The generalised colouring numbers $\mathrm{col}_r(G)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)$ were introduced by Kierstead and Yang as a generalisation of the usual colouring number, and have since then found important theoretical and algorithmic applications. In this paper, we dramatically improve upon the known upper bounds for generalised colouring numbers for graphs excluding a fixed minor, from the exponential bounds of Grohe et al. to a linear bound for the $r$-colouring number $\mathrm{col}_r$ and a polynomial bound for the weak $r$-colouring number $\mathrm{wcol}_r$. In particular, we show that if $G$ excludes $K_t$ as a minor, for some fixed $t\ge4$, then $\mathrm{col}_r(G)\le\binom{t-1}{2}\,(2r+1)$ and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\binom{r+t-2}{t-2}\cdot(t-3)(2r+1)\in\mathcal{O}(r^{\,t-1})$. In the case of graphs $G$ of bounded genus $g$, we improve the bounds to $\mathrm{col}_r(G)\le(2g+3)(2r+1)$ (and even $\mathrm{col}_r(G)\le5r+1$ if $g=0$, i.e. if $G$ is planar) and $\mathrm{wcol}_r(G)\le\Bigl(2g+\binom{r+2}{2}\Bigr)\,(2r+1)$.
The Generalised Colouring Numbers on Classes of Bounded Expansion
广义着色数$\mathrm{adm}_r(G)$、$\mathrm{col}_r(G)$和$\mathrm{wcol}_r(G)$是由Kierstead和Yang作为通常着色数的推广而引入的，也被称为图的退化度，并且从那时起在Nešetzil和Ossona de Mendez引入的有界扩张和无处稠密类图的理论中找到了重要的应用。本文研究了色数与另外两种测度的关系，即与均匀拟宽的测度的关系，这两种测度是Dawar等人在一阶逻辑的保持定理中首先研究的，以及与Grohe等人引入的分裂器博弈的关系。我们证明了除固定拓扑子图外的每个图都有一个泛序，即，一阶证明对于$r$的每个值，着色数都很小。最后，我们使用我们的建设这样的订单给一个新的证明Eickmeyer和Kawarabayashi的结果，示出的继任者不变的一阶公式的模型检验问题是固定参数听话的排除拓扑未成年人的图类。
Defective colouring of graphs excluding a subgraph or minor
Archdeacon（1987）证明了可嵌入到固定曲面上的图可以是$3$ -着色的，使得每一个着色类都导出一个有界最大度的子图。Edwards，Kang，Kim，Oum and Seymour（2015）证明了没有$K_{t+1}$ -子图的图可以是$t$ -着色的，使得每个颜色类都导出一个有界最大度的子图。我们证明了一个共同的概括，这些定理与较弱的假设排除子图。这一结果导致了几类图的新的缺陷着色结果，包括具有线性交叉数的图，具有给定厚度的图（与地球-月球问题相关），具有给定栈数或栈数的图，无链接或knockless可嵌入图，具有给定Colin de Verdière参数的图，以及排除完全二部图作为拓扑子图的图。
Colouring negative exact-distance graphs of signed graphs
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Université Paris Cité（巴黎西岱大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；IRIF（信息学研究所）；Centre d’Analyse et de Mathématiques Sociales (CNRS, UMR 8557)（分析与数学社会中心）；Instituto de Ingeniería Matemática-CIMFAV（数学工程研究所-CIMFAV）；Universidad de Valparaíso（瓦尔帕莱索大学）；Computer Science Institute of Charles University（查理大学计算机科学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查理大学数学与物理学院）
