James Davies
We prove the first $χ$-bounding function for circle graphs that is optimal up to a constant factor. To be more precise, we prove that every circle graph with clique number at most $ω$ has chromatic number at most $2ω\log_2 (ω) +2ω\log_2(\log_2 (ω)) + 10ω$.
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继续探索
It has been common knowledge since 1950 that seven colours can be assigned to tiles of an infinite honeycomb with cells of unit diameter such that no two tiles of the same colour are closer than $d(7)=\frac{\sqrt{7}}{2}$ apart. Various authors have described tilings using $k>7$ colours, giving corresponding values for $d(k)$, but it is generally unknown whether these are the largest possible for a given $k$. Here, for many $k$, we describe tilings with larger values of $d(k)$ than previously reported.
Improved lower bounds on parity vertex colourings of binary trees
顶点着色称为\emph{parity vertex colouring}，如果在$G$中的每条路径包含奇数个出现的某种颜色。令$χ_{p}(G)$是$G$的奇偶顶点着色中的最小颜色数。我们表明，$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d} + \frac{1}{4} \log_2(d) - \frac{1}{2}$，其中$B^*$是一个细分的完全二叉树$B_d$。这改进了先前已知的界$χ_{p}(B^*) \ge \sqrt{d}$，并增强了用于证明下界的技术。我们使用这个结果来证明$χ_{p}(T) > \sqrt[3]{\log{n}}$，其中$T$是任何具有$n$顶点的二叉树。这些下界也是无冲突着色的下界。我们还证明了$χ_{p}(G)$是不单调的未成年人，并确定其价值的周期。此外，我们还研究了计算奇偶点色数$χ_{p}(G)$的复杂性。我们证明了检查顶点着色是否是奇偶顶点着色是coNP-完全的。然后利用Courcelle定理证明了关于$k$和$G$的树宽，判断$χ_{p}(G) \le k$是否是固定参数可处理的问题.
We study the problem of sampling almost uniform proper $q$-colourings in $k$-uniform simple hypergraphs with maximum degree $Δ$. For any $δ> 0$, if $k \geq\frac{20(1+δ)}δ$ and $q \geq 100Δ^{\frac{2+δ}{k-4/δ-4}}$, the running time of our algorithm is $\tilde{O}(\mathrm{poly}(Δk)\cdot n^{1.01})$, where $n$ is the number of vertices. Our result requires fewer colours than previous results for general hypergraphs (Jain, Pham, and Voung, 2021; He, Sun, and Wu, 2021), and does not require $Ω(\log n)$ colours unlike the work of Frieze and Anastos (2017).
Further results on strong edge-colourings in outerplanar graphs
边着色是{ \em strong}，如果每个颜色类都是诱导匹配。本文给出了确定二部外平面图的最优色数和最优加一强色数的公式。此外，我们给出了一个改进的上界的任何外平面图，这是接近最优的。我们所有的证明产生有效的算法来构建这样的着色。
Improper Colourings inspired by Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想断言每个$K_t$ -minor自由图都有一个适当的$(t-1)$ -着色。我们通过不适当的着色放宽了Hadwiger猜想中的结论。本文证明了任何无$K_t$ -minor图都是$(2t-2)$ -可列图，其单色分支的阶至多为$\lceil{\frac12(t-2)}\rceil$ .这个结果没有更多的颜色和更小的单色分量比所有以前的结果在这个方向上。证明了每个$K_t$ -minor free图都是单色度至多为$t-2$的$(t-1)$ -列图.这是最好的已知度界这样的结果。这两个定理都是基于独立兴趣的分解方法。我们给类似的结果$K_{s,t}$ -小自由图，从而导致这些类的广义着色数的改进的界限。最后，我们证明了不含$K_t$ -浸入的图是具有有界单色度的$2$ -可浸入图.
Cop-width, flip-width and strong colouring numbers
本文证明图的cop-width可由强着色数界定，并据此得到线性强着色数图类的线性cop-width与flip-width，改进多种稀疏图类的界。
We develop an improved bound for the chromatic number of graphs of maximum degree $Δ$ under the assumption that the number of edges spanning any neighbourhood is at most $(1-σ)\binomΔ{2}$ for some fixed $0<σ<1$. The leading term in the reduction of colours achieved through this bound is best possible as $σ\to0$. As two consequences, we advance the state of the art in two longstanding and well-studied graph colouring conjectures, the Erdős-Nešetřil conjecture and Reed's conjecture. We prove that the strong chromatic index is at most $1.772Δ^2$ for any graph $G$ with sufficiently large maximum d…
Peaceful Colourings
该研究引入和平着色这一h-无冲突着色变体，定义p-和平着色的条件，揭示其与Δ-正则图h-无冲突着色的等价关系，给出p_Δ的上下界并提出相关改进问题。
Strong Edge Colouring of Disk Graphs: A 6-Approximation and an Improved Unit-Disk Bound
本研究将强边着色的6-近似算法从单位圆盘图推广到更一般的圆盘图，并将单位圆盘图的强色指数上界改进至225/142，同时证明该界对强列表色指数也成立。
Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem
本文证明了K（C_n）的任意双色着色必包含一个单色平面K_4子图，其中n >= N^*，其中6 <= N^* <= N，N是Graham数。这个界限后来被改进为11 <= N^* <= N。在本文中，它被改进为13 <= N^* <= N。
In 1980, Akiyama, Exoo and Harary posited the Linear Arboricity Conjecture which states that any graph $G$ of maximum degree $Δ$ can be decomposed into at most $\left\lceil \fracΔ{2}\right\rceil$ linear forests. (A forest is linear if all of its components are paths.) In 1988, Alon proved the conjecture holds asymptotically. The current best bound is due to Ferber, Fox and Jain from 2020 who showed that $\fracΔ{2}+ O(Δ^{.661})$ suffices for large enough $Δ$. Here, we show that $G$ admits a decomposition into at most $\fracΔ{2}+ 3\sqrtΔ \log^4 Δ$ linear forests provided $Δ$ is large enough. Mor…
Improved bounds for proper rainbow saturation
本文基于与经典saturation和semi-saturation数的联系，为一般团、圈和完全二部图的proper rainbow saturation数$\ ext{sat}^*(n,H)$提供了新的上下界。
Colouring Graphs with Sparse Neighbourhoods: Bounds and Applications
设$G$是一个图，其色数为$χ$，最大度为$Δ$，团数为$ω$ .里德猜想指出，$χ\leq \lceil (1-\varepsilon)(Δ+ 1) + \varepsilonω\rceil$对所有$\varepsilon \leq 1/2$。King和Reed证明，只要$Δ$足够大，这个猜想对$\varepsilon \leq 1/130,000$成立。在这篇文章中，我们表明，同样的声明适用于$\varepsilon \leq 1/26$，从而使里德猜想的重要一步。我们得出这个结果从一个一般的技术，以限制色数的图，没有顶点有许多边在其邻域。我们的改进，这种方法也导致改进的边界上的一般图的强色指数。我们证明了在$Δ(G)$足够大的条件下，$χ'_s(G)\leq 1.835 Δ(G)^2$是可解的.
Given $\varepsilon>0$, there exists $f_0$ such that, if $f_0 \le f \le Δ^2+1$, then for any graph $G$ on $n$ vertices of maximum degree $Δ$ in which the neighbourhood of every vertex in $G$ spans at most $Δ^2/f$ edges, (i) an independent set of $G$ drawn uniformly at random has at least $(1/2-\varepsilon)(n/Δ)\log f$ vertices in expectation, and (ii) the fractional chromatic number of $G$ is at most $(2+\varepsilon)Δ/\log f$. These bounds cannot in general be improved by more than a factor $2$ asymptotically. One may view these as stronger versions of results of Ajtai, Komlós and Szemerédi (19…
In this simple paper, we exhibit a Schur partition giving rise to a triangle-free linear colouring of $K_{1697}$ in 7 colours. Thus we show that the Schur number $S(7) \ge 1696$ and the multicolour Ramsey number $R_{7}(3) \ge 1698$. We also demonstrate a specific partition of the closed integer interval $[1, 376]$ which, through repeated use of a specific construction, allows us to conclude that $S(k+5) \ge 376.S(k)+160$ for any positive integer $k$. The existence of this partition, with its specific properties, implies that $\lim_{\substack{r \rightarrow \infty}} R{_r}(3)^{1/r} > 3.273$.
This paper sets out the results of a range of searches for linear and cyclic graph colourings with specific Ramsey properties. The new graphs comprise mainly 'template graphs' which can be used in a construction described by the current author in 2021 to build linear or cyclic compound graphs with inherited Ramsey properties. These graphs result in improved lower bounds for a wide range of multicolour Ramsey numbers. Searches were carried out using relatively simple programs (written in the language `C') to generate clauses for input to the PeneLoPe and Plingeling parallel SAT-solvers. When so…
Improved bounds for incidences between points and circles
我们建立了一个改进的上界之间的关联数m点和n个圆在三维空间。先前最著名的界限，最初建立的平面的情况下，后来扩展到任何维$\ge 2$，是$O*(m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}+m+n)$，其中$O*(\cdot)$符号隐藏子多项式因子。因为所有的点和圆都可能位于一个公共平面（或球面）上，所以如果不先在平面上改进它，就不可能改进R^3中的界。然而，我们表明，如果一组圆需要是“真正三维的”，在这个意义上，没有球体或平面包含超过$q$的圆，对于一些$q << n$，那么界限可以改进为\[O*(m^{3/7}n^{6/7} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m^{6/11}n^{15/22}q^{3/22} + m + n). \]。当$m=Θ(n)$和$q = o(n^{7/9})$）时，该界限小于下限$Ω*(m^{2/3}n^{2/3}+m+n)$，该下限在二维中成立。我们给出了新界的几个推广和应用：（i）对于所有圆具有相同半径的特殊情况，我们得到了改进的界$O*(m^{5/11}n^{9/11} + m^{2/3}n^{1/2}q^{1/6} + m + n$。(ii)我们提出了一种改进的分析，删除了子多项式的因素，从绑定时，$m=O(n^{3/2-\eps})$的任何固定的$\varepsilon >0$。(iii)我们利用我们…
An Improved Lower Bound for the Erdős-Lovász Cover Number Problem
本文通过初等方法证明$g(r)\ge 3r-4$，并利用Kahn的小余度超图边着色定理改进为$g(r)\ge (61/20-o(1))r$，这是约五十年来首次改进Erdős-Lovász下界。
Proper rainbow connection number of graphs
边着色图中的一条路称为\emph{rainbow path}，如果它的边接收成对不同的颜色。一个边着色图称为\emph{rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路相连.存在这样的边着色的最小$k$是$G.$的彩虹连接数$rc(G)$最近，Bau等人\cite{BJJKM2018}引入了这个概念，并附加了边着色必须适当的要求.一个正常边着色图称为\emph{properly rainbow connected}，如果图的任意两个不同的顶点通过彩虹路连接. $G$的\emph{proper rainbow connection number}，记为$prc(G)$，是使它正常彩虹连接所需的最少颜色数.本文首先证明了一个改进的上界$prc(G) \leq n$，它适用于每一个$n \geq 3.$阶连通图$G$。其次，我们证明了差$prc(G) - rc(G)$可以任意大。最后，我们给出了满足$prc(G) = χ'(G).$的图类的几个充分条件
On the Oriented Chromatic Number of Dense Graphs
设$G$是一个图，它有$n$顶点、$m$边、平均度$δ$和最大度$Δ$。$G$的“定向色数“是在$G$的所有方向上取的最大值，在适当的顶点着色中的最小颜色数，使得每对颜色类之间的所有边都具有相同的方向。本文研究了图的定向色数，如超立方体，对它的$δ\geq\log n$。我们证明了每一个这样的图的定向色数至少为$Ω(\sqrt{n})$。在$δ\geq(2+ε)\log n$的情况下，该下限被改进为$Ω(\sqrt{m})$。通过与调和着色的简单联系，我们证明了$O(Δ\sqrt{n})$在定向色数上的一个一般上界。此外，这个界限对某些图是最好的。当$G$对于某个常数$c>2$是（$c\log n$）正则的时，这些上下界特别接近，在这种情况下，定向色数介于$Ω(\sqrt{n\log n})$和$O(\sqrt{n}\log n)$之间。
Chromatic Numbers of Exact Distance Graphs
本文研究精确距离图的色数，利用广义着色数给出Nešetřil和Ossona de Mendez结果的更简单证明和更优上界，并改进了平面图及$K_t$-次图无关图的下界。
An Improved Lower Bound for the de Bruijn--Erdős Consecutive Gap Problem
针对单位圆上不同点序列的连续弧长极值比，本文通过构造性方法将下界改进为 1 + r/(r^2-1)，特别地，对 r=2 时下界为 5/3。
Linear versus centred chromatic numbers
本文研究中心色数与线性色数的关系，通过证明每个 $k\times k$ 伪网格的线性色数满足 $Ω(k)$ 紧下界，将任意图的一般上界改进为 $χ_{\mathrm{cen}}(G)\le\tilde{O}(χ_{\mathrm{lin}}(G)^{10})$。
On Modular Edge Colourings of Graphs
本文改进了图的模边着色的上界，证明了对于任意d-退化图，χ'_k(G)≤k+O(d)，并进一步将乘法常数降低至9。
Discrepancies of spanning trees in dense graphs
本文研究稠密完全图中生成树的着色边组合差异性问题，将 Erdős 等人的结果从两色推广到多色，并在平衡着色条件下证明每种颜色都能在线性多条边上占优；同时刻画了 2-边着色宿主图中副本边数差至多为 2 的精确条件，反驳了 Mohr 等人的猜想。
Bounding the weight choosability number of a graph
设$G = (V,E)$是一个图，对于每个$e \in E(G)$，设$L_e$是一个实数列表。令$w:E(G) \to \cup_{e \in E(G)}L_e$是边缘加权函数，使得对于每个$e \in E(G)$，$w(e) \in L_e$，并且令$c_w$是通过$c_w(v) = \sum_{e \ni v}w(e)$获得的顶点着色。我们期望最小可能的$k$，使得对于$\{L_e \,|\, e \in E(G)\}$的任何选择，其中$|L_e| \geq k$对于所有$e \in E(G)$，存在$c_w$适合的边缘加权函数$w$。$k$的最小值是$G$的权重可选数。这个着色问题由Bartnicki、Grytczuk和Niwczyk（2009）提出，是现在著名的1-2-3猜想的列表变体，该猜想是由Karoenski、Grytczak和Niwczyk（2004）提出的。Bartnicki等人开发了一种基于组合零点分析的方法来处理这个问题。虽然他们表明，某些特定类别的图的权重选择数最多$3$，它是已知的，他们的方法是否可以扩展到证明一个界，它适用于所有容许图。在本文中，我们表明，这确实是可能的，表明每个图是$(Δ+ d + 1)$ -重量choosable，其中$Δ$是图的最大程度和$d$是它的退化。事实上，更一般的结果提供总重量的选择，其中一个分配权重的边缘和顶点。改进的边…
Improved Upper Bounds on $a'(G\Box H)$
无圈边着色问题在图论中得到了广泛的研究。这一领域的基石是一个猜想阿隆等。等人所述\cite{alonacyclic}，即$a'(G)\le Δ(G)+2$。在那个和随后的工作中，$a'(G)$通常是以$Δ(G)$为界的。基于此，我们引入术语$gap(G)$，定义为$gap(G)=a'(G)-Δ(G)$。Alon的猜想可以被改写为对所有图$G$的$gap(G)\le2$.在\cite{manusccartprod}中，在某些假设下，证明了$a'(G\Box H)\le a'(G)+a'(H)$。基于Alon的猜想，我们推测在相同的假设条件下，$a'(G\Box H)\le a'(G)+Δ(H)$会产生一个强化. \cite{alonacyclic}的结果验证了我们对它所考虑的图类的猜想。我们证明了我们的猜想的一个重要子类的次三次图和状态下，我们的猜想可以被证明的一些通用条件。我们建议如何我们的技术可以潜在地应用于未来的研究人员，以扩大我们的猜想持有的一类图。我们的结果加深了对笛卡尔积与无圈色指数之间关系的理解。
Boxicity of Circular Arc Graphs
一个$k$ -维盒是卡氏积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是实直线上的一个闭区间.图$G$的{ \it boxicity}，记为$box(G)$，是最小整数$k$，使得$G$可以表示为$k$维盒集合的交集图：即两个顶点相邻当且仅当它们对应的盒相交。圆弧图是可以表示为圆上的弧的交图的图。设$G$是具有最大度$Δ$的圆弧图.证明了如果$Δ<\lfloor \frac{n(α-1)}{2α}\rfloor$，$α\in \mathbb{N}$，$α\geq 2$，则$box(G) \leq α$ .我们还演示了一个图与boxicity $> α$，但与$Δ=n\frac{(α-1)}{2α}+\frac{n}{2α(α+1)}+(α+2)$。因此，当$α$较大时，结果不能得到实质性改善。令$r_{inf}$是相对于$G$的某个圆弧表示通过圆上任何点的弧的最小数目。我们还证明了对任意圆弧图$G$，$box(G) \leq r_{inf} + 1$，这个界是紧的.给定圆上的弧族$F$，圆覆盖数$L(F)$是$F$的最小子集$F'$的基数，使得$F'$中的弧可以覆盖圆。最大圆形覆盖数$L_{max}(G)$定义为在所有可能的弧族$F$上获得的$L(F)$的最大值，所述弧族$F$可以表示$G$。我们将证明，如果$G$是一个圆弧图与$…
Chromatic number of spacetime
本文基于 Graham 定理研究了时空的色数问题，回答了 Hadwiger-Nelson 问题的伪欧几里得类似问题，并在引入第二空间维度的设定下给出了另一种证明，得到了显著改进的界限和更强的密度版本。
Extremal properties of flood-filling games
本文系统研究 Flood-It 游戏中使图单色所需的最大洪水操作次数，给出任意图的上下界并证明对树紧，同时探讨高边密度图的上界改进。
An improved bound on the number of point-surface incidences in three dimensions
我们证明了满足适当的非退化条件的$\mathbb{R}^3$中有界度的$m$点和$n$光滑代数曲面最多有$O(m^{\frac{2k}{3k-1}}n^{\frac{3k-3}{3k-1}}+m+n)$关联，只要对某些$k\geq 3$，任何$k$点的集合最多有O（1）个曲面通过它们.在曲面为球面且没有三个球面相交于同一圆的情况下，这意味着存在$O((mn)^{3/4} + m +n)$点-球面入射。对于$β(m,n)$（显式）增长非常缓慢的函数，这比之前的$O((mn)^{3/4} β(m,n)+ m +n)$边界略有改进。我们得到这个界限使用离散多项式火腿三明治定理切割$\mathbb{R}^3$到开放的细胞适应的点集，并在每个细胞的分解，我们应用图兰型定理，以获得粗糙的控制点表面的发病率。然后，我们执行第二个多项式火腿三明治分解的不可约组件的品种所定义的第一次分解。作为应用，我们得到了$\mathbb{R}^3$中$m$点间最大单位距离个数的一个新的界.
A circular $r$-coloring of a signed graph $(G, σ)$ is an assignment $ϕ$ of points of a circle $C_r$ of circumference $r$ to the vertices of $(G, σ)$ such that for each positive edge $uv$ of $(G, σ)$ the distance of $ϕ(v)$ and $ϕ(v)$ is at least 1 and for each negative edge $uv$ the distance of $ϕ(u)$ from the antipodal of $ϕ(v)$ is at least 1. The circular chromatic number of $(G, σ)$, denoted $χ_c(G, σ)$, is the infimum of $r$ such that $(G, σ)$ admits a circular $r$-coloring. This notion is recently defined by Naserasr, Wang, and Zhu who, among other results, proved that for any signed $d$-d…
For a graph $G=(V,E)$, $k\in \mathbb{N}$, and a complex number $w$ the partition function of the univariate Potts model is defined as \[ {\bf Z}(G;k,w):=\sum_{ϕ:V\to [k]}\prod_{\substack{uv\in E \\ ϕ(u)=ϕ(v)}}w, \] where $[k]:=\{1,\ldots,k\}$. In this paper we give zero-free regions for the partition function of the anti-ferromagnetic Potts model on bounded degree graphs. In particular we show that for any $Δ\in \mathbb{N}$ and any $k\geq eΔ+1$, there exists an open set $U$ in the complex plane that contains the interval $[0,1)$ such that ${\bf Z}(G;k,w)\neq 0$ for any $w\in U$ and any graph $…
Bounds for variables with few occurrences in conjunctive normal forms
我们调查SAT（命题可满足性问题）和组合数学之间的连接，围绕最小程度（出现次数）的变量在各种形式的冗余的无布尔合取范式（子句集）。精益子句集没有非平凡的自给自足，也就是说，不可能满足某些子句而不触及其他子句。子句集的不足是子句数和变量数的差异。我们证明了一个精确的上界的最小可变程度的精益条款集依赖于不足。如果一个子句集不满足这个上界，那么它必须有一个非平凡的自给自足，我们表明，自给自足的减少（消除受影响的条款）可以在多项式时间内完成，而它是开放的，找到自给自足本身在多项式时间。然后我们研究了极小不可满足子句集的特殊情形的这个上界。我们表明，在这里的界可以得到改善，引入一个一般的方法来提高潜在的复发。我们考虑精确的关系，因此研究具有数论的味道。我们试图建立一个桥梁，从逻辑组合（特别是超图着色），我们彻底讨论的背景和开放的问题，并提供了许多例子和解释。
A multidimensional Ramsey Theorem
本文将 Ramsey 定理推广到图的笛卡尔积，证明任意维数下双指数上界已足够，并由此改进多维 Erdős-Szekeres 定理，将四维及以上的三重指数上界改进为双指数上界。
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