Schwarz lemma for harmonic mappings in the unit ball
我们证明了调和映射Schwarz引理的如下推广。如果$u$是单位球$B_n$到其自身上的调和映射使得$u(0)=0$和$\|u\|_p:=\left(\int_S|u(η)|^pdσ(η)\right)^{1/p}<\infty$，$p\ge 1$则对于某些光滑尖锐函数$g_p$，$|u(x)|\le g_p(|x|)\|u\|_p$在$0$中消失.此外，我们还在不等式$\|Du(0)\|\le C_p\|u\|_p$中给出了一个尖锐的常数$C_p$。这两个结果推广了调和映射理论（\cite [Chapter~VI]{ABR}）中的一些已知结果.
2015-06-21 math.AP
Heinz inequality for the unit ball
首先证明了调和映射Schwarz引理的如下推广。设$u$是单位球到自身的调和映射。然后证明了不等式$\|u(x)-(1-\|x\|^2)/(1+\|x\|^2)^{n/2} u(0)\|\le U(|x| N)$。利用调和映射的Schwarz引理，对单位球到自身的调和映射满足条件$u(0)=0$，$\|u(η)\|=1$，在不等式$\|\partial_r u(rη)\|_{r=1}\ge C_n$，$\|η\|=1$中引入一个尖锐常数$C_n$，得到了单位球边界上的Heinz不等式.
2015-05-17 math.AP
Harmonic balls and two-phase Schwarz function
在这里，我们将引入调和球/球的概念，在$\R^n$的子域，通过一个平均值性质的一个子类的调和函数在这样的域。在复平面中，对于解析函数，由于解析函数在边界上不能具有规定的数据，因此不存在类似的概念。然而，这个问题的一个两相版本确实存在，并且引起了著名的Schwarz函数到两相Schwarz函数的推广。我们的主要目标是得到这些问题的简单性质，并挑逗工作在施瓦茨函数和相关主题的专家的胃口。希望这两个概念将激发对该主题的进一步研究。
2011-05-01 math.AP
Optimal estimates for harmonic functions in the unit ball
在不等式$$|u(x)|\leq \frac{C_p}{(1-|x|^2)^{(n-1)/p}}\|u\|_{h^p(B^n)}, u\in h^p(B^n), x\in B^n,$$中，我们找到了用高斯超几何和欧拉函数表示的尖锐常数$C_p$和尖锐函数$C_p=C_p(x)$.这推广和改进了Axler，Bourdon和Ramey（\cite{ABR}）的一些结果，在那里他们得到了类似的结果，只是在$p=2$和$p=1$的情况下才是尖锐的.
2011-02-19 math.AP
Schwarz lemma for hyperbolic harmonic mappings in the unit ball
假设$p\in[1,\infty]$和$u=P_{h}[ϕ]$，其中$ϕ\in L^{p}(\mathbb{S}^{n-1},\mathbb{R}^n)$和$u(0) = 0$。然后我们得到了光滑函数$G_p$在$0$处为零的尖锐不等式$|u(x)|\le G_p(|x|)\|ϕ\|_{L^{p}}$.此外，我们还得到了不等式$\|Du(0)\|\le C_p\|ϕ\|_{L^{p}}$中的锐常数$C_p$的一个显式.这两个结果推广了调和映射理论（\cite [Theorem 2.1]{kalaj 2018}）和双曲调和理论（\cite [Theorem 1]{bur}）中的一些已知结果.
2020-04-13 math.AP math.CV
On the mean value property of fractional harmonic functions
众所周知，调和函数满足平均值性质，即函数在球上的平均值等于其在中心的值。这一事实自然地提出了一个问题，这是否是一个表征功能的球，即是否一套所有调和函数满足的平均值性质一定是一个球。这个问题是由几个作者调查，并最终优雅，完全和积极解决由乌尔库库兰，巧妙地使用基本技术。这个经典问题最近由Giovanni Cupini，Nicola Fusco，Ermanno Lanconelli和Xiao Zhong充实，他们证明了均值公式的定量稳定性结果，表明适当的“平均值差距”（测量给定集合上的调和函数的平均值与其逐点值之间的归一化差）从下到上由“间隙”的勒贝格测度界定。在集合和球之间（因此，通过集合的Fraenkel不对称性）。也就是说，如果一个区域“几乎”满足均值性质，那么它一定是一个球。在这里，我们研究这些结果的非局部对应。特别是，我们将证明一个分类结果和稳定性结果，建立：如果分数调和函数享有适当的外部平均属性为一个给定的域，那么该域必然是一个球，一个合适的“非局部均值间隙”是有界的从下面的一个适当的措施之间的差异集和球。与经典情形不同的是，我们的一些论点依赖于纯粹的非局部性质，而没有经典的对应物，例如“所有函数在小误差范围内都是局部分数调和函数”。
2020-07-06 math.AP
Generic non-uniqueness of minimizing harmonic maps from a ball to a sphere
Universite Claude Bernard Lyon 1, ICJ UMR5208, CNRS, Ecole Centrale de Lyon, INSA Lyon, Université Jean Monnet（里昂第一大学）
本文研究了从三维球体到二维球面的最小调和映射的非唯一性，通过同调构造证明了通过小变化可使边界映射具有多个极小值。
2026-02-13 math.AP
H$\mathbf{ö}$lder continuity of QCH mappings from the unit ball to a domain with $C^1$ boundary
证明了从调和$β$-Bloch空间到单位球和具有$C^1$边界的空间域的每一个拟共形映射对于$α<1-β$是全局$α$连续的，其Hölder系数既不依赖于该映射也不依赖于$β$ .对于$α<1$的Lipschitz连续拟共形调和映射，一个类似的结果也成立.这推广了Warschawski在\cite{Warschawski}中关于共形映射和Kalaj在\cite{Kalaj6}中关于拟共形调和映射的复平面的一些结果.
2021-11-23 math.AP math.CV
Potential kernels, probabilities of hitting a ball, harmonic functions and the boundary Harnack inequality for unimodal Lévy processes
在本文的第一部分中，我们证明了一般的各向同性单峰Lévy过程的球的击中概率的双边估计，球的势核和格林函数。在没有高斯分量和Lévy测度密度的温和正则性条件下，我们的界是尖锐的：它的径向轮廓需要满足标度型条件，这等价于$O$ -在零和无穷远处的正则变化，其低指数大于$-d - 2$。我们还证明了一个上确界估计和一个正则性结果的函数调和关于一般的各向同性单峰Lévy过程。在第二部分中，我们应用最近的结果的边界Harnack不等式和调和函数的Martin表示的类各向同性单峰Lévy过程的特点是一个局部版本的标度型条件上述。作为一个示例应用，我们提供了尖锐的双边估计的格林函数的半空间。我们的结果表示在Pruitt的功能$K(r)$和$L(r)$，测量本地活动和大量的Lévy过程，分别。
2017-03-29 math.AP math.PR
Relaxation of wave maps exterior to a ball to harmonic maps for all data
本文研究了从原点单位球外的1+3维Minkowski空间到3维球面的有限能量1-等变波映射。我们在r=1处施加狄利克雷边界条件，这意味着R^3中的单位球面映射到北极。有限能量意味着空间的无穷大被映射到北极或南极。特别地，每个这样的等变波映射具有良好定义的拓扑度，该拓扑度是整数。我们建立了这样一个映射的任意能量和度的松弛唯一的平稳调和映射在其度类。这解决了最近的猜想比松，Chmaj，Maliborski谁观察到这种渐近行为的数字。
2013-12-18 math-ph math.AP math.MP
A proof of Guo-Wang's conjecture on the uniqueness of positive harmonic functions in the unit ball
本文证明了Guo-Wang关于单位球中特定方程正解必为常数的猜想。
2023-06-27 math.AP math.DG
Characterization of harmonic and subharmonic functions via mean-value properties
本文给出了调和函数和下调和函数在球内和球面上的均值的一个刻画。这包括Beardon不等式的逆的下调和函数。在一般区域上，我们也得到了这两种平均之间的Harnack型积分不等式.
2001-06-11 math.AP math.CA
Spherical polyharmonics and Poisson kernels for polyharmonic functions
我们介绍和发展的概念，球面多谐函数，这是一个自然的概括球谐函数。特别是，我们研究的理论，带状多谐函数，这使我们，类似于带状谐波，构造泊松核的旋转球的工会上的多谐函数。我们发现泊松核和带状多谐函数的Gegenbauer多项式的表示。我们展示了球上调和函数的经典Poisson核、旋转球并上多调和函数的泊松核和李球上全纯函数的Cauchy-Hua核之间的联系。
2018-02-11 math.AP math.CV
A note on p-harmonic measure
Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）
本文针对1<p<2情形，证明了单位圆上弧的p调和测度具有渐近最优衰减，补充了Lundström和Vasilis的已有结论。
2026-10-16 math.AP
Schwarz-Pick lemma for harmonic functions
基于最近证明的Khavinson猜想，建立了$\mathbb{R}^n$的单位球上的调和函数的Schwarz-Pick型不等式.
2020-04-19 math.AP math.CV
Schwarz-Pick Lemma for Harmonic and Hyperbolic Harmonic Functions
建立了的单位球上调和函数和双曲调和函数的Schwarz-Pick型不等式，并证明了Liu [Schwarz-Pick Lemma for调和函数，International Mathematics Research Notices，2021]的一个猜想.
2021-11-04 math.AP math.CV
Min-max $n$-harmonic maps of degree 1 with free-boundary into $\mathbb{S}^{n-1}$ in almost round balls
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；University of Warsaw（华沙大学）；Université Côte d’Azur（蔚蓝海岸大学）
研究在几乎球形的有界域中，通过气泡分析证明当区域接近球时存在度数为1的 $n$-能量临界点。
2026-05-27 math.AP
Uniqueness results for positive harmonic functions on $\bar{\mathbb{B}^{n}}$ satisfying a nonlinear boundary condition
证明了单位球上满足非线性边界条件的正调和函数的唯一性结果
2019-12-17 math.AP math.DG
Regularity and quantification for harmonic maps with free boundary
证明了从任意黎曼曲面到能量有界的${\mathbb R}^{n+1}$的单位球上的具有自由边界的调和映射的一个量化结果.这推广了Da Lio在圆盘上得到的结果。
2015-06-02 math.AP
Three spheres theorem for p-harmonic functions
证明了n维欧氏空间中定义在k-球补上的p-调和函数的三球型定理。
2010-02-24 math.AP
Sobolev spaces of maps and the Dirichlet problem for harmonic maps
本文证明了到测地线球上的调和映射的狄利克雷问题解的存在性，其中到原点的平方距离函数是严格凸的。这改进了S. Hildebrandt，H. Kaul和K. 1977年的威德曼。特别地，不需要对目标进行曲率假设。我们的证明依赖于仔细分析的索伯列夫空间的地图参与变分过程中，并在变形的结果，允许胶水一个合适的欧几里得结束的测地线球。
2015-02-05 math.AP math.DG
Rigidity of balls in the solid mean value property for polyharmonic functions
Alma Mater Studiorum Università di Bologna（博洛尼亚大学）
本文证明了在多项调和函数的固有均值性质中，球是唯一满足该性质的有界开放领域，并提供了该结果的定量版本。
2026-03-10 math.AP
Harmonic functions on metric measure spaces
本文在度量测度空间上引入并研究了强、弱调和函数，它们分别对球的所有半径和球的每一点都具有均值性质.在这些函数的性质中，我们研究了球和紧集上的各种类型的Harnack估计，弱和强最大值原理，比较原理，Hölder和Lipshitz估计以及一些可微性性质。后者是基于弱上梯度的概念。利用与随机对策有关的动态规划方法研究了满足均值性质的函数的狄利克雷问题。我们采用Perron方法构造一个具有连续边界数据的调和函数。最后讨论并证明了Liouville型定理。我们的结果得到了各种类型的措施：连续的度量，加倍，均匀，措施满足环形衰减条件。这些措施之间的关系，以及提出。演示文稿是通过例子说明。
2016-01-15 math.AP math.CA math.MG
QCH mappings between unit ball and domain with $C^{1,α}$ boundary
我们证明了以下几点。若$f$是$\mathbb{R}^n$中的单位球与具有$C^{1,α}$边界的空间域之间的调和拟共形映射，则$f$在$B$中是Lipschitz连续的.这推广了$n=2$的一些已知结果，改进了高维情形下的一些结果.
2021-03-18 math.AP
Nonconstant weakly harmonic maps with constant trace
Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数理科学研究所）
本文构造了从三维球到二维球面的非恒定弱调和映射并具有常迹，肯定回答了Rivière 1995年的问题。
2026-09-15 math.AP
Cantor sets with absolutely continuous harmonic measure
我们构造了平面上的小维Ahlfors正则Cantor集$K$，使得$K$上的Hausdorff测度等价于与它的补集相关的调和测度.特别地，当$\mathrm{dist} (x, K) \le 1$和$p$远离$K$时，$R^2 \backslash K$中的格林函数满足$G^p (x) \simeq \mathrm{dist} (x, K)^δ$。
2023-03-03 math.AP math.CA
An easy proof of Jensen's theorem on the uniqueness of infinity harmonic functions
给出了无穷调和函数唯一性的Jensen定理的一个新的、简单的初等证明。这个想法是通过在小球上取最大值和最小值来传递到有限差分方程。
2009-06-30 math.AP
A note on unique continuation for discrete harmonic functions
本文给出了以下简单观察的一个定量形式：格点上的离散调和函数可以在大立方体的每一点处为零而不全同为零，同时，由于离散调和函数在大尺度上类似于连续函数，因此存在一个关于离散调和函数的三球定理.
2013-06-06 math.AP
Hölder continuity of harmonic functions for Hunt processes with Green function
设$(X,\mathcal W)$是平衡空间$1\in \mathcal W$，或等价地，设$\mathcal W$是局部紧空间$X$上Hunt过程的过剩函数的集合，$\mathcal W$具有可数基，使得$\mathcal W$分离点，$\mathcal W$中的每个函数是其连续子变量的上确界，并且存在严格正连续的$u,v\in \mathcal W$，使得$u/v\to 0$在无穷远处。我们假设存在一个$X$的格林函数$G>0$，一个$X$的度量$ρ$和一个具有加倍性质和温和上衰减的递减函数$g\colon[0,\infty)\to (0,\infty]$，使得$G\approx g\circρ$和半径为$r$的球的容量近似为$1/g(r)$ .证明了有界调和函数是Hölder连续的，如果常数函数$1$是调和的且跳出球允许多项式估计.后者被证明，如果缩放不变Harnack不等式成立。
2015-02-23 math.AP
Yang-Mills Replacement
我们在规范理论的背景下开发了一个类似的谐波替代。和声替代的思想可以追溯到Schwarz和Perron。该技术由Jost介绍并由Colding和Minicozzi进一步发展，涉及到在表面$Σ$上定义的映射$v\colonΣ\to M$，并将其在小球$B^2\subsetΣ$上的值替换为在边界$\partial B^2$上具有与$v$相同值的调和映射$u$。在$Σ$上得到的映射具有较低的能量，并且在覆盖$Σ$的球上重复该过程，可以获得极限中的全局调和映射。我们在规范理论的背景下发展了类似的过程。我们在四维$X$上的丛上取一个联络$B$，并在小球$B^4\subset X$上用一个杨-米尔斯联络$A$代替它，该杨-米尔斯联络$A$与$B$对边界$\partial B^4$具有相同的限制。与Colding和Minicozzi的谐波替换结果一样，我们在能量下降方面对差异$\lVert B-A\rVert_{L^2_1(X)}^2$有界，并且我们只要求连接$B$在球上具有小能量，而不是小的$C^0$振荡。在整个过程中，我们使用的是最低可能正则性$L^2_1(X)$的连接，这是这种情况下的自然选择，因此我们的规范变换是在$L^2_2(X)$中的，因此几乎但不完全连续，导致比在更高正则性中更微妙的论点。
2017-11-28 math.AP math.DG
On $p$-Harmonic Measures in Half Spaces
对所有的$1<p<\infty$和$N\ge 2$，我们证明了存在一个常数$α(p,N)>0$，使得$\R^{N-1}$中半径为$0 < δ\leq 1$的球的$p$ -调和测度在$\R^N_+$中的上下界为一个常数乘$δ^{α(p.N)}$ .我们提供了指数$α(p,N)$的显式估计
2018-07-26 math.AP
Variational Estimates for Nonnegative Harmonic Functions
该研究针对$\boldsymbol{R}^{d-1}$中$C^{1,\text{Dini}}$区域，证明了琼斯变分积分在其边界超稠密子集上的有界性，拓展了此前仅适用于单位球的相关结果。
2026-07-30 math.AP
A nonvariational form of the Neumann problem for Hölder continuous harmonic functions
本文针对Hölder连续调和函数建立Neumann问题的非变分框架，引入边界一阶迹分布空间，证明分布单层位势表示定理，并求解具有分布数据的内部与外部Neumann问题。
2024-05-01 math.AP
Removable Sets for Hölder Continuous p(x)-Harmonic Functions
证明了$E$是$n\geq 2$的有界开域$Ω$中$C^{0,α}$ Hölder连续$p(x)$ -调和函数的可去闭集，条件是对$E$的每个紧子集$K$，$K$的$(n-p_K+α(p_K-1))$ -Hausdorff测度为零，其中$p_K=\max_{x\in K} p(x)$ .
2011-01-02 math.AP
Riesz--Fejér type Inequalities for $α$-Harmonic Functions in the Unit Ball
Hunan Normal University（湖南师范大学）；Hengyang Normal University（衡阳师范学院）
本文建立了单位球中 $\alpha$-调和函数的 Riesz--Fejér 型不等式，给出了最佳常数，推广了近期相关结果。
2026-06-15 math.AP math.CV
Harmonic maps on domains with piecewise Lipschitz continuous metrics
对于具有分段Lipschitz连续黎曼度量g的有界区域，考虑从$(Ω, g)$到无边界紧致黎曼流形$(N,h)\subset\mathbb R^k$的调和映射.推广了平稳调和映射的概念，证明了它的部分正则性。我们还讨论了支持凸距离函数的$(Ω, g)$流形上调和映射的全局Lipschitz和分段$C^{1,α}$ -正则性。
2011-08-22 math.AP math.DG
Sharp Harmonic-Mean Bounds for Neumann Eigenvalues on Riemannian Surfaces and Counterexamples to Geodesic Ball Optimality on Higher-Dimensional Spheres
本文证明在满足曲率上界和面积条件的共形度量下，Neumann特征值调和平均下界由测地圆盘达到，且等号仅当等距时成立，从而完成Langford--Laugesen猜想。
2026-09-29 math.AP
A remark on isolated removable singularity of harmonic maps in dimension two
本文研究二维调和映射在原点的孤立可去奇点问题，证明在梯度自相似界等充分条件下映射可光滑延拓，并推出全空间情形的平凡性。
2025-03-17 math.AP
The boundary Harnack inequality for variable exponent $p$-Laplacian, Carleson estimates, barrier functions and $p(\cdot)$-harmonic measures
我们研究了$p(\cdot)$ -调和函数的各种边界衰减估计。对于$\mathbb{R}^n, n\geq 2$中满足球条件的域（$C^{1,1}$ -域），在变指数$p$是有界Lipschitz函数的假设下，证明了$p(\cdot)$ -调和函数的边界Harnack不等式.证明涉及屏障功能和链接参数。此外，我们证明了$\mathbb{R}^n$中NTA域上$p(\cdot)$ -调和函数的Carleson型估计，并给出了$p(\cdot)$ -调和测度的上下增长估计和加倍性质.
2014-05-12 math.AP
Liouville theorems, Volume growth, and volume comparison for Ricci shrinkers
本文研究了完全非紧梯度Ricci收缩器的体积增长、Liouville定理、$f$ -调和函数的局部梯度估计和单位球的体积比较性质.我们还研究了这类流形上的f-调和函数和调和函数的积分性质。
2016-09-29 math.AP math.DG
On the Characterization of p-Harmonic Functions on the Heisenberg Group by Mean Value Properties
我们用渐近均值性质刻画了海森堡群中的$p-$调和函数，其中$1<p<\infty$遵循Manfredi等人（2009）中描述的欧几里德情形的方案。让我们考虑亚椭圆情形的新工具是一个几何引理，下面的引理3.2，它将一个小的亚椭圆球上的函数的极大点和极小点的方向与该函数的单位水平梯度联系起来。
2012-10-10 math.AP
Alexandrov-Fenchel inequalities for convex hypersurfaces with free boundary in a ball
本文首先引入了$(n+1)$维欧氏单位球中自由边界超曲面的拟质量积分。然后我们解决了凸自由边界超曲面的一些相关的等周型问题，得到了新的Alexandrov-Fenchel不等式.特别地，对于$n=2$我们得到了一个Minkowski型不等式，对于$n=3$我们得到了一个最优Willmore型不等式.为了证明这些估计，我们采用了一个专门设计的局部约束逆调和平均曲率流与自由边界。
2018-11-14 math.AP math.DG
Schauder estimates on products of cones
本文证明了具有欧氏因子的二维锥的度量积上的Laplacian的一个内Schauder估计，推广了Donaldson的工作，并改进了Guo-Song的Schauder估计.我们的齐次二次调和函数的产品的锥空间的特点，并确定尺度，测地球可以很好地近似球中心的顶点适当的模型锥。然后，我们局部近似解的次二次调和函数在这些尺度上测量的Hölder连续性的二阶导数。
2020-02-18 math.AP math.DG
Boundary measures, generalized Gauss-Green formulas, and mean value property in metric measure spaces
研究了度量测度空间中调和函数的均值性质。我们考虑的度量测度空间具有一个加倍测度并支持一个（1，1）- Poincaré不等式。调和性的概念是基于狄利克雷形式定义的奇格微分结构。通过对球上格林函数的一些性质的研究，利用均值性质刻画了调和函数。因此，我们得到了详细的描述泊松核。我们还将得到有限周长集的Gauss-Green型公式，它是周长的Minkowski容度特征。对于高斯-格林公式，我们引入了一个适当的概念，一个正常的球的内部正常的轨迹。
2015-09-30 math.AP math.MG
Removability of singularities of harmonic maps into pseudo-Riemannian manifolds
本文考虑到伪黎曼流形的调和映射。本文证明了连续映射的孤立奇点的可移性，即从R^m的开子集到伪黎曼流形的任何连续映射，只要该流形是二次连续可微的，且在孤立点外处处调和，则它实际上是处处光滑调和的.
2003-05-15 math.AP math.DG
