On chromatic symmetric homology and planarity of graphs
本文证明非平面图的色对称同调在双次数(1,0)中必含 Z_2 挠率，证实了相关猜想，并以 Kuratowski 定理进行递归论证。
2022-07-19 math.AT math.CO math.RT
On the Strength of Chromatic Symmetric Homology for graphs
本文研究了色对称同调作为图不变量的强度。色对称同调是图的色对称函数到同调的提升，它的Frobenius特征是色对称函数的q，t推广.我们展示了三对图，每对有相同的色对称函数，但不同的同源性。我们还证明了整色对称同调含有挠，并根据计算，猜想二分次（1，0）中的Z_2-挠检测图的非平面性。
2019-11-29 math.CO math.RT
Local chromatic number and distinguishing the strength of topological obstructions
图G的局部色数是指在图G的所有真染色中最小化的顶点的最色闭邻域中出现的颜色数。我们发现，两个特定的拓扑障碍，具有相同的含义的色数有不同的含义的本地色数。这两个障碍可以分别用同态复形Hom（K_2，G）和它的悬置表示。这些调查遵循Matousek和Ziegler发起的研究路线，他们认识到不同的拓扑表达式可以作为图的色数的下界。我们的结果意味着4-色Kneser，Schrijver，Borsuk和广义Mycielski图的局部色数是4，更一般地，这些图的2 r-色版本的局部色数至少r+2。这下界是紧的，在几种情况下，结果在较早的文件的前两个作者。
2007-04-19 math.AT math.CO
A deletion-contraction long exact sequence for chromatic symmetric homology
本文将色对称同调范畴化推广到顶点加权图，证明其存在删除-收缩长正合序列，并借此解决了同调非零指标范围的两个遗留问题。
2023-07-18 math.AT math.CO math.RT
Bounding $χ$ by a fraction of $Δ$ for graphs without large cliques
贪婪着色算法表明，最大度至多为$Δ$的图的色数至多为$Δ+ 1$，这对团是紧的。许多注意力一直致力于改善这种“贪婪界”的图没有大的团。Brooks著名地证明了这个界限可以改进一个，如果$Δ\geq 3$和图包含没有大小为$Δ+ 1$的团。里德猜想指出，如果图不包含大小为$Δ+ 1 - 2k$的团，则$k$可以改进“贪婪界”。Johansson证明了对于没有三角形或没有任何固定大小的团的图，“贪婪界”可以分别提高$Ω(\ln(Δ)^{-1})$或$Ω\left(\frac{\ln(\ln(Δ))}{\ln(Δ)}\right)$的因子。值得注意的是，缺少的是一个$\textit{linear}$改进的“贪婪界”的图没有大集团。本文证明了：对于充分大的$Δ$，如果$G$是一个最大度至多为$Δ$且没有团大小为$ω$的图，则$$χ(G) \leq 72Δ\sqrt{\frac{\ln(ω)}{\ln(Δ)}}.$$.这意味着对于充分大的$Δ$，如果$ω^{(72c)^2} \leq Δ$，则$χ(G) \leq Δ/c$ .这个界限实际上对列表色数和对应色数（也称为DP色数）都成立。事实上，我们证明了我们所谓的“本地版本”，结果意味着存在的着色时，每个顶点的可用颜色的数量取决于本地参数，如度和集团数的邻居。我们的结果同时意味着“贪婪界”和Johansson的两个上述结果的线性改进。
2018-03-02 math.CO
The chromatic polynomial of fatgraphs and its categorification
基于Khovanov同调理论以及Jones多项式与图多项式之间的关系，我们构造了嵌入图的同调论，并由此得到了嵌入图的色多项式作为欧拉示性数.对于平面图，我们证明了我们的色同调可以从一个关联链接的Khovanov同调中恢复。我们应用这种连接与Khovanov同调，我们的色同调的无挠部分是独立的选择的平面嵌入的图。我们扩展我们的建设和分类的Bollobas Riordan多项式（Tutte多项式的概括嵌入图）。我们证明，我们的色同源性和Khovanov同源性的相关链接可以从这个分类。
2007-11-28 math.CO math.GT
Improving Lower Bounds for Equitable Chromatic Number
在许多实际应用中，底层图形必须尽可能均匀地着色。一个图的着色称为均匀着色，如果每种颜色所着色的顶点数相差至多1，并且一个图具有这种着色的最少颜色数称为它的均匀色数。我们引入了一个新的整数线性规划方法来研究图的公平染色数，并展示了如何使用它来提高这个数字的下界。两阶段方法的基础上找到或上界的最大基数的一个公平的颜色类在一个有效的公平着色，然后，依次提高公平着色数的下界。在DIMACS图和文献中的其他图上进行了计算实验。
2021-06-07 math.CO
Homogeneous Sets in Graphs and a Chromatic Multisymmetric Function
本文将色对称函数$X$推广为色$k$ -多对称函数$X_k$，定义于顶点集被划分为$k$部分的图.我们证明，这个新的功能，保留了基本属性和基础的$X$的扩展，我们给出了一种方法，系统地推导出新的线性关系$X$从以前的通过$X_k$。特别是，我们展示了如何利用$G$的齐次集（这些$S \subseteq V(G)$，使每个顶点的$V(G) \backslash S$是相邻的所有$S$或不相邻的所有$S$）与色对称函数的$G$的那些简单的图形。此外，我们展示了如何扩展这一想法，同质对$S_1 \sqcup S_2 \subseteq V(G)$推广的过程中使用的Guay-Paquet减少斯坦利-Stembridge猜想单位区间图。
2022-09-28 math.CO
Deformations of box complexes
盒复形是一个与图相关联的$\mathbb{Z}_2$ -空间，它的一个$\mathbb{Z}_2$ -同伦不变量，称为$\mathbb{Z}_2$ -指标，给出了一个有效的色数下界.另一方面，我们证明了盒复形的任何$\mathbb{Z}_2$ -同伦不变量都不等价于盒复形的色数.也就是说，我们构造了一个图同态$f:X \rightarrow Y$，使得它在它们的盒复形之间产生一个$\mathbb{Z}_2$ -同伦等价，但是$X$和$Y$具有不同的色数。要看到这一点，我们表明，图的一些变形不改变盒复形的$\mathbb{Z}_2$ -简单同伦类型。
2015-06-28 math.AT math.CO
A categorification of the chromatic symmetric function
图$G$的Stanley色对称函数$X_G$是图的色多项式的对称函数的推广，具有有趣的组合性质.利用Khovanov同调的思想构造了分次$S_n$ -模的同调，其分次Frobenius级数$Frob_G(q,t)$在$q=t=1$处约化为色对称函数.这种同调可以被认为是色对称函数的一个分类，并且提供了$X_G$的几个熟悉性质的同调类似物。特别地，Orellana和Scott以及Guay-Paquet最近发现的$X_G$的分解公式被提升到一个长正合序列的同源性.
2015-06-09 math.CO math.GT math.QA
Homotopy types of Hom complexes of graphs
图的Hom复形${\rm Hom}(T,G)$是图着色问题中考虑的一对图$T$和$G$的CW-复形。已知${\rm Hom}(T,G)$的某些同伦不变量给出了$G$的色数的下界。对于固定的有限图$T$，我们证明了不存在${\rm Hom}(T,G)$的同伦不变量，从而给出了$G$的色数的上界.更精确地说，对于一个非二部图$G$，我们构造了一个图$H$，使得${\rm Hom}(T,G)$和${\rm Hom}(T,H)$同伦等价，但$χ(H)$比$χ(G)$大得多.还考虑了${\rm Hom}(T,G)$的等变同伦型。
2017-07-29 math.AT math.CO
Chromatic numbers, morphism complexes, and Stiefel-Whitney characteristic classes
组合数学，特别是图论，有着丰富的历史，是其他数学领域工具的成功应用领域，包括拓扑方法。在这里，我们调查的研究Hom-复合物，以及这些方法可以用来获得下界的图的色数，在最近的一系列文件\cite{BK03a,BK03b,BK03c,CK1,CK2,K4,K5}。结构理论在历史背景下得到了发展，最终证明了Lovász猜想，可以表述如下：对于图G，使得复Hom（C_{2r+1}，G）是k-连通的，对于某些整数r>0和k>-2，我们有χ（G）>k+3。除了在这一领域中更常见的上同调群之外，所涉及的代数拓扑概念是谱序列和Stiefel-Whitney特征类。对于首次出现在本调查中的所有新结果，都提供了完整的证明。
2005-12-06 math.AT math.CO
On the chromatic symmetric homology for star graphs
本文针对星图证明了 Chandler 等人关于色对称同调的部分猜想公式并加以推广，深化了对该图不变量的理解。
2024-08-02 math.CO
Random regular graphs of non-constant degree: Concentration of the chromatic number
在这项工作中，我们表明，以高概率的色数的随机正则图模型$\Gnd$为$d=o(n^{1/5})$的一个图形采样集中在两个连续的值，从而扩展了Achlioptas和摩尔以前的结果。这种集中现象与具有$p=\frac{d}{n}$的二项随机图模型$\Gnp$的集中现象非常相似。我们的证明主要基于Alon和Krivelevich的思想，他们证明了$\Gnp$的两点浓度结果，其中$p=n^{-δ}$为$δ>1/2$。用于得出这样一个结果的主要工具是仔细分析的边缘分布在$\Gnd$，既依赖于开关技术和边界的概率指数小事件的配置模型。
2008-12-17 cs.DM math.CO math.PR
Interpolating chromatic and homomorphism thresholds
本文通过VC维理论定义广义阈值插值染色与同态阈值，证明奇环膨胀阈值为1/(2k-1)，回答Schacht问题并揭示膨胀阈值聚点特性，统一并强化相关领域结果。
2025-02-13 math.CO
A Note on Chromatic Sum
图$G$的色和$Σ(G)$是用自然数进行正常染色的图中最小的色和。本文引入了图同态存在的一个必要条件。此外，我们提出了$Σ(G)<χ_f(G)|G|$的每一个图$G$。
2009-01-24 math.CO
Improved bounds for colouring circle graphs
我们证明了第一个$χ$ -包围功能的圆图，是最佳的一个常数因子。更精确地说，我们证明了团数至多为$ω$的圈图的色数至多为$2ω\log_2 (ω) +2ω\log_2(\log_2 (ω)) + 10ω$。
2022-02-17 math.CO
Topologically $4$-chromatic graphs and signatures of odd cycles
我们调查群论的“签名”的奇循环的一个图，和他们的连接拓扑障碍3-着色。在签名来自自由群的情况下，我们证明了具有平凡签名的奇圈的存在性等价于hom-complex的余指数至少为2（这意味着色数至少为4）。对于初等阿贝尔2-群的签名，证明了具有平凡签名的奇圈的存在是其hom-complex的指数至少为2的充分条件（这也意味着其色数至少为4）.
2016-02-23 math.CO
On the signed chromatic number of some classes of graphs
带符号图$(G, σ)$是图$G$以及函数$σ: E(G) \to \{+,-\}$。一个符号图的闭行走是正的（分别是，负的）如果它有偶数（相应地，奇数）负边缘的数量，计数重复。一个（简单）符号图到另一个符号图的同态是一个顶点映射，它保持了闭行走的邻接和符号。符号图的符号色数$(G, σ)$是指符号图$(H, π)$中允许同态的最小顶点数$|V(H)|$.符号图的同态在过去的几十年里受到了越来越多的关注，特别是由于它们与图着色和图的子式理论有着密切的联系.这些同态已经通过符号色数的范围进行了特别的研究。在这项工作中，我们提供了一些家庭的符号图（平面图，triangle-free平面图，$K_n$ -minor-free图，和有界度图）的符号色数的新结果和界。
2020-09-25 cs.DM math.CO
Categorification of Chromatic, Dichromatic and Penrose Polynomials
本文通过适当变量选择，将染色、双染色和Penrose多项式范畴化，利用双graded同调理论的欧拉特征解释染色评估，并探讨了颜色集上的关联代数结构。
2025-12-24 math.CO
Signified chromatic number of grids is at most 9
所指图是一对$(G, Σ)$，其中$G$是一个图，而$Σ$是一组用“$-$”标记的边。其他边缘标有“$+$”。所指图$(G, Σ)$的所指着色是到所指图$(H, Δ)$的同态。可指图$(G, Σ)$的可指色数是$H$的最小阶.本文证明了对于任意二维网格$(G, Σ)$，存在从$(G, Σ)$到符号Paley图$SP_9$的同态.因此，所指网格的所指色数至多为9。这改进了Bensmail最近得到的这个数的上界。
2019-09-01 cs.DM math.CO
Graph Powers and Graph Homomorphisms
本文研究了分数幂的一些基本性质。在这方面，我们表明，对于任何有理数$1\leq {2r+1\over 2s+1}< og(G)$，$G^{2r+1\over 2s+1}\longrightarrow H$当且仅当$G\longrightarrow H^{-{2s+1\over 2r+1}}.$此外，对于两个有理数${2r+1\over 2s+1} < {2p+1\over 2q+1}$和一个非二部图$G$，我们表明，$G^{2r+1\over 2s+1} < G^{2p+1\over 2q+1}$。在第二章中，我们引入了图的循环色数的分数幂的等价定义。给出了色数与圆色数相等的一个充分条件。
2008-09-02 math.CO
Some results on chromatic number as a function of triangle count
本文研究色数作为顶点数、边数和三角形数量函数的上界，结果平滑插值于一般图与无三角形图的界之间，且在多数情况下是紧的，并指出一个开放问题可解决剩余差距。
2019-01-22 math.CO
Chromatic polynomials of 2-edge coloured graphs
利用由$2$-边着色图同态导出的$2$ -边着色图的着色定义，将色多项式的定义推广到$2$ -边着色图.我们发现封闭形式的前三个系数的多项式，推广了已知的结果的色多项式的图。当每一个顶点都与两种颜色的边关联时，我们对那些$2$ -边着色图的色多项式等于其基础图的色多项式进行了分类.最后，我们研究这个多项式的根的行为，突出的行为没有看到的色多项式的图形。
2020-07-27 math.CO
Homomorphism and VC-dimension thresholds: spectra and separations
University of Toronto（多伦多大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）
该研究揭示同态与VC维阈值具无限谱且非单调，证明四类全局简单性阈值两两不同，确定多部图VC维阈值及同态阈值的下界与聚点。
2026-08-26 math.CO
Examples of topologically highly chromatic graphs with locally small chromatic number
Kierstead，Szemerédi和Trotter证明了一个图有至多个$\lfloor r/(2n)\rfloor^n$顶点，使得其中每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，该图应该有至多色数$n(c-1)+1$。我们表明，这一估计是尖锐的$r$。也就是说，对于每一个$n$，$r$，和$c$，我们构造一个图$G$包含$O((2rc)^{n-1}c)$顶点，使得$χ(G)\geq n(c-1)+1$，虽然每个球的半径$r$在$G$是$c$ -着色。其核心思想是构造一个图，其邻域复形同伦等价于两个给定图的邻域复形之并。
2013-12-22 math.CO
Oriented chromatic number of Halin graphs
定向图的定向色数$G$是定向图$H$使得$G$允许与$H$同态的最小阶.无定向图$G$的定向色数是指在$G$的所有可能定向上的最大色数。本文证明了每个Halin图的定向色数至多为8，改进了Hosseini Dolama和Sopena的一个界，证实了Vignal的猜想.
2013-07-18 cs.DM math.CO
Extremal Khovanov homology and the girth of a knot
利用Khovanov群与色图同调的关系，确定了Khovanov群的极值和相应的Jones多项式系数。色同调和色多项式在计算链环的积分Khovanov同调时的应用程度取决于链环的全正图的最大围长。在本文中，我们还定义了一个链接的周长，讨论关系到其他结不变量，和周长的可能值。分析周长导致描述任何给定链路的可能的全A状态图;例如，如果链路具有这样的图，使得对应的全A图的周长等于$\ell>2$，则链路的周长等于$\ell.$
2020-03-11 math.CO math.GT
The chromatic number of 2-edge-colored and signed graphs of bounded maximum degree
2-边有色图或带号图是具有两种边的单图。从2-边有色图$G$到2-边有色图$H$的同态是将$G$中的每条边映射到$H$中相同类型的边的映射$φ: V(G) \rightarrow V(H)$.切换2边着色或带符号图的顶点$v$对应于将每个边的类型更改为$v$。如果在交换$G$的顶点的某个子集之后，存在从$G$到$H$的2-边着色同态，则存在从符号图$G$到符号图$H$的同态。2-边着色的（分别为）的色数。符号）图$G$是最小2-边着色（分别为有符号）图$H$，使得存在从$G$到$H$的同态。一类图的色数是该类图的色数的最大值。本文研究了给定有界最大度的2-边着色符号图（连通图和不一定连通图）的色数。更确切地说，我们提供了最大度为2的图的精确界。然后，我们提出了具体的下限和上界的最大程度的图3，4，和5。最后，我们提出了一般的界限，最大程度的图$k$，每$k$。
2020-09-11 cs.DM math.CO
New Categorifications of the Chromatic and the Dichromatic Polynomials for Graphs
本文对图$G$，定义了多项式环上的分次模链复形\mbox{}，它的分次欧拉示性数与图$G$的色多项式相等.进一步，我们定义了一个双分次模的链复形\mbox{}，它的（双）分次欧拉示性数线等于$G$的重色多项式.这两种构造都使用了Koszul复形，并且类似于HOMFLYPT多项式的新Khovanov-Rozansky范畴\mbox{}。我们还给出了这种三级链节同调论的简单\mbox{}定义的\mbox{}.
2006-05-22 math.CO math.QA
Bounding the List Color Function Threshold from Above
本文研究图的列表色函数阈值上界问题，针对完全二部图$K_{2,n}$给出更紧的上界公式，并通过新工具确定了$K_{2,3}$、$K_{2,4}$、$K_{2,5}$的具体阈值，推进了列表色函数极值行为的研究。
2022-11-04 math.CO
On the harmonious chromatic number of graphs
本文研究图的和谐色数，围绕图同态、有限线性系统的关联图及若干循环图给出多种相关结果。
2023-08-15 math.CO
The equivariant topology of stable Kneser graphs
Schrijver \cite{schrijver}引入的稳定Kneser图$SG_{n,k}$，$n\ge1$，$k\ge0$是一个色数为$k+2$的点临界图，它的顶点是一个基数$m=2n+k$集合的某些子集. Björner和de Longueville的\cite{anders-mark}证明了它的盒复形同伦等价于一个球面，$\Hom(K_2,SG_{n,k})\homot\Sphere^k$。二面体群$D_{2m}$正则地作用在$SG_{n,k}$上，具有2个元素的群$C_2$作用在$K_2$上。我们几乎确定了$\Hom(K_2,SG_{n,k})$的$(C_2\times D_{2m})$ -同伦型，并利用它证明了以下结果.图$SG_{2s,4}$是同伦测试图，即对于每个图$H$和$r\ge0$，使得$\Hom(SG_{2s,4},H)$是$(r-1)$ -连通的，色数$χ(H)$至少是$r+6$。如果$k\notin\set{0,1,2,4,8}$和$n\ge N(k)$，则$SG_{n,k}$不是同伦测试图，即\存在图$G$和$r\ge1$，使得$\Hom(SG_{n,k}, G)$是$(r-1)$连通的，并且是$χ(G)<r+k+2$。
2010-03-29 math.AT math.CO
A topological lower bound for the chromatic number of a special family of graphs
为了研究图着色的拓扑障碍，Lovász引入了Hom-复形。一个图$T$称为测试图，如果对每个图$H$，$|Hom(T, H)|$的$k$ -连通性蕴涵$χ(H)\geq k + 1 + χ(T)$ .著名的Kneser猜想的证明是基于$\mathcal{K}_2$，即$2$顶点上的完全图，是一个测试图。Babson和Kozlov把这个结果推广到所有的完全图。他们的证明是基于广义神经引理和离散Morse理论。本文提出了一类特殊图族的色数的一个新的拓扑下界。作为这个界的一个应用，我们给出了完全图和偶圈是测试图这一著名事实的一个新证明。
2017-06-28 math.CO
On the chromatic numbers of signed triangular and hexagonal grids
符号图是具有两种边的单图。切换有符号图的顶点$v$对应于将每个边的类型改变为$v$。从符号图$G$到另一符号图$H$的同态是映射$φ: V(G) \rightarrow V(H)$，使得在切换$G$的任意数量的顶点之后，$φ$将$G$的每条边映射到$H$中相同类型的边。符号图$G$的色数$χ_s(G)$是最小符号图$H$的阶，使得存在从$G$到$H$的同态。我们证明了符号三角形网格的色数至多为10，符号六边形网格的色数至多为4。
2020-12-17 cs.DM math.CO
Burling graphs revisited, part II: Structure
本文研究了Burling图的结构性质，回顾了其从树派生的等价定义，并给出了派生图的若干结构性质。
2023-09-07 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. X. Holes of specific residue
图论中的大量研究涉及到大色数图的诱导子图，特别是哪些诱导圈必出现。在本文中，我们统一和大量推广的结果，从以前的一些文件，表明，对每一个正整数k，每个图具有大的色数包含一个大的完全子图或诱导圈的所有长度模k。作为应用，我们证明了Kalai和Meshulam在20世纪90年代提出的将图的色数与其独立复形的同调联系起来的两个定理.
2018-12-04 math.CO
On the spectrum and structure of blowup thresholds
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究所）
研究爆破阈值如何迫使足够密集的最大H-自由图成为有限图的爆破，揭示其与色数阈值的区别和非单调性。
2026-07-07 math.CO
Topological lower bounds for the chromatic number: A hierarchy
本文研究图的色数的“拓扑”下界。这样的下界是由Lovász在1978年首次提出的，在他著名的证明\emph{Kneser conjecture}通过代数拓扑。这个猜想指出，\emph{Kneser graph} $\KG_{m,n}$，以$\{1,2,...,n\}$的所有$k$ -元素子集为顶点，所有不相交集对为边的图，有色数$n-2k+2$。其他几个证明已经出版（由Bárány，Schrijver，Dolnikov，Sarkaria，Kriz，Greene和其他人），所有这些都基于Borsuk-Ulam定理的某些版本，但在其他方面完全不同。每一个都可以推广到任意图的色数的下界。（实际上，我们观察到\emph{every}有限图可以表示为广义Kneser图，上述界限适用于该广义Kneser图。我们表明，这些边界几乎是线性有序的强度，最强的一个基本上是Lovász的原始边界的邻域复杂。我们还提出和比较各种定义的一个图的\emph{box complex}（发展思想的阿隆，弗兰克尔和Lovász和\kriz）。一个合适的盒复形等价于Lovász复形，但其构造更简单且是函式的，它将具有同态的图映射到具有$\Z_2$ -映射的$\Z_2$ -空间。
2003-11-24 math.AT math.CO
Homomorphisms of signed planar graphs
符号图的研究始于上个世纪中叶。最近，符号图的同态的概念已经被引入，因为这个概念捕获了一些众所周知的图，可以使用符号同态的定义重新表述。本文引入并研究了符号同态的一些目标图的性质。利用这些性质，我们得到了具有有界无圈色数的图的符号色数的上界和给定围长的符号平面图的符号色数的上界。
2014-01-14 cs.DM math.CO
Generalised Mycielski graphs and bounds on chromatic numbers
本文证明了图$H$的盒复形$\mathrm{B}(H)$的余指标可以用允许它同态的广义Mycielski图来度量，从而证明了对于每个图$H$，都存在一个多项式时间可解的线性方程组，且具有如下性质：若无解，则为$\mathrm{coind}(\mathrm{B}(H)) + 2 \leq 3$ ;若有解，则为$χ(H) \geq 4$ .我们推广的方法，其他界的色数使用线性代数。
2016-01-18 math.CO
Minimal definable graphs of definable chromatic number at least three
证明了在Borel色数为3的标准Borel空间上存在一个Borel图，它允许一个Borel同态到Borel色数至少为3的标准Borel空间上的每个解析图.此外，我们刻画了点度至多为2的标准Borel空间上的Borel图的这一性质，并证明了有向图的类似结果失败。
2019-11-23 math.CO math.LO
Homotopy type of the neighborhood complexes of graphs of maximal degree at most $3$ and $4$-regular circulant graphs
为了估计图$G$的色数的下界，Lovász关联了一个称为邻域复形的单纯复形$\mathcal{N}(G)$，并将$\mathcal{N}(G)$的拓扑连通性与$G$的色数联系起来。更一般地说，他证明了色数的$G$是有界以下的拓扑连接的$\mathcal{N}(G)$加上$3$。本文考虑最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图.我们证明了这些图的邻域复形的每个连通分量同伦等价于一个点，一个楔形和的圆，一个楔形和的$2$ -球$S^2$，$S^3$，一个花环的$2$ -球$S^2$或一个连接和的环面。
2019-10-08 math.CO
The Oriented Chromatic Number of the Hexagonal Grid is 6
本文证明了六边形网格的有向色数下界为6，从而填补了Bielak（2006）留下的上下界差距，确定其有向色数确切为6。
2023-07-28 math.CO
The homology of digraphs as a generalisation of Hochschild homology
J. Przytycki建立了代数$A$的霍赫希尔德同调与系数在$A$中的多边形图的色图同调之间的联系。一般来说，当系数环是非交换代数时，色图同调是没有定义的。在本文中，我们定义了一个新的有向图的同调论，它的系数在任意的$A-A$双模，$A$可能是非交换的，多边形同意霍赫希尔德同调通过一系列的尺寸。
2010-01-29 math.CO math.GT math.KT
Exact Homomorphism Thresholds Beyond Cliques
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；USTC（中国科学技术大学）；Shandong University（山东大学）
该研究针对单个非完全禁图精确同态阈值未知的问题，将团情形扩展至更大禁图族，确定了该族中每一个图的精确同态阈值。
2026-07-31 math.CO
Signed bipartite circular cliques and a bipartite analogue of Grötzsch's theorem
符号图的循环染色是一个新的概念，它同时推广了图的循环染色和符号图的$0$ -free染色的概念。符号图$(G, σ)$的圆形$r$ -着色是将圆周$r$的圆的点$r\geq 2$分配给$G$的顶点，使得由正边连接的顶点的圆形距离至少为$1$，并且由负边连接的顶点的圆形距离至多为$\frac{r}{2}-1$。所有$(G, σ)$容许圆$r$ -着色的$r$的下确界称为$(G, σ)$的圆色数，记为$χ_c(G, σ)$。对于任意有理数$r=\frac{p}{q}$，给出了对应于边符号保持同态和切换同态的两个循环团的概念。它还表明，限制的循环色数的研究，一类的签署二部简单的图已经捕获的循环色数的研究，通过基本的图形操作，即使每个签署二部图的循环色数是有界以上的$4$。在这项工作中，我们考虑限制的循环色数，这类签署的图和构造签署的二部循环集团就这两个概念的同态。然后，我们提出了重新制定的$4$ -颜色定理和Grötzsch定理。作为Grötzsch定理的一个二部类比，我们证明了每一个负围长至少为$6$的带符号二部平面图的圆色数至多为$3$ .
2021-09-26 math.CO
Analogous to cliques for (m,n)-colored mixed graphs
图$G$的顶点着色可以等价地认为是$G$到$n$阶的完全图$K_n$的图同态（边保持顶点映射）。因此，在这种意义下，$G$的色数$χ(G)$将是$G$允许同态的最小完全图的阶。由于每一个非完全图都可以同态到一个更小的完全图，我们可以定义$G$的色数$χ(G)$为$G$可以同态到的最小图的阶.当然，这样的最小图必须是完全图，因为它们是唯一的色数等于其阶的图。顶点着色的概念可以推广到其他类型的图。自然地，色数被定义为允许一个图与之同态的最小图的阶。团的类似概念原来是图的阶等于他们（如此定义）的“色数“。这些“集团”比它们的无方向对应物要复杂得多，是有趣的研究对象。在这篇文章中，我们主要研究了不同方面的“团”的签署（图的负号分配给每一个边缘）和可切换的签署图（等价类的签署图关于切换符号的边入射到同一个顶点）。
2015-08-26 cs.DM math.CO
Chromatic number of signed graphs with bounded maximum degree
符号图$ (G, Σ)$是一个正负图（$Σ$表示负边的集合）。对带符号图$ (G, Σ)$的顶点$v$进行重符号化，就是改变与$v$关联的边的符号.如果可以通过对$ (G, Σ)$的一些顶点重新签名来获得$ (G, Σ')$，则$ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$。符号图$ (G, Σ)$与$ (H, Λ)$是同态的，如果对某个$ (G, Σ) \equiv (G, Σ')$存在从$(G,Σ')$到$(H, Λ)$的保号顶点映射.符号图$(G, Σ)$的符号色数$χ_{s}( (G, Σ))$是符号图$(H, Λ)$的最小阶数（顶点数），使得$ (G, Σ)$允许与$(H, Λ)$同态。对于一族符号图$χ_{s}(\mathcal{F}) = \text{max}_{(G,Σ) \in \mathcal{F}} χ_{s}( (G, Σ))$的$ \mathcal{F}$.我们证明了$2^{Δ/2-1} \leq χ_s(\mathcal{G}_Δ) \leq (Δ-1)^2. 2^{(Δ-1)} +2$对所有$Δ\geq 3$，其中$\mathcal{G}_Δ$是家庭的连接签署图的最大程度$Δ$。\end{abstract}
2016-03-31 math.CO
The Acyclic Chromatic Index is Less than the Double of the Max Degree
图$G$的非圈色指数是指使图的所有圈都不是双色的所需的最少颜色数。在这项工作中，我们表明，$2Δ-1$颜色是足以产生这样的着色，其中$Δ$是最大程度的图。与大多数现存的色指数随机算法方法相比，其中算法预先假设足够的颜色以确定性地保证适当性，并且仅使用随机性来处理双色圈，我们的随机Moser型算法以结构化的方式产生不一定适当的随机着色，试图避免其相同奇偶性的边缘是单色的圈，只有当这个目标达到时，它才检查是否合适。它不断重复，直到达到适当。
2022-01-30 math.CO
The Simple Chromatic Number of $(m,n)$-Mixed Graphs
$(m,n)$ -混合图将有向图和边着色图的概念推广到具有$m$弧类型和$n$边类型的图对象。这样的图的简单着色是到自反目标的非平凡同态。我们发现完全$(m,n)$ -混合图的简单色数可以在多项式时间内找到。对于平面图和$k$ -树（$k \geq 3$），我们发现，允许目标是自反的不降低相应的家庭的$(m,n)$ -混合图的色数。这意味着，为这些家庭寻找普遍目标可能仅限于简单的小集团。
2019-11-12 cs.DM math.CO
On the first group of the chromatic cohomology of graphs
The algebra of truncated polynomials A_m=Z[x]/(x^m) plays an important role in the theory of Khovanov and Khovanov-Rozansky homology of links. We have demonstrated that Hochschild homology is closely related to Khovanov homology via comultiplication free graph cohomology. It is not difficult to compute Hochschild homology of A_m and the only torsion, equal to Z_m, appears in gradings (i,m(i+1)/2) for any positive odd i. We analyze here the grading of graph cohomology which is producing torsion for a polygon. We find completely the cohomology H^{1,v-1}_{A_2}(G) and H^{1,2v-3}_{A_3}(G). The grou…
2006-07-13 math.CO math.GT
The continuous oriented chromatic number of directed Schreier graphs of $\mathbb Z^2$-shift actions
School of Mathematical Sciences and School of Pre-university, Dalian Minzu University（大连民族大学数学科学学院和预科教育学院）
本文证明了 Bernoulli 移位 \(\mathbb Z^2\curvearrowright 2^{\mathbb Z^2}\) 的自由部分上的有向 Schreier 图的连续定向色数为 7。
2026-07-14 math.CO math.LO
Sabidussi Versus Hedetniemi for Three Variations of the Chromatic Number
从图同态的角度研究了向量色数、补图的Lovasz θ和量子色数.我们证明了一个类似的Sabidussi定理的每个参数，即对于每个参数，图的笛卡儿积的值等于因子的值的最大值。我们还证明了一个类似的Hedetniemi的猜想Lovasz θ的补充，即它的值的范畴产品的图是等于其值的最小因素。我们猜想类似的结果对向量和量子色数也成立，并证明了对某些特殊的图类也是如此。
2013-05-23 math.CO quant-ph
