Non-constancy and multiplicity of half-harmonic maps from intervals into the circle
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；Centre for Applicable Mathematics（应用数学中心）
研究从实直线到圆的一维半调和映射，通过引入局部相对度等方法，证明不相交区间足够近时存在多个非恒定半调和映射，建立能量低于\(2\pi\)的边界数据多重性结果，还探讨了单个区间上特定边界数据能量极小值情况。
2026-07-23 math.AP
Asymptotic Expansion for Harmonic Functions in the Half-Space with a Pressurized Cavity
在本文中，我们解决一个简化版本的问题所产生的火山。作为Lamé方程组边值问题的简化形式，我们考虑了具有空腔$C$的半空间中调和函数的Neumann问题.假设半空间边界处的法向导数为零;不同的是，在$\partial C$处，函数的法向导数需要由外部数据$g$给出，对应于在$\partial C$处施加在介质上的压力项。在（加压）空腔相对于半空间边界的距离很小的假设下，我们建立了问题解的渐近公式。主要成分是积分方程配方的调和解诺依曼问题和频谱分析的积分算子参与的问题。在一个数据$g$描述了一个恒定的压力在$\partial C$的特殊情况下，我们恢复一个简化的表示的基础上的极化张量。
2015-08-09 math.AP
Half-Harmonic Gradient Flow: Aspects of a Non-Local Geometric PDE
本文的目标是讨论[31]和[32]中的一些结果，并通过证明全局弱存在性结果以及有限时间内的第一个冒泡分析来扩展其中的工作。此外，一个替代的局部存在性证明的基础上提出了一个不动点的论点。这导致了两种可能的前景，直到Sire，Wei和Zheng的猜想得到解决，见[27]：要么总是存在全局光滑解（因此这里构造的解实际上是期望的正则解），要么有限时间冒泡可能以类似于调和梯度流的方式发生。此外，本文还对梯度流，特别是调和梯度流和半调和梯度流作了简要的总结，并指出了两者的相似之处。为了清楚起见，我们仅限于球形目标流形的情况，但我们的整个讨论在考虑技术细节之后扩展到任意闭合目标流形。
2021-12-16 math.AP
Critical Hardy inequality on the half-space via the harmonic transplantation
利用调和移植证明了半空间上的一个临界Hardy不等式。同时给出了半空间上的次临界Hardy不等式的一个改进，它收敛于临界Hardy不等式。讨论了Sobolev型不等式.
2022-01-06 math.AP math.FA
Partial regularity of the heat flow of half-harmonic maps and applications to harmonic maps with free boundary
我们引入了与半调和映射相关的热流，这是由Da Lio和Rivière引入的。这类映射在一维空间中具有补偿可积性，并与具有自由边界的调和映射有关。我们考虑一个新的流动与这些调和映射与自由边界，这实际上是由一个相当不寻常的热流半调和映射的动机。然后构造了该方程的弱解，并通过Ginzburg-Landau近似证明了它们在时空中的部分正则性.本文是对Struwe和Chen-Lin的研究的补充。
2022-06-18 math.AP math.DG
Generalized Poisson integral and sharp estimates for harmonic and biharmonic functions in the half-space
在假定$f$属于$L^p$的条件下，得到了函数$f$在${\mathbb R}^{n-1}$上的广义Poisson积分梯度的逐点估计中的锐系数的一个表示.假设积分的核取决于参数$α$和$β$。对于$p=1$、$p=2$和$p=\infty$情形下$α, β$的某些值，给出了锐系数的显式表达式.给出了广义Poisson积分的Khavinson猜想的某些类似猜想成立的条件。对半空间中的调和函数和双调和函数给出了精确估计。
2017-09-08 math.AP
On fractional harmonic functions
本文主要研究与分数次拉普拉斯算子有关的调和函数的定性性质。首先对定义在无穷远处的主值意义下的分数阶拉普拉斯算子在全空间和半空间中的多项式进行了分类。其次，我们研究了半空间中边界上具有奇点的分数阶调和函数及其分布恒等式。
2022-07-02 math.AP
Uniqueness theorems for weighted harmonic functions in the upper half-plane
本文研究上半平面中α-调和函数在边界和无穷远处消失条件下的唯一性问题，揭示非经典情形允许更宽松的无穷远条件，并给出沿测地线和射线的最佳唯一性结果。
2022-01-12 math.AP
Optimal estimates for the gradient of harmonic functions in the multidimensional half-space
在函数的边值属于$L^p$的假设下，得到了多维半空间中调和函数梯度的逐点估计中锐常数的一个表示.这种表示具体化为$p=1, 2,$和$\infty$两种情况。
2009-09-10 math.AP math.CV
Sub-criticality of non-local Schrödinger systems with antisymmetric potentials and applications to half-harmonic maps
考虑\begin{equation}\label{eqabstr} Δ^{1/4} v=Ω\, v~~~\mbox{in $\R\,.$} \ \end{equation}型非局部线性薛定谔型临界系统，其中$Ω$是$L^2(\R,so(m))$中的反对称势，$v$是${\R}^m$值映射，$Ω\, v$表示矩阵乘法.我们证明了对于每个$2\le p<+\infty$，\rec{eqabstr}的每个解$v\in L^2(\R,\R^m)$实际上都在$L^p_{loc}(\R,\R^m)$中，换句话说，我们证明了对于反对称势，系统（\ref{eqabstr}）先验地只在$L^2$中是临界的，但恰好具有次临界行为.作为应用，我们得到了到$C^2$紧流形的弱$1/2$ -调和映射的$C^{0,α}_{loc}$正则性.
2010-12-11 math.AP
Thresholding Scheme for the Half-Harmonic Map Heat Flow
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出一种基于泊松核卷积与逐点归一化的阈值化格式求解半调和映射热流，证明其收敛到满足能量耗散的弱解，并建立了弱-强唯一性。
2026-09-23 math.AP
Infinite time blow-up for half-harmonic map flow from $\mathbb{R}$ into $\mathbb{S}^1$
研究了具有函数$u:\mathbb{R}\times [0, \infty)\to \mathbb{S}^1$的半调和映射流\begin{equation}\label{e:main00} \left\{\begin{array}{ll} u_t = -(-Δ)^{\frac{1}{2}}u + \left(\frac{1}{2π}\int_{\mathbb{R}}\frac{|u(x)-u(s)|^2}{|x-s|^2}ds\right)u\quad\text{ in }\mathbb{R}\times (0, \infty), u(\cdot, 0) = u_0\quad\text{ in }\mathbb{R}, \end{array} \right. \end{equation}的无限时间爆破现象。设$q_1,\cdots, q_k$是$\mathbb{R}$中的不同点，存在初始数据$u_0$和光滑函数$ξ_j(t)\to q_j$，$0<μ_j(t)\to 0$，如$t\to +\infty$，$j = 1, \cdots, k$，使得问题（\ref{e:main00}）的解$u_q$具有\begin{equation*} u_q =ω_\infty +\sum_{j= 1}^k \left(ω(\frac{x-ξ_j(t)}{μ_j(t)} )-ω_\infty \ri…
2017-11-15 math.AP
The fractional Hopf differential and a weak formulation of stationarity for the half Dirichlet energy
本文提出了半Dirichlet能量平稳性的弱形式，用分数阶Hopf微分表达，并证明共形调和映射与平稳点的调和延拓等价，同时推导了Noether定理和Pohozaev恒等式。
2024-02-07 math.AP
Non-degeneracy and quantitative stability of half-harmonic maps from ${\mathbb R}$ to ${\mathbb S}$
我们考虑从$\mathbb{R}$（或$\mathbb{S}$）到$\mathbb{S}$的半调和映射.证明了所有（有限能量）半调和映射都是非退化的。换句话说，它们是能量泛函的可积临界点。给出了每个半调和映射的线性化算子的核的完整描述。本文的第二部分致力于研究半调和映射的定量稳定性。当映射的度为$\pm 1$时，证明了任何映射$\boldsymbol{u}:\mathbb{R}\to \mathbb{S}$对Möbius变换的偏差都可以由$\|\boldsymbol{u}\|_{\dot H^{1/2}(\mathbb{R})}^2-deg \boldsymbol{u}$一致控制.这个结果类似于最近证明的次数$\pm 1$调和映射$\mathbb{R}^2\to \mathbb{S}^2$的定量刚性估计.此外，我们还讨论了高次半调和映射的定量稳定性。证明了如果$\boldsymbol{u}$已经接近Blaschke乘积，那么$\boldsymbol{u}$到Blaschke乘积的偏差可以由$\|\boldsymbol{u}\|_{\dot H^{1/2}(\mathbb{R})}^2-deg \boldsymbol{u}$控制.另外，给出了一个显著的例子，说明这种定量估计不可能对所有的2阶$\boldsymbol{u}$都一致成立.我们猜想调和映射${\mathbb R}^2\to…
2021-07-18 math.AP math.DG
One-dimensional half-harmonic maps into the circle and their degree
本文研究一维半调和映射到圆，证明在不同同伦类中存在极小化分数Dirichlet能量的第二个映射，基于度数分析和Brezis-Coron估计，并指出与二维情形的差异。
2025-07-10 math.AP math.AT
Plateau flow or the heat flow for half-harmonic maps
本文通过把半 Laplace 算子解释为球上 Dirichlet-to-Neumann 算子，建立半调和映射热流的经典存在性理论，并指出其与盘型极小曲面 Plateau 问题梯度流的联系。
2022-07-14 math.AP math.DG
Well-posedness of a time-harmonic elasticity problem in a half-strip
本文证明了半条带上的时谐弹性问题，当在其边界截面上具有非齐次Dirichlet条件，上下边界上具有无牵引力条件时，当在加权索伯列夫空间意义下，以出射波的线性组合与指数减函数之和的形式搜索该解时，存在唯一的弱解.
2022-06-24 math-ph math.AP math.MP
Time-harmonic wave propagation in junctions of two periodic half-spaces
本文研究两个周期半空间交界处非界面周期介质中的亥姆霍兹方程，通过将问题提升为更高维周期问题并适配 Floquet-Bloch 变换等工具，克服椭圆退化困难以分析时间谐波波传播。
2024-12-13 math.AP
Estimates for commutators of fractional differential operators via harmonic extension
这篇硕士论文是基于Lenzmann和Schikorra的论文“Sharp communator estimates via harmonic extensions”，其中他们提出了一种方法来证明涉及里斯变换，分数拉普拉斯算子和里斯位势的估计，参见arXiv：1609.08547。这些证明只涉及上半空间的调和延拓和一些初等变换旁边的分部积分法，因为更深层次的理论集中在各种迹刻画结果中，这些结果可以用作黑盒。在本文的前半部分，我们在收集了Caffarelli和Silvestre关于s-调和扩张的一些基本结果之后，使用这种方法证明了各种交换子估计，除了缩短了一些证明之外，我们紧接着Lenzmann和Schikorra的方法。在后半部分，我们证明了Lenzmann和Schikorra列出的黑盒估计的广义版本，并讨论了构成这些黑盒估计的不同构建块，包括Triebel Lizorkin和Besov-Lipschitz空间特征以及平方函数估计。
2020-12-22 math.AP math.CA
Some Remarks on Pohozaev-Type Identities
本文的目的是更详细地讨论作者Paul Laurain和Tristan Rivière最近在半调和映射的框架下得到的Pohozaev型恒等式，这些半调和映射定义在$R$上或定义在取值于闭流形$N^n\subset R^m$的球面$S^1$上。弱半-调和映射是下列非局部能量$$\int_{R}|(-Δ)^{1/4}u|^2 dx~~\mbox{or}~~\int_{S^1}|(-Δ)^{1/4}u|^2\ dθ.$$的临界点如果$u$是上述能量的充分光滑临界点，则它满足下列定态方程$$\frac{du}{dx}\cdot (-Δ)^{1/2} u=0~~\mbox{a.e in $R$}~~\mbox{or}~~\frac{\partial u}{\partial θ}\cdot (-Δ)^{1/2} u=0~~\mbox{a.e in $S^1$.}$$利用$S^1$中定态方程关于$2$维圆盘的莫比乌斯变换迹的不变性，我们导出了一个可数族的关系式，其中涉及到弱半调和映射$u\colon S^1\to N^n.$本着同样的精神，我们也在$2$-D中为平稳调和映射提供了与全纯函数生成的$R^2$中的共形向量场一样多的Pohozaev型恒等式。
2018-11-09 math.AP
Dirichlet problem for weakly harmonic maps with rough data
研究了从域$Ω$（上半空间$\Rd$或有界$C^{1,α}$域，$α\in (0,1]$）到光滑闭流形的弱调和映射.指定小Dirichlet数据的类$L^{\infty}(\partialΩ)$或$BMO(\partialΩ)$，我们建立可解性所产生的边值问题通过非变分方法。作为一个副产品，解决方案被证明是局部光滑，$C^{\infty}_{loc}$。此外，我们表明，边界数据可以选择大的基础拓扑结构，如果$Ω$是光滑的，有界的扰动严格稳定的光滑调和映射。
2021-10-08 math.AP
Sharp critical and subcritical trace Trudinger-Moser and Adams inequalities on the upper half spaces
本文利用Fourier重排、调和延拓和标度不变性，建立了半空间上的Trudinger-Moser不等式和Adams不等式，并证明了其极值的存在性.这些迹Trudinger-Moser不等式和Adams不等式可以看作是一阶和高阶Sobolev迹不等式的边界情形。此外，我们还证明了一类具有非线性Neumann边界条件的双调和方程的最小能量解的存在性。
2021-08-10 math.AP math.CA
Positive powers of the Laplacian in the half-space under Dirichlet boundary conditions
我们提出了明确的公式，解决非齐次边值问题涉及任何积极的权力的拉普拉斯算子的半空间。对于非整数的权力，该运营商成为非本地的，这需要一个适当的扩展狄利克雷型边界条件。在我们的证明中的一个关键因素是一个点反演变换，它保持了调和性，并允许我们使用球的已知结果。我们包括唯一性陈述、正则性估计，并描述无穷大和边界处解的增长或衰减。
2018-08-13 math.AP
Resolvent estimates for time-harmonic Maxwell's equations in the partially anisotropic case
我们证明了预解估计在$L^p$ -空间的时间谐波麦克斯韦方程组在两个空间维度和三维的部分各向异性的情况下。在二维情况下，估计值一直到端点都是尖锐的。我们考虑各向异性的介电常数和磁导率，这两者都是时间无关的和空间均匀的。为了证明，我们对角化的时间谐波麦克斯韦方程组的方程涉及半拉普拉斯算子。我们应用这些估计来推断$L^p$ -空间的交叉点的极限吸收原理，并局部化由潜在的扰动的特征值。
2022-02-03 math.AP
Sphericalization and p-harmonic functions on unbounded domains in Ahlfors regular metric spaces
利用球化方法研究了Ahlfors正则度量空间中无界集上p-调和函数的狄利克雷问题、Perron解和边界正则性.特别注意无穷远点的边界正则性。特别是，我们允许几个“接近方向”的无穷大，并考虑到他们的补充。2005年，Llorente-Manfredi-Wu证明了上半空间$R^n_+, n \ge 2$上的p-调和测度，当$p \neq 2$ .利用他们的结果和球面反演，我们在单位球$B \subset R^n$中建立了类似的有界例子，表明当$n \ge 3$，n-调和测度在空集上不是次可加的，并且$B$中的p-调和测度也不是由依赖于$p\neq 2$和$n \ge 2$的某些权重生成的.
2018-10-03 math.AP
Local energy weak solutions for the Navier-Stokes equations in the half-space
证明了半空间$\mathbb R^3_+$中Navier-斯托克斯方程整体及时局部能量弱解的存在性.这样的解有时称为全空间$\mathbb R^3$中的Lemarié-Rieusset解。在我们的工作中的主要工具是一个显式的表示公式的压力，这是分解成一个Helmholtz-Leray部分和调和部分，由于边界。我们还解释了我们的结果如何能够reprove爆破的规模临界$L^3(\mathbb R^3_+)$规范巴克和Seregin的解决方案开发的奇异性在有限时间内获得。
2019-02-05 math.AP
Nonlinear boundary problem for Harmonic functions in higher dimensional Euclidean half-spaces
本文研究了具有非线性Neumann边界的上半空间上的\begin{align*} \begin{cases} -Δu=0 & \text{in} \;\;\;\mathbb{R}^{n+1}_{+}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \;\;\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial ν}} = V(x)u+b \vert u\vert^{ρ-1}u+f \; & \text{on} \;\;\partial\mathbb{R}^{n+1}_+\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, \end{cases} \end{align*} %Laplace方程问题的可解性，该问题具有高奇异数据$f$和半空间$ \mathbb{R}^{n+1}_{+}=\{(x,t)\in\mathbb{R}^{n+1}\,\vert\, t>0\}$的边界$\partial\mathbb{R}^{n+1}_+$上的位势$V$.更准确地说，在\cite{deAlmeida1}和\cite{Quittner}的启发，我们引入了一个新的功能空间的基础上弱Morrey空间，我们证明了存在的正解$u$上述问题时，非齐次项$f\in\text{weak-}\mathcal{M}_{p}^{n{(ρ-1)}/ρ}(\mathbb{R}^{n})$和潜在的$V\in \tex…
2021-04-25 math.AP math.FA
On energy-critical half-wave maps into $\mathbb{S}^2$
我们考虑能量临界半波映象方程$$\partial_t \mathbf{u} + \mathbf{u} \wedge |\nabla| \mathbf{u} = 0$$对于$\mathbf{u} : [0,T) \times \mathbb{R} \to \mathbb{S}^2$ .我们对所有能量有限的孤立波进行了完整的分类。证明是基于这些解决方案的最小曲面（不一定是自由的）边界上$\mathbb{S}^2$的几何特征。特别是，我们发现了一个明确的洛伦兹助推对称性，这是由共形莫比乌斯集团的目标$\mathbb{S}^2$适用于半调和映射从$\mathbb{R}$到$\mathbb{S}^2$。作为对分类结果的补充，我们对半调和映射$\mathbf{Q}$的线性化算子$L$进行了详细的分析，其中半调和映射具有任意次数$m \geq 1$。在这里，我们明确地确定零能量共振的零空间，特别是，我们证明了非简并的$\mathbf{Q}$。此外，我们给出了一个完整的描述$L$的频谱，找到它的所有$L^2$ -特征值，并证明其简单性。此外，我们证明了$L$和我们排除嵌入的本质谱内的特征值的一个估计。我们的谱分析是基于某些Jacobi算子（三对角无限矩阵）从一个共形变换的频谱问题上提出的$\mathbb{R}$单位圆$\mathbb{S}$的重新制定。最后，我们构造了一个酉映射，它可以被看作是一个…
2017-03-24 math-ph math.AP math.DG
Admissible and sectorial convergence of generalized Poisson integrals on Harmonic $NA$ groups
证明了调和NA群上的Lalplace-Beltrami算子的某些特征函数的Fatou型结果的逆，这些特征函数与复（符号）测度的Poisson型积分的扇形收敛和容许收敛有关.这个结果推广了在经典上半空间$\mathbb{R}_+^{n+1}$中较早证明的几个这类结果。在实双曲空间的退化情形下也得到了类似的结果。
2022-06-14 math.AP math.CA
Harmonic polynomials and tangent measures of harmonic measure
证明了在NTA域上，如果调和测度在某一点的切测度是多项式调和测度，则相应的多项式是齐次的.本文导出了由Kenig和Toro研究的两相自由边界问题解的几何信息。
2009-10-14 math.AP math.CA
