On Packing Colorings of Distance Graphs
图$G$的{ \em填充色数} $χ_ρ(G)$是存在从$V(G)$到$\{1,2,\ldots ,k\}$的映射$f$使得颜色$i$的任意两个顶点的距离至少为$i+1$的最小整数$k$。研究了无限距离图$G(\mathbb{Z},D)$的填充色数，即以整数集合$\mathbb{Z}$为顶点集的图，两个不同顶点$i,j\in \mathbb{Z}$相邻当且仅当$|i-j|\in D$ .我们目前的上下界$χ_ρ(G(\mathbb{Z},D))$，显示有限的$D$，包装色数是有限的。我们的主要结果涉及距离图与$D=\{1,t\}$，我们证明了一些上界的包装色数，较小的是$t\geq 447$：$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 40$，如果$t$是奇数和$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 81$，如果$t$是偶数。
2014-02-20 cs.DM math.CO
Packing Coloring of Undirected and Oriented Generalized Theta Graphs
本文研究了无向（或无向）图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）.定向）图G是最小整数k，使得它的顶点集V（G）可以被划分为k个不相交子集V1，...，V k，以这样的方式，即V i中的每两个不同的顶点都在距离（分别为）处。有向距离）大于i，对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k。广义θ图$Θ$ {\ell} 1，.，{\ell} p包括由p个$\ge$ 2内部顶点不相交路径连接的两个端顶点，所述路径具有各自的长度1 $\le$ {\ell} 1 $\le$。. . $\le$ {\ell} p.证明了任意无向广义theta图的填充色数介于3和max {5，n3 + 2}之间，其中n3 =|{i/1 $\le$ i $\le$ p，{\ell} i = 3}|这两个界限都很紧。然后，我们刻画了无向广义theta图的包装色数k为每个k $\ge$ 3。我们还证明了任何定向广义theta图的填充色数介于2和5之间，并且这两个界都是紧的。
2016-09-19 cs.DM math.CO
Induced odd cycle packing number, independent sets, and chromatic number
图$G$的导出奇圈包装数$iocp(G)$是最大整数$k$，使得$G$包含由$k$组成的导出子图.受几何图应用的启发，Bonamy et al.~ \cite{indoc}证明了具有有界诱导奇圈填充数、有界VC维数和线性独立数的图对于其独立数存在随机EPTAS.我们证明了VC维数有界的假设是不必要的，展示了一个随机算法，对于任何整数$k\ge 0$和$t\ge 1$和任何$n$ -顶点图$G$的诱导奇循环包装数最多$k$返回时间$O_{k,t}(n^{k+4})$一个独立的$G$的集合，其大小至少是$α(G)-n/t$与高概率。另外，我们给出了具有有界奇圈填充数的图的$χ$ -有界性结果，并利用这些结果设计了一个仅假设有界诱导奇圈填充数的独立数的QPTAS。
2021-11-12 cs.DM cs.DS math.CO
On the Packing Chromatic Number on Hamming Graphs and General Graphs
图$G$的填充色数$χ_ρ(G)$是对图$G$的顶点进行适当着色所需的最小整数$k$，使得具有颜色$i$的任意两个顶点之间的距离至少为$i+1$。我们得到$χ_ρ(H_{q,m})$的$m=3$，其中$H_{q,m}$是汉明图的长度$m$和字母与$q$符号的话，并列出他们的界限为$m \geq 4$高达10000顶点。我们还给出了一个多项式约化的问题，寻找$χ_ρ(G)$的最大稳定集问题。
2015-10-19 cs.DM
Packing coloring of hypercubes with extended Hamming codes
本文利用扩展汉明码递归构造远距离顶点集，改进了超立方体打包色数的上界，并否定了关于笛卡尔积打包着色的问题。
2023-12-22 cs.DM math.CO
Notes on complexity of packing coloring
图$G=(V,E)$的某个整数$k$的填充$k$ -染色是一个映射$φ:V\to\{1,\ldots,k\}$，使得颜色为$φ(u)=φ(v)$的任何两个顶点$u, v$的距离至少为$φ(u)+1$。这个概念是由频率分配问题激发的。$G$的\emph{packing chromatic number}是最小的$k$，使得存在$G$的填充$k$ -着色. Fiala和Golovach表明，确定弦图的填充色数是\NP -完全的直径正好为5。虽然这个问题很容易解决直径2，我们显示\NP -完整的任何直径至少3。我们的约化还表明，对于任何$\varepsilon > 0$，填充色数都很难在$n^{{1/2}-\varepsilon}$内近似。此外，我们设计了一个有界直径区间图的\FPT算法。这导致我们探索的问题，找到一个部分着色，最大限度地增加着色顶点的数量。
2017-12-22 cs.CC cs.DM math.CO
Signified chromatic number of grids is at most 9
所指图是一对$(G, Σ)$，其中$G$是一个图，而$Σ$是一组用“$-$”标记的边。其他边缘标有“$+$”。所指图$(G, Σ)$的所指着色是到所指图$(H, Δ)$的同态。可指图$(G, Σ)$的可指色数是$H$的最小阶.本文证明了对于任意二维网格$(G, Σ)$，存在从$(G, Σ)$到符号Paley图$SP_9$的同态.因此，所指网格的所指色数至多为9。这改进了Bensmail最近得到的这个数的上界。
2019-09-01 cs.DM math.CO
Packing coloring of some undirected and oriented coronae graphs
图$G$的填充色数$\pcn(G)$是最小整数$k$，使得它的顶点集$V(G)$可以被划分为$k$不相交子集$V\_1$，\ldots，$V\_k$，以这种方式，对于每个$i$，$1\le i\le k$，$V\_i$中的每两个不同的顶点的距离大于$G$中的$i$。对于给定的整数$p \ge 1$，图$G$的广义冠$G\odot pK\_1$是通过将$p$度1邻居添加到$G$的每个顶点而从$G$获得的图。本文确定了路和圈的广义冠的填充色数。此外，通过考虑有向图和顶点间的（弱）有向距离，我们得到了填充染色概念在有向图上的自然推广。然后，我们确定了道路和圈的广义冕的方向的填充色数。
2015-06-24 cs.DM
$2\times n$ Grids have Unbounded Anagram-Free Chromatic Number
我们表明，Anagram自由顶点着色$2\times n$正方形网格需要一些颜色，增加与$n$。这回答了威尔逊的论文中的一个悬而未决的问题，并表明，即使是图的路径宽度$2$不具有任意色数的颜色。
2021-05-05 cs.DM math.CO
On the chromatic numbers of signed triangular and hexagonal grids
符号图是具有两种边的单图。切换有符号图的顶点$v$对应于将每个边的类型改变为$v$。从符号图$G$到另一符号图$H$的同态是映射$φ: V(G) \rightarrow V(H)$，使得在切换$G$的任意数量的顶点之后，$φ$将$G$的每条边映射到$H$中相同类型的边。符号图$G$的色数$χ_s(G)$是最小符号图$H$的阶，使得存在从$G$到$H$的同态。我们证明了符号三角形网格的色数至多为10，符号六边形网格的色数至多为4。
2020-12-17 cs.DM math.CO
Packing list-colourings
本文发起了对列表着色自然强化版本 list-packing 的研究，利用组合与概率方法为保证其存在的最小 k 设定了基于顶点数、退化度、最大度或列表色数的基本上界，并深入探讨了二部图情形及问题推广。
2023-03-03 cs.DM math.CO
The Incidence Chromatic Number of Toroidal Grids
图$G$中的关联是具有$v \in V(G)$和$e \in E(G)$的$(v,e)$对，使得$v$和$e$是关联的。如果$v=w$或$e=f$或边缘$vw$等于$e$或$f$，则两个发生点$(v,e)$和$(w,f)$相邻。$G$的关联色数是存在从$G$的关联集到将不同颜色分配给相邻关联集的$k$颜色集的映射的最小$k$。本文证明了当$m,n \equiv 0 \pmod 5$为零时，环形网格$T_{m,n}=C_m\Box C_n$的关联色数为5，否则为6.
2012-05-06 cs.DM
Coloring of the dth power of the face-centered cubic grid
面心立方网格是一个三维12正则无限网格。该图表示在三维空间中填充球体的最佳方式。在此网格中，顶点表示球体，边表示球体之间的接触。本文给出了面心立方网格的d次幂色数的上下界。特别地，在d = 2的情况下，我们证明了这个网格的色数是13。我们还确定了更清晰的界限d = 3和子图的面心立方网格。
2018-06-21 cs.DM math.CO
On r-dynamic Coloring of Grids
图$G$的一个\textit{$r$-dynamic $k$-coloring}是$G$的一个适当的$k$ -着色，使得$V(G)$中的每个顶点至少在$\min\{d(v),r\}$不同的颜色类中有邻居。图$G$的\textit{$r$-dynamic chromatic number}，记作$χ_r(G)$，是使$G$具有这种着色的最小$k$。证明了Jahanbekam，Kim，O和West的一个猜想，证明了当$m$.这就完成了对所有$r,m,n$的$m$ -by- $n$网格的$r$ -动态色数的确定.
2014-07-13 cs.DM math.CO
The arc chromatic number for Galois projective planes, affine planes and Euclidean grids
Institute of Mathematics, UNAM（墨西哥国立自治大学数学研究所）；Faculty of Sciences, UNAM（墨西哥国立自治大学理学院）
本文研究了Galois射影平面、仿射平面和欧几里得网格的弧色数问题，确定了不同结构下的最小弧划分数及其边界条件。
2026-08-13 cs.DM math.CO
Odd-Cycle-Packing-treewidth: On the Maximum Independent Set problem in odd-minor-free graph classes
本文提出奇环填充树宽（OCP-tw）参数，证明其奇次要单调性与类似网格定理的结构结果，推导出近似算法，并表明最大独立集问题在OCP-tw有界图上可多项式求解，还将该概念扩展到整数规划矩阵。
2025-11-13 cs.DM math.CO
The Plane-Width of Graphs
将图的顶点映射到平面上的（不一定是不同的）点，使得两个相邻的顶点至少相隔一个单位距离。图的平面宽度是所有这样的映射上的顶点集的像的最小直径。本文建立了图的平面宽度与其色数之间的关系，并将它与其它著名的领域，包括圆色数和平面中单位圆的填充问题联系起来。我们还研究了平面宽度在各种操作下的行为，如同态，不相交并，补和笛卡尔积。
2008-12-23 cs.DM
Fractional hypergraph isomorphism and fractional invariants
分数图同构是图同构的整数规划公式的线性松弛。它保持了图的一些不变量，如度序列和公平划分，但不保持其它不变量，如连通度、团数和独立数、色数、顶点和边覆盖数、匹配数、控制数和全控制数。在这项工作中，我们将分数图同构的概念扩展到超图，并给出了另一种表征，类似于那些已知的图之一。利用这个新概念，我们证明了超图的分数填充数、覆盖数、匹配数和截数在分数超图同构下是不变的。因此，分数匹配、顶点和边覆盖、独立性、控制数和全控制数在分数图同构下是不变的。这不是分数色数、团数和团覆盖数的情况。这样，大多数经典的分数参数分类关于他们的分数图同构下的不变性。
2020-08-19 cs.DM math.CO
On conditional coloring of some graphs
对于整数r和k > 0（k>r），图G的条件（k，r）-染色是G的一个真k-染色，使得G的每个顶点v至少有min{r，d（v）}个不同色的邻点，其中d（v）是v的度。本文给出了对于不同的r值，格$G(2,n) \cong P_2 \ \Box \ P_n$的条件色数，$C_n^2$和$P_n$与$P_m$的强积（n，m为正整数）。对于整数$n \geq 3$和$t \geq 1$，得到了（t，n）-web图的二阶条件色数（也称为动态色数）.
2010-11-24 cs.DM
Packing, Hitting, and Colouring Squares
本文研究了非轴平行正方形的packing与hitting问题，首次给出了τ/ν比率的非平凡上界（单位正方形为6，变体为10），并利用该方法界定了χ/ω比率，填补了正方形几何对象常数界限研究的空白。
2024-06-03 cs.CG cs.DM math.CO
Coloring Grids Avoiding Bicolored Paths
Hacettepe University（哈契特佩大学）
研究了在避免固定长度双色路径的网格上着色的问题，证明了至少需要4种颜色以正确着色路径乘积P_m□P_n，除非n<k-2或m<k-2。
2026-08-20 cs.DM math.CO
Cycles of Well-Linked Sets I: an Elementary Bound for Directed Cycle Packing
Technical University Darmstadt（达姆施塔特工业大学）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）；National Institute of Informatics（日本国立情报学研究所）；Universität Hamburg（汉堡大学）
本文提出了一种初等上界，证明了有向图中不包含k个不相交环时，存在大小受初等函数约束的反馈顶点集。
2026-02-17 cs.DM math.CO
Clique Minors in Cartesian Products of Graphs
图G中的“团子图”可以被认为是G中的一组连通子图，它们是两两不相交的，两两相邻的。Hadwiger数h（G）是G中团子式的最大基数。本文研究了笛卡儿积G*H中的团子式.我们的主要结果是有界Hadwiger数的笛卡儿积的一个粗略的结构特征定理。它意味着，如果产品的两个足够大的图有界Hadwiger数，那么它是以下图形之一：-一个平面网格与有界宽度的涡流在outerface，-一个圆柱形网格与有界宽度的涡流在每两个'大'面，或-一个环形网格。研究图的Hadwiger数的动机包括Hadwiger猜想，该猜想指出色数chi（G）<= h（G）。Hadwiger猜想是否对任何笛卡儿积都成立是一个未知数。证明了：当|V（H）|-1>= chi（G）>= chi（H）则Hadwiger猜想对G*H成立。另一方面，我们证明了Hadwiger猜想对所有的笛卡儿积成立当且仅当它对所有的G * K_2成立。然后我们证明了h（G * K_2）与G的树宽有关。我们还开发了连接与伪消色差着色和连接的控制集，这意味着近紧边界上的Hadwiger数的网格图（笛卡儿积的路径）和Hamming图（笛卡儿积的派系）。
2011-09-23 cs.DM math.CO
Graph unique-maximum and conflict-free colorings
研究了图的两类顶点着色：唯一极大着色和无冲突着色之间的关系。在唯一最大着色中，颜色是有序的，并且在图的每条路径中，最大颜色只出现一次。在无冲突着色中，在图的每条路径上都有一种颜色只出现一次。我们还研究了无冲突着色的计算复杂性，并证明了一个完备性结果。最后，我们改进了格子图的这些色数的下界。
2009-12-15 cs.CC cs.DM
The Graph Coloring Game on $4\times n$-Grids
本文研究了图着色游戏在笛卡尔网格上的确切游戏色数，证明了对于任意 $n\geq 18$，$4\times n$-网格 $P_4\times P_n$ 的游戏色数 $χ_g$ 等于 4。
2024-12-23 cs.DM math.CO
Layered Separators in Minor-Closed Graph Classes with Applications
图分隔符是图论和计算机科学中普遍存在的工具。然而，在某些应用中，它们的有用性受到以下事实的限制：在具有$n$顶点的图中，分隔符可以与$Ω(\sqrt{n})$一样大。这是可平面图的情况，更一般地，对于适当的小闭类。我们研究了一种特殊类型的图分隔符，称为“分层分隔符”，它可以在$n$中具有线性大小，但相对于不同的措施，称为“宽度”有界的大小。例如，我们证明了可平面图和有界欧拉亏格的图允许有界宽度的分层分离子。更一般地说，我们将承认有界宽度的分层分隔符的未成年人封闭类，排除固定顶点图作为未成年人。我们使用分层分离器来证明$\mathcal{O}(\log n)$边界的一些问题，其中$\mathcal{O}(\sqrt{n})$是一个长期存在的以前的最佳界限。这包括有界Euler亏格图的非重复色数和非重复色数。我们推广了这些结果与$\mathcal{O}(\log n)$界的非重复色数的图不包括一个固定的拓扑子，和$\log^{ \mathcal{O}(1)}n$界的不包括一个固定的子图的重复数。只有可平面图的$\log^{ \mathcal{O}(1)}n$边界以前是已知的。我们的结果意味着，每个$n$ -顶点图不包括一个固定的子有一个三维网格绘图与$n\log^{ \mathcal{O}(1)}n$体积，而以前的最佳界是$\mathcal{O}(n^{3/2})$。
2017-05-18 cs.CG cs.DM math.CO
Tighter Bounds on the Independence Number of the Birkhoff Graph
Birkhoff图$\mathcal{B}_n$是对称群$S_n$的凯莱图，其中两个排列如果相差一个圈，则它们相邻。我们的主要结果是$\mathcal{B}_n$的独立数$α(\mathcal{B}_n)$的更严格的上界，即，我们证明$α(\mathcal{B}_n) \le O(n!/1.97^n)$对[Kane-Lovett-Rao，FOCS 2017]之前已知的$α(\mathcal{B}_n) \le O(n!/\sqrt{2}^{n})$的上界进行了改进。我们的方法结合了高阶版本的表示理论技术与线性规划。通过一个显式的构造，我们还将它们的下界提高了$α(\mathcal{B}_n)$的一个因子$n/2$。这种构造是基于$\mathcal{B}_n$的一个适当的着色，它也给出了$\mathcal{B}_n$的色数$χ(\mathcal{B}_n)$的一个上界.通过已知的连接，上界$α(\mathcal{B}_n)$意味着字母大小的下限为一个家庭的最大可恢复的代码网格状拓扑结构。
2020-10-10 cs.DM math.CO
No distributed quantum advantage for approximate graph coloring
针对多种分布式计算模型，本文几乎完整刻画了对χ-色图进行c-着色的难度，提出经典LOCAL模型下的新算法并证明了在non-signaling模型下的匹配下界，证明了该问题不存在分布式量子优势。
2024-03-22 cs.CC cs.DC cs.DM
