具有密集颜色类的欧几里得空间的色数
The chromatic number of Euclidean space with dense color classes
浏览论文内容
中文总结 AI 辅助
研究构造欧几里得空间\(\mathbb{R}^n\)的有限着色，使单位距离的点颜色不同且各颜色类稠密，给出\(\mathbb{R}^2\)用12种稠密颜色即可，任意维度\(n\chi(\mathbb{R}^n)+1\)种颜色足够。
中文摘要 AI 辅助
在本笔记中，我们构造了用有限多种颜色对欧几里得空间\(\mathbb{R}^n\)的着色，使得任意两个单位距离的点具有不同颜色，并且每个颜色类在\(\mathbb{R}^n\)中是稠密的。特别地，12种稠密颜色足以对\(\mathbb{R}^2\)着色。在任意维度中，我们表明\(n\chi(\mathbb{R}^n)+1\)种颜色就足够了，其中\(\chi(\mathbb{R}^n)\)表示标准表述下\(\mathbb{R}^n\)的色数。
英文摘要
In this note we construct colorings of Euclidean space $\mathbb{R}^n$ with finitely many colors such that any two points at unit distance have different colors and, in addition, each color class is dense in $\mathbb{R}^n$. In particular, 12 dense colors suffice to color $\mathbb{R}^2$. In arbitrary dimension, we show that $nχ(\mathbb{R}^n)+1$ colors suffice, where $χ(\mathbb{R}^n)$ denotes the chromatic number of $\mathbb{R}^n$ in the standard formulation.
