Colourings with Bounded Monochromatic Components in Graphs of Given Circumference
证明了周长至多为$k$的图是$O(\log k)$ -列图，使得每个单色分支的大小至多为$O(k)$ .即使在具有有界单色度的着色设置中，颜色数量上的$O(\log k)$界也是最佳可能的。
2017-01-17 math.CO
On asymmetric colourings of graphs with bounded degrees and infinite motion
一个图的顶点着色称为非对称的，如果唯一保持它的自同构是单位元。Tucker证明了如果连通的局部有限图的每个自同构移动无穷多个顶点，则存在具有$2$颜色的非对称着色。在极大度有界图的特殊情况下，我们对这一猜想进行了进一步的研究。更确切地说，我们证明了，如果每一个自同构的连通图的最大程度$Δ$移动无穷多个顶点，那么有一个不对称着色使用$\mathcal O(\sqrt Δ\log Δ)$颜色。这是对$\mathcal O(Δ)$平凡界的第一次改进。
2020-07-20 math.CO
Odd Colourings of Graph Products
奇染色数是Petruševski和Škrekovski提出的一个新的图参数。本文证明了具有所谓乘积结构的图具有有界奇染色数。利用关于$k$ -平面图的积结构的已知结果，这意味着$k$ -可平面图具有有界奇染色数，从而回答了Cranston，Lafflett和Song的一个问题.
2022-02-25 math.CO
Frozen $(Δ+1)$-colourings of bounded degree graphs
令$G$是最大度$Δ$的图，并且$k$是整数。$G$的$k$-着色图是其顶点是$G$的$k$-着色的图，并且如果两个$k$-着色在一个顶点处不同，则它们相邻。众所周知，对于$k\geq Δ+2$，$k$-连通图是连通的。Feghali，Johnson和Paulusma [Journal of Graph Theory，83（4）：340 - 358]证明了$(Δ+1)$-邻接图是由一个唯一的连通分支和（可能有许多）孤立点组成的，该连通分支的大小至少为$2$.本文研究了$(Δ+1)$-邻接图中孤立点（也称冻结着色）的比例问题。我们的主要贡献是表明，如果$G$是连接的，冻结着色的比例$G$是指数小于着色的总数。这激发了对$(Δ+1)$-着色的芒硝动力学的研究。与$k\geq Δ+2$颜色的混合时间的计算结果相反，我们证明了$(Δ+1)$-着色的Glauber动力学的混合时间可以是二次的。最后，我们证明了一些关于大围长图和冻结染色的存在性的结果，并研究了随机正则图的冻结染色。
2018-11-30 math.CO
Clustered colouring of graph classes with bounded treedepth or pathwidth
一类图的“簇色数“是最小整数$k$，使得对于某个整数$c$，该类中的每个图都是$k$ -簇，其单色分量的大小至多为$c$ .本文确定了树深有界的次闭类的聚类色数，并证明了路宽有界的次闭类的聚类色数的一个最佳可能上界。由此，我们确定了每个次闭类的分数簇色数。
2022-01-20 math.CO
Colouring Graphs of Bounded Diameter in the Absence of Small Cycles
对于$k\geq 1$，$G$的$k$着色$c$是从$V(G)$到$\{1,2,\ldots,k\}$的映射，使得对于任何两个非相邻顶点的$c(u)\neq c(v)$为$u$和$v$ . $k$ -着色问题是判定图$G$是否具有$k$ -着色。对于图族${\cal H}$，如果$G$不包含任何来自${\cal H}$的图作为导出子图，则图$G$是${\cal H}$ -free的.令$C_s$为$s$ -顶点循环。在以前的工作（MFCS 2019）中，我们研究了直径对$(C_3,\ldots,C_s)$ -free图和$H$ -free图的$3$ -着色复杂性的影响，其中$H$是一些polyad。在这里，我们证明了$s$的某些小的值，$3$ -着色是多项式时间可解的$C_s$ -自由图的直径$2$和$(C_4,C_s)$ -自由图的直径$2$。事实上，我们的结果适用于更一般的问题列表$3$ -着色。我们补充这些结果与直径$4$的一些硬度结果。
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs
证明了边着色拟随机图到彩虹生成结构的近似分解的几个结果。更确切地说，我们说，一个图的边着色是局部$\ell$ -有界的，如果没有顶点是事件的任何给定的颜色超过$\ell$边，它是（全球）$g$ -有界的，如果没有颜色出现超过$g$次着色。注意，$n$ -顶点图的每一个真着色都是局部$1$ -有界的，并且（全局）是$n/2$ -有界的.我们的结果表明：（i）边色$K_n$的彩虹几乎生成圈的近似分解的存在性，只要边色是$\frac{n}{2}$ -有界的和局部$o(n)$ -有界的. (ii)证明了边色$K_n$到彩虹Hamilton圈的近似分解的存在性，只要边色是$(1-o(1))\frac n2$ -有界的和局部$o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$ -有界的. (iii)我们的结果的二分版本意味着每个$n\times n$阵列，其中每个符号出现$(1-o(1))n$次，并出现在每行或每列只有$o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$次，有一个近似的分解成完整的横截。我们还证明了类似物（i）和（ii）的$F$ -因子，其中$F$是任何固定的图。除了（ii）中的对数因子外，所有这些界限基本上都是最佳可能的。(i)可以看作是最近的结果的推广Alon，Pokrovskiy和Sudakov，谁显示了存在一个几乎生成圈在适当的颜色完全图。（i）和（…
2019-09-28 math.CO
Filling the Complexity Gaps for Colouring Planar and Bounded Degree Graphs
图$G=(V,E)$的着色是函数$c: V\rightarrow\{1,2,\ldots \}$，使得对于每个$uv\in E$，$c(u)\neq c(v)$。$k$-$G$的常规列表分配是具有域$V$的函数$L$，使得对于每个$u\in V$，$L(u)$是大小为$k$的$\{1, 2, \dots\}$的子集。如果对于每个$u\in V$都有$c(u)\in L(u)$，则$G$的着色$c$遵守$G$的$k$ -常规列表分配$L$。一个图$G$是$k$ -可选的，如果对于$G$的每个$k$ -正则列表分配$L$，存在一个尊重$L$的$G$着色。我们也可以问，对于给定的图$G$的给定的$k$ -正则列表分配$L$，是否存在尊重$L$的$G$的着色。这产生了$k$ -常规列表着色问题。对于$k\in \{3,4\}$，我们确定一个家庭的类${\cal G}$的平面图，这样，无论是$k$ -定期列表着色是NP-完全的实例$(G,L)$与$G\in {\cal G}$，或每一个$G\in {\cal G}$是$k$ -choosable。通过使用已知的非$3$ -可选和非$4$ -可选图的例子，这使得我们能够将$k$ -正则列表着色的复杂性限制到平面图、平面二部图、平面无三角形图以及没有$4$ -圈和没有$5$ -圈的平面图。我们还分类的复杂性$k$ -定期列表着色和一些相关的着色问…
2019-02-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Characterising Bounded Expansion by Neighbourhood Complexity
证明了一类图类$\cal G$具有有界扩张当且仅当它具有有界$r$ -邻域复杂度，即对于$G\in\cal G$的任意子图$H$的任意顶点集$X$，$X$在$X$上的恰为$H$的顶点的$r$ -邻域的子集数与$X$的大小成线性关系.这是建立在它的$r$ -中心着色数和它的弱$r$ -着色数，这提供了已知的有界扩展的性质的特征方面的限制的$r$ -邻域复杂性的图。
2016-11-02 cs.DM math.CO
Planar graphs have bounded nonrepetitive chromatic number
一个图的着色是“非重复”的，如果对于偶数阶的每条路径，路径的前半部分的颜色序列不同于后半部分的颜色序列。我们证明了可平面图具有非重复染色，且颜色数有界，从而证明了Alon，Grytczuk，Haluszczak和Riordan（2002）的一个猜想.我们还概括了这一结果的图有界欧拉属，图不包括一个固定的未成年人，图不包括一个固定的拓扑未成年人。
2022-01-20 cs.DM math.CO
Nonrepetitive colourings of graphs excluding a fixed immersion or topological minor
证明了不含固定浸入的图具有有界的非重复色数。更一般地说，我们证明，如果$H$是一个固定的可平面图，有一个平面嵌入的所有顶点的度至少为4的一个单一的面，然后图排除$H$作为一个拓扑子有界非重复色数。这是已知的具有有界非重复色数的图的最大类。
2017-04-16 math.CO
Nonrepetitive Colourings of Planar Graphs with $O(\log n)$ Colours
一个图的顶点着色是\emph{nonrepetitive}，如果没有一条路的前半部分被赋予与后半部分相同的颜色序列。图$G$的\emph{nonrepetitive chromatic number}是最小整数$k$，使得$G$具有非重复的$k$-着色。平面图是否具有有界非重复色数是该领域的一个重要的开放问题。尽管如此，对于$n$-顶点平面图，最著名的上界是$O(\sqrt{n})$。我们证明了一个$O(\log n)$上界。
2012-02-16 cs.DM math.CO
Clustered 3-Colouring Graphs of Bounded Degree
本文研究有界度图的聚类三染色问题，证明最大度为Δ的平面图可3染色且聚类数为O(Δ²)，推广至有界亏格曲面图，并证明排除固定子式的图聚类数为O(Δ⁵)，均显著改进此前指数或高阶界。
2021-03-17 math.CO
Odd Chromatic Number of Graph Classes
一个图称为奇（分别，偶），如果每个顶点都有奇（分别，偶）度。Gallai证明了每个图都可以划分为两个偶诱导子图，或者划分为一个奇诱导子图和一个偶诱导子图。我们把划分成奇子图称为G的奇染色。Scott [Graphs and Combinatorics，2001]证明了一个图允许奇数着色当且仅当它有偶数个顶点。我们说一个图G是k-奇列图，如果它能被划分成至多k个奇导出子图。本文首次系统地研究了图类的奇染色和奇色数。特别地，我们考虑了一些类是否有界奇色数。我们的主要结果是：区间图、有界模宽图和有界最大度图都有界奇色数。
2023-03-06 cs.DM math.CO
Colouring and Covering Nowhere Dense Graphs
Grohe等人证明了稠密图类中没有任何地方允许小度的稀疏邻域覆盖。我们证明了一个单调图类允许稀疏邻域覆盖当且仅当它无处稠密。无处稠密类的这种覆盖的存在性是通过所谓的弱着色数的界限建立的。本文的核心结果是各种下和上界的弱色数和其他密切相关的广义色数。我们证明了这些数字的紧界有界树宽度的图。我们澄清和收紧之间的关系的膨胀（在这个意义上的“有界膨胀”所定义的Nesetril和Ossona德门德斯）和各种广义着色数。这些上界补充了新的，更强的指数下界的广义着色数。最后，我们证明了对所有r>2，计算弱r-着色数是NP-完全的。
2018-11-06 math.CO
Glauber dynamics for colourings of chordal graphs and graphs of bounded treewidth
关于图的着色的Glauber动力学是一个随机过程，它包括在每一步中用在其邻域中不存在的颜色中均匀随机选择的新颜色包围图的随机顶点。已知当可用颜色的总数至少为$Δ+2$时，其中$Δ$是图的最大度，该过程收敛于所有着色的集合上的均匀分布。此外，一个众所周知的猜想是，收敛发生所需的时间，称为混合时间，是图的大小的多项式。这个猜想的许多较弱的变体已经在文献中通过允许更多的颜色或将图限制在特定的类或两者来研究。本文遵循这条研究路线，通过研究混合时间的Glauber动力学弦图，以及图的有界树宽。我们表明，混合时间是多项式的图的大小在以下两种情况下：-图有界树宽，至少$Δ+2$颜色，-弦图，如果颜色的数量至少是$(1+\varepsilon) (Δ+1)$，任何固定常数$\varepsilon$。
2020-11-03 cs.DM cs.DS math.CO
Distinguishing infinite graphs with bounded degrees
如果唯一的保色自同构是恒等式，则称一个图的着色是可区分的。Tucker的一个猜想指出，如果图$G$的每个自同构移动无穷多个顶点，则存在可区别的$2$ -着色。我们对最大度为$Δ\leq 5$的图证实了这个猜想。此外，使用类似的技术，我们表明，如果一个无限图有最大程度的$Δ\geq 3$，那么它承认一个区别染色与$Δ- 1$颜色。这个边界很锋利.
2018-10-09 math.CO
Packing colouring of some classes of cubic graphs
图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）是使其顶点集V（G）可划分为k个不相交子集V1，. ..，V k，使得对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k，V i中的每两个不同顶点在G中的距离大于i。最近，Balogh，Kostochka和Liu证明了$χ$ $ρ$在次三次图类中没有界[Packing chromatic number of subcubic graphs，Discrete Math.341（2018），474483]，从而回答了以前在几篇论文中提出的问题。然而，三次图或次三次图的几个子类具有有界填充色数。在本文中，我们确定的确切值，或上，下界，包装色数的某些类别的三次图，即圆梯，所谓的H-图和广义H-图。
2018-08-14 cs.DM math.CO
Colouring Non-Even Digraphs
Erdos和Neumann-Lara在1980年定义了一个有向图的顶点着色，使得不存在单色有向圈。一个无环有向图的这种着色所需的最少颜色数被定义为它的二色数。这个量在过去的几十年里得到了广泛的研究，可以被认为是图的色数的自然有向模拟。一个有向图D被称为偶数，如果对于每一个0-1-权的边，它包含一个偶数总权的有向圈。我们证明了每一个非偶有向图的二色数至多为2，并且可以在多项式时间内找到一个最佳染色。我们加强了以前已知的NP-困难的结果表明，决定是否有向图是2-列仍然NP-困难，即使它包含一个反馈顶点集的有界大小。
2019-05-17 cs.DM math.CO
When $t$-intersecting hypergraphs admit bounded $c$-strong colourings
该研究解决了Blais等人的问题，证明$t$-相交超图的$(t+1)$-强色数有界，还刻画了其在$c\neq t+2$时大$c$-强色数的条件，且该刻画适用于排除指定参数向日葵结构的超图。
2024-06-19 math.CO
Clustered Colouring of Graph Products
本文研究了两个有界树宽图的强乘积的聚类着色问题，在有无有界度的不同情况下，证明了使用2或3种颜色时聚类大小的最佳渐近界限，并给出了任意颜色数量的一般界限。
2024-07-31 math.CO
On the neighbour sum distinguishing index of graphs with bounded maximum average degree
图$G=(V,E)$的适当边$c:E\to \{1,2,\ldots,k\}$-着色是将颜色分配给图的边，使得没有两个相邻的边与相同的颜色相关联。邻和可区别边$k$ -着色，简称nsd $k$ -着色，是一种适当的边$k$ -着色，使得对于$G$的每条边$uv$都有$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$.用$χ'_{\sum}(G)$表示$G$的邻和可区别指数，它是使得$G$存在nsd $k$ -着色的最小整数$k$.根据定义，至少最大程度上，需要$Δ(G)$颜色来实现这一目标。本文证明了对任意不含孤立边的图$G$和含有${\rm mad}(G)<3$，$Δ(G) \geq 6$的图，都有$χ'_Σ(G) \leq Δ(G)+1$.
2015-08-25 math.CO
A general framework for hypergraph colouring
洛瓦兹局部引理是证明组合对象存在性的一种强有力的概率技术。它对于着色图和最大度有界的超图特别有用。本文提出了一个着色超图的一般定理，在许多情况下，匹配或略有改进的使用Lovász局部引理得到的界限。此外，该定理直接表明，有指数许多染色。初等和自包含的证明受到Rosenfeld [2020]最近关于非重复着色的结果的启发。我们应用我们的一般定理的设置正常超图着色，正常图着色，独立断面，星着色，非重复着色，节俭着色，Ramsey数下界，并为$k$ -SAT。
2021-04-13 math.CO
Colouring $(sP_1+P_5)$-Free Graphs: a Mim-Width Perspective
我们证明了类的$(K_t,sP_1+P_5)$ -自由图有界最小宽度的每一个$s\geq 0$和$t\geq 1$，并有一个多项式时间算法，给定一个图在类中，计算分支分解的常数最小宽度。大量的\NP -完全图问题在有界最小宽度的图类上成为多项式时间可解的，并且对于这些图类，分支分解是快速可计算的。$k$ -着色问题就是这种问题的一个例子。对于这个问题，我们可以假设输入图是无$K_{k+1}$的。然后，作为我们的结果的一个结果，我们得到了一个新的证明已知的结果，即对任何固定的$k\geq 1$和$s\geq 0$，$k$ -着色是多项式时间可解的$(sP_1+P_5)$ -自由图。事实上，我们的研究结果表明，这种多项式时间算法的根本原因是该类具有有限的最小宽度。
2020-04-23 cs.CC cs.DM cs.DS
On the total neighbour sum distinguishing index of graphs with bounded maximum average degree
图$G=(V,E)$的全$k$-着色是对图$G$的边和顶点的颜色分配$c : V \cup E\to \{1,2,\ldots,k\}$，使得没有两个相邻的边或顶点以及没有边和它的端点与相同的颜色相关联.区分$k$-着色的全邻和，或简称tnsd $k$-着色，是一个真的全$k$-着色，使得对于$G$的每条边$uv$都有$\sum_{e\ni u}c(e)+c(u)\neq \sum_{e\ni v}c(e)+c(v)$.我们用$χ''_Σ(G)$表示$G$的总邻居和区分指数，它是使得存在$G$的tnsd边$k$着色的最小整数$k$。证明了对每个图$G$都有$χ''_Σ(G) \leq Δ(G) + 3$.本文对任何具有${\rm mad}(G)<\frac{14}{3}$和$Δ(G) \geq 8$的图$G$证明了这个猜想。
2018-03-05 math.CO
Edge-colouring and orientations: applications to degree- and $χ$-boundedness
National Institute of Informatics, The University of Tokyo（国立情报学研究所，东京大学）
论文通过推广Ramsey定理，证明大度数图中存在单色子图保持大度数，并由此得出大度数图包含大传递竞赛或大度数反向图的结论，进一步证明某些度数有界图类的性质。
2026-04-16 math.CO
The game colouring number of powers of forests
本文证明了最大度至少为3的森林的m次幂的博弈着色数具有更优的上界，将已知最佳界改进了一个渐近因子2。
2015-11-23 math.CO
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
2017-04-04 math.CO
$2\times n$ Grids have Unbounded Anagram-Free Chromatic Number
我们表明，Anagram自由顶点着色$2\times n$正方形网格需要一些颜色，增加与$n$。这回答了威尔逊的论文中的一个悬而未决的问题，并表明，即使是图的路径宽度$2$不具有任意色数的颜色。
2021-05-05 cs.DM math.CO
Colouring Strong Products
针对重要图类可嵌入简单图类强乘子图的背景，本文提出通用技术界定一般图与路径、有界树宽图等的强乘积的各类色数，并揭示其与多领域主题的关联。
2023-01-16 math.CO
List colouring with a bounded palette
Král' and Sgall（2005）引入了列表着色的改进，其中每个颜色列表必须被子集到一个预定的颜色调色板。当调色板的大小最大为$\ell$，而列表的大小必须至少为$k$时，我们称之为$(k,\ell)$ -可选择性。他们证明了，对于任何整数$k\ge 2$，有一个整数$C=C(k,2k-1)$，满足$C = O(16^{k}\ln k)$作为$k\to \infty$，这样，如果一个图是$(k,2k-1)$ -choosable，那么它是$C$ -choosable，并询问是否$C$需要在$k$中是指数的。我们证明它必须满足$C = Ω(4^k/\sqrt{k})$。对于一个整数$\ell \ge 2k-1$，如果$C(k,\ell)$是最小的整数，使得一个图是$C(k,\ell)$-choosable，如果它是$(k,\ell)$ -choosable，那么我们更一般地提供了一个下界$C(k,\ell)$，一个是超多项式在$k$，如果$\ell = o(k^2/\ln k)$，通过一个极值集理论的性质。通过使用容器，我们还给出了$C(k,\ell)$的上界，如果$\ell \ge 2.75 k$，则改进了以前的界。
2015-11-27 math.CO
Queue layouts and nonrepetitive colouring of planar graphs and powers of trees
Dujmović，Joret，Micek，Morin，Ueckerdt和Wood最近在[可平面图]中提出了有界图数，Journal of the ACM，第67卷，第4期，文章编号：22，August 2020]给出了可平面图的一些有吸引力的图积结构定理。他们利用乘积结构证明了可平面图具有有界非重复色数$48$ ;在[可平面图具有有界非重复色数，Advances in Combinatorics，5，11 pp，2020]中，作者证明了可平面图具有有界非重复色数$768$。本文还利用乘积结构定理，将可平面图的色数上界改进为$27$，将不重色数上界改进为$320$ .我们还研究了树木的力量。本文给出了树$T$的$k$次$T^k$的图积结构定理，并利用它给出了树$T^k$的非重复色数的一个上界.我们还给出了$T^k$的最小数的渐近紧上界.
2021-03-12 math.CO
Partitioning H-Free Graphs of Bounded Diameter
增加我们对NP完全图问题的理解的一个自然方法是将输入限制为一个特殊的图类。$H$ -free图，即不包含某些图$H$作为导出子图的图，已被证明是这种复杂性研究的理想测试平台。然而，如果禁止图$H$包含圈或爪，则这些问题通常保持NP完全。最近对$k$ -着色问题的复杂性研究表明，如果我们也限制$H$ -free输入图的直径，我们仍然可以获得易于处理的结果。我们继续这条线的研究发起的复杂性研究的影响，限制在$H$自由图的各种经典的顶点划分问题的直径的边界。我们证明了边界的直径并没有帮助的独立集，但导致新的易处理的情况下密切相关的问题3-着色。也就是说，我们表明，近二分性，独立反馈顶点集，独立奇圈translation，无圈3-着色和星3-着色都是多项式时间可解的有界直径的无椅图。为了得到这些结果，我们利用了一个新的结构性质的3-colorchair-free图。
2022-04-18 cs.CC cs.DM cs.DS
Connected greedy colourings of perfect graphs and other classes: the good, the bad and the ugly
本文研究连通贪心着色中的好图与丑图分类问题，证明所有完美图及其子类（块图、可比图）以及无K₄-minor图都不是丑图，并给出构造性证明和多项式时间算法。
2024-03-25 cs.DM math.CO
Variants of Merge-Width and Applications
University of Warsaw（华沙大学）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）
本文研究了合并宽度的变种，提出了新的刻画方法，并展示了其在图论中的应用，包括近似算法和稀疏商图的性质。
2026-02-27 cs.DM cs.DS math.CO
Variations on the Petersen colouring conjecture
Petersen着色猜想指出，每个无桥三次图允许一个带有$5$颜色的边着色，使得对于每个边$e$，分配给与$e$相邻的边的颜色集具有$2$或$4$的基数，但不具有$3$的基数。证明了每一个无桥三次图$G$都允许用$4$色进行边着色，使得至多$\frac45\cdot|V(G)|$边不满足上述条件.这个界是紧的，Petersen图是唯一的连通图的界不能减少。我们得到这样一个$4$ -边着色通过使用一个精心选择的子集的完美匹配的边缘，和分析依赖于一个简单的放电过程，基本上没有减少和非常少的规则。
2019-05-20 math.CO
Anagram-free Graph Colouring
变位词是一个形式为$WP$的词，其中$W$是一个非空词，$P$是$W$的置换。研究了无变位图的着色问题，给出了无变位图的色数的界。Alon et al.（2002）提出了一个问题，即无变位图的色数是否被一个最大次数的函数所限制。我们通过构造最大度为3且无无界字谜色数的图来否定地回答这个问题。我们还证明了树的无变位图色数的上、下界。最后，我们探讨扩展到边缘着色和$k$ -anagram自由着色。
2017-06-27 math.CO
Anagram-free colourings of graph subdivisions
变位词是一个形式为$WP$的词，其中$W$是一个非空词，$P$是$W$的置换。如果图的所有子路都不是变位图，则称图的顶点着色是无变位图的。Anagram自由图着色是由Kamčev，Kubuczak和Sudakov和我们自己独立介绍的。本文介绍了图的剖分的无变位染色的研究。我们证明了每个图都有一个无换位图的$8$ -列剖分。每条边的分割顶点数与边数成指数关系。对于树，我们构造了无变位图的$10$ -列剖分，每条边的剖分顶点较少。相反，我们证明了下界，在每边的划分顶点，对的完全图的细分和细分的有限度的完全树的Anagram免费色数。
2017-08-31 math.CO
Colouring random graphs: Tame colourings
本文研究随机图的着色问题，提出tame着色类并通过二阶矩论证给出其存在概率的紧致界限，证明了t有界色数在特定条件下的集中性，为Zigzag Conjecture和最优非集中性结果提供了重要支撑。
2024-09-25 math.CO
Colouring bottomless rectangles and arborescences
我们研究与无底矩形着色有关的问题。我们的一个主要结果表明，对于任何正整数$m, k$，有没有半在线算法，可以$k$颜色的无底矩形与不相交的边界在其顶边的递增顺序，使任何$m$倍覆盖点覆盖至少有两种颜色。令人惊讶的是，这是一个更强的结果为树状着色的必然结果。任何半在线着色算法，颜色的树形图在叶到根的顺序与有限数量的颜色产生任意长的单色路径。这是补充的最佳上界给出了简单的在线着色算法从其他方向。我们的其他主要结果研究配置的无底矩形，试图改善\textit{polychromatic $k$-colouring number}，$m_k^*$。我们表明，对于许多家庭的无底矩形，如单位宽度的无底矩形，$m_k^*$是线性的$k$。我们还提出了一个改进的下界一般家庭：$m_k^* \geq 2k-1$。
2020-09-07 math.CO
Limits of degeneracy for colouring graphs with forbidden minors
本文受 Hadwiger 猜想启发，证明了在具有强次线性分隔符的单调图族中，足够大的有界最大度二分图 H 满足 Seymour 提出的关于禁止 minors 的退化度性质，且三个条件均不可省略。
2023-04-26 math.CO
Colouring Generalized Claw-Free Graphs and Graphs of Large Girth: Bounding the Diameter
对于一个固定的整数，$k$ -着色问题是决定是否可以用最多$k$颜色的图的整数$k$，使得没有两个邻顶点是相同的颜色。如果$G$不包含$H$作为诱导子图，则图$G$是无$H$的.对于所有的$k\geq 3$，如果$H$含有诱导爪或诱导圈，则对于无$H$的图，$k$ -着色问题是NP-完全的. $H$包含一个循环的情况下，从已知的结果，该问题是NP-完全的，即使是任意大的固定围长的图。我们研究在何种程度上的情况可能会改变，如果此外输入图有界直径。
2021-11-23 cs.CC cs.DM cs.DS
Shallow Minors, Graph Products and Beyond Planar Graphs
Dujmović，Jordet，Micek，Morin，Ueckerdt，and Wood [J. ACM 2020]的可平面图乘积结构定理指出，每个可平面图都是树宽有界的图和路的强乘积的子图，这个结果已经成为解决队列布局、非重复着色、中心着色和邻接标号方案等重要公开问题的关键工具。在本文中，我们扩展了这条线的研究，利用浅子证明类似的产品结构定理的几个超越可平面图类。驱动我们工作的关键观察是，许多超越可平面图可以被描述为可平面图与小完全图的强积的浅子图。特别地，我们证明了平面图、$k$ -平面图、$(k,p)$ -簇平面图、扇平面图和$k$ -扇丛可平面图的幂都具有这种浅子结构.利用新旧结果的结合，我们推出了这些类具有有界的色数、有界的非重复色数、多项式$p$ -中心色数、线性强色数和立方弱色数.此外，我们证明了$k$ -间隙可平面图至少有指数局部树宽，因此，不能被描述为一个有界树宽图和一条路的强积的子图。
2022-06-17 math.CO
List $k$-Colouring $P_t$-Free Graphs: a Mim-width Perspective
图$G=(V,E)$的着色是一个映射$c\colon V\to \{1,2,\ldots\}$，使得对于$G$的每两个相邻顶点$u$和$v$，$c(u)\neq c(v)$。{ \sc List $k$ -Colouring}问题是决定具有用于每个$u\in V$的列表$L(u)\subseteq \{1,\ldots,k\}$的图$G=(V,E)$是否具有着色$c$，使得用于每个$u\in V$的$c(u)\in L(u)$。最近，Chudnovsky，Spirkl and Zhong（DM 2020）证明了对于每个$t\geq 1$和$K_{1,s}^1$，List $3$ -Colouring对于$(K_{1,s}^1,P_t)$ -free图是多项式时间可解的.我们将他们的结果推广到对每个$k\geq 1$列表$k$ -着色。我们的结果还推广了已知的结果，即对于每个$k\geq 1$和$s\geq 0$，列表$k$ -着色对于$(sP_1+P_5)$ -free图是多项式时间可解的，这是由Hoàng，Kamienski，Lozin，Sawada和Shu（Mimica 2010）证明的$s=0$，以及由Couturier，Golovach，Kratsch和Paulusma（Mimica 2015）证明的。我们证明了我们的结果，证明了一个潜在的宽度参数的有界性。也就是说，我们表…
2021-01-19 cs.CC cs.DM cs.DS
Cover-Decomposition and Polychromatic Numbers
一个超图的顶点的着色是多色的，如果每个超边至少包含一个每种颜色的顶点;多色数是这种着色中颜色的最大数目。它的对偶，覆盖分解数，是不相交的超边覆盖的最大数目。在几何超图中，有大量的工作下界这些数字在其平凡的上界（最小超边大小和度），我们的目标是扩大研究几何设置以外。我们得到的算法产生近紧的三个家庭的超图：有界超边大小，路径树，有界VC维。这表明差异理论和迭代线性规划松弛是有用的覆盖分解。最后，我们讨论了覆盖分解到传感器覆盖的推广。
2012-05-29 cs.DM math.CO
Covering complete graphs by monochromatically bounded sets
给定完全图$K_n$的边的$k$ -着色，是否存在覆盖其顶点的$k-1$单色分量？著名的洛瓦兹-莱瑟猜想的这个重要特例仍然悬而未决。在本文中，我们考虑加强这个问题，我们坚持覆盖集不仅是连接的，但有界直径。特别是，我们证明了，对于任何着色的$E(K_n)$与4种颜色，有一个选择的集合$A_1, A_2, A_3$，覆盖所有顶点，和颜色$c_1, c_2, c_3$，使每个$i = 1,2,3$的单色子图诱导的集合$A_i$和颜色$c_i$的直径最多为160。
2017-05-25 math.CO
Colouring Square-Free Graphs without Long Induced Paths
对于无$H$的图，{ \sc着色}的复杂性是完全理解的，但是如果两个导出子图$H_1$和$H_2$是禁止的，则仍然存在主要的复杂性差距.设$H_1$为$s$ -顶点循环$C_s$，$H_2$为$t$ -顶点路径$P_t$ .我们证明了{ \sc着色}对于$s=4$和$t\leq 6$是多项式时间可解的，加强了几个已知的结果。我们的主要方法是发起一个遗传图类的原子（图没有团割集）的团宽度的有界性的研究。我们首先证明了无$H$图和无$H$原子的圈宽有界性的分类是一致的。然后，我们表明，这是不是这样的情况下，如果两个图是禁止的：我们证明了$(C_4,P_6)$ -自由原子的最大宽度约18。我们的关键证明成分是一个分而治之的方法来界定的一个子类的$C_4$ -免费的图形和建设的一个新的界限上的candel-width（一般）图的candel-width递归定义的子图诱导的齐次对和三元组的集合。作为补充，我们证明了{ \sc Colouring}对于$s=4$和$t\geq 9$是\NP -完全的，这是关于无$(C_4,P_t)$图的{ \sc Colouring}的第一个硬度结果.结合我们的新的结果与已知的结果导致几乎完全二分法的\cn限制到$(C_s,P_t)$ -免费的图形。
2018-05-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Improper Colourings inspired by Hadwiger's Conjecture
Hadwiger猜想断言每个$K_t$ -minor自由图都有一个适当的$(t-1)$ -着色。我们通过不适当的着色放宽了Hadwiger猜想中的结论。本文证明了任何无$K_t$ -minor图都是$(2t-2)$ -可列图，其单色分支的阶至多为$\lceil{\frac12(t-2)}\rceil$ .这个结果没有更多的颜色和更小的单色分量比所有以前的结果在这个方向上。证明了每个$K_t$ -minor free图都是单色度至多为$t-2$的$(t-1)$ -列图.这是最好的已知度界这样的结果。这两个定理都是基于独立兴趣的分解方法。我们给类似的结果$K_{s,t}$ -小自由图，从而导致这些类的广义着色数的改进的界限。最后，我们证明了不含$K_t$ -浸入的图是具有有界单色度的$2$ -可浸入图.
2018-02-22 math.CO
A note on connected greedy edge colouring
在给定图$G$的边的顺序之后，贪婪边着色过程为每个边分配最小的可用颜色。这样涉及的颜色的最小数目是色指数$χ'(G)$，最大数目是所谓的格兰迪色指数。在这里，我们感兴趣的是限制的情况下，边的排序建立在一个连接的方式图。令$χ_c'(G)$为遵循这种排序所涉及的颜色的最小数目。我们证明，这是NP-难的，以确定是否$χ_c'(G)>χ'(G)$。我们证明了当$G$是二部的时，$χ'(G)=χ_c'(G)$是二部的;当$G$是次立方的时，$χ_c'(G)\leq 4$是二部的。
2020-12-27 math.CO
On the Generalised Colouring Numbers of Graphs that Exclude a Fixed Minor
本文研究排除固定子式图的广义着色数上界，将原有指数界大幅改进为线性界和多项式界，并针对有界亏格图给出更精确的界。
2020-04-01 cs.DM math.CO
Monochromatic cycle partitions in 3-mean edge-colourings
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
针对Conlon与Stein提出的边着色完全图划分为有限个单色圈的问题，证明顶点关联颜色平均数至多为3时该命题成立，解决了r=3的首个公开情况。
2026-10-14 math.CO
Selective Hypergraph Colourings
我们看看着色的$r$ -均匀超图，我们的注意力集中在独特的着色性和差距的色谱。顶点着色的$r$ -均匀超图$H$中的边$r$的模式是由$E$中顶点的颜色类诱导的$r$的划分。令$Q$是$r$的划分的集合。$H$的$Q$着色是其顶点的着色，使得仅允许出现在$Q$中的图案。我们首先表明，许多已知的超图着色问题，包括拉姆齐理论，可以在$Q$ -着色的语言。然后，利用$Q$ -染色和$Σ$ -超图的概念，定义并证明了紧染色的一个结果，这是唯一可染性概念的一个加强. $Σ$ -超图是$σ$ -超图的自然推广，由前两位作者在早期的论文中介绍。我们还证明了存在具有任意大的$Q$ -色数和色数但团数有界的$Σ$ -超图. Dvorak等人已经描述了那些$Q$的特征，这些特征可以导致在其$Q$ -谱中具有间隙的超图。我们给出了它们在$Q$上的条件的必要性的一个简短的直接证明。我们还证明了$Σ$ -超图的一个特殊情况的部分逆。最后，我们证明了，至少有一个家庭$Q$这是已知的产生超图与差距，有没有$Σ$ -超图的差距，其$Q$ -频谱。
2015-04-16 math.CO
Counterexample to Babai's lonely colour conjecture
该研究针对Babai1978年提出的无孤独色图色数有界的猜想，构造出具有任意大围长和色数、满足边着色无孤独色条件的图，强力证否了该猜想。
2024-10-07 cs.DM math.CO math.GR
Peaceful Colourings
该研究引入和平着色这一h-无冲突着色变体，定义p-和平着色的条件，揭示其与Δ-正则图h-无冲突着色的等价关系，给出p_Δ的上下界并提出相关改进问题。
2025-04-30 math.CO
