Odd colouring on the torus
一个单图$G$的正常点着色称为奇数，如果对$G$的每个非孤立点$v$，某个颜色在$v$的邻域中出现奇数次.我们证明了如果$G$嵌入环面，则它允许至多有$9$颜色的真奇顶点着色.
2022-05-09 math.CO
Majority Colourings of Digraphs
我们证明了每个有向图都有一个顶点4-着色，使得对于每个顶点$v$，至多有一半的$v$的外邻点与$v$具有相同的颜色.然后，我们得到几个结果有关的猜想得到取代4的3。
2016-08-10 math.CO
Unavoidable patterns in locally balanced colourings
如果每个顶点至少有$\varepsilon n$红色和$\varepsilon n$蓝色邻居，那么$K_n$的两种颜色必须包含哪些图案？在本文中，我们研究这个问题及其多色变体。例如，我们表明，任何这样的图包含一个$t$爆破的\textit{alternating 4-cycle}与$t = Ω(\log n)$。
2022-10-04 math.CO
A note on the neighbour-distinguishing index of digraphs
本文引入并研究了有向图的邻域可区别弧染色的一种新形式。有向图$D$的弧着色$γ$是适当的，如果没有两条具有相同头或相同尾的弧被赋予相同的颜色.对于$D$的每个顶点$u$，我们分别用$S_γ^-(u)$和$S_γ^+(u)$表示出现在$u$的传入弧和传出弧上的颜色集合。$D$的弧着色$γ$是\emph{neighbour-distinguishing}，如果对于$D$的每两个相邻顶点$u$和$v$，有序对$(S_γ^-(u),S_γ^+(u))$和$(S_γ^-(v),S_γ^+(v))$是不同的。$D$的邻域可区别指数是$D$的邻域可区别弧着色所需的最小颜色数.本文证明了各类有向图的邻域可区别指数的上界.
2019-09-23 cs.DM math.CO
Locally identifying colourings for graphs with given maximum degree
一个图G的正常点着色被称为局部标识，如果对于任何具有不同闭邻域的邻顶点对u，v，u和v的闭邻域中的颜色集是不同的。我们表明，任何图G有一个局部识别着色与$2Δ^2-3Δ+3$颜色，其中$Δ$是G的最大程度，回答了一个积极的方式问的问题Esperet等人。我们还提供了类似的结果，局部识别着色具有的属性，在每个顶点附近的颜色都是不同的，并将我们的方法应用到弦图类。
2012-01-26 cs.DM math.CO
Perfect colourings of simplices and hypercubes in dimension four and five with few colours
本文研究图的完美着色，完整确定四维与五维超立方体边图的两色、三色完美着色，并列出对应维数单纯形边图的所有完美着色以供比较。
2024-02-28 math.CO
Linearity Property of Unique Colourings in Random Graphs
本文推广了随机图中的无冲突与单射着色，提出唯一着色概念，利用顶点划分和概率方法证明所需最小颜色数随唯一性参数线性增长，并论证邻域无界性对线性性质的影响。
2023-11-20 math.CO math.PR
On asymptotically tight bounds for the open conflict-free chromatic indexes of nearly regular graphs
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
研究了近正则图的开放冲突自由色数，证明了其渐近紧界并改进了相关着色模型的现有界。
2026-01-25 math.CO
Colouring Graphs with Sparse Neighbourhoods: Bounds and Applications
设$G$是一个图，其色数为$χ$，最大度为$Δ$，团数为$ω$ .里德猜想指出，$χ\leq \lceil (1-\varepsilon)(Δ+ 1) + \varepsilonω\rceil$对所有$\varepsilon \leq 1/2$。King和Reed证明，只要$Δ$足够大，这个猜想对$\varepsilon \leq 1/130,000$成立。在这篇文章中，我们表明，同样的声明适用于$\varepsilon \leq 1/26$，从而使里德猜想的重要一步。我们得出这个结果从一个一般的技术，以限制色数的图，没有顶点有许多边在其邻域。我们的改进，这种方法也导致改进的边界上的一般图的强色指数。我们证明了在$Δ(G)$足够大的条件下，$χ'_s(G)\leq 1.835 Δ(G)^2$是可解的.
2018-10-15 cs.DM math.CO
Linear Bound for Majority Colourings of Digraphs
给定$η\in [0, 1]$，对于任何$v \in V(G)$，如果$v$的至多$ηd^+(v)$外邻居具有彩色$C(v)$，则$V(G)$的着色$C$是$η$多数着色。我们表明，每一个有向图$G$配备了一个分配的列表$L$，每个大小至少$k$，有一个$2/k$ -多数$L$ -着色。对于偶数$k$，这是最好的可能，而对于奇数$k$，常数$2/k$不能被任何小于$2/(k+1)$的数所取代。这推广了Anholcer、Bosek和Grytczuk的结果，他们证明了情况$k=3$和$k=4$，并给出了一般$k$的较弱结果。
2017-01-20 math.CO
Decomposing and colouring some locally semicomplete digraphs
一个有向图是半完全的，如果任意两个顶点至少由一条弧连接，并且是局部半完全的，如果任意顶点的外邻域和内邻域诱导一个半完全有向图。本文研究了局部半完全有向图的各种子类，给出了它们的结构分解定理。作为结果，我们得到了几个应用，其中Naserasr和第一和第三作者的一个猜想的答案：如果一个定向图是这样的，每个顶点的外邻域诱导一个传递竞赛，那么可以划分它的顶点集为两个无圈有向图。
2022-12-06 cs.DM math.CO
Perfect colourings of regular graphs
一个图的顶点着色称为完美的，如果每个色$i$的顶点恰好有色$j$的$a_{ij}$邻居.完美对颜色关联矩阵$(a_{ij})$施加了几个限制。我们列出了几个（旧的和新的）必要条件的矩阵是一个完美的着色的颜色关联矩阵。此外，我们还证明了这些条件的某种组合也是充分的。利用这一点，我们确定了一个列表的所有颜色的关联矩阵对应的完美着色的3-正则，4-正则和5-正则图的两个，三个和四个颜色，分别。作为应用，我们分别确定了具有两种、三种和四种颜色的柏拉图立体的边图的所有完美染色。
2019-06-14 math.CO
A counterexample to Montgomery's conjecture on dynamic colourings of regular graphs
图的\emph{dynamic colouring}是图的一个真染色，其中非叶顶点的邻域都不是单色的。图$G$的\emph{dynamic colouring number} $χ_2(G)$是$G$的动态着色所需的最少颜色数。Montgomery证明了$χ_2(G) \leq χ(G) + 2$对所有正则图$G$都是有效的，这将显著提高当前最佳上界$χ_2(G) \leq 2χ(G)$ .然而，在本文中，我们证明了最后一个上界是尖锐的，通过构造，对于每一个整数$n \geq 2$，一个正则图$G$与$χ(G) = n$，但$χ_2(G) = 2n$。特别是，这推翻了蒙哥马利的猜想。
2017-02-03 math.CO
Complexity Classification of Colouring Problems with Parity Constraints
Université Gustave Eiffel（古斯塔夫·埃菲尔大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；LIRMM, Université de Montpellier（蒙彼利埃大学）；University of Leeds（利兹大学）
研究具有奇偶性约束的图着色变体，通过考虑顶点邻域颜色数量的多种限制条件，将许多已知着色问题纳入此框架，全面研究了涉及奇偶性的不同约束组合的计算复杂性。
2026-07-21 cs.DS math.CO
Generalised Majority Colourings of Digraphs
本说明的目的是提请注意有关问题的概念称为多数着色最近研究的Kreutzer，乌姆，西摩，范德Zypen和木材。他们提出了一个问题，确定一个自然数$k$，最小的数字$m=m(k)$，使每一个有向图可以着色与$m$颜色，其中每个顶点有相同的颜色，最多$1/k$比例的外邻居。我们表明，$m(k)\in\{2k-1,2k\}$。我们还证明了一个支持猜想的结果，即$m(2)=3$。此外，我们证明了类似的结果，一个更一般的概念，称为多数选择性。
2018-03-23 math.CO
Nested colourings of graphs
一个图的正常顶点着色是\emph{nested}，如果它的每个色类的顶点可以通过包含它们的开邻域来排序。通过与偏序集的关系，我们证明了嵌套的色数可以在多项式时间内计算。显然，嵌套色数是图的色数的一个上界。利用图的一般性质，给出了嵌套色数的多个不同界。我们还确定了嵌套的色数下的几个图形操作的行为，包括直接，笛卡尔，强，和字典的产品。此外，我们还对具有固定色数的固定顶点数的图的可能嵌套色数进行了精确的分类。
2013-06-01 math.CO
Asymptotically Optimal Proper Conflict-Free Colouring
本文研究了图的正常无冲突着色问题，证明了 Caro, Petruševski 和 Škrekovski 提出的关于最大度为 $Δ$ 的连通图至多使用 $Δ+1$ 种颜色的猜想渐近成立，即存在使用 $(1+o(1))Δ$ 种颜色的正常无冲突着色。
2024-12-13 math.CO
A Unified Approach to Distance-Two Colouring of Graphs on Surfaces
在本文中，我们介绍的概念$Σ$ -着色图$G$：对于给定的子集$Σ(v)$的邻居的$v$，对于每一个$v\in V(G)$，这是一个适当的着色的顶点$G$这样，此外，顶点一起出现在一些$Σ(v)$接收不同的颜色。这个概念概括了图形的平方着色和嵌入在曲面中的图形的循环着色的概念。我们证明了一个一般的结果，图嵌入在一个固定的表面，这意味着渐近版本的Wegner的和Borodin的猜想上的这两个着色的平面版本。使用Havet等人最近的方法，我们把问题归结为多重图的边着色问题，然后利用Kahn的结果，即列表色指数与分数色指数接近。我们的结果是基于一个强的结构引理，图嵌入在一个固定的表面，这也意味着一个团的大小在平方的最大程度$Δ$嵌入在一些固定的表面是至多$\frac32\,Δ$加上一个常数。
2012-05-06 math.CO
Pair-Defensive Silver Colourings of Hypercubes
The Graduate Center of the City University of New York（纽约市立大学研究生中心）；Amirkabir University of Technology（阿米尔卡比尔理工大学）；University of Tehran（德黑兰大学）
针对超立方体上的配对防御银色染色问题，证明了最大颜色数约为普通银色染色的一半，并构造了达到界限的染色，刻画了极值结构。
2026-10-01 math.CO
Distant set distinguishing total colourings of graphs
全着色猜想表明，$Δ+3$颜色应该足够，以提供一个适当的全着色的每一个图$G$与最大程度$Δ$。到目前为止，这已经被确认为附加常数因子，并且即使另外要求$G$中的每对邻居关于它们的入射颜色的集合（所谓的调色板）不同，也同样成立。在本文中，我们推测的形式$Δ+const.$的上界仍然有效，即使在扩展的区别要求与顶点在距离最$r$托盘，如果只有$G$的最小程度$δ$大于一个常数依赖于$r$。我们证明了这样的假设$δ$然后是不可避免的，并利用概率的方法，以提供两个支持结果的猜想。也就是说，我们证明了上界$(1+o(1))Δ$为每个$r$，并表明，该猜想成立，如果$δ\geq \varepsilonΔ$为任何固定的$ε\in(0,1]$和$r$，即，特别是对于正则图。
2015-08-24 math.CO
On conflict-free proper colourings of graphs without small degree vertices
一个图$G$的正确顶点着色称为无冲突的，如果在每个顶点的邻域中某个颜色只出现一次，而它被称为$h$ -无冲突的，如果$G$的每个顶点至少有$h$个这样的颜色。$G$的这种着色中的最少颜色数分别表示为$χ_{\rm pcf}(G)$和$χ_{\rm pcf}^h(G)$。已知对于具有最大度$Δ$和$h$非常接近于$Δ$的图，$χ_{\rm pcf}^h(G)$可以与$(h+1)(Δ+1)\approx Δ^2$一样大。我们提供了几个新的上限，这些参数的最小程度$δ$足够大，$h$脱离$δ$的图。特别是，我们证明了$χ_{\rm pcf}^h(G)\leq (1+o(1))Δ$，如果$δ\gg\lnΔ$和$h\ll δ$，和$χ_{\rm pcf}(G)\leq Δ+O(\ln Δ)$的正则图。这些特别是指的猜想卡罗，Petruševski和Škrekovski，$χ_{\rm pcf}(G)\leq Δ+1$的每一个连通图$G$的最大程度$Δ\geq 3$，对他们证明，$χ_{\rm pcf}(G)\leq \left\lfloor\frac{5Δ}{2}\right\rfloor$如果$Δ\geq 1$。
2022-12-17 math.CO
Breaking small automorphisms of graphs of arbitrary cardinality
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
本文证明了对于任意基数的有限和无限连通图，两种颜色即可实现打破所有小自同构的边着色。
2026-02-16 math.CO
Colouring locally sparse graphs with the first moment method
给出了最大度$Δ$的图$G$的列表色数的一个界的一个简短证明，其中每个邻域的密度至多为$d$，即$χ_\ell(G) \le (1+o(1)) \fracΔ{\ln \fracΔ{d+1}}$为$\fracΔ{d+1} \to \infty$ .这个界限紧到一个渐近因子$2$，这是最好的可能，除非在拉姆齐理论的突破，并加强了由于Vu的结果，最近戴维斯，P.，康和塞雷尼我们的证明依赖于第一时刻的方法，并适应了一个聪明的计数罗森菲尔德在非重复着色的背景下开发的参数。作为最后的接触，我们表明，我们的方法提供了一个渐近紧的局部稀疏图的着色数的下界。
2021-11-25 cs.DM math.CO
Flip colouring of graphs II
University of Malta（马耳他大学）
本文研究了图的翻转着色问题，证明了在特定条件下可在Θ(b+r)个顶点上构造小规模(b,r)-翻转图，并发现存在k>4的k-翻转序列使a_k任意大而前部分a_i为常数。
2025-11-04 math.CO
A stronger result on fractional strong colourings
Aharoni、Berger和Ziv最近证明了强着色猜想的分数松弛。本文将他们的结果推广如下。设$k\geq 1$，并将图$G$的顶点划分为集合$V_1,..., V_r$，使得对于$1\leq i \leq r$，$V_i$中的每个顶点至多有$\max\{k, |V_i|-k \}$在$V_i$之外的邻居.然后在$G$的稳定集上存在概率分布，使得从该分布中提取的稳定集以概率$1/|V_i|$命中$V_i$中的每个顶点，对于$1\leq i\leq r$。我们相信，这一结果将是有用的工具，在概率方法来界定色数和分数色数。
2014-10-09 cs.DM math.CO
Frugal colourings of graphs via sparse hypergraph colouring
LIRMM, Univ Montpellier, CNRS, Université de Montpellier Paul-Valéry（蒙彼利埃大学CNRS LIRMM实验室）
研究在无$C_{2t}$或$K_{β,t}$子图的图中，节俭着色数的上界及其紧性，基于稀疏超图着色定理。
2026-10-06 math.CO
Exact majority C-colourings of balanced Hamming graphs and grids
本文精确确定了平衡汉明图与网格的多数C-着色最大类数，给出下界构造与上界证明，并反驳了相关猜想。
2026-09-29 math.CO
Partitioning problems via random processes
本文通过随机过程和重新着色技术证明了多数着色猜想适用于任意密度的Erdős-Rényi随机有向图，并在允许少量异常顶点的条件下证明了内部划分猜想成立。
2024-11-17 math.CO
$H$-colouring $P_t$-free graphs in subexponential time
一个图称为无$P_t$图，如果它不包含$t$顶点上的路作为导出子图。设$H$是一个多重图，它具有任意两个不同的顶点最多有一个公共邻居的性质.我们表明，生成函数（列表）图同态从$G$ $H$可以计算在次指数时间$2^{O\left(\sqrt{tn\log(n)}\right)}$的$n=|V(G)|$类的$P_t$ -自由图$G$。作为推论，我们证明了无$P_t$图$G$的3-着色数可以在次指数时间内找到.另一方面，没有次指数时间算法存在4-着色的$P_t$ -免费的图形假设的指数时间假设。一路上，我们证明了$P_t$ -自由图的路径宽度是线性的，在其最大程度。
2019-03-22 cs.DM math.CO
Zero Forcing Number of Random Regular Graphs
迫零过程是一个迭代的图着色过程，其中在每个时间步，具有单个未着色邻居的着色顶点可以迫使该邻居着色。一个图的迫零集是一个初始的着色顶点集，它最终可以迫使整个图着色。迫零数是最小迫零集的大小。本文研究了随机正则图的迫零数，改进了Kalinowski，Kamucev和Sudakov给出的迫零数的界.我们还提出并分析了一个使用微分方程方法寻找小迫零集的度贪婪算法。
2018-12-16 math.CO
Flip colouring of graphs
该研究证明了满足特定度数条件的红蓝边着色图存在且上界最优，推广至多色与大邻域情形，给出r-正则图开邻域诱导边数的存在性结论，还提出显式构造并揭示其与几类图的关联。
2023-12-14 math.CO
On the neighbour sum distinguishing index of planar graphs
设$c$是图$G=(V,E)$的一个真边染色，其整数为$1,2,\ldots,k$ .然后$k\geq Δ(G)$，而根据Vizing定理，构造这样的$c$所需的不超过$k=Δ(G)+1$。在研究图中的不规则性的过程中，还证实了只有稍大的$k$，即，$k=Δ(G)+2$使得能够实施$c$的附加强特征，即，它将不同的入射颜色和归因于$G$中的相邻顶点，只要该图没有孤立的边并且不同构于$C_5$。我们证明了这个猜想对最大度足够大的平面图是成立的。事实上，更强的声明举行，作为必要的数量的颜色所产生的结果Vizing被证明是足够的这一家庭的图表。具体地说，我们的主要结果指出，每个平面图PDMATHAMT的最大程度至少$28$，其中不包含孤立的边缘承认一个适当的边着色$c:E\to\{1,2,\ldots,Δ(G)+1\}$，使$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$的每一个边$uv$的PDMATHAMT。
2018-03-05 cs.DM math.CO
Frozen colourings in $2K_2$-free graphs
本文研究$2K_2$-自由图中的冻结染色，通过构造操作生成无限类，并证明所有3-色$2K_2$-自由图可重染。
2024-09-20 math.CO
On the complexity of colouring antiprismatic graphs
针对着色反棱柱图（即棱柱图团覆盖问题）复杂度未知的问题，本文提出了两种多项式时间算法，分别解决不可定向棱柱图的团覆盖问题和所有棱柱图的顶点不相交三角形问题。
2019-10-24 cs.DM math.CO
Temporal Role Colouring
University of Glasgow（格拉斯哥大学）；University of Vermont（佛蒙特大学）
该研究将图的角色着色扩展到时序图，证明时序角色着色问题是NP完全的，并通过参数化分析给出了该问题的固定参数可处理性结果。
2026-08-03 cs.DM math.CO
New bounds for odd colourings of graphs
本文研究图的奇数色数，证明关于最大度的渐近上界及若干一般上界，并推广到 $h$-奇数着色。
2023-06-02 cs.DM math.CO
Indicated list colouring game on graphs
该研究围绕图的指示列表染色博弈展开，刻画了非指示度可选图的结构为扩展Gallai树，给出对应线性判定算法，还分类刻画了IC-Brooks图并提出有界最大度图的线性判定算法。
2025-02-22 math.CO
Exact three-component covers in 2-coloured random bipartite graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
本文解决了随机二部图中二色三组件猜想，证明当边概率远大于根号下对数n除以n时，任何红蓝边着色都能用至多三个单色连通组件覆盖所有顶点，方法基于公共邻域扩展引理。
2026-09-17 math.CO
Connected greedy colourings of perfect graphs and other classes: the good, the bad and the ugly
本文研究连通贪心着色中的好图与丑图分类问题，证明所有完美图及其子类（块图、可比图）以及无K₄-minor图都不是丑图，并给出构造性证明和多项式时间算法。
2024-03-25 cs.DM math.CO
Local Search Improvements for Soft Happy Colouring
本文研究了Soft happy着色问题，证明了更高$ρ$值能提升社区检测准确率，并提出了三种局部搜索算法，其中线性时间算法能快速且显著增加$ρ$-happy顶点数。
2025-06-25 cs.DM math.CO
Sampling 3-colourings of regular bipartite graphs
我们证明了，如果$\gS=(V,E)$是正则二部图，并且$\gS=(V,E)$的单奇偶子集的扩张是合理的，并且满足一定的局部条件（相邻顶点的邻域的并集不包含太多成对的非相邻顶点），并且如果$\cM$是$\gS$的真3-着色集合上的马尔可夫链，其在每一步更新至多$ρ|V|$顶点的颜色并且其平稳分布是均匀的，则对于足够大的$ρ\approx .22$和$d$，在$|V|$中（基本上）收敛到$\cM$的平稳性。特别是，如果$\gS$是$d$维超立方体$Q_d$（顶点集$\{0,1\}^d$上的图，其中如果两个字符串在一个坐标上不同，则两个字符串相邻），那么在$2^d/(\sqrt{d}\log d)$中，著名的Glauber（单点更新）动态向平稳性的收敛是指数级缓慢的。我们的主要结果的组合推论是，在一个均匀的3-着色的$Q_d$有一个指数小的概率（在$2^d$），有一个颜色$i$这样的比例的顶点的偶数子立方体着色$i$不同于比例的奇数子立方体着色$i$最多$.22$。我们的证明结合了电导参数与组合枚举方法。
2012-06-14 cs.DM math.CO
An improved procedure for colouring graphs of bounded local density
在对某些固定的$0<σ<1$，跨越任意邻域的边数至多为$(1-σ)\binomΔ{2}$的假设下，我们给出了最大度$Δ$图的色数的一个改进的界.通过该界限实现的颜色减少中的主导项最好可能是$σ\to0$。作为两个结果，我们推进了两个长期存在的和研究良好的图着色猜想，Erdens-Nešetzil猜想和里德猜想的艺术状态。我们证明了对于任何具有足够大的最大度$Δ$的图$G$，强色指数至多为$1.772Δ^2$。证明了对于团数为$ω$且最大度$Δ$足够大的图$G$，其色数至多为$\lceil 0.881(Δ+1)+0.119ω\rceil$.此外，我们展示了如何我们的方法可以适应下的附加假设，codegree是最多$(1-σ)Δ$，并建立什么可以被认为是第一次进展的猜想Vu。
2022-09-10 cs.DM math.CO
Reconfiguration of List Colourings
本文研究图的列表着色重构，证明在每点列表大小至少为度数加一且最大度不小于3时，任意两个可重着色着色可在平方步内转换，并揭示列表减小导致的尖锐相变。
2025-05-12 cs.DM cs.DS math.CO
Palette-colouring: a belief-propagation approach
Aston University（阿斯顿大学）
我们考虑一个变化的原型组合优化问题称为图形着色。我们的优化目标是用固定数量的颜色对图的顶点进行着色，以最大化每个给定顶点的最近邻居集合中存在的不同颜色的数量。这个问题，我们形象地称之为“调色板着色”，最近已经解决了分布式数据存储的上下文中出现的问题的一个基本例子。尽管它还没有被证明是NP完全的，随机搜索算法发现这个问题很难解决。启发式的基础上的天真的信念传播算法的观察工作相当不错，在某些条件下。在本文中，我们建立在上述结果，制定正确的信念传播算法，这需要考虑到在这个问题中存在的约束的多体性质。该方法改进了朴素的信念传播方法，但代价是增加了计算工作量。我们还调查了出现的一个可满足的不可满足的“相变“的顶点平均度的函数，为不同的合奏稀疏随机图的大尺寸（“热力学”）的限制。
2011-04-20 cond-mat.stat-mech cs.AI cs.DS
Glauber dynamics for colourings of chordal graphs and graphs of bounded treewidth
关于图的着色的Glauber动力学是一个随机过程，它包括在每一步中用在其邻域中不存在的颜色中均匀随机选择的新颜色包围图的随机顶点。已知当可用颜色的总数至少为$Δ+2$时，其中$Δ$是图的最大度，该过程收敛于所有着色的集合上的均匀分布。此外，一个众所周知的猜想是，收敛发生所需的时间，称为混合时间，是图的大小的多项式。这个猜想的许多较弱的变体已经在文献中通过允许更多的颜色或将图限制在特定的类或两者来研究。本文遵循这条研究路线，通过研究混合时间的Glauber动力学弦图，以及图的有界树宽。我们表明，混合时间是多项式的图的大小在以下两种情况下：-图有界树宽，至少$Δ+2$颜色，-弦图，如果颜色的数量至少是$(1+\varepsilon) (Δ+1)$，任何固定常数$\varepsilon$。
2020-11-03 cs.DM cs.DS math.CO
New bounds for proper $h$-conflict-free colourings
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；East China University of Science and Technology（华东理工大学）；Shandong University（山东大学）
本文提出了proper h-冲突自由着色的新界，证明了对于最大度Δ的图，χ_{pcf}^h(G) ≤ hΔ + O(log Δ)，并在特定条件下进一步优化了该上界。
2026-02-11 cs.DM math.CO
Discrepancy and Signed Domination in Graphs and Hypergraphs
对图G，G的一个符号控制函数是图G的顶点用+1和-1染色，使得每个顶点的闭邻域中+1的个数多于-1的个数。这个概念与Fueredi和Mubayi [J. Combin. Theory，Ser.B76（1999）223-239]。图G的符号控制数是图G的所有符号控制函数上所有顶点的颜色之和的最小值。本文给出了符号控制数的新的上界和下界。这些新的界限改进了一些已知的结果。
2009-06-22 math.CO
Variants of Merge-Width and Applications
University of Warsaw（华沙大学）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）
本文研究了合并宽度的变种，提出了新的刻画方法，并展示了其在图论中的应用，包括近似算法和稀疏商图的性质。
2026-02-27 cs.DM cs.DS math.CO
Asymptotically Tight Bound for the Conflict-Free Chromatic Index
AGH University of Krakow（克拉科夫AGH科技大学）
研究图冲突色数的渐近紧界，结合概率方法和确定性图分解技术，证明在闭合和开放邻域下，冲突色数上限为(1+o(1))log₂Δ，并证明其渐近紧性。
2026-04-24 math.CO
Star colouring and locally constrained graph homomorphisms
本文将偶数度正则图的星着色刻画为到完全图有向线图及其底层无向图的局部约束同态，推广了3-正则图线图4-星着色的经典结果，并给出特征值必要条件与平面4-正则3-连通图的NP-完全性。
2025-05-07 cs.DM math.CO
Infinite families of planar graphs of a given injective chromatic number
本研究通过计算验证与无限族3-连通平面图构造，拓展了平面图单射着色相关猜想的研究成果，给出多个经典猜想的无限反例并为修正猜想提供支撑。
2024-12-13 cs.DM math.CO
Playing Sudoku on random 3-regular graphs
本文研究随机3-正则图的数独数上界，通过分析一个能产生大量局部强制顶点的3-染色算法，并借助Wormald微分方程方法与有限马尔可夫链工具，证明了其数独数渐近几乎必然不超过(1+o(1))n/3。
2025-03-10 cs.DM math.CO
A note on the conflict-free chromatic index
设$G$是具有最大度$Δ$且没有孤立点的图. $G$的边着色$c$是无冲突的，如果每个边的闭邻域包括唯一着色元素。允许这样的$c$的颜色的最少数目是$G$的无冲突色指数，由$χ'_{CF}(G)$表示。在“无冲突色数与无冲突色指数”[J. Graph Theory，2022; 99：349- 358]中，最近用概率方法证明了$χ'_{CF}(G)\leq C_1\log_2Δ+C_2$，其中$C_1>337$和$C_2$是常数，而存在具有$χ'_{CF}(G)\geq (1-o(1))\log_2Δ$的图族.在本说明中，我们提供了一个明确的简单证明的事实，$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2Δ+1$，这是一个推论的一个更强的结果：$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2χ(G)+1$。为了这个目的，我们证明了一些辅助意见，特别是意味着$χ'_{CF}(G)\leq 4$的二分图。
2022-03-03 math.CO
Quasi Neighborhood Balanced Coloring of Graphs
Rosary College of Commerce and Arts（罗萨里商业与艺术学院）
研究图的准邻域平衡着色，定义了该着色的条件及变体，并证明判定此类着色的存在性是NP难问题。
2025-12-30 math.CO
