关于$ {\mathbb R}^n $中球面的色数

嵌入欧氏平面和二维球面的5-色单位距离图的构造

Constructing 5-chromatic unit distance graphs embedded in the Euclidean plane and two-dimensional spheres

本文主要研究二维球面或平面中色数大于4的单位距离图的求法。此类图为平面上的Nelson-Hadwiger问题的色数及其对球体情况的推广提供了下界。构造了一系列嵌入平面的顶点数为64513的5色单位距离图。与先前已知的例子不同，这些图不包含Moser主轴作为子图。给出了在两个半径值上嵌入球面的5-色图的构造。即构造了嵌入单位边长二十面体外接球的372个顶点的5-色单位距离图和嵌入大二十面体外接球的972个顶点的5-色图。

2022-10-22math.COmath.MG

色数、布施特伯数和比尔球的弦性

Chromatic numbers, Buchstaber numbers and chordality of Bier spheres

Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学院数学研究所）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学物理力学研究所）

该研究探讨了比尔球的色数、布施特伯数及弦性分类，通过分析f向量得出一般公式，并揭示了弦性比尔球的结构特性。

2026-02-16math.ATmath.CO

球面上随机$ε$ -距离图的拓扑与色数

Topology and chromatic number of random $ε$-distance graphs on spheres

给定$0<α\leqπ$，$ε>0$和$n$，我们通过画$d$ i.i.d.当$u$和$v$之间的测地线距离为$ε$ -接近$α$时，顶点和边$u {\sim} v$的均匀随机点。该模型推广了球面上的距离图，也推广了随机Borsuk图。已知拓扑工具可以给出Borsuk图的色数的紧界。我们现在研究这些拓扑不变量之一的效率，即Lóvasz的邻域复形的连通性，以限制该模型的随机图的色数。我们表明，在一般情况下，这个界表现不好，但是，它仍然产生一些有用的界限尺寸$d=1$和2。

2022-07-28math.COmath.GT

无三角形四色$\mathbb{Q}^3$欧氏距离图清道夫狩猎！

A Triangle-free, 4-chromatic $\mathbb{Q}^3$ Euclidean Distance Graph Scavenger Hunt!

对于$d > 0$，定义$G(\mathbb{Q}^3, d)$为顶点集是有理空间$\mathbb{Q}^3$的图，其中两个顶点相邻当且仅当它们相距欧几里得距离$d$。设$χ(\mathbb{Q}^3, d)$是这样一个图的色数，或者换句话说，是给$\mathbb{Q}^3$上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔$d$的两个点不会得到相同的颜色。Benda和Perles在20世纪70年代提出了一个开放性问题，即是否存在$d$使得$χ(\mathbb{Q}^3, d) = 3$。通过多年来的大量努力，已经针对$d$的许多值确定了$χ(\mathbb{Q}^3, d)$，并且对于$χ(\mathbb{Q}^3, d)$尚未被精确地固定的所有那些距离$d$，已知$χ(\mathbb{Q}^3, d) \in \{3,4\}$。在我们的工作中，我们详细介绍了几个搜索算法，我们已经找到$4$ -色的各种图$G(\mathbb{Q}^3, d)$的色数是以前未知的子图。最后，我们推测不存在$3$ -半色$G(\mathbb{Q}^3, d)$.在此过程中，我们提出了几个相关的问题，我们认为这些问题本身就很有趣。

2023-03-16math.CO

向量图和平面的色数，或者NOT如何证明$χ(\mathbb{E}^2)>4$

The vector graph and the chromatic number of the plane, or how NOT to prove that $χ(\mathbb{E}^2)>4$

已知平面的色数$χ\left(\mathcal{E^2}\right)$是4和7之间的某个整数，包括4和7。我们证明了一个有限的结果，说，粗略地说，一个不能增加的下界$χ\left(\mathcal{E^2}\right)$粘贴Moser Spectrometry在一起，甚至可数许多。

2016-08-04math.CO

具有大围长和色数的盒与段交图

Box and segment intersection graphs with large girth and chromatic number

证明了$\mathbb{R}^3$中存在轴对齐盒的交图和$\mathbb{R}^3$中直线的交图，它们具有任意大的围长和色数.

2021-07-07math.CO

Kneser 色函数区分树

The Kneser chromatic function distinguishes trees

本文证明 Kneser 色函数 $X_{K_{\mathbb{N},2}}$ 是树的完全不变量，从而推进了 Stanley 关于色对称函数完全区分树的猜想。

2024-10-01math.CO

给球面进行良好着色所需颜色数量的下界

A lower bound on the number of colours needed to nicely colour a sphere

本文针对球面着色的相关问题，在自然限制下证明任意半径足够大的球面色数至少为8，改进了Thomassen的结果，还为三维空间着色提供了新下界。

2025-04-18math.CO

具有密集颜色类的欧几里得空间的色数

The chromatic number of Euclidean space with dense color classes

研究构造欧几里得空间\(\mathbb{R}^n\)的有限着色，使单位距离的点颜色不同且各颜色类稠密，给出\(\mathbb{R}^2\)用12种稠密颜色即可，任意维度\(n\chi(\mathbb{R}^n)+1\)种颜色足够。

2026-07-23math.CO

关于$n$小值时$\mathbb{R}^n$的色数

On the Chromatic Number of $\mathbb{R}^n$ for Small Values of $n$

改进了$n = 6, 7, 10, 11, 12, 13 \mbox{ and } 14$的$\mathbb{R}^n$的色数下界.

2014-08-09math.COmath.MG

具有多重禁止距离的$\mathbb{R}^{n}$图的色数

The Chromatic Number of $\mathbb{R}^{n}$ with Multiple Forbidden Distances

设$A\subset\mathbb{R}_{>0}$是一个有限距离集，$G_{A}(\mathbb{R}^{n})$是一个顶点集$\mathbb{R}^{n}$和边集$\{(x,y)\in\mathbb{R}^{n}:\ \|x-y\|_{2}\in A\}$的图，$χ(\mathbb{R}^{n},A)=χ\left(G_{A}(\mathbb{R}^{n})\right)$ .我们改进了$\barχ(\mathbb{R}^{n};m)$的现有最佳下界，并证明了\[ \barχ(\mathbb{R}^{n};m)\geq\left(Γ_χ\sqrt{m+1}+o(1)\right)^{n} \]，其中$Γ_χ=0.79983\dots$是一个显式常数.我们的完整结果更一般，并且适用于这个图中的团。令$χ_{k}(G)$表示为$G$着色所需的最小颜色数，使得没有颜色包含$(k+1)$ -团，并且令$\barχ_{k}(\mathbb{R}^{n};m)$表示对于大小为$m$的任何距离集所取的最大值。使用分区秩方法，我们表明，\[ \barχ_{k}(\mathbb{R}^{n};m)>\left(Γ_χ\sqrt{\frac{m+1}{k}}+o(1)\right)^{n}. \]

2023-03-10math.CO

F_2 ^n上随机Cayley图的团和色数的一点集中

One-point concentration of the clique and chromatic numbers of the random Cayley graph on F_2^n

Green证明了存在常数$C_1,C_2>0$使得$\mathbb{F}_2^n$上的随机Cayley图的团数$ω$满足$\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(C_1n\log n < ω< C_2n\log n)=1$ .在本文中，我们找到了最好的可能的$C_1$和$C_2$。此外，我们证明了对于密度集$1$中的$n$，团数实际上集中在一个值上。作为这些结果的一个简单结果，我们还证明了色数的一点集中结果，从而证明了Bollobás著名猜想的$\mathbb{F}_2^n$类似物，并对Green的问题给出了几乎完整的答案。

2015-10-20math.CO

色多项式和色根的新界

New Bounds for Chromatic Polynomials and Chromatic Roots

若$G$是$n$阶的$k$ -色图，则已知对每个$x\in \mathbb{N}$，$G$的色多项式$π(G,x)$至多为$x(x-1)\cdots (x-(k-1))x^{n-k} = (x)_{\downarrow k}x^{n-k}$.在这里，我们通过证明对于每个$x\in \mathbb{N},$都有\[ π(G,x) \leq (x)_{\downarrow k} (x-1)^{Δ(G)-k+1} x^{n-1-Δ(G)}\]来改进这个界，其中$Δ(G)$是$G$的最大度。其次，我们证明了，如果$G$是一个连接的$k$ -色图的顺序$n$，$k\geq 4$然后$π(G,x)$是最多$(x)_{\downarrow k}(x-1)^{n-k}$为每个真正的$x\geq n-2+\left( {n \choose 2} -{k \choose 2}-n+k \right)^2$（它已被证明，这个不等式成立所有$x \geq k$）。最后，我们提供了一个上界的色根的模，这是一个改进的稠密图的已知界限。

2016-11-29math.CO

关于有限子图的色数的增长率

On the growth rate of chromatic numbers of finite subgraphs

证明了对每个函数$f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$，存在一个具有不可数色数的图$G$，使得对每个具有$k \geq 3$的$k \in \mathbb{N}$，$G$的每个顶点数少于$f(k)$的子图的色数小于$k$ .这回答了Erdés、Hajnal和Szemeredi的一个问题。

2019-02-25math.COmath.LO

色拟多项式的一个等价形式

An equivalent formulation of chromatic quasi-polynomials

给定一个中心积分排列，该排列模正整数$q$的约简产生$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\ell$中的子群排列。Kamiya-Takemura-Terao（2008）引入了特征拟多项式的概念，用于评估子群排列的补的基数。Chen-Wang（2012）发现了一个类似但更一般的设置，即通过将积分排列限制为$\mathbb{R}^\ell$的子空间来替换积分排列，并评估$q$ -约化补的基数也将导致$q$中的拟多项式。在一项独立的研究中，Brändén-Moci（2014）定义了所谓的色拟多项式，并开始了对有限元素列表上的$q$ -着色的研究，这些元素在一个由色生成的阿贝尔群中。本文的主要目的是证明Chen-Wang拟多项式与Brändén-Moci拟色多项式在拟多项式枚举同构集的基数意义下是等价的。

2018-03-23math.CO

关于热带范数下 $\mathbb{R}^n$ 的色数和等距维数

On the chromatic number and equilateral dimension of $\mathbb{R}^n$ with the tropical norm

研究热带范数下Rn的色数（Hadwiger-Nelson问题的热带类比）和等距维数，给出上界2^n，渐近界Θ(2^n/√n)，证明χ_tr(R^3)=8，并猜想等距维数等于Sperner反链界。

2026-06-26math.CO

随机子图的期望色数

Expected Chromatic Number of Random Subgraphs

给定图$G$和$p \in [0,1]$，设$G_p$表示通过以概率$p$保持每条边独立而获得的$G$的随机子图。Alon、Krivelevich和Sudokov证明了$\mathbb{E} [χ(G_p)] \geq C_p \frac{χ(G)}{\log |V(G)|}$，Bukh则证明了$\mathbb{E}[χ(G_p)] \geq C_p \frac{χ(G)}{\log χ(G)}$的改进。证明了$\mathbb{E}[χ(G_p)]$的一个新的谱下界，作为对Bukh猜想的一个进展.我们还提出了一个更强的猜想：对于任何固定的$p \leq 1/2$，在所有固定色数的图中，$\mathbb{E}[χ(G_p)]$被完全图最小化。当$G$是平面或$χ(G) < 4$时，我们证明了这个更强的猜想.我们还考虑较弱的下限$\mathbb{E}[χ(G_p)]$提出的Shinkar在最近的一篇论文中，我们回答了两个开放的问题，Shinkar否定，并提出了一个可能的改进。

2018-11-05math.CO

距离图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$的$S$ -填充着色

$S$-packing colorings of distance graphs $G(\mathbb{Z},\{2,t\})$

给定一个图$G$和一个正整数的非减序列$S=(a_1,a_2,\ldots)$，如果对于任何不同的顶点$u,v\in V(G)$和$f(u)=f(v)=i$，$G$中$u$和$v$之间的距离大于$a_i$，则映射$f:V(G) \rightarrow \{1,\ldots,k\}$是$G$的$S$ -packing $k$ -染色.使得$G$具有$S$ -填充$k$ -着色的最小$k$是$G$的$S$ -填充色数$χ_S(G)$.本文考虑距离图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$，其中$t>1$是以$\mathbb{Z}$为顶点集的奇数，如果$|i-j|\in\{2,t\}$与$i,j\in\mathbb{Z}$相邻.我们确定了图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$的$S$ -填充色数，其中$S$是任意序列，对所有的$i$，其值都是$a_i\in\{1,2\}$.此外，我们给出了距离图$G(\mathbb{Z},\{2,t\})$的$d$ -距离色数的上下界，在$d\ge t-3$的情况下给出了精确的值。讨论了循环图的$S$ -填充色数的意义.

2020-05-21math.CO

线性方程和递归的色数阈值

Chromatic thresholds for linear equations and recurrence

Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学学院）；Department of Mathematics, Stanford University（斯坦福大学数学系）

研究有限域上线性方程解自由集的色数阈值，确定其为零的充要条件，并解决Griesmer问题。

2026-07-01math.CO

3-流形中的球面着色

Coloring spheres in 3--manifolds

受曲面曲线图色数研究的启发，研究者给出了连通和流形$M_r$的球面图色数的上下界，并通过3-流形素分解推导出任意可定向3-流形球面图色数的界值，推进了自由群外自同构群相关的几何群论研究。

2024-05-17math.COmath.GT

大连通子图与色数

Subgraphs of large connectivity and chromatic number

解决了Norin提出的一个问题，证明了对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一个$f(k) \le 7k$，使得每个色数至少为$f(k)+1$的图$G$都包含一个连通度和色数至少为$k$的子图$H$.这一结果在乘法常数下是最可能的，并且锐化了Alon-Kleitman-Jumassen-Saks-Seymour在1987年的早期结果，表明$f(k) = O(k^3)$，以及Chudnovsky-Penev-Scott-Trotignon在2013年的早期结果，表明$f(k) = O(k^2)$。我们的方法是强大的，足以处理列表着色，以及：我们还表明，对于每个$k \in \mathbb{N}$，存在一个$f_\ell(k) \le 4k$，使每个图$G$与列表色数至少$f_\ell(k)+1$包含一个子图$H$的连接和列表色数至少$k$。这个结果也是最好的可能性，直到乘法常数;在这里，与$f(\cdot)$不同，甚至$f_\ell(\cdot)$的存在似乎是以前未知的。

2020-04-02math.CO

欧几里得空间的色数的Larman-Rogers上界的一个新证明

A new proof of the Larman-Rogers upper bound for the chromatic number of the Euclidean space

欧几里得空间$\mathbb{R}^n$的色数$χ(\mathbb{R}^n)$是足以对空间中所有点着色的最小颜色数，使得距离为1的任何两点具有不同的颜色。1972年，Larman-Rogers证明了$χ(\mathbb{R}^n) \leq (3 + o(1))^n$。我们给出了这个界的一个新的证明。

2018-12-04math.COmath.MG

枚举色可选性

Enumerative Chromatic Choosability

本文研究枚举色可选性，完全刻画了色数为二的枚举色可选图，构造了色可选但非枚举色可选的例子，并探讨了任意图与完全图连接后成为枚举色可选图的猜想。

2025-05-08math.CO

关于偏好附着图的色数

On the chromatic number of the preferential attachment graph

证明了对任意的$m\in \mathbb N$和$δ\in (-m,0)$，优先连接图$PA_t(m, δ)$的色数渐近几乎必然等于$m+1$ .证明依赖于一个家庭的有向图的色数$m+1$其次是证明，渐近几乎肯定有一个有向图在这个家庭，这是实现为一个子图的优先附件图的组合建设。

2021-05-24math.CO

\(\mathbb Z^2\) 移位作用的 Schreier 有向图的连续定向色数

The continuous oriented chromatic number of directed Schreier graphs of $\mathbb Z^2$-shift actions

School of Mathematical Sciences and School of Pre-university, Dalian Minzu University（大连民族大学数学科学学院和预科教育学院）

本文证明了 Bernoulli 移位 \(\mathbb Z^2\curvearrowright 2^{\mathbb Z^2}\) 的自由部分上的有向 Schreier 图的连续定向色数为 7。

2026-07-14math.COmath.LO

轨道色根的色界

Chromatic Bounds On Orbital Chromatic Roots

给定一个图$Γ$的自同构群$G$，轨道色多项式$OP_{Γ,G}(x)$是其值在正整数$k$处的多项式，该多项式的值是$G$在\cite{Cameron}的适当$k$ -着色上的轨道数。等人探索了轨道色多项式的根，特别证明了轨道色根在$\mathbb{R}$中是稠密的，从而推广了Lassen关于色根在$[\frac{32}{27},\infty)$中是稠密的著名结果（见\cite{Thomassen}）. Cameron等人\cite{Cameron}进一步证明了任何图的轨道色多项式的实根都由其色多项式的最大实根上界。我们解决这个猜想的负面影响，并提供了一个过程中产生的家庭的反例。我们还表明，答案是真实的各类图，包括许多outerplanar图。

2014-09-09math.CO

θ图的锥是枚举色可选的

Cones of Theta Graphs are Enumeratively Chromatic-Choosable

School of Computing, University of South Alabama（南阿拉巴马大学计算机学院）；McGill-Toolen Catholic High School（麦吉尔-图伦天主教高中）；Department of Mathematics and Statistics, University of South Alabama（南阿拉巴马大学数学与统计系）；Department of Applied Mathematics, Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院应用数学系）；Alabama School of Math and Science（阿拉巴马数学与科学学校）；Department of Biomedical Sciences, University of South Alabama（南阿拉巴马大学生物医学科学系）

本文证明当G为θ图时，K₁∨G是枚举色可选的，其证明结合经典不等式、多项式方法与DP着色思想，回应了枚举色可选性的类似Ohba结论的猜想。

2026-10-14math.CO

阿贝尔群作用的连续边色数

Continuous Edge Chromatic Numbers of Abelian Group Actions

本文研究了阿贝尔群作用的连续边色数，证明了对于$\mathbb{Z}^n$的任意生成集，Bernoulli shift action的Schreier图的连续边色数等于其边色数加1，并给出了标准生成集下的具体数值。

2024-09-25math.COmath.LO

$q \geq 5$的$q$-Kneser图的色数

The Chromatic Number of the $q$-Kneser Graph for $q \geq 5$

得到了$\mathbb{F}_q^{2k}$中$k$ -空间相交族的一个新的弱Hilton-Milner型结果，改进了几个已知结果.特别地，$q$ -Kneser图$qK_{n:k}$的色数先前已知为$n > 2k$（除了$n=2k+1$和$q=2$）或$k < q \log q - q$。我们的结果确定了$qK_{2k:k}$对$q \geq 5$的色数，因此剩下的唯一开放的情况是$(n, k) = (2k, k)$与$q \in \{ 2, 3, 4 \}$和$(n, k) = (2k+1, k)$与$q = 2$。

2020-02-17math.CO

Burling图、色数和正交树分解

Burling graphs, chromatic number, and orthogonal tree-decompositions

Asplund和Grünbaum的一个经典结果是平面内轴对齐矩形的交图是$χ$-有界的。这个定理可以等价地用路径分解表示如下：存在一个函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$，使得每个具有两个路径分解的图，使得第一个分解的每个包与第二个分解的每个包相交的顶点最多不超过$k$顶点，其色数最多不超过色数$f(k)$。最近，Dujmović、Joset、Morin、Norin和Wood提出了一个问题：对于两个树分解，这是否更普遍地成立？本文给出了一个否定的答案：存在具有任意大的色数的图，对于这些图，我们可以找到两个树分解，使得第一个分解的每个包与第二个分解的每个包至多相交于两个顶点。此外，即使两个分解中的一个被限制为路径分解，这仍然成立。这是使用的三角形自由图的建设无界色数由于伯林，我们相信应该是更广泛的了解。

2018-01-29math.CO

关于无穷小平面层的色数

On the cromatic number of infinitesimal plane layer

考虑平面色数问题的自然推广。本文考虑空间$\mathbb{R}^n \times [0,\varepsilon]^k$的色数$χ$，其中有任意小的$\varepsilon$ .我们证明了$5 \leqχ(\mathbb{R}^2\times [0,\varepsilon])\leq 7$和${6\leq χ(\mathbb{R}^2\times [0,\varepsilon]^2) \leq 7}$ .我们也考虑自然的问题，从这种考虑。

2017-10-22math.CO

具有大色数且不包含给定大小的团或圈的距离图

Distance graphs having large chromatic numbers and not containing cliques or cycles of given size

本文研究了处于组合几何和图论边缘的经典Nelson-Hadwiger问题。它涉及$ {\mathbb R}^n $中距离图的着色，即，图，使得它们的顶点是向量，它们的边是距给定的正数集合一定距离的向量对。在团数和围长的不同限制条件下，得到了这类图的色数的一系列新的下界。

2012-02-14math.CO

双曲平面的可测色数的下界

Lower bounds for the measurable chromatic number of the hyperbolic plane

考虑顶点集为双曲平面的图$\mathbb{H}(d)$，其中两点在距离等于某个$d>0$时与一条边相连.求这个图的色数是著名的哈德维格-纳尔逊问题的双曲类比，这个问题是关于给欧几里得平面上的点着色，使得距离$1$远的点接收不同的颜色。如在欧几里德情形中，可以通过对所有$d$的$4$来下界$\mathbb{H}(d)$的色数。使用谱方法，我们证明，如果颜色类是可测量的，那么至少$6$颜色是需要适当的颜色$\mathbb{H}(d)$时，$d$是足够大的。

2017-08-03math.COmath.MG

最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图的邻域复形的同伦型

Homotopy type of the neighborhood complexes of graphs of maximal degree at most $3$ and $4$-regular circulant graphs

为了估计图$G$的色数的下界，Lovász关联了一个称为邻域复形的单纯复形$\mathcal{N}(G)$，并将$\mathcal{N}(G)$的拓扑连通性与$G$的色数联系起来。更一般地说，他证明了色数的$G$是有界以下的拓扑连接的$\mathcal{N}(G)$加上$3$。本文考虑最大度至多为$3$和$4$ -正则循环图.我们证明了这些图的邻域复形的每个连通分量同伦等价于一个点，一个楔形和的圆，一个楔形和的$2$ -球$S^2$，$S^3$，一个花环的$2$ -球$S^2$或一个连接和的环面。

2019-10-08math.CO

低维下欧几里得空间$\mathbb{E}^n$的色数上界

Upper bounds on chromatic number of $\mathbb{E}^n$ in low dimensions

针对欧几里得空间$\mathbb{E}^n$的色数问题，提出基于子格着色方案的显式构造，为低维（含$n=5,6,7,8,9,24$等）及$n\le 38$、$n=48,49$的$\mathbb{E}^n$确立了新的色数上界。

2022-02-12math.COmath.MG

图的$k$ -剖分的全控制色数

Total dominator chromatic number of $k$-subdivision of graphs

设$G$是一个单图. $G$的全控制染色是指图$G$的顶点与某个色类的顶点相邻的全控制染色。$G$的全支配色数（TDC）$χ_d^t(G)$，是$G$的所有全支配色中的最小颜色数.对于任何$k \in \mathbb{N}$，$G$的$k$ -细分是一个单图$G^{\frac{1}{k}}$，它是通过用长度为$k$的路替换$G$的每条边而构造的。本文研究了$k$的全控制色数--$G$的细分.

2018-01-19math.CO

一致超图中的色子超图

Colorful Subhypergraphs in Uniform Hypergraphs

在满足某些特殊拓扑正则性条件的真有色图中，有几个拓扑结果保证了大的完全二部子图的存在。鉴于$\mathbb{Z}_p$引理，Alishahi和Hajiabolhassan [{ \it On the chromatic number of general Kneser hypergraphs，Journal of Combinatorial Theory，Series B，2015}]引入了Kneser hypergraphs ${\rm KG}^r({\mathcal H})$的色数的下界。接下来，Meunier [{ \it Colorful subhypergraphs in Kneser hypergraphs，The Electronic Journal of Combinatorics，2014}]通过证明任何适当着色的一般Kneser超图${\rm KG}^r({\mathcal H})$包含一个大的彩色$r$ -部子超图，只要$r$是素数，改进了他们的结果。本文给出了$\mathbb{Z}_p$ -Tucker引理的一些新的推广.从而在某些方面改进了Meunier的结果。给出了一致超图的色数和局部色数的一些新的下界。

2016-07-04math.CO

射影空间的正常四边形的着色

Colouring normal quadrangulations of projective spaces

本文证明对d=3存在色数任意大的射影空间正常四边形剖分，并证明任意维度下色数不可能为3，否定了几何条件可去除的猜想。

2025-03-29math.CO

可数染色-可选图的θ图

Enumeratively Chromatic-Choosable Theta Graphs

Alabama School of Math and Science（阿拉巴马数学与科学学校）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）

本文研究了可数染色-可选θ图的特性，通过DP着色理论方法，揭示了θ图在列表着色中的结构性质。

2026-06-27math.CO

自极多面体

Self-Polar Polytopes

自极多面体是凸多胞体，其等于其极集的正交变换。这些多面体首先由Lovász研究，作为建立球面上距离图的色数的一种手段，它们也可以用来构造具有任意高色数的无三角形图。我们调查的存在，建设，面部结构，和实际应用中的自极性多面体，以及这些多面体的地方在更广泛的自对偶多面体。

2019-02-02math.CO

几乎单色集与平面的色数

Almost-monochromatic sets and the chromatic number of the plane

在$\mathbb{R}^d$的着色中，如果$S\setminus \{s_0\}$是单色的而$S$不是，则$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{R}^d$和与$s_0\in S$的对是\emph{almost monochromatic}。我们考虑的问题，找到几乎单色的相似副本对$(S,s_0)$在着色的$\mathbb{R}^d$，$\mathbb{Z}^d$，并在$\mathbb{Q}$下的着色的一些限制。在其他结果中，我们将这些$(S,s_0)$与$S\subseteq \mathbb{Z}$，其中每一个有限着色的$\mathbb{R}$没有一个无限的单色算术级数包含一个几乎单色类似的副本$(S,s_0)$。我们还表明，如果$S\subseteq \mathbb{Z}^d$和$s_0$是外的凸包的$S\setminus \{s_0\}$，那么每一个有限着色的$\mathbb{R}^d$没有一个类似的单色副本的$\mathbb{Z}^d$包含一个几乎单色的类似副本的$(S,s_0)$。此外，我们提出了一种方法，找到几乎单色集，可能会导致一个非计算机辅助证明$χ(\R^2)\geq 5$。

2022-02-26cs.DMmath.CO

任意围长的大色数距离图

Distance graphs with large chromatic number and arbitrary girth

在这篇文章中，我们考虑的问题有关的两个著名的组合主题。其中之一是关于空间的色数。另一类是大围长（最短圈的长度）和大色数的图。也就是说，我们证明了对于任何$l\in \mathbb{N}$，存在一个$\mathbb{R}^n$中的距离图序列，其围长至少为$l$，且其色数等于$(c+\bar{o}(1))^n$，且具有$c>1$ .

2013-06-17cs.DMmath.COmath.MG

关于染色Delaunay镶嵌的规模

On the Size of Chromatic Delaunay Mosaics

ISTA (Institute of Science and Technology Austria)（奥地利科学技术研究所）

该研究提出了高维染色Delaunay镶嵌概念，在d、s为常数的假设下推导了其规模界，给出随机染色、Delone集、Poisson点过程及二维稠密集等不同情形下的胞腔数量级结果，为其应用提供理论支撑。

2022-12-06cs.CGmath.CO

符号图的色数

The chromatic number of a signed graph

在1982年，Zaslavsky引入了符号图$G$的一个适当顶点着色的概念，作为一个映射$ϕ\colon V(G)\to \mathbb{Z}$，使得对于任何两个邻顶点$u$和$v$，颜色$ϕ(u)$不同于颜色$σ(uv)ϕ(v)$，其中$σ(uv)$是边$uv$的符号。大部分Zaslavsky的研究集中在多项式不变量相关的签署图着色，而不是行为的着色个别签署图。我们继续研究签署的图着色提出的定义，一个色数的签署图，它提供了一个自然的扩展的色数的无符号图。我们建立了这个不变量的基本性质，给出了它的色数的界，研究了平面符号图的色数，证明了著名的Brooks定理在符号图上的推广.

2016-03-03math.CO

单纯球面的横贯与着色

Transversals and colorings of simplicial spheres

本研究受点集环绕性质启发，通过两种无穷构造给出单纯d-球面最大横贯比的下界，并小幅改进了高维单纯球面面超图色数的已有上界。

2023-07-23math.CO

离散流形的着色

Coloring Discrete Manifolds

离散d-流形是一类有限的单图，它可以三角剖分经典流形，但它完全定义在图论中。我们证明了离散d-流形G的色数X（G）夹在d+1和2（d+1）之间.由两个有限单图的联A+B的一般恒等式X（A+B）=X（A）+X（B），得出存在色数X=（3 k +1）的（2k）-球和色数X= 3 k的（2k-1）-球.自菲斯克的开创性工作以来，X（G）=5的2-流形的例子就已为人所知。当前的数据支持3（d+1）/2的天花板函数可以是所有d-流形G的上界，推广了Albertson-Stromquist的猜想，即X（G）对所有2-流形都有5以上的界。对于d-流形，Fisk引入了（d-2）-簇O（G）。这个图O（G）有维数为（d-2）的极大单形，对应于G的完全完全子图K_{d-1}，其对偶圈的基数为奇数。一般来说，O（G）是（d-2）-流形的并.我们注意到如果O（S（x））是空的或对所有x是（d-3）-球面，则O（G）是（d-2）-流形或空的。纽结O（G）对于三维流形G已经很有趣了，因为Fisk已经证明了对于某些三维流形，每个可能的纽结都可以表现为O（G）。特别是对于4-流形G，只要所有O（S（x））在每个单位3-球面S（x）中或者为空或者为纽结，则Fisk簇O（G）是G中的2-流形。

2021-06-28math.CO

$q$-色多项式的生成函数

Generating functions of $q$-chromatic polynomials

本文利用 $G$-统计量与多面体几何建立正常着色区域的整点变换，得到任意线性形式下 $q$-色多项式的生成函数，并证明其可区分有标号图及回文系数等性质。

2025-09-26math.CO

关于有界共度的超图色指标的 Erdős 问题的解

Solution to a problem of Erdős on the chromatic index of hypergraphs with bounded codegree

本文解决了 Erdős 关于有界共度超图色指标的问题，证明最大度至多为 (1-o(1))tn 且最大共度至多为 t 的 n 顶点超图色指标至多为 tn，并刻画了取等时的极值结构。

2024-10-19math.CO

色对称拟对称函数的一种幂零实现

A unipotent realization of the chromatic quasisymmetric function

本文通过有限一般线性群 $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{F}_{q})$ 的复特征标理论实现了色对称拟对称函数和垂直条带 LLT 多项式，提出了一种基于幂零上三角群归纳和 Hopf 代数的计算方法，并揭示了其与 Hessenberg 簇的联系。

2023-02-21math.COmath.RT

随机图的永恒对策色数

The Eternal Game Chromatic Number of Random Graphs

永恒图着色问题（英语：Eternal graph colouring problem）是由Klostermeyer和Mendoza提出的一个图形着色游戏，两个玩家轮流为一个图形着色。本文研究了随机图的永恒对策色数。我们表明，高概率$χ_{g}^{\infty}(G_{n,p}) = (\frac{p}{2} + o(1))n$为奇数$n$，甚至$n$时，$p=\frac{1}{k}$为一些$k \in \mathbb{N}$。该上限适用于偶数$n$和$p$的任何其他值，但我们推测在这种情况下该上界并不明显。最后，我们回答了克洛斯特迈耶和门多萨提出的一个问题。

2020-01-23math.CO

酉加法Cayley图的色数与消色数

Chromatic and achromatic numbers of unitary addition Cayley graphs

本文研究了环的酉加法Cayley图，确定了奇数阶有限交换环下该图的团数和色数公式，并探讨了 $n$ 为两素数乘积时 $\mathcal{U}(\mathbb{Z}_n)$ 的消色数及其下界。

2025-04-28math.CO

符号图的色谱

The chromatic spectrum of signed graphs

符号图$(G,σ)$的色数$χ((G,σ))$是存在函数$c : V(G) \rightarrow \mathbb{Z}_k$使得对每条边$e = vw$有$c(v) \not= σ(e) c(w)$的最小数$k$。令$Σ(G)$为$G$的所有签名的集合。研究了$(G,σ)$的光谱$Σ_χ(G) = \{χ((G,σ))\colon\ σ\in Σ(G)\}$。令$M_χ(G) = \max\{χ((G,σ))\colon\ σ\in Σ(G)\}$，和$m_χ(G) = \min\{χ((G,σ))\colon\ σ\in Σ(G)\}$。我们表明，$Σ_χ(G) = \{k : m_χ(G) \leq k \leq M_χ(G)\}$。我们还证明了临界图的一些基本事实。对于由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出的符号图的顶点着色的概念，也得到了类似的结果。

2015-10-02math.CO

距离图的Packing染色

On Packing Colorings of Distance Graphs

图$G$的{ \em填充色数} $χ_ρ(G)$是存在从$V(G)$到$\{1,2,\ldots ,k\}$的映射$f$使得颜色$i$的任意两个顶点的距离至少为$i+1$的最小整数$k$。研究了无限距离图$G(\mathbb{Z},D)$的填充色数，即以整数集合$\mathbb{Z}$为顶点集的图，两个不同顶点$i,j\in \mathbb{Z}$相邻当且仅当$|i-j|\in D$ .我们目前的上下界$χ_ρ(G(\mathbb{Z},D))$，显示有限的$D$，包装色数是有限的。我们的主要结果涉及距离图与$D=\{1,t\}$，我们证明了一些上界的包装色数，较小的是$t\geq 447$：$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 40$，如果$t$是奇数和$χ_ρ(G(\mathbb{Z},\{1,t\}))\leq 81$，如果$t$是偶数。

2014-02-20cs.DMmath.CO

色数与正则子图

Chromatic number and regular subgraphs

本文否定了Erdős和Hajnal关于高色数图必含同顶点集上多条边不相交环的猜想，构造了分数色数较高但不含4-正则子图的图，并证明该界在Harris猜想下最优。

2024-10-03math.CO