Harmonic polynomials and tangent measures of harmonic measure
Matthew Badger
证明了在NTA域上，如果调和测度在某一点的切测度是多项式调和测度，则相应的多项式是齐次的.本文导出了由Kenig和Toro研究的两相自由边界问题解的几何信息。
We show that on an NTA domain if each tangent measure to harmonic measure at a point is a polynomial harmonic measure then the associated polynomials are homogeneous. Geometric information for solutions of a two-phase free boundary problem studied by Kenig and Toro is derived.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tangent measures and absolute continuity of harmonic measure
证明了对于边界满足一定非退化条件的均匀域$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$，除非$α\leq d$，否则调和测度不能相对于$α$维Hausdorff测度相互绝对连续.我们采用的引理表明，在几乎每一个非退化点，我们可以找到一个正切测度的调和测度的支持是另一个统一的域的边界，其调和测度类似的正切测度。
Square functions, non-tangential limits and harmonic measure in co-dimensions larger than one
本文通过正则化距离函数在任意余维的Ahlfors正则集E的补集上的行为，刻画了该集E的可求正性（一致性和非一致性）.特别是，我们建立了一个特定版本的里斯变换表征的可求直的低维集。我们还揭示了一种特殊的情况，其中正则化的距离本身是一个解决方案的退化椭圆算子的补充E。这使我们能够精确地计算这些集合的调和测度与这个退化算子，并证明，在一个鲜明的对比，通常设置的余维1，逆的达尔伯格定理（见[Da]和[DFM2]）必须是假的低维边界上没有额外的假设。
Tangent measures of elliptic harmonic measure and applications
切测度和blow-up方法是理解区域边界的无穷小结构与其调和测度行为之间关系的有力工具。本文介绍了一种研究任意域上椭圆测度的切测度的方法，该域上的椭圆测度与系数在边界处具有零平均振荡的散度型椭圆算子（可能是非对称的）有关.在此设置中，我们为域$ Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$显示以下内容：1.我们推广了Kenig，Preiss和Toro [KPT 09]的结果，证明了{ \it any}域的内外椭圆测度的相互绝对连续性，并暗示了正切测度是a.e.平坦且椭圆测度具有维数$n$。2.本文推广了Kenig和Toro [KT 06]的工作，证明了一般域上的二重内外椭圆测度的VMO等价性意味着正切测度总是椭圆多项式. 3.在满足容量密度条件、边界局部有限且具有a.e.正的下$n$ -Hausdorff密度，证明了若椭圆测度关于$n$ -Hausdorff测度绝对连续，则边界可求长.这概括了阿克曼、巴杰、霍夫曼和马特尔的工作[ABHM 17]。最后，推广了[Bad 11]的一个主要结果，证明了如果$ω$是Radon测度，且在一点的所有切线测度都是在原点消失的调和多项式，则它们都是齐次调和多项式.
Lower bound for energies of harmonic tangent unit-vector fields on convex polyhedra
本文给出了$ \R^3 $中凸多面体到单位球面$S^2,$的调和映射的能量的一个下界.我们还建立了有限能量连续切映射空间中满足切边界条件的$C^\infty$映射关于Sobolev范数是稠密的。
Approximate tangents, harmonic measure, and domains with rectifiable boundaries
设$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$、$n \geq 1$是开连通集。将$\mathcal{T}_n$设为点集$ξ\in \partial Ω$，使得在$ξ$处存在$\partialΩ$的近似切$n$ -平面，并且$\partialΩ$在$ξ$处满足弱下Ahlfors-David $n$ -正则性条件。我们首先证明了$\mathcal{T}_n$可以被有界Lipschitz域的边界的可数并所覆盖。然后，设$\partial^\star Ω$是$\mathcal{T}_n$的一个子集，其中$Ω$满足适当的厚度条件，我们证明了$\partial^\star Ω$可以被包含在$Ω$中的有界Lipschitz域的边界的可数并所覆盖.作为推论，我们得到，如果$Ω$有局部有限周长，$\partialΩ$是弱下Ahlfors-David $n$ -正则的，和测量理论的边界与$Ω$的拓扑边界重合，直到一组$\mathcal{H}^n$ -测量零，那么$\partial Ω$可以覆盖，直到一组$\mathcal{H}^n$ -测量零，由一个可数的有界Lipschitz域的边界包含在$Ω$中。这意味着在这样的区域中，$\mathcal{H}^n|_{\partialΩ}$关于调和测度是绝对连续的。
Nonunique tangent maps at isolated singularities of minimizing $p$-harmonic maps
本研究构造出首个在孤立奇点处具有非唯一切映射的极小化$p$-调和映射示例，拓展了B. White针对平稳情形$p=2$的相关结果，推进了对能量极小映射奇异集精细结构的研究。
Stratification and rectifiability of harmonic map flows via tangent measures
通过切测度的空间对称性，研究调和映射流“合适解”的层状化理论，证明奇异集每个时间切片可求积，并在额外假设下得到最优正则性。
Tangent nodal sets for random spherical harmonics
本文考虑$S^2$上的固定向量场$V$，并研究了$V$也相切的随机球谐函数节点集上点的分布.我们表明，相应的计数函数的期望值是渐近的特征值的首项系数是独立的向量场$V$。这以某种形式证明了向量场直到低阶项的普遍性。
Expansion of harmonic functions near the boundary of Dini domains
设$u$是$C^1$ -Dini域中的调和函数，使得$u$在边界的开集上为零.我们发现，在开集的每一个点附近，$u$可以被唯一地写为一个非平凡的齐次调和多项式和一个误差项的较高程度（取决于Dini参数）的总和。特别地，这意味着$u$在每个这样的点处具有唯一的正切函数，并且可以估计到正切函数的收敛速度。我们还研究了特殊情况下邻近点处的正切函数之间的关系。
Flat points in zero sets of harmonic polynomials and harmonic measure from two sides
我们得到了调和多项式零集的局部平坦性的定量估计。有两种选择：在每一点上，要么零点集在所有尺度上均匀地远离超平面的Hausdorff距离，要么零点集在小尺度上变得局部平坦，具有任意小的常数。从两个方面给出了调和测度自由边界问题的一个应用，其中边界的爆破是调和多项式的零集。
Symmetric log-epiperimetric inequality for harmonic maps with analytic target and applications
本文建立解析目标流形上调和映射的对称（对数）超周边不等式，并据此重新证明孤立奇点切映射的唯一性，同时得到适当能量增长条件下无穷远切映射的唯一性。
Local boundary behaviour and the area integral of generalized harmonic functions associated with root systems
有理Dunkl算子是欧氏空间$\RR^d$上与根系相关的可交换微分反射算子。研究了与Dunkl算子相关的广义调和函数的局部边界性质。利用Dunkl广义平移和Dunkl算子引入了一个Lusin型面积积分算子$S$.主要结果是关于与Dunkl算子相关的上半空间$\RR^{d+1}_+$中广义调和函数$u$的非切边极限的局部存在性的特征，并且对于在根系生成的反射群下$\RR^d$不变的子集$E$，证明了以下三个断言的等价性：（i）对于a.e.，$u$在$(x,0)$有一个有限的非切向极限; $x\in E$ ;（ii）$u$对于a.e.是非切向有界的。（iii）$x\in E$对a.e.是有限的; $x\in E$。
Structure of sets which are well approximated by zero sets of harmonic polynomials
调和多项式的零点集在研究调和测度的自由边界正则性问题中起着至关重要的作用。为了理解这些自由边界的精细结构，需要详细研究这些零点集的奇点。在本文中，我们研究如何“度$k$点”坐在$\mathbb R^n$的次数$d$（所有$n\geq 2$和$1\leq k\leq d$）的调和多项式的零集和内部集，允许任意好的局部近似的调和多项式的零集。我们得到了后一种类型的集合的一般结构定理，包括尖锐的Hausdorff和Minkowski维数估计的奇异集的“度$k$点”（$k\geq 2$）没有证明唯一的爆破或援助的PDE方法，如单调性公式。此外，我们还证明了在一定的拓扑分离条件下，尖维数估计的改进和依赖于$k$的奇偶性。给出了Kenig和Toro提出的连续阈值以下的调和测度的两相自由边界正则性问题的一个应用.
On the zero sets of harmonic polynomials
本文解决了调和多项式零集问题，构造了非零调和多项式并扩展了相关理论成果。
Asymptotic Analysis of Harmonic Maps With Prescribed Singularities
本文作为系列论文首篇，研究带规定奇点的调和映射的渐近行为，为建立多黑洞质量-角动量不等式提供正则性理论，还用于证明极端黑洞近视界极限存在并计算其几何。
Refined Rellich boundary inequalities for the derivatives of a harmonic function
经典的Rellich不等式暗示了调和函数的法向导数和切向导数的$L^2$ -范数是等价的。本文证明了几个精化不等式，即使定义域不是Lipschitz，这些不等式也是有意义的。对于二维区域，我们得到了一个尖锐的$L^p$ -估计$1<p\leq 2$通过使用黎曼映射和插值参数。
Drift-harmonic functions with polynomial growth on asymptotically paraboloidal manifolds
本文针对具有抛物面渐近性的完备流形，构造并分类了特定漂移调和方程的多项式增长解，证明其渐近分离变量并计算了给定增长率的解空间维数，采用交替构造与渐近控制的归纳论证方法。
Liouville property for $f$-harmonic functions with polynomial growth
证明了完备非紧光滑度量测度空间$(M,g,e^{-f}dv)$上多项式增长的$f$ -调和函数的Liouville性质，当Bakry-Émery里奇曲率非负且其测地球直径具有次线性增长时.
Harmonic functions of polynomial growth on infinite penny graphs
对于无限便士图，我们研究了多项式增长的调和函数或热方程的古解空间的有限维性质。我们证明了上述空间的渐近尖锐的维数估计。
Reducibility of the Quantum Harmonic Oscillator in $d$-dimensions with Polynomial Time Dependent Perturbation
本文证明了在$x_j$，$-i \partial_j$中系数随时间准周期变化的二次多项式线性算子扰动下，任意维任意频率量子谐振子的约化结果.
Minimizing tangent maps into complex projective space
该研究分类了从二维球面$\text{S}^2$、三维球面$\text{S}^3$到复射影空间$\text{CP}^n$的非平凡光滑调和映射，明确其极小映射的具体形式
Growth of Sobolev Norms in 1-d Quantum Harmonic Oscillator with Polynomial Time Quasi-periodic Perturbation
考虑一维量子谐振子受线性算符扰动的情形，线性算符是$(x,-{\rm i}\partial_x)$中的$2$次多项式，其系数随时间准周期变化。通过建立约化结果，我们描述了Sobolev范数的增长性。特别地，如果将原时间拟周期方程约化为常数Stark哈密顿量，则在该模型中观察到${\mathcal H}^s-$范数的$t^{2s}-$多项式增长.
On the Polynomial and Exponential Decay of Eigen-Forms of Generalized Time-Harmonic Maxwell Problems
本文证明了与辐射问题有关的部分微分算子的本征向量在无穷远处的多项式和指数衰减，其中时谐广义Maxwell系统的外区域具有非光滑、非齐次、各向异性的系数，并以一定的速度收敛到无穷远处.作为一个典型的应用程序，我们表明，相应的本征值不积累在R \ {0}，并通过Eidus的限制吸收原理的Fredholm替代成立。
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