和CP ^2允许密度为1的填充，当n>2时，只有CP^n允许密度为1的填充。相反，我们证明了对于固定的n>=2和（0，1）中的每个r，存在不可数的不等价的2n维辛复曲面流形，其最大复曲面填充密度为r。这一结果如下从一般的分析，如何密度的最大填装的变化，而不同的一个给定的辛复曲面流形通过一个家庭的辛复曲面流形是equivalently symplectomorphic，但不是equivalently symplectomorphic。
2007-04-26 math.CO math.SG
Examples of topologically highly chromatic graphs with locally small chromatic number
Kierstead，Szemerédi和Trotter证明了一个图有至多个$\lfloor r/(2n)\rfloor^n$顶点，使得其中每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，该图应该有至多色数$n(c-1)+1$。我们表明，这一估计是尖锐的$r$。也就是说，对于每一个$n$，$r$，和$c$，我们构造一个图$G$包含$O((2rc)^{n-1}c)$顶点，使得$χ(G)\geq n(c-1)+1$，虽然每个球的半径$r$在$G$是$c$ -着色。其核心思想是构造一个图，其邻域复形同伦等价于两个给定图的邻域复形之并。
2013-12-22 math.CO
Packing chromatic vertex-critical graphs
本文引入打包染色顶点临界图（$χ_ρ$-临界图），刻画了3-和4-临界图，证明任意$k\ge2$存在$k$-临界树，$k$-临界毛毛虫当且仅当$k\le7$，并给出笛卡尔积为临界图的充分条件。
2019-02-12 math.CO
Exponential improvements for superball packing upper bounds
我们证明了对于所有固定的$p > 2$，$\mathbb{R}^n$中单位$\ell_p$ -球的平移堆积密度至多为$2^{(γ_p + o(1))n}$与$γ_p < - 1/p$ .这是自van der Corput和Schaake（1936）以来高维数的首次指数改进。
2020-02-13 math.CO math.MG
The $S$-packing coloring of the infinite diagonal grid with $S = (1,6,6,\ldots)$
本文证明了无限对角网格在序列 $S=(1,6,6,\ldots)$ 下的 $S$-packing 色数为 40，从而证实了第一作者与 Tiyajamorn 提出的猜想。
2025-09-20 math.CO
On Lattice Packings and Coverings of Asymmetric Limited-Magnitude Balls
对于有限误差信道，我们构造了整数纠错码和覆盖码。代码是用适当的错误球填充或覆盖空间的网格。一些结构达到一个渐近的包装/覆盖密度是恒定的。结果是通过各种方法，包括使用代码的汉明度量，模块化$B_t$ -序列，$2$倍西顿集，避免算术级数。
2020-05-29 cs.IT math.CO math.IT
On asymptotic packing of convex geometric and ordered graphs
本文研究凸几何图与有序图的渐近填充问题，证明循环色数至多4的凸几何图及区间色数至多3的有序图均可填充，并说明该界最优。
2022-07-24 math.CO
On packing total coloring
Faculty of Education, University of Maribor（马里博尔大学教育学院）；Faculty of Computer and Information Science, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学计算机与信息科学学院）
本文引入了图着色的新概念——总打包着色，扩展了打包着色到图的顶点和边。研究了总打包着色数及其上下界，并从最大度数角度分析了不同图的总打包着色数。
2026-05-07 math.CO
Contacts in totally separable packings in the plane and in high dimensions
研究了$\mathbb{R}^d$中凸体$K$的平移的完全可分填充的接触结构，即任意两个接触体的分离超平面不与填充中任一平移的内部相交的填充. $K$的可分Hadwiger数$H_{\text{sep}}(K)$被定义为单个平移所触及的最大平移数，其中最大值取$K$的所有平移的完全可分包装。我们证明了对于每个$d\geq 8$，存在一个光滑的和严格凸的$K$在$\mathbb{R}^d$与$H_{\text{sep}}(K)>2d$，和渐近，$H_{\text{sep}}(K)=Ω\bigl((3/\sqrt{8})^d\bigr)$。我们表明，阿隆的包装的欧几里德单位球，使每个翻译接触至少$2^{\sqrt{d}}$他人时，$d$是一个权力的$4$，可以适应于给一个完全可分离的包装的$\ell_1$ -单位球的翻译具有相同的触摸属性。我们还考虑了任意平面凸体$K$的$n$平移的完全可分包装中接触对的最大数目。我们证明了最大值等于$\lfloor 2n-2\sqrt{n}\rfloor$当且仅当$K$是一个拟六边形，从而完成了确定这个值的所有平面凸体。
2022-01-31 math.CO math.MG
A Lower Bound on the Density of Sphere Packings via Graph Theory
利用图论方法，我们给出了一个新的证明，即对于所有足够大的$n$，存在密度至少为$cn2^{-n}$的$\R^n$中的球填充，超过经典Minkowski界的一个因子线性的$n$ .这符合一个常数最有名的下界的密度球包装由于罗杰斯，达文波特罗杰斯，和球。建议的方法使得有可能描述这样的包装与复杂性$\exp(n\log n)$，这是显着低于其他方法的点。
2004-02-09 math.CO math.MG
