Chromatic numbers of flag 3-spheres
本文证明了对每个维数d，旗三角剖分S^d的色数不存在常数上界，并利用Ramsey理论构造了色数至少为Ω~(n^{1/4})的3-球面旗三角剖分。
2023-11-14 math.CO
Chromatic numbers, Buchstaber numbers and chordality of Bier spheres
Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院数学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学物理力学研究所）
该研究探讨了比尔球的色数、布施特伯数及弦性分类，通过分析f向量得出一般公式，并揭示了弦性比尔球的结构特性。
2026-02-16 math.AT math.CO
Topology and chromatic number of random $ε$-distance graphs on spheres
给定$0<α\leqπ$，$ε>0$和$n$，我们通过画$d$ i.i.d.当$u$和$v$之间的测地线距离为$ε$ -接近$α$时，顶点和边$u {\sim} v$的均匀随机点。该模型推广了球面上的距离图，也推广了随机Borsuk图。已知拓扑工具可以给出Borsuk图的色数的紧界。我们现在研究这些拓扑不变量之一的效率，即Lóvasz的邻域复形的连通性，以限制该模型的随机图的色数。我们表明，在一般情况下，这个界表现不好，但是，它仍然产生一些有用的界限尺寸$d=1$和2。
2022-07-28 math.CO math.GT
Definable Kőnig theorems
设$X$是具有Borel概率测度$μ,$的波兰空间，$G$是$X$上的Borel图，不含奇圈且度最大.证明了$G$的Baire可测边色数至多为$Δ(G)+1$，且若$G$是$μ$ -超有限的，则$μ$ -可测边色数服从同一界.更一般地，我们证明了$G$的Borel边色数至多为$Δ(G)$加上它的渐近分离指数。
2021-12-19 math.CO math.LO
The surface of a sufficiently large sphere has chromatic number at most 7
我们提出了一种方法来分配，对于任何半径$r$大于约12.44，七种颜色之一，每个点在$\mathbb{R}^3$躺在距离$r$从原点，使得没有两个点在单位距离彼此被分配相同的颜色。这种构造的存在与最近的证明形成了对比，对于任何正值$\varepsilon$，如果没有两个指定相同颜色的点位于$[1,1+\varepsilon]$中的任何距离处（并且具有某些其他限制，这些限制也满足我们的着色），那么对于任何有限的$r\ge18$，需要八种颜色，即使当$\varepsilon \leq\frac{\sqrt{7}}{2} - 1$时，平面中的七种颜色就足够了。
2021-07-25 math.CO
Measurable obstructions for unmeasurable colourings
Leipzig University（莱比锡大学）
针对Székely提出的欧氏空间可测与普通色数是否不同的问题，该研究通过建立相关公式，将可测色数的诸多结果提升至普通色数，并改进了相关下界，还拓展了相关定理的适用范围。
2026-10-09 math.CA math.CO math.MG
Ordinary and measurable colorings of Euclidean three-space
该研究利用OpenAI的平面特征定律刚性定理，证明三维欧氏空间的普通色数与可测色数相等，且均介于7和15之间。
2026-10-15 math.CO
A lower bound on the number of colours needed to nicely colour a sphere
本文针对球面着色的相关问题，在自然限制下证明任意半径足够大的球面色数至少为8，改进了Thomassen的结果，还为三维空间着色提供了新下界。
2025-04-18 math.CO
Coloring spheres in 3--manifolds
受曲面曲线图色数研究的启发，研究者给出了连通和流形$M_r$的球面图色数的上下界，并通过3-流形素分解推导出任意可定向3-流形球面图色数的界值，推进了自由群外自同构群相关的几何群论研究。
2024-05-17 math.CO math.GT
On the support of a non-autocorrelated function on a hyperbolic surface
设$f$是有限体积双曲曲面$Γ\backslash\mathbb{H}$上的非负平方可积函数，并假定$f$是非自相关的，即在固定半径$r$的圆上平均的算子下，它垂直于它的像.我们表明，在这种情况下，$f$的支持是小的，即，它满足$μ(supp{f}) \leq (r+1)e^{-\frac{r}{2}} μ(Γ\backslash\mathbb{H})$。作为推论，我们证明了以$Γ\backslash\mathbb{H}$的点为顶点，且两点之间有一条长度为$r$的测地线的边连通的图的可测色数的一个下界.我们证明了对于任何有限余体积$Γ$，可测色数至少是$e^{\frac{r}{2}}(r+1)^{-1}$ .
2019-11-12 math.CO
Coloring of the dth power of the face-centered cubic grid
面心立方网格是一个三维12正则无限网格。该图表示在三维空间中填充球体的最佳方式。在此网格中，顶点表示球体，边表示球体之间的接触。本文给出了面心立方网格的d次幂色数的上下界。特别地，在d = 2的情况下，我们证明了这个网格的色数是13。我们还确定了更清晰的界限d = 3和子图的面心立方网格。
2018-06-21 cs.DM math.CO
On the chromatic number of graphons
将Bollobas关于二项随机图色数的经典结果推广到图同态定义的交换随机图模型，证明渐近最优颜色数由有限类型颜色类策略决定，且块递增或块Lipschitz时误差为O(k^{-1})。
2023-05-12 math.CO
Borel fractional colorings of Schreier graphs
设$Γ$是可数群，$G$是$Γ$的Bernoulli移位的自由部分的Schreier图（关于某个有限子集$F \subseteq Γ$）.证明了$G$的Borel分数色数等于$1$在$G$的可测独立数上的分数色数.因此，当$Γ$是自由群时，我们渐近地确定了$G$的Borel分数色数，回答了Meehan的一个问题.
2022-03-23 math.CO math.DS math.LO
Fourier analysis, linear programming, and densities of distance avoiding sets in R^n
本文给出了R^n中可测集的密度的新的上界，它避免了给定距离的有限集。新的界限来自于一个线性规划问题的解。我们应用这种方法得到了可测集的新的上界，它避免了2，.维中的单位距离，24.这给出了3维中可测色数的新下界，.，24.我们应用它得到一个新的，简短的证明的一个变种最近的结果布赫这反过来又推广定理Furstenberg，Katznelson，Weiss和Bourgain和Falconer关于避免许多距离。
2008-12-02 math.CA math.CO math.MG
The chromatic number of random Borsuk graphs
本文研究了顶点为$n$ i.i.d.的随机图模型。在$\mathbb{R}^{d+1}$中的单位球面$S^d$上的均匀随机点，并且如果一对顶点之间的欧几里德距离至少为$2- ε$，则它们是连通的。当$n$趋于无穷大时，我们对这个图的色数感兴趣.不难看出，如果$ε> 0$很小且固定，则色数是$d+2$的概率很高。我们表明，即使$ε\to 0$足够慢，这仍然成立。我们量化了$ε$可以趋于零并且仍然具有相同的色数的速率。证明依赖于结合拓扑方法（即Lyusternik-Schnirelman-Borsuk定理）与几何概率参数。我们得到的速率是最好的可能，直到一个常数因子-如果$ε\to 0$比这更快，我们表明，该图是$(d+1)$ -着色的概率很高。
2019-08-02 math.AT math.CO math.MG
The continuous oriented chromatic number of directed Schreier graphs of $\mathbb Z^2$-shift actions
School of Mathematical Sciences and School of Pre-university, Dalian Minzu University（大连民族大学数学科学学院和预科教育学院）
本文证明了 Bernoulli 移位 \(\mathbb Z^2\curvearrowright 2^{\mathbb Z^2}\) 的自由部分上的有向 Schreier 图的连续定向色数为 7。
2026-07-14 math.CO math.LO
Homotopy type of the neighborhood complexes of graphs of maximal degree at most $3$ and $4$-regular circulant graphs
为了估计图$G$的色数的下界，Lovász关联了一个称为邻域复形的单纯复形$\mathcal{N}(G)$，并将$\mathcal{N}(G)$的拓扑连通性与$G$的色数联系起来。更一般地说，他证明了色数的$G$是有界以下的拓扑连接的$\mathcal{N}(G)$加上$3$。本文考虑最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图.我们证明了这些图的邻域复形的每个连通分量同伦等价于一个点，一个楔形和的圆，一个楔形和的$2$ -球$S^2$，$S^3$，一个花环的$2$ -球$S^2$或一个连接和的环面。
2019-10-08 math.CO
The density of sets avoiding distance 1 in Euclidean space
本文用指数因子改进了欧几里得空间中避1集密度的最佳渐近上界。这一结果是由一个分析界，这是一个类似的洛瓦兹θ数和一个组合的参数，涉及有限的子图的单位距离图的组合。进而，我们直接得到了欧几里得空间的可测色数的一个渐近改进。我们还收紧了4到24之间的维度的先前结果。
2015-01-29 math.CO math.MG
Self-Polar Polytopes
自极多面体是凸多胞体，其等于其极集的正交变换。这些多面体首先由Lovász研究，作为建立球面上距离图的色数的一种手段，它们也可以用来构造具有任意高色数的无三角形图。我们调查的存在，建设，面部结构，和实际应用中的自极性多面体，以及这些多面体的地方在更广泛的自对偶多面体。
2019-02-02 math.CO
Transversals and colorings of simplicial spheres
本研究受点集环绕性质启发，通过两种无穷构造给出单纯d-球面最大横贯比的下界，并小幅改进了高维单纯球面面超图色数的已有上界。
2023-07-23 math.CO
Coloring Discrete Manifolds
离散d-流形是一类有限的单图，它可以三角剖分经典流形，但它完全定义在图论中。我们证明了离散d-流形G的色数X（G）夹在d+1和2（d+1）之间.由两个有限单图的联A+B的一般恒等式X（A+B）=X（A）+X（B），得出存在色数X=（3 k +1）的（2k）-球和色数X= 3 k的（2k-1）-球.自菲斯克的开创性工作以来，X（G）=5的2-流形的例子就已为人所知。当前的数据支持3（d+1）/2的天花板函数可以是所有d-流形G的上界，推广了Albertson-Stromquist的猜想，即X（G）对所有2-流形都有5以上的界。对于d-流形，Fisk引入了（d-2）-簇O（G）。这个图O（G）有维数为（d-2）的极大单形，对应于G的完全完全子图K_{d-1}，其对偶圈的基数为奇数。一般来说，O（G）是（d-2）-流形的并.我们注意到如果O（S（x））是空的或对所有x是（d-3）-球面，则O（G）是（d-2）-流形或空的。纽结O（G）对于三维流形G已经很有趣了，因为Fisk已经证明了对于某些三维流形，每个可能的纽结都可以表现为O（G）。特别是对于4-流形G，只要所有O（S（x））在每个单位3-球面S（x）中或者为空或者为纽结，则Fisk簇O（G）是G中的2-流形。
2021-06-28 math.CO
Spectral bounds for the independence ratio and the chromatic number of an operator
通过推广有限图的邻接矩阵的定义，定义了L^2-空间上有界自伴算子的独立比和色数.在类比有限图的霍夫曼界，我们给这些参数的运营商的数值域的界限。这为利用调和分析和凸优化研究有限和无限图的填充和着色问题提供了一个理论框架。该理论适用于欧几里得空间和单位球面上的无限几何图。
2013-06-19 math.CO math.FA math.OC
Chromatic Numbers of Simplicial Manifolds
单纯复形的高阶色数$χ_s$自然地推广了图的色数$χ_1$。在任何固定维数$d$中，$d$ -复形的$s$ -色数$χ_s$对于$s\leq\lceil d/2\rceil$可以变得任意大[6，18].相反，$χ_{d+1}=1$和$χ_s$对$\lceil d/2\rceil<s\leq d$知之甚少。一个特殊的$d$ -复形是$d$ -流形的三角剖分。作为曲面的映射色定理[29]的结果，任何固定曲面的2-色数都是有限的。然而，通过结合文献中的结果，我们将看到曲面的$χ_2$随着亏格的增长而变得任意大。这个证明是通过Steiner三元系，并且是非构造性的。特别是，到目前为止，没有明确的三角形的表面与高$χ_2$是已知的。我们证明了亏格至少为20的可定向曲面和亏格至少为26的不可定向曲面的2-色数至少为4。利用射影Steiner三元系，构造了亏格为2542的不可定向曲面的显式三角剖分，其面向量$f=(127,8001,5334)$的2-色数为5或6。我们还给出了2-色数为5和6的可定向例子。对于3维流形，迭代矩曲线构造[18]以及嵌入结果[6]可以用来产生任意大的2-色数的三角剖分，但尺寸巨大。通过[18]的几何构造的拓扑版本，我们获得了具有面向量$f=(167,1579,2824,1412)$和2-色数5的三维球体$S^3$的相当小的三角剖分。
2019-06-27 math.CO math.GT
On the chromatic number and equilateral dimension of $\mathbb{R}^n$ with the tropical norm
研究热带范数下Rn的色数（Hadwiger-Nelson问题的热带类比）和等距维数，给出上界2^n，渐近界Θ(2^n/√n)，证明χ_tr(R^3)=8，并猜想等距维数等于Sperner反链界。
2026-06-26 math.CO
Measurable versions of the Lovász Local Lemma and measurable graph colorings
在本文中，我们调查在何种程度上的Lovász局部引理（概率组合学的一个重要工具）可以适用于可测量的设置。在大多数应用中，洛瓦兹局部引理被用来产生一个具有某些性质的函数$f \colon X \to Y$，其中$X$是一些基本的组合结构，而$Y$是一个（通常是有限的）集合。对于$X$上的某个概率Borel测度$μ$，这个函数$f$可以被选择为Borel或$μ$ -可测的吗（假设$X$是标准Borel空间）？在积极的方向，我们证明，如果一组的约束$f$是，在一定意义上，“局部有限”，那么总是有一个博雷尔选择$f$是“$\varepsilon$ -接近”满足这些约束，任何$\varepsilon > 0$。此外，如果$X$上的组合结构是由可数群$Γ$的$[0;1]$ -移位作用“诱导”的，则即使没有任何局部有限性假设，也存在$f$的Borel选择，其满足不变卷积集上的约束（即，用$\varepsilon = 0$）。我们的结果的一个直接推论是一个上界的可测色数的图形$G_n$所产生的移动行动的自由组$\mathbb{F}_n$是渐近紧的一个因素，最多$2$（这回答了一个问题的里昂和Nazarov）。另一方面，我们对于由保测度群作用诱导的结构的结果至少对于顺从群来说在以下意义上是尖锐的：可数无限顺从群的概率保测度作用满足Lovász局部引理的可测版本当且仅当它允许$[0;1]$ -移位作用…
2019-06-11 math.CO math.DS math.LO
Geometrization of Graphs: Towards Bounding the Chromatic Number via High-Dimensional Embedding
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学北京国际数学研究中心）；CAPT, LMAM and School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）
通过高维嵌入方法，研究图的色数上界问题，并提出基于几何构造的色数界定条件。
2026-03-12 math.AT math.CO
The Vietoris-Rips complexes of a circle
给定一个度量空间X和一个距离阈值r>0，Vietoris-Rips单纯复形有X的直径小于r的有限子集作为它的单纯形。Jean-Claude Hausmann的一个定理指出，如果X是一个黎曼流形且r足够小，则Vietoris-Rips复形同伦等价于原始流形。关于Vietoris-Rips复合物在较大r值下的行为知之甚少，即使这些复合物在使用持久同源性的应用中自然出现。我们证明了随着r的增加，圆的Vietoris-Rips复形得到圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，...，直到最后它可以收缩。作为我们的主要工具，我们引入了一个有向图不变量，缠绕分数，这在某种意义上是对偶的循环色数。使用缠绕分数，我们分类的同伦类型的Vietoris-Rips复杂的任意（可能是无限的）子集的圆，我们研究的预期同伦类型的Vietoris-Rips复杂的均匀随机样本从圆。此外，我们还证明了随着距离参数的增加，圆的环境Cech复形也得到了圆的同伦类型，3-球面，5-球面，7-球面，.直到最后它可以收缩。
2017-02-05 cs.CG math.AT math.CO
A counterexample to a conjecture on facial unique-maximal colorings
平面图的面唯一最大染色是一个自然数的真顶点染色，其中在每个面$α$上，最大颜色在$α$的顶点上只出现一次。法布里齐和戈林证明了六种颜色是足够的任何平面图，并证明了四种颜色足够。这个猜想是四色定理的一个加强。温德兰后来把上界从6降到了5。本文通过给出无穷多个反例证明了该猜想的错误。从而得出球面的面唯一最大色数为5。
2017-09-14 math.CO
Fractional coloring with local demands and applications to degree-sequence bounds on the independence number
引入并发展了“具有局部需求的分数着色”理论，利用线性规划对偶性推广独立数的度序列界，并提出了对多个经典独立数与色数猜想的局部强化版本及部分证明。
2024-07-24 cs.DM math.CO
On the density of sets of the Euclidean plane avoiding distance 1
本文研究欧几里得平面中避开距离1的可测集合的上密度上确界，证明其上界为0.25647，并得到平面分数色数至少为3.8991。
2022-05-27 cs.DM math.CO math.MG
Raimi's theorem for manifolds with circle symmetry
VNU University of Science, Hanoi（越南国立大学自然科学大学）
本文研究了具有隐藏一维对称性的非群几何表面，证明了Raimi定理可扩展至这些表面，通过圆 bundle 结构将基圆上的可测 Raimi 分割提升到流形上，利用统一的圆 bundle 定理统一处理三种表面类型。
2026-05-10 math.CA math.CO math.NT
