三次图的可解性--从四色定理到NP完全

三次图的正规边染色

Normal edge-colorings of cubic graphs

三次图的正常$k$ -边染色是具有$k$颜色的边染色，具有附加性质，即当查看分配给任何边$e$和与其相邻的四条边的颜色集合时，我们恰好有五种不同的颜色或恰好有三种不同的颜色。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正规的$k$ -边染色。正规$k$ -边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。更确切地说，已知对于每个无桥三次图证明$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想，然后证明圈双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。考虑到所有简单三次图（不一定是无桥的）的较大类，自然会出现一些有趣的问题。例如，存在具有$χ'_{N}(G)=7$的简单三次图，而不是无桥图。另一方面，$χ'_{N}(G)$的已知最佳通用上限是$9$。在这里，我们通过证明，$χ'_{N}(G)\leq7$的任何简单的三次图$G$，这是最好的可能。我们通过证明在$4$ -边连通图中存在特定的no-where零$\mathbb{Z}_2^2$ -流来得到这个结果。

三次图的S-填充染色

S-Packing Colorings of Cubic Graphs

给定一个正整数的非减序列$S=(s\_1,s\_2, \ldots, s\_k)$，图$G$的{ \em $S$ -packing着色}是从$V(G)$到$\{s\_1,s\_2, \ldots, s\_k\}$的映射$c$，使得具有颜色$s\_i$的任何两个顶点的相互距离大于$s\_i$，$1\le i\le k$ .本文研究了（次）三次图的$S$填充染色.证明了次立方图是$(1,2,2,2,2,2,2)$ -填充可着色图和$(1,1,2,2,3)$ -填充可着色图.对于子三次图的细分，我们得到更清晰的界限，我们提供了一个例子，一个三次图的顺序$38$这不是$(1,2,\ldots,12)$包装着色。

三次图的$S_{12}$和$P_{12}$ -染色

$S_{12}$ and $P_{12}$-colorings of cubic graphs

如果$G$和$H$是两个三次图，则$G$的$H$ -染色是具有$H$的边的真边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，存在具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$。如果$G$允许$H$ -着色，那么我们将写为$H\prec G$ . Jaeger的Petersen着色猜想（$P_{10}$ -猜想）指出，对于任何无桥三次图$G$，有：$P_{10}\prec G$。Sylvester着色猜想（$S_{10}$ -猜想）指出，对任何三次图$G$，$S_{10}\prec G$ .在本文中，我们介绍了两个新的架构，是与这些架构。第一个定理指出，任何具有完美匹配的三次图都允许$S_{12}$ -着色。第二个定理指出，任何边集能被四个完美匹配覆盖的三次图$G$都允许$P_{12}$ -染色。我们把这些新的猜想分别称为$S_{12}$ -猜想和$P_{12}$ -猜想。我们的第一个结果证明了图的选择在$S_{12}$ -猜想和$P_{12}$ -猜想。其次，我们刻画了三次图$G$的$P_{12}$ -着色中可能是虚构的$P_{12}$的边。最后，我们证明了$S_{12}$ -猜想蕴涵$S_{10}$ -猜想，$P_{12}$ -猜想和$(5,2)$ -圈覆盖猜想一起蕴涵$P_{10}$ -猜想，从而把新的猜想与已知的猜想联系起来.我们证明后…

14是使得所有立方图的每个4-全着色均为均匀着色的最大阶数

Order 14 is the largest order for which every 4-total coloring of every cubic graph is equitable

本文否定Stemock关于阶数小于20的立方图的4-全着色均为均匀着色的猜想，证明14是满足该性质的最大阶数，给出相关分解引理并构造反例。

强边着色与正常边着色的列表版本（sub）立方图

List strong and list normal edge-coloring of (sub)cubic graphs

研究了立方图的强边着色和正常边着色的列表版本，证明了最大度数为3的图的列表强色数不超过10，并展示了存在具有不同强色数和其列表版本的图。

三次图的冠的均匀全染色

Equitable total coloring of corona of cubic graphs

图$G=(V,E)$的$V \cup E$的全部独立划分集的最小数目称为$G$的\emph{total chromatic number}，记为$χ''(G)$。如果任意两个完全独立集的基数之差至多为1，则$V \cup E$的最小完全独立划分集的个数称为\emph{equitable total chromatic number}，记为$χ''_=(G)$。本文研究了三次图的晕的均匀全染色问题，即$G \circ H$ .结果表明，不依赖于因子$G$和$H$的合理全色数，日冕$G \circ H$的合理全色数等于$Δ(G \circ H) +1$ .从而证实了Behzad在1964年提出的关于三次图的晕的全染色猜想（TCC）和Wang在2002年提出的关于三次图的晕的均匀全染色猜想（ETCC）。作为一个直接结果，我们得到所有三次图的冠都是1型的。

射影平面三次图的三边着色：四色定理的一个推广

Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem

本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。

$S$-打包染色三次Halin图

$S$-Packing Coloring of Cubic Halin Graphs

本文研究三次Halin图的$S$-打包染色问题，证明了所有三次Halin图均可进行$(1,1,2,3)$-打包染色，并进一步证明了其$(1,2,2,2,2,2)$-可染色性。

On sublinear approximations for the Petersen coloring conjecture

If $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ is a function, then let us say that $f$ is sublinear if \[\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{f(n)}{n}=0.\] If $G=(V,E)$ is a cubic graph and $c:E\rightarrow \{1,...,k\}$ is a proper $k$-edge-coloring of $G$, then an edge $e=uv$ of $G$ is poor (rich) in $c$, if the edges incident to $u$ and $v$ are colored with three (five) colors. An edge is abnormal if it is neither rich nor poor. The Petersen coloring conjecture of Jaeger states that any bridgeless cubic graph admits a proper 5-edge-coloring $c$, such that there is no an abnormal edge of $G$ with respect…

三次图的$l$ -冠积的均匀染色

Equitable Colorings of $l$-Corona Products of Cubic Graphs

一个图$G$是公平$k$ -可着色的，如果它的顶点可以被划分成$k$独立的集合，使得任意两个集合中的顶点数相差至多1。存在这种着色的最小整数$k$被称为$G$的\emph{equitable chromatic number}，并且它被表示为$χ_{=}(G)$。本文研究了三次图$G \circ^l H$的多子图的均匀色数的确定问题。三次图的多冠染色问题在多项式时间内是可解的。公平着色问题的复杂性是这类图的一个公开问题。我们提供了一些多项式可解的情况下，三次multicoronas和简单的线性时间算法，公平着色这样的图，最多使用$χ_=(G \circ ^l H) + 1$颜色在其余的情况下。

关于三次图的去除独立集的二分化

On bipartization of cubic graphs by removal of an independent set

本文研究了三次图的一个新问题：通过删除足够大的独立集$I$来实现三次图$Q$的二分化。它可以表示如下：\emph{Given a connected $n$-vertex tripartite cubic graph $Q=(V,E)$ with independence number $α(Q)$, does $Q$ contain an independent set $I$ of size $k$ such that $Q-I$ is bipartite?}我们感兴趣的是，$k$的值对这个问题的答案是肯定的。我们建设性地证明，如果$α(Q) \geq 4n/10$，那么答案是肯定的，每个$k$履行$\lfloor (n-α(Q))/2 \rfloor \leq k \leq α(Q)$。对于具有$α(Q)<4n/10$的三次图，是否可以构造类似的图仍然是一个悬而未决的问题。接下来，我们证明了这个问题与$α(Q)\geq 4n/10$和$k$满足不等式$\lfloor n/3 \rfloor \leq k \leq α(Q)$可以与半公平图3-着色，其中一个颜色类的大小为$k$，其余顶点诱导的子图是公平2-着色。这意味着$Q$具有$(k, \lceil(n-k)/2\rceil, \lfloor (n-k)/2 \rfloor)$类型的着色。

关于三次图的不交匹配：极大2-和3-边可着色子图

On disjoint matchings in cubic graphs: maximum 2- and 3-edge-colorable subgraphs

证明了三次图的任意$2-$因子都可以扩展为极大$3-$边可着色子图.我们还证明了三次图的最大$2-$和$3-$边可着色子图的大小之和至少是它的顶点数的两倍。最后，对于一个三次图$G$，考虑边不相交匹配对，它们的并集由尽可能多的边组成。令$H$为这些对中的最大匹配。令$M$是$G$的最大匹配。我们证明了9/8是$|M|/|H|$的紧上界。

关于Jaeger的Petersen着色猜想的注记

A remark on Petersen coloring conjecture of Jaeger

如果$G$和$H$是两个三次图，则我们记为$H\prec G$，如果$G$允许一个具有$H$的边的适当边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，都有一个具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$.设$P$和$S$分别是Petersen图和Sylvester图。本文介绍了Sylvester着色猜想。此外，我们还证明了如果$G$是一个连通无桥三次图，且有$G\prec P$，则有$G=P$ .最后，如果$G$是一个连通三次图，且有$G\prec S$，则有$G=S$ .

关于三次图的西尔维斯特着色的一些新结果

Some new results on Sylvester colorings of cubic graphs

研究三次图的西尔维斯特着色，通过定义相关映射和特殊三次图\(S_{10}\)、\(S_{12}\)，证明对于有完美匹配及任意的三次多重图\(G\)，分别存在映射到\(E(S_{12})\)、\(E(S_{10})\)，使\(|V(f)|\)满足相应不等式，改进了已有界。

关于三次图的acyclic b-chromatic number

On acyclic b-chromatic number of cubic graphs

本文研究了三次图的acyclic b-chromatic number，定义了基于acyclic recoloring step的最大颜色数，并探讨了其在传递闭包中的等价表述。

正则图的边染色与循环流数

Edge-colorings and circular flow numbers on regular graphs

本文用循环流数$2 + \frac{2}{2t-1}$刻画了$(2t+1)$ -正则图。对于$t=1$，这是Tutte对流数为4的三次图的刻画。三次图类是奇正则图中唯一一个用流数将第一类图与第二类图分开的图类。最后，我们陈述了一些示意图，并将它们与现有的流程示意图联系起来。

Barnette图的距离2染色

Distance-Two Colorings of Barnette Graphs

巴内特确定了两个有趣的类立方多面体图，他证明存在一个汉密尔顿周期。古迪证明了两个类的交集的猜想。我们从距离二着色的角度来研究这些类。图$G$的距离2 $r$ -染色是指将$r$颜色分配给$G$的顶点，使得距离至多为2的任意两个顶点具有不同的颜色。请注意，一个三次图至少需要四种颜色。三次平面图的距离为2的四色问题是NP-完全的。我们声称这个问题仍然是NP-完全的三连通二部三次平面图，我们称之为第一类巴内特图，因为他们是第一类巴内特确定。相比之下，我们声称这个问题是多项式的三次平面图的面大小$3, 4, 5,$或$6$，我们称之为类型2巴内特图，因为他们的关系巴内特的第二个猜想。我们称古迪图为二型巴内特图，其所有面的大小都是$4$或$6$。我们充分描述了所有的Goodey图，承认一个距离2四着色，并根据他们的脸的大小来描述其余的类型2巴内特图，承认一个距离2四着色。对于四次平面图，第二类Barnette图的类似物是面大小为$3$或$4$的图。对于这个类，距离为2的四色问题也是多项式的;事实上，我们可以再次完全描述所有可着色的实例--正好有两个这样的图。

次立方图的局部不规则边染色

Locally irregular edge-coloring of subcubic graphs

本文研究次立方图的局部不规则边染色问题，证明最大度为3的可分解无爪图、循环置换图和广义Petersen图至多需要3种颜色，并给出需要3种颜色的围长4三次图无限族。

顶立方图的三边着色

Three-edge-coloring apex cubic graphs

该研究证明每个2-连通顶立方图可三边着色，为Tutte三边着色猜想提供最终证明，其构造性方法可在O(n²)时间内完成三边着色，且计算过程可通过生成式AI复现。

二部图的最大$k$ -边可着色子图

On maximum $k$-edge-colorable subgraphs of bipartite graphs

如果是$k\geq 0$，则图$G$的$k$边着色是将颜色分配给来自$k$颜色集合的$G$的边，使得相邻的边接收不同的颜色。$G$的一个$k$ -边可着色子图是最大的，如果它是$G$的所有$k$ -边可着色子图中最大的.对于图$G$和$k\geq 0$，设$ν_{k}(G)$是$G$的最大$k$ -边可着色子图的边数。2010年，Mkrtchyan等人证明了如果$G$是三次图，则$ν_2(G)\leq \frac{|V|+2ν_3(G)}{4}$。这个结果意味着，如果三次图$G$包含完美匹配，特别是当它是无桥时，则$ν_2(G)\leq \frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$。人们可能想知道是否有其他有趣的图类，其中可以证明$ν_2(G)$和$\frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$之间的关系。与此相关，本文证明了对任何二部图$G$，$k\geq 0$和$i=0,1,...,k$，都有$ν_{k}(G) \geq \frac{ν_{k-i}(G) + ν_{k+i}(G)}{2}$.

有限离散结构的算法方法。四色定理。理论、方法、算法

Algorithmic methods of finite discrete structures. The Four Color Theorem. Theory, methods, algorithms

本文基于将极大平面图归约为正则平面三次图，并利用Tate-Volynsky定理和四阶Klein群变换律，提出平面图四着色算法。

图的边着色的一个简单快速的启发式算法

A simple and fast heuristic algorithm for edge-coloring of graphs

提出了一种简单但经验有效的启发式图边着色算法。它的基本思想是沿着邻顶点的路径置换“冲突”（入射到顶点的边中的重复颜色），相邻顶点的入射边通过交换交替颜色（即进行肯普交换）来重新着色。给出了随机立方图和$Δ$ -正则图上的性能测试结果，并给出了算法的完整实现，以便于使用和结果的重复性。

Complexity and algorithms for injective edge-coloring in graphs

An injective $k$-edge-coloring of a graph $G$ is an assignment of colors, i.e. integers in $\{1, \ldots , k\}$, to the edges of $G$ such that any two edges each incident with one distinct endpoint of a third edge, receive distinct colors. The problem of determining whether such a $k$-coloring exists is called k-INJECTIVE EDGE-COLORING. We show that 3-INJECTIVE EDGE-COLORING is NP-complete, even for triangle-free cubic graphs, planar subcubic graphs of arbitrarily large girth, and planar bipartite subcubic graphs of girth~6. 4-INJECTIVE EDGE-COLORING remains NP-complete for cubic graphs. For an…

正规$5$ --一类Loupekhine snark的边着色

Normal $5$-edge-colorings of a family of Loupekhine snarks

在一个三次图的正常边染色中，如果关联到$u$和$v$的边的颜色集分别恰好包含三种或五种颜色，则称边$uv$为贫或富.一个图的边染色是正规的，如果图的任何边是贫边或富边。本文证明了用Loupekhine提出的方法构造的一些Snark允许有五种颜色的正常边染色。Manuel and Shanthi（2015）最近证明了本文中考虑的部分snarks的Berge-Fulkerson覆盖的存在性。由于存在五种颜色的正规边染色意味着存在Berge-Fulkerson覆盖，所以我们的主要定理可以看作是他们结果的推广。

三次图中的无冲突无处为零 $Z_2\times Z_2$ 流

Non-conflicting no-where zero $Z_2\times Z_2$ flows in cubic graphs

本文定义三次图中关于完美匹配补2-因子的无冲突无处为零 $Z_2\times Z_2$ 流，证明其存在蕴含正常6-边着色，并用于证明无爪及特定2-因子三次图的着色性质，同时构造反例并关联Thomassen猜想。

关于三次图的相容正规奇划分

On Compatible Normal Odd Partitions in Cubic Graphs

三次图的边的正规奇划分T是划分成奇数长度的迹（没有重复边）使得每个顶点恰好是划分的一条迹的端点并且在某条迹的内部。对于每个顶点v，我们可以区分该顶点待处理的边。三个正常的奇数分区是兼容的，只要这些区别的边缘是不同的每个顶点。我们研究这个概念，并表明，一个立方3边着色图总是可以提供三个兼容的正常奇分区。Petersen图具有这一性质，我们可以构造具有相同性质的色指数为4的其他三次图。最后，我们提出了一个新的猜想，如果它是真的，它将意味着著名的Fan和Raspaud猜想

边着色图的最大割

Maximum cuts in edge-colored graphs

最大色割问题的输入包括一个图$G=(V,E)$与边着色$c:E\to \{1,2,3,\ldots , p\}$和一个正整数$k$，问题是$G$是否有一个非平凡的边割使用至少$k$颜色。彩色切割问题具有相同的输入，但要求使用所有$p$颜色的非平凡边切割。与经典的最大割问题不同的是，我们证明了这两个问题是NP-完全的，即使在完整的，平面的，或有界树宽图。此外，我们证明了彩色切割是NP-完全的，即使每个颜色类导致一个集团的大小最多为3，但平凡可解时，每个颜色诱导一个$K_2$。在积极的一面，我们证明了最大色割是固定参数易处理的参数时，无论是$k$或$p$，在这两种情况下，通过构建一个三次内核。