On chromatic number of unit-quadrance graphs (finite Euclidean graphs)
两点A_1=（x_1，y_1）和A_2=（x_2，y_2）之间的四边形是数Q（A_1，A_2）=（x_1 - x_2）^2 +（y_1 - y_2）^2。设q是奇素数幂，F_q是具有$q$元素的有限域.单位四边形图D_q具有顶点集F_q^2，且F_q^2中的X，Y相邻当且仅当Q（A_1，A_2）= 1。设χ（F_q^2）是图D_q的色数.在本文中，我们将证明q^{1/2}（1/2+o（1））<= x（F_q^2）<= q（1/2 + o（1））。作为推论，我们构造了q^2阶无三角形图D_q，其中对q的无穷多个值，χ（D_q）>= q/2.
2005-10-05 math.CO
The chromatic number of $\mathbb{R}^8$ is at least 25
研究确定$\mathbb{R}^8$的色数下限提升至25，通过改进的图论方法与几何分析实现
2026-03-15 math.CO
On lower bounds of the order of $k$-chromatic unit distance graphs
本文给出了欧氏平面上$k$ -色单位距离图的最小顶点数的精确数值。
2023-03-26 math.CO
A small 6-chromatic two-distance graph in the plane
基于一个只有16个顶点的图，给出了具有两个禁止距离的欧氏平面的色数下界的一个新的简单证明。
2023-03-26 math.CO
Expected Length of the Euclidean Minimum Spanning Tree and 1-norms of Chromatic Persistence Diagrams in the Plane
本文改进欧几里得最小生成树期望长度常数下界至0.6289，通过研究随机二色点集的持续同调，确定色持久图一范数期望的常数表达式。
2025-10-27 cs.CG math.CO math.PR
A 6-chromatic odd-distance graph in the plane
奇距离图的两个顶点被一条边连通当且仅当它们的欧氏距离是奇数。在平面上构造了一个6色奇距离图。
2022-06-25 math.CO
Chromatic properties of the Euclidean plane
设$G$为平面上的单位距离图。组合几何中一个著名的问题是确定$G$的色数。已知$4\le χ(G)\le 7$ . 7的上界是使用平面的平铺得到的。本文研究了两个问题，我们寻求适当的着色$G$，增加限制的启发平铺：让$H(ε)$是图的顶点是点的${\mathbb R}^2$，与边缘之间的两个点，如果它们的距离位于区间$[1,1+ε]$。我们表明，对于小$ε$，$0<ε\le \frac{3\sqrt{2}}{4}-1$，我们有$6\le χ(H(ε))\le 7$。这改进了Exoo和Grytczuk等人的结果，即$5\le χ(H(ε))$适用于小$ε$。假设$G$是适当着色的，但两个纯色区域在某个邻域内沿直线相交。至少需要使用5种颜色。
2016-03-24 math.CO
Note on the chromatic number of Minkowski planes: the regular polygon case
著名的Hadwiger-Nelson问题要求为欧几里得平面上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔单位距离的两个点不会被分配相同的颜色。本文考虑Minkowski度量平面上的一个变形问题，其中单位圆是一个偶数且至多22个顶点的正多边形。我们提出了一个单格-子格着色方案，使用6种颜色，证明了上面的Minkowski平面的色数至多为6。这个结果对于顶点数超过8的正多边形是新的。
2023-01-31 math.CO math.MG
A $6$-chromatic two-distance graph in the plane
我们证明了，如果一个颜色的每一个点的欧几里德平面的五种颜色之一，那么存在两个点的相同的颜色是距离$1$或距离$2$分开。
2019-09-29 math.CO
The chromatic number of 4-dimensional lattices
本研究利用4维52种平行多面体分类，结合格Cayley图同构检验、诱导子图下界、周期着色上界及SAT求解器，确定了所有4维格的色数。
2024-11-30 math.CO math.MG
A sufficient condition for a graph with boxicity at most its chromatic number
欧几里得$k$ -空间中的盒是实直线上$k$闭区间的笛卡儿积。图$G$的盒度，记为$\text{box}(G)$，是使$G$同构于欧氏$k$ -空间中盒族的交图的最小非负整数$k$.本文给出了图$G$为$\text{box}(G)\leq χ(G)$的一个充分条件，其中$χ(G)$表示图$G$的色数. Bhowmick和Reynran（2010）证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对没有星状三元组的图$G$成立。我们证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对一类特殊的具有星状三元组的循环图族中的图$G$成立。
2018-04-19 math.CO
On the Chromatic Number of $\mathbb{R}^n$ for Small Values of $n$
改进了$n = 6, 7, 10, 11, 12, 13 \mbox{ and } 14$的$\mathbb{R}^n$的色数下界.
2014-08-09 math.CO math.MG
The density of sets avoiding distance 1 in Euclidean space
本文用指数因子改进了欧几里得空间中避1集密度的最佳渐近上界。这一结果是由一个分析界，这是一个类似的洛瓦兹θ数和一个组合的参数，涉及有限的子图的单位距离图的组合。进而，我们直接得到了欧几里得空间的可测色数的一个渐近改进。我们还收紧了4到24之间的维度的先前结果。
2015-01-29 math.CO math.MG
The fractional chromatic number of the plane is at least 4
本文证明了欧几里得平面的分数色数至少为4，通过引入几何分数色数并构造27顶点的单位距离图实现，同时证明了有限分数色数与霍尔比相等，并猜想独立比1/4不可达。
2025-03-27 math.CO math.MG
Hadwiger--Nelson Problem for Typical Norms
Princeton University（普林斯顿大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；University of Vienna（维也纳大学）；Leipzig University（莱比锡大学）
本文研究典型范数的Hadwiger--Nelson问题，将单位距离图色数的上界从指数改进为线性（至多2d且紧），并借助高维矩阵推广的Lonely runner猜想解决了相关猜想。
2026-09-30 math.CO math.MG
On upper bounds for the multi-fold chromatic numbers of the plane
平面$χ_m$的多重色数是最小的颜色数$k$，足以使欧几里德平面的每个点都精确地用$m$颜色着色，使得对于彼此相距单位距离的任何一对点，$k$集合的两个对应的$m$子集不包含任何公共颜色。我们考虑平面的$m$ -fold色数的上界.我们的主要结果是，对于任何$m$不等式$χ_m<(1+2/\sqrt3)^2\cdot m+3.501$成立。
2022-06-25 math.CO
The arc chromatic number for Galois projective planes, affine planes and Euclidean grids
Institute of Mathematics, UNAM（墨西哥国立自治大学数学研究所）；Faculty of Sciences, UNAM（墨西哥国立自治大学理学院）
本文研究了Galois射影平面、仿射平面和欧几里得网格的弧色数问题，确定了不同结构下的最小弧划分数及其边界条件。
2026-08-13 cs.DM math.CO
New lower bounds on $χ(R^d)$ for $d=8 \dots 12$
本文改进了小维欧几里得空间的色数的最佳下界。新的结果依赖于Sage中的大量计算。
2014-09-03 math.CO math.MG
Lower bounds for measurable chromatic numbers
基于半定规划的求解，Lovasz θ函数为有限图的色数提供了一个下界。本文推广了它，给出了紧度量空间上距离图的可测色数的一个下界。特别是，我们考虑单位球面上的距离图。在那里，我们把原来的无限半定规划到一个无限的线性规划，然后原来是一个极值问题的雅可比多项式，我们解决明确的限制。作为应用，我们导出了10，.维欧几里得空间的可测色数的新的下界，24，我们给出了一个新的证明，它的增长指数的维数。
2009-07-17 math.CA math.CO math.MG
On Chromatic Numbers of Integer and Rational Lattices
本文给出了整数格和某些有理空间及其它格的色数的新的上界。特别地，我们证明了对于任何具体的临界距离$d$，具有临界距离$\sqrt{2d}$的$\Z^{n}$的色数在$n$中有多项式增长，其指数小于或等于$d$（有时这个估计是尖锐的）.同样的陈述不仅在欧几里德范数中成立，而且在任何$l_{p}$范数中也成立。此外，我们还给出了$\Q_{p}^{n}$的一些小维数的具体估计和色数的上界，这里的$\Q_{p}$指的是所有有理数环都有不可被某些素数整除的因子.
2012-09-30 math.CO
The chromatic number of the plane with an interval of forbidden distances is at least 7
本文证明 Exoo 猜想：对任意正禁距区间宽度，欧几里得平面及任意 Minkowski 平面的色数至少为7，且当区间足够小时恰好为7。
2025-04-13 math.CO
Number of vertices in graphs with locally small chromatic number and large chromatic number
讨论了一个具有大色数的图的最小顶点数，使得其中每个固定半径的球都具有小的色数。本文证明了：对于每个在$\sim((n+rc)/(c+rc))^{r+1}$顶点上的图$G$，使得每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，我们有$χ(G)\leq n$ .
2014-01-31 math.CO
New construction of graphs with high chromatic number and small clique
本文介绍了一种构造具有高色数和小团的图的新方法。事实上，通过这种方法，我们提出了一个新的证明著名的Kneser猜想。
2017-02-05 math.CO
On graphs with a large chromatic number containing no small odd cycles
本文给出了具有大色数且不含小奇圈的图的顶点数的下界。
2012-01-16 math.CO
A Moser-spindle-free 5-chromatic unit distance graph on 2131 vertices in the plane
针对Hadwiger-Nelson问题，本研究构造出不含Moser纺锤体的2131顶点5色单位距离图，改进了此前64513顶点的同类结果，利用21顶点7对称单位距离图的弧完成构造。
2026-10-07 math.CO
Chromatic numbers of stable Kneser hypergraphs via topological Tverberg-type theorems
Kneser在1955年提出的猜想--由Lovász在1978年证明--断言在任何将$k$ --$\{1, 2, \dots, n\}$的子集划分为$n-2k-3$部分的划分中，一个部分包含两个不相交的集合。Schrijver表明，人们可以限制到显着更少的$k$ -集，仍然观察到相同的交叉模式。Alon、Frankl和Lovász证明了Kneser猜想对$r$成对不交集的不同推广。多尔尼科夫将洛瓦兹的结果推广到了任意集合系统，而克内瑟猜想的$r$ -fold扩展也是如此。在这里，我们证明了所有这些结果的一个共同的推广。此外，我们证明了额外的加强，通过确定某些稀疏稳定Kneser超图的色数，并进一步发展了一个一般的方法来建立下界的超图的色数使用的方法相结合的方法，从等变拓扑和相交结果的凸包点在欧几里得空间。
2017-10-25 math.CO
Chromatic numbers for the hyperbolic plane and discrete analogs
我们研究了双曲平面的着色，类似于欧氏平面的Hadwiger-Nelson问题。其思想是使用最少数量的颜色对点进行着色，使得距离恰好为$d$的两个点的颜色不相同。这个问题取决于$d$，并遵循Kloeckner的策略，我们显示线性上界的必要数量的颜色。在平行，我们研究了同样的问题$q$ -正规树，并显示类似的结果。对于这两种设置，我们还考虑了一种变体，该变体包括用距离间隔替换$d$。
2017-01-30 math.CO math.GT
The list chromatic number of graphs with small clique number
证明了每一个最大度$Δ$的无三角形图的列表色数至多为$(1+o(1))\fracΔ{\ln Δ}$。这与围长至少为5的图的最著名的界相匹配。我们还证明了对任何$r\geq 4$，每个$K_r$ -free图的列表色数至多为$200r\frac{Δ\ln\lnΔ}{\lnΔ}$ .
2018-06-29 math.CO
The chromatic number of random Borsuk graphs
本文研究了顶点为$n$ i.i.d.的随机图模型。在$\mathbb{R}^{d+1}$中的单位球面$S^d$上的均匀随机点，并且如果一对顶点之间的欧几里德距离至少为$2- ε$，则它们是连通的。当$n$趋于无穷大时，我们对这个图的色数感兴趣.不难看出，如果$ε> 0$很小且固定，则色数是$d+2$的概率很高。我们表明，即使$ε\to 0$足够慢，这仍然成立。我们量化了$ε$可以趋于零并且仍然具有相同的色数的速率。证明依赖于结合拓扑方法（即Lyusternik-Schnirelman-Borsuk定理）与几何概率参数。我们得到的速率是最好的可能，直到一个常数因子-如果$ε\to 0$比这更快，我们表明，该图是$(d+1)$ -着色的概率很高。
2019-08-02 math.AT math.CO math.MG
Examples of topologically highly chromatic graphs with locally small chromatic number
Kierstead，Szemerédi和Trotter证明了一个图有至多个$\lfloor r/(2n)\rfloor^n$顶点，使得其中每个半径为$r$的球都是$c$ -可着色的，该图应该有至多色数$n(c-1)+1$。我们表明，这一估计是尖锐的$r$。也就是说，对于每一个$n$，$r$，和$c$，我们构造一个图$G$包含$O((2rc)^{n-1}c)$顶点，使得$χ(G)\geq n(c-1)+1$，虽然每个球的半径$r$在$G$是$c$ -着色。其核心思想是构造一个图，其邻域复形同伦等价于两个给定图的邻域复形之并。
2013-12-22 math.CO
Ordinary and measurable colorings of Euclidean three-space
该研究利用OpenAI的平面特征定律刚性定理，证明三维欧氏空间的普通色数与可测色数相等，且均介于7和15之间。
2026-10-15 math.CO
Upper bounds on chromatic number of $\mathbb{E}^n$ in low dimensions
针对欧几里得空间$\mathbb{E}^n$的色数问题，提出基于子格着色方案的显式构造，为低维（含$n=5,6,7,8,9,24$等）及$n\le 38$、$n=48,49$的$\mathbb{E}^n$确立了新的色数上界。
2022-02-12 math.CO math.MG
On minimal triangle-free 6-chromatic graphs
色数为$k$的图称为$k$ -色图.利用计算方法，我们证明了最小的无三角形6色图至少有32个顶点，最多有40个顶点。我们还确定了所有不超过24个顶点的无三角形的5-色图的完备集。这意味着里德猜想至少对这个阶的无三角形图成立。我们还建立了最小的正则无三角形5-色图有24个顶点。最后，我们证明了围长至少为5的最小5-色图至少有29个顶点，围长至少为6的最小4-色图至少有25个顶点。
2018-08-01 cs.DM math.CO
Computing Small Unit-Distance Graphs with Chromatic Number 5
我们提出了一种新的方法来减少具有给定性质的图的大小。我们的方法，这是基于子句证明最小化，使我们能够计算几个553顶点的单位距离图的色数5，而最小的公布的单位距离图的色数5有1581个顶点。后一个图是由Aubrey de Grey构造的，表明平面的色数至少为5。我们的图缺乏4-着色是由于在某些顶点上强制执行了清晰的模式。此外，我们的图表可以在一秒钟内得到机械验证，这表明该模式是基于一个相当短的论点。
2018-05-30 math.CO
First non-trivial upper bound on the circular chromatic number of the plane
我们考虑著名的Nelson-Hadwiger问题的圆形版本。众所周知，4种颜色是必要的，7种颜色足以以这样的方式对欧几里得平面进行着色，即距离不同的点得到不同的颜色。在$r$ -圆形着色中，我们指定周长为$r$的圆的长度为1的弧，以使距离为1的点得到不相交的弧。本文证明了$r=4+\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 6.30$的$r$ -圆染色的存在性.这是平面的$r$ -圆染色的第一个结果，其中$r$小于7。我们还显示$r$ -圆形着色的平面与$r<7$的情况下，当我们需要不相交的弧点的距离属于内部$[\frac{10}{11}, \frac{12}{11}]$。
2015-06-05 math.CO
Circular chromatic index of small graphs
Comenius University（布拉迪斯拉发大学）
本研究系统确定了最大度数为4、5、6的小图和多重图的环色数，并推翻了关于环色数接近Δ+1的猜想。
2026-03-09 cs.DM math.CO
Even factors in edge-chromatic-critical graphs with a small number of divalent vertices
有限简单连通图$G$的最大度$k$是$k$ -临界的，如果它对每条边$e\in E(G)$都有色指数$χ'(G)=k+1$和$χ'(G-e)=k$. Bej和第一作者提出了是否每个$k$ -临界图都有偶因子的问题。证明了最多有$2k-6$点为2的$k$ -临界图都有偶因子.
2022-05-31 math.CO
On the Smallest Eigenvalues and Quantum Chromatic Numbers of Hamming Graphs and Generalizations
Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文研究了距离参数小于一半长度的汉明图的最小特征值，给出了渐近下界，并应用于量子色数的下界。
2026-05-27 math.CO
Spectral bounds for the independence ratio and the chromatic number of an operator
通过推广有限图的邻接矩阵的定义，定义了L^2-空间上有界自伴算子的独立比和色数.在类比有限图的霍夫曼界，我们给这些参数的运营商的数值域的界限。这为利用调和分析和凸优化研究有限和无限图的填充和着色问题提供了一个理论框架。该理论适用于欧几里得空间和单位球面上的无限几何图。
2013-06-19 math.CO math.FA math.OC
The smallest pair of cospectral cubic graphs with different chromatic indexes
通过对16阶三次图的穷举搜索，我们找到了一个唯一的具有不同色指数的共谱对。这个例子表明，正则图的色指数不是由它的谱来刻画的，这回答了最近在[O. Etesami，W. H. Haemers，关于由谱表征的NP-硬图性质，离散应用数学，285（2020）526-529]。我们证明了任何表示共谱对的两个邻接矩阵之间相似性的正交矩阵都不可能是有理数的。这意味着，不能使用原来的GM开关方法或其推广的基础上合理的正交矩阵的共谱对。
2021-12-12 math.CO
The smallest 5-chromatic tournament
本文解决了 Neumann-Lara 关于最小 5 色定向图顶点数的猜想，证明最小 5 色竞赛图有 19 个顶点而非 17 个。
2023-06-23 cs.DM math.CO
An upper bound for the list-distinguishing chromatic number of $K_{r,r+1}$-free graphs
本文受Catlin组合技术启发，为仅含小完全二部图导出子图的连通图类建立了可区别色数与列表可区别色数的改进上界，并应用Menger定理展示了结果在基于Paley图、Dihedral群Cayley图等构造的图中的应用。
2026-10-30 math.CO math.GR
Clique colourings of geometric graphs
一个图的团着色是顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最少的颜色数是团色数。给定平面中的点$n$和阈值$r>0$，对应的几何图具有顶点集$\{v_1,\ldots,v_n\}$，并且当$x_i$和$x_j$之间的欧氏距离至多为$r$时，不同的$v_i$和$v_j$相邻。我们研究了这类图的团色数。我们首先证明了平面上任意几何图的团色数至多为9，并简要地考虑了高维几何图。然后研究了平面上随机几何图$RG$的团色数的渐近性质，其中$n$随机点独立均匀分布在一个适当的正方形中.我们看到，随着$r$从0开始增加，对于非常小的$r$，团色数很可能是1，然后对于小的$r$，团色数是2，然后对于较大的$r$，团色数至少是3，最后降回2。
2018-12-02 math.CO
Trees with small b-chromatic index
在最近的一篇文章[5]中，作者声称树的b-色指数与已知上界之间的距离至多为1。与此同时，在[7]中，作者声称能够构建一个树，其中该差异大于1。然而，给出的例子是不连贯的，即，实际上是一片森林。在这里，我们稍微修改他们的结构，以产生树，从而得到确实的树的b-色指数和已知的上界之间的差异可以是任意大的。我们还指出了[5]中的错误。
2015-11-18 cs.DM math.CO
New upper bounds for the chromatic numbers of Euclidean spaces
本文通过构造显式有理格和解析方法，将欧几里得空间色数上界改进为R^4≤43、R^5≤132等，反驳了相关猜想，并首次给出R^10低于3^n的界。
2026-09-18 math.CO
Distinguishing chromatic number of Hamiltonian circulant graphs
图$G$的可区别色数是使$G$的顶点正确着色所需的最小颜色数，使得平凡自同构是$G$的唯一保持着色的对称。研究了最大度不超过4的Hamilton循环图的可区别色数。
2023-03-24 math.CO
A Note on Chromatic Sum
图$G$的色和$Σ(G)$是用自然数进行正常染色的图中最小的色和。本文引入了图同态存在的一个必要条件。此外，我们提出了$Σ(G)<χ_f(G)|G|$的每一个图$G$。
2009-01-24 math.CO
Intersection patterns of finite sets and of convex sets
主要结果是r-一致超图色数下界的结果和Tverberg型理论中的一些主要定理的一般推广，这些定理涉及单纯复形连续映射到欧几里得空间时的面相交模式.作为一个应用，我们得到了一个简单的证明推广的结果Kriz某些参数。本文专门给出了Kneser猜想的一个简短的证明。此外，结合这一结果与最近的工作Mabillard和Wagner，我们表明，某些等变映射的存在性产生下界的色数。对Schrijver关于稳定Kneser图的色数的结果给出了一个本质上初等的证明.事实上，我们证明了每个相邻的偶数维多面体产生一个小的诱导子图的Kneser图相同的色数。利用这个几何观点，我们进一步给出了Kneser超图的某些小子超图的色数的紧下界。
2016-07-04 math.AT math.CO
The chromatic number of random lifts of complete graphs
图$G$的一个$n$ -提升是一个图，从该图有一个到$G$的$n$ -到- $1$覆盖映射. Amit，Linial，and Matou \v sek（2002）提出了一个问题，即$K_5$的随机$n$ -提升的色数是否集中在一个值上.我们考虑这个问题的$G=K_{d+1}$，并表明，对于固定的$d\ge 3$的随机提升$K_d$的色数是（渐近几乎肯定）$k$或$k+1$，其中$k$是满足$d < 2k \log k$的最小整数。此外，我们表明，大约一半的$d$值，色数集中在$k$。对色数上界的论证使用了小子图条件化方法，并且可以推广到$G$的随机$n$ -提升，对于任何固定的$d$ -正则图$G$。
2021-09-27 math.CO
On the chromatic number of random d-regular graphs
本文证明了对任意固定的d，随机d-正则图渐近几乎必然可以用k种颜色着色，其中k是满足d<2（k-1）log（k-1）的最小整数.根据Molloy和Reed先前的下界，这建立了色数渐近几乎必然为k-1或k。此外，如果d>（2k-3）log（k-1），则丢弃值k-1，从而精确地确定色数。因此，我们改进了Achlioptas和Moore最近宣布的结果，其中允许色数取值k+1。我们的证明适用于小的子图调理方法的平衡k-着色，着色是平衡的，如果每种颜色的顶点数是相等的。
2008-12-15 math.CO
On the chromatic number of a simplicial complex
在[Ho]中A.J.Hoffman证明了图的色数的一个下界，它是由图的邻接矩阵的最大和最小特征值表示的。本文证明了这一结果的一个高维形式，并利用高阶Laplacian算子的谱给出了纯$d$维单纯复形的色数的一个下界.
2015-11-17 math.CO
Spectral Lower Bounds for the Quantum Chromatic Number of a Graph -- Part II
霍夫曼证明了一个图$G$的特征值$μ_1 \ge \ldots \ge μ_n$和色数$χ(G)$满足：\[ χ\ge 1 + κ\]其中$κ$是最小的整数，使\[ μ_1 + \sum_{i=1}^κ μ_{n+1-i} \le 0. \]我们加强这一众所周知的结果证明，$χ(G)$可以取代的量子色数，$χ_q(G)$，其中对于所有的图$χ_q(G) \le χ(G)$和某些图$χ_q(G)$是显着小于$χ(G)$。我们还证明了一个类似的结果，并研究了这些不等式对各类图的量子色数的影响，改进了许多已知的结果。例如，我们证明了Kneser图$KG_{p,2}$具有$χ_q = χ= p - 2$。
2020-11-16 math.CO
An improved bound on the chromatic number of the Pancake graphs
本文给出了Pancake图$P_n, n\geqslant 2$的色数的一个改进的界。利用Pancake图的色数的次可加性性质得到了该界。我们还研究了$P_n$的均匀着色问题.给出了一个基于有效控制集的均匀$(n-1)$ -染色，并研究了小$n$的最优均匀$4$ -染色.证明了$P_n$的色数与它对任何$n\geqslant 2$的均匀色数是一致的.
2021-03-20 math.CO
The chromatic number of the plane is at least 5
我们提出了一个家庭的有限单位距离图的平面上，不是4-collapse，从而提高了下界的Hadwiger-Nelson问题。迄今为止，我们发现的最小的图有1581个顶点。
2018-05-30 math.CO
