A 6-chromatic odd-distance graph in the plane
奇距离图的两个顶点被一条边连通当且仅当它们的欧氏距离是奇数。在平面上构造了一个6色奇距离图。
2022-06-25 math.CO
Chromatic properties of the Euclidean plane
设$G$为平面上的单位距离图。组合几何中一个著名的问题是确定$G$的色数。已知$4\le χ(G)\le 7$ . 7的上界是使用平面的平铺得到的。本文研究了两个问题，我们寻求适当的着色$G$，增加限制的启发平铺：让$H(ε)$是图的顶点是点的${\mathbb R}^2$，与边缘之间的两个点，如果它们的距离位于区间$[1,1+ε]$。我们表明，对于小$ε$，$0<ε\le \frac{3\sqrt{2}}{4}-1$，我们有$6\le χ(H(ε))\le 7$。这改进了Exoo和Grytczuk等人的结果，即$5\le χ(H(ε))$适用于小$ε$。假设$G$是适当着色的，但两个纯色区域在某个邻域内沿直线相交。至少需要使用5种颜色。
2016-03-24 math.CO
A new proof of the Larman-Rogers upper bound for the chromatic number of the Euclidean space
欧几里得空间$\mathbb{R}^n$的色数$χ(\mathbb{R}^n)$是足以对空间中所有点着色的最小颜色数，使得距离为1的任何两点具有不同的颜色。1972年，Larman-Rogers证明了$χ(\mathbb{R}^n) \leq (3 + o(1))^n$。我们给出了这个界的一个新的证明。
2018-12-04 math.CO math.MG
A $6$-chromatic two-distance graph in the plane
我们证明了，如果一个颜色的每一个点的欧几里德平面的五种颜色之一，那么存在两个点的相同的颜色是距离$1$或距离$2$分开。
2019-09-29 math.CO
A sufficient condition for a graph with boxicity at most its chromatic number
欧几里得$k$ -空间中的盒是实直线上$k$闭区间的笛卡儿积。图$G$的盒度，记为$\text{box}(G)$，是使$G$同构于欧氏$k$ -空间中盒族的交图的最小非负整数$k$.本文给出了图$G$为$\text{box}(G)\leq χ(G)$的一个充分条件，其中$χ(G)$表示图$G$的色数. Bhowmick和Reynran（2010）证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对没有星状三元组的图$G$成立。我们证明了$\text{box}(G)\leq χ(G)$对一类特殊的具有星状三元组的循环图族中的图$G$成立。
2018-04-19 math.CO
Constructing 5-chromatic unit distance graphs embedded in the Euclidean plane and two-dimensional spheres
本文主要研究二维球面或平面中色数大于4的单位距离图的求法。此类图为平面上的Nelson-Hadwiger问题的色数及其对球体情况的推广提供了下界。构造了一系列嵌入平面的顶点数为64513的5色单位距离图。与先前已知的例子不同，这些图不包含Moser主轴作为子图。给出了在两个半径值上嵌入球面的5-色图的构造。即构造了嵌入单位边长二十面体外接球的372个顶点的5-色单位距离图和嵌入大二十面体外接球的972个顶点的5-色图。
2022-10-22 math.CO math.MG
On the chromatic numbers of small-dimensional Euclidean spaces
本文研究图序列G_n =（V_n，E_n），其中V_n是R^n中所有坐标为{-1，0，1}的向量v的集合，使得|v| = sqrt（3），E_n由标积为1的所有顶点对组成.我们精确地求出了G_n的独立数。作为推论，我们得到了当n较小时chi（\R^n）和chi（\Q^n）的一些新的下界.
2016-08-30 math.CO math.MG
On upper bounds for the multi-fold chromatic numbers of the plane
平面$χ_m$的多重色数是最小的颜色数$k$，足以使欧几里德平面的每个点都精确地用$m$颜色着色，使得对于彼此相距单位距离的任何一对点，$k$集合的两个对应的$m$子集不包含任何公共颜色。我们考虑平面的$m$ -fold色数的上界.我们的主要结果是，对于任何$m$不等式$χ_m<(1+2/\sqrt3)^2\cdot m+3.501$成立。
2022-06-25 math.CO
On Chromatic Numbers of Integer and Rational Lattices
本文给出了整数格和某些有理空间及其它格的色数的新的上界。特别地，我们证明了对于任何具体的临界距离$d$，具有临界距离$\sqrt{2d}$的$\Z^{n}$的色数在$n$中有多项式增长，其指数小于或等于$d$（有时这个估计是尖锐的）.同样的陈述不仅在欧几里德范数中成立，而且在任何$l_{p}$范数中也成立。此外，我们还给出了$\Q_{p}^{n}$的一些小维数的具体估计和色数的上界，这里的$\Q_{p}$指的是所有有理数环都有不可被某些素数整除的因子.
2012-09-30 math.CO
The chromatic number of the plane with an interval of forbidden distances is at least 7
本文证明 Exoo 猜想：对任意正禁距区间宽度，欧几里得平面及任意 Minkowski 平面的色数至少为7，且当区间足够小时恰好为7。
2025-04-13 math.CO
Expected Length of the Euclidean Minimum Spanning Tree and 1-norms of Chromatic Persistence Diagrams in the Plane
本文改进欧几里得最小生成树期望长度常数下界至0.6289，通过研究随机二色点集的持续同调，确定色持久图一范数期望的常数表达式。
2025-10-27 cs.CG math.CO math.PR
Chromatic numbers of spheres
欧几里得空间的子集的色数是指能够使该子集中所有点着色的最小颜色数，使得距离为1的任意两点具有不同的颜色。给出了球面的色数的新的上界。
2018-11-09 math.CO math.MG
Lower bounds for the measurable chromatic number of the hyperbolic plane
考虑顶点集为双曲平面的图$\mathbb{H}(d)$，其中两点在距离等于某个$d>0$时与一条边相连.求这个图的色数是著名的哈德维格-纳尔逊问题的双曲类比，这个问题是关于给欧几里得平面上的点着色，使得距离$1$远的点接收不同的颜色。如在欧几里德情形中，可以通过对所有$d$的$4$来下界$\mathbb{H}(d)$的色数。使用谱方法，我们证明，如果颜色类是可测量的，那么至少$6$颜色是需要适当的颜色$\mathbb{H}(d)$时，$d$是足够大的。
2017-08-03 math.CO math.MG
A Moser-spindle-free 5-chromatic unit distance graph on 2131 vertices in the plane
针对Hadwiger-Nelson问题，本研究构造出不含Moser纺锤体的2131顶点5色单位距离图，改进了此前64513顶点的同类结果，利用21顶点7对称单位距离图的弧完成构造。
2026-10-07 math.CO
Chromatic numbers of stable Kneser hypergraphs via topological Tverberg-type theorems
Kneser在1955年提出的猜想--由Lovász在1978年证明--断言在任何将$k$ --$\{1, 2, \dots, n\}$的子集划分为$n-2k-3$部分的划分中，一个部分包含两个不相交的集合。Schrijver表明，人们可以限制到显着更少的$k$ -集，仍然观察到相同的交叉模式。Alon、Frankl和Lovász证明了Kneser猜想对$r$成对不交集的不同推广。多尔尼科夫将洛瓦兹的结果推广到了任意集合系统，而克内瑟猜想的$r$ -fold扩展也是如此。在这里，我们证明了所有这些结果的一个共同的推广。此外，我们证明了额外的加强，通过确定某些稀疏稳定Kneser超图的色数，并进一步发展了一个一般的方法来建立下界的超图的色数使用的方法相结合的方法，从等变拓扑和相交结果的凸包点在欧几里得空间。
2017-10-25 math.CO
Ordinary and measurable colorings of Euclidean three-space
该研究利用OpenAI的平面特征定律刚性定理，证明三维欧氏空间的普通色数与可测色数相等，且均介于7和15之间。
2026-10-15 math.CO
First non-trivial upper bound on the circular chromatic number of the plane
我们考虑著名的Nelson-Hadwiger问题的圆形版本。众所周知，4种颜色是必要的，7种颜色足以以这样的方式对欧几里得平面进行着色，即距离不同的点得到不同的颜色。在$r$ -圆形着色中，我们指定周长为$r$的圆的长度为1的弧，以使距离为1的点得到不相交的弧。本文证明了$r=4+\frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 6.30$的$r$ -圆染色的存在性.这是平面的$r$ -圆染色的第一个结果，其中$r$小于7。我们还显示$r$ -圆形着色的平面与$r<7$的情况下，当我们需要不相交的弧点的距离属于内部$[\frac{10}{11}, \frac{12}{11}]$。
2015-06-05 math.CO
The arc chromatic number for Galois projective planes, affine planes and Euclidean grids
Institute of Mathematics, UNAM（墨西哥国立自治大学数学研究所）；Faculty of Sciences, UNAM（墨西哥国立自治大学理学院）
本文研究了Galois射影平面、仿射平面和欧几里得网格的弧色数问题，确定了不同结构下的最小弧划分数及其边界条件。
2026-08-13 cs.DM math.CO
Clique colourings of geometric graphs
一个图的团着色是顶点的着色，使得没有最大团是单色的（忽略孤立顶点）。在这样的着色中，最少的颜色数是团色数。给定平面中的点$n$和阈值$r>0$，对应的几何图具有顶点集$\{v_1,\ldots,v_n\}$，并且当$x_i$和$x_j$之间的欧氏距离至多为$r$时，不同的$v_i$和$v_j$相邻。我们研究了这类图的团色数。我们首先证明了平面上任意几何图的团色数至多为9，并简要地考虑了高维几何图。然后研究了平面上随机几何图$RG$的团色数的渐近性质，其中$n$随机点独立均匀分布在一个适当的正方形中.我们看到，随着$r$从0开始增加，对于非常小的$r$，团色数很可能是1，然后对于小的$r$，团色数是2，然后对于较大的$r$，团色数至少是3，最后降回2。
2018-12-02 math.CO
New upper bounds for the chromatic numbers of Euclidean spaces
本文通过构造显式有理格和解析方法，将欧几里得空间色数上界改进为R^4≤43、R^5≤132等，反驳了相关猜想，并首次给出R^10低于3^n的界。
2026-09-18 math.CO
Note on the chromatic number of Minkowski planes: the regular polygon case
著名的Hadwiger-Nelson问题要求为欧几里得平面上的点着色所需的最小颜色数，使得相隔单位距离的两个点不会被分配相同的颜色。本文考虑Minkowski度量平面上的一个变形问题，其中单位圆是一个偶数且至多22个顶点的正多边形。我们提出了一个单格-子格着色方案，使用6种颜色，证明了上面的Minkowski平面的色数至多为6。这个结果对于顶点数超过8的正多边形是新的。
2023-01-31 math.CO math.MG
The chromatic number of 4-dimensional lattices
本研究利用4维52种平行多面体分类，结合格Cayley图同构检验、诱导子图下界、周期着色上界及SAT求解器，确定了所有4维格的色数。
2024-11-30 math.CO math.MG
Chromatic numbers for the hyperbolic plane and discrete analogs
我们研究了双曲平面的着色，类似于欧氏平面的Hadwiger-Nelson问题。其思想是使用最少数量的颜色对点进行着色，使得距离恰好为$d$的两个点的颜色不相同。这个问题取决于$d$，并遵循Kloeckner的策略，我们显示线性上界的必要数量的颜色。在平行，我们研究了同样的问题$q$ -正规树，并显示类似的结果。对于这两种设置，我们还考虑了一种变体，该变体包括用距离间隔替换$d$。
2017-01-30 math.CO math.GT
The density of sets avoiding distance 1 in Euclidean space
本文用指数因子改进了欧几里得空间中避1集密度的最佳渐近上界。这一结果是由一个分析界，这是一个类似的洛瓦兹θ数和一个组合的参数，涉及有限的子图的单位距离图的组合。进而，我们直接得到了欧几里得空间的可测色数的一个渐近改进。我们还收紧了4到24之间的维度的先前结果。
2015-01-29 math.CO math.MG
The $k^{\text th}$ Upper Chromatic Number of the Line
本文研究了Greenwell和Johnson定义的$\mathbb{R}^n$子集的第$k$个上色数，证明了对于所有自然数$k$，实数集$\mathbb{R}$的第$k$个上色数${\hatχ }^{(k)}(\mathbb{R})$均为有限值。
2025-06-25 math.CO
The fractional chromatic number of the plane is at least 4
本文证明了欧几里得平面的分数色数至少为4，通过引入几何分数色数并构造27顶点的单位距离图实现，同时证明了有限分数色数与霍尔比相等，并猜想独立比1/4不可达。
2025-03-27 math.CO math.MG
Hadwiger--Nelson Problem for Typical Norms
Princeton University（普林斯顿大学）；Tel Aviv University（特拉维夫大学）；University of Vienna（维也纳大学）；Leipzig University（莱比锡大学）
本文研究典型范数的Hadwiger--Nelson问题，将单位距离图色数的上界从指数改进为线性（至多2d且紧），并借助高维矩阵推广的Lonely runner猜想解决了相关猜想。
2026-09-30 math.CO math.MG
A New Class of Geometrically Defined Hypergraphs Arising from the Hadwiger Nelson Problem
针对欧几里得空间单位距离图色数问题，通过推广Erdos-De-Bruijn定理构造有限图序列，得到一类几何定义超图，其正常着色与单位距离图一致，并部分推广至任意实赋范向量空间。
2024-11-08 math.CO
Lower bounds for measurable chromatic numbers
基于半定规划的求解，Lovasz θ函数为有限图的色数提供了一个下界。本文推广了它，给出了紧度量空间上距离图的可测色数的一个下界。特别是，我们考虑单位球面上的距离图。在那里，我们把原来的无限半定规划到一个无限的线性规划，然后原来是一个极值问题的雅可比多项式，我们解决明确的限制。作为应用，我们导出了10，.维欧几里得空间的可测色数的新的下界，24，我们给出了一个新的证明，它的增长指数的维数。
2009-07-17 math.CA math.CO math.MG
Spectral bounds for the independence ratio and the chromatic number of an operator
通过推广有限图的邻接矩阵的定义，定义了L^2-空间上有界自伴算子的独立比和色数.在类比有限图的霍夫曼界，我们给这些参数的运营商的数值域的界限。这为利用调和分析和凸优化研究有限和无限图的填充和着色问题提供了一个理论框架。该理论适用于欧几里得空间和单位球面上的无限几何图。
2013-06-19 math.CO math.FA math.OC
New lower bounds on $χ(R^d)$ for $d=8 \dots 12$
本文改进了小维欧几里得空间的色数的最佳下界。新的结果依赖于Sage中的大量计算。
2014-09-03 math.CO math.MG
Intersection patterns of finite sets and of convex sets
主要结果是r-一致超图色数下界的结果和Tverberg型理论中的一些主要定理的一般推广，这些定理涉及单纯复形连续映射到欧几里得空间时的面相交模式.作为一个应用，我们得到了一个简单的证明推广的结果Kriz某些参数。本文专门给出了Kneser猜想的一个简短的证明。此外，结合这一结果与最近的工作Mabillard和Wagner，我们表明，某些等变映射的存在性产生下界的色数。对Schrijver关于稳定Kneser图的色数的结果给出了一个本质上初等的证明.事实上，我们证明了每个相邻的偶数维多面体产生一个小的诱导子图的Kneser图相同的色数。利用这个几何观点，我们进一步给出了Kneser超图的某些小子超图的色数的紧下界。
2016-07-04 math.AT math.CO
The chromatic number of random Borsuk graphs
本文研究了顶点为$n$ i.i.d.的随机图模型。在$\mathbb{R}^{d+1}$中的单位球面$S^d$上的均匀随机点，并且如果一对顶点之间的欧几里德距离至少为$2- ε$，则它们是连通的。当$n$趋于无穷大时，我们对这个图的色数感兴趣.不难看出，如果$ε> 0$很小且固定，则色数是$d+2$的概率很高。我们表明，即使$ε\to 0$足够慢，这仍然成立。我们量化了$ε$可以趋于零并且仍然具有相同的色数的速率。证明依赖于结合拓扑方法（即Lyusternik-Schnirelman-Borsuk定理）与几何概率参数。我们得到的速率是最好的可能，直到一个常数因子-如果$ε\to 0$比这更快，我们表明，该图是$(d+1)$ -着色的概率很高。
2019-08-02 math.AT math.CO math.MG
Coloring Geometric Hypergraphs: A Survey
本文综述了几何超图的着色问题，探讨了色数与覆盖问题的关系，以及当m足够大时色数是否为2的结论。
2025-12-10 cs.CG math.CO
Upper bounds on chromatic number of $\mathbb{E}^n$ in low dimensions
针对欧几里得空间$\mathbb{E}^n$的色数问题，提出基于子格着色方案的显式构造，为低维（含$n=5,6,7,8,9,24$等）及$n\le 38$、$n=48,49$的$\mathbb{E}^n$确立了新的色数上界。
2022-02-12 math.CO math.MG
Boxicity of Circulant Graph $G_k^d$
图$G$的盒度，记为$box(G)$，是使$G$同构于欧氏$\ell$ -空间中盒族的交图的最小正整数$\ell$，其中欧氏$\ell$ -空间中的盒是实直线上$\ell$闭区间的笛卡尔积。设$k$和$d$是两个正整数，且具有$k\geq 2d$。循环图$G_k^d$是顶点集$V(G_k^d)=\{a_0, a_1,\ldots, a_{k-1}\}$和边集$E(G_k^d)=\{a_i a_j | \ d\leq |i-j|\leq k-d\}$的图。图$G$的色数记为$χ(G)$。在\cite{Aki}中，Akira Kamibeppu证明了$box(G_k^d)\leq χ(G_k^d)$对某些循环图类$G_k^d$成立，并提出了同样的结果对所有循环图成立的问题。在这篇短文中，我们证明了对于所有的$k$和具有$k\geq 2d$的$d$，$box(G_k^d)\leq χ(G_k^d)$。这包括所有循环图$G_k^d$。我们的证明非常简单和简短。这回答了上述问题。
2020-03-21 math.CO
Ramsey problems for graphs in Euclidean spaces and Cartesian powers
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文研究了欧几里得空间和笛卡尔幂中图的拉姆齐问题，提出了新的函数χ_H(R^n)，并探讨了其在不同图结构下的性质及应用。
2026-10-14 math.CO
On the density of sets of the Euclidean plane avoiding distance 1
本文研究欧几里得平面中避开距离1的可测集合的上密度上确界，证明其上界为0.25647，并得到平面分数色数至少为3.8991。
2022-05-27 cs.DM math.CO math.MG
A Dense Neighborhood Lemma: Applications of Partial Concept Classes to Domination and Chromatic Number
本文研究了稠密邻域引理（DNL）在偏概念类中的应用，将三角图作为偏概念类推广了VC维度理论，证明了在底层图VC维度无界时随机采样依然有效，并给出了在图色数和竞赛图支配数等方面的组合应用。
2025-04-29 cs.DM math.CO
Coloring distance graphs on the plane
本文研究欧氏平面上一定距离图的染色问题。也就是说，我们要求最小数量的颜色需要着色的所有点的平面，在这样的方式，对点的距离在间隔$[1,b]$得到不同的颜色。经典的Hadwiger-Nelson问题是这个问题的一个特例--通过取$b=1$得到。本文的主要结果是改进了$b$的某些值的颜色数的上下上界。特别是，我们确定的最小数量的颜色为两个范围的值的$b$ -其中之一是扩大间隔提出的Exoo和第二个是全新的。据我们所知，这些是唯一已知的家庭的距离图的平面上确定非平凡的色数。此外，我们给出了$b$的第一个$8$ -着色，它大于已知$7$ -着色的$b$的值.作为一个副产品，我们给出了一些边界和精确值的有界部分的平面，特别是通过着色某些环。
2022-01-12 math.CO
Lunar Generalizations of the Euclidean Minimum Spanning Tree in the Plane and their Expected Costs
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；ISTA (Institute of Science and Technology Austria)（奥地利科学与技术研究所）；Max Planck Institute of Biochemistry（马克斯·普朗克生物化学研究所）；University of Vienna（维也纳大学）；Technical University of Wien（维也纳工业大学）
本文针对带s+1种颜色的平面随机点，推广欧几里得最小生成树为月球EMST，证明其期望代价相关常数存在，该代价随n趋于无穷时为常数乘√n，精确值仍未知。
2026-08-28 cs.CG math.AT math.CO
Measurable obstructions for unmeasurable colourings
Leipzig University（莱比锡大学）
针对Székely提出的欧氏空间可测与普通色数是否不同的问题，该研究通过建立相关公式，将可测色数的诸多结果提升至普通色数，并改进了相关下界，还拓展了相关定理的适用范围。
2026-10-09 math.CA math.CO math.MG
The topology of projective codes and the distribution of zeros of odd maps
我们证明了射影空间中码的大小控制了从球面到欧几里得空间的奇映射的零点的结构结果。事实上，这个关系是通过球面上的概率测度空间的拓扑给出的，球面的支撑具有由某些特定参数限定的直径。我们的主要结果是Borsuk-Ulam定理的推广，并由此得到四个结果：（i）给出了Simonyi和Tardos关于图的圆色数的拓扑下界的一个结果的新证明;（ii）研究了球面在欧几里得空间中的通有嵌入，证明了投射码给出了球面嵌入通有度量的定量界;我们证明了推广的（iii）火腿三明治定理和（iv）Lyusternik-Shnirel'man-Borsuk覆盖定理的情况下，措施或集的数量在覆盖，分别可能会超过周围的尺寸。
2022-08-28 math.CO math.GT math.MG
Solvability of Cubic Graphs - From Four Color Theorem to NP-Complete
与欧几里得几何相似，图论是一门研究由点和线组成的图形的科学。欧几里得几何的核心是平行公设，它提供了几何不变式的基础，即每个三角形的角之和等于$π$，以及解线性方程组的克莱默法则。由于平行公设在图论中的对应物是未知的，这可能是图论中的两个类似问题，即四色定理（拓扑不变量）和NP完全问题（离散联立方程组）的可解性，至今仍然开放的原因。本文基于三次图的复着色，提出了Petersen构型的约化公设，填补了这一空白。将边染色与线性方程组进行比较，发现图论中的归约公设与欧氏几何中的平行公设具有平面的一些共同特征。首先，它们都提供了平面上两个方程的可解性条件。第二，平面的两个基本不变量，即无桥三次平面图的色指数和每个三角形中的角和，可以分别以直接的方式从它们导出。这一归约假设已被计算机生成的十多万个Peterson组态实例所验证。尽管如此，我们仍然没有一个合乎逻辑的证据来证明这一论断。与平行公设类似，我们倾向于认为用平面的更基本的性质来描述这些自然定律是不可想象的。
2014-01-08 cs.DM math.CO
Connectedness of Unit Distance Subgraphs Induced by Closed Convex Sets
单位距离图$G_{\mathbb{R}^d}^1$是其节点是$\mathbb{R}^d$中的点的无限图，如果这些点之间的欧几里得距离为1，则两点之间具有边。这个图的二维版本$G_{\mathbb{R}^2}^1$通常研究其色数，如Hadwiger-Nelson问题。然而，单位距离图的其他性质却很少被研究。在这里，我们考虑的限制$G_{\mathbb{R}^d}^1$的闭凸子集$X$的$\mathbb{R}^d$。我们证明了当$X$的$r(X)$的半径等于0，或当$r(X)\geq 1$和$X$的仿射维数至少为2时，图$G_{\mathbb{R}^d}^1[X]$是精确连通的。对于超矩形，我们给出了临界情况下，半径正好为1的图直径的界限。
2022-02-11 math.CO math.MG
Chromatic number of spacetime
本文基于 Graham 定理研究了时空的色数问题，回答了 Hadwiger-Nelson 问题的伪欧几里得类似问题，并在引入第二空间维度的设定下给出了另一种证明，得到了显著改进的界限和更强的密度版本。
2024-11-17 math-ph math.CO math.MG
The intersection of a random geometric graph with an Erdős-Rényi graph
本文研究随机几何图与 Erdős-Rényi 图的交集图，在边概率和半径均趋于零时分析其团数、独立数、连通性、哈密顿性、色数和直径等性质。
2024-11-07 math.CO
A Probabilistic Approach to Problems on Distance Graphs and Graphs of Diameters (Candidate-Degree Dissertation Author's Review, in Russian)
这篇论文涉及到组合几何，具有很强的概率色彩。主要结果可以分为三个部分。第一部分的结果保证平面上的每个“单位距离图”都有一个色数最多为4的诱导子图，该子图至少覆盖整个图91.7%的顶点。第二部分和第三部分的结果与具有n个标记顶点的随机图的标准模型有关，其中边以概率p独立出现，其中p是n的函数。这就是著名的Erdos-Renyi模型G（n，p）。给定一个图的单调性，Erdos和Renyi定理（1960）指出存在一个p（n）的临界门限值，在该门限值以下，随机图具有该单调性的概率趋于1（当n趋于无穷大时），在该门限值以上，概率趋于零。第二部分的主要结果是关于在维数为d的欧氏d-空间中，一个图同构于某个单位距离图的单调性。这部分的结果保证了对于{2，3，4，5，6，7，8}中的d，p（n）的门限值是1/n的大θ。此外，d = 1的情况与高维的情况不同;这里的阈值概率是1/（n^（4/3））的大θ。第三部分的结果致力于从概率的角度研究“直径图”。特别地，证明了在一定条件下，几乎所有平面内直径图的色数小于3。更一般地说，它表明G（n，p）的直径图有一个倾向于色退化（大n）时，p接近0，但有一个倾向于完整时，p接近1。
2014-12-29 math.CO math.MG math.PR
Unit and distinct distances in typical norms
该论文在Baire范畴意义上对$\nmathbb{R}^d$上几乎所有范数解决了Erdős单位距离和不同距离问题，给出紧确界限，并证明几乎所有平面范数的单位距离图色数为4。
2024-11-07 math.CO math.MG
