Sobolev norms explosion for the cubic NLS on irrational tori
考虑$2$维无理环面上的三次非线性薛定谔方程.我们构造的解决方案进行增长的Sobolev规范。更具体地说，对于每一个$s>0$，$s\neq 1$和几乎每一个选择的空间周期，我们构造的解决方案，其$H^s$ Sobolev规范增长的任何规定的因素。此外，对于一组具有正豪斯多夫维数的空间周期，我们构造了其Sobolev范数从任意小到任意大的解。我们还提供了估计所需的时间进行规范爆炸。注意，空间周期的不合理性将线性共振相互作用分解为$1$维共振的产物，从而大大降低了通常用于构造能量转移解的共振动力学的复杂性。然而，人们可以通过使用依赖于空间周期的丢番图逼近性质的准共振来提供这些增长的Sobolev范数解。
2022-03-01 math.AP math.DS
Growth of Sobolev norms for the analytic NLS on $\mathbb T^2$
本文考虑二维环面上具有任意解析规范不变非线性项的完全共振散焦非线性薛定谔方程。修复$s>1$。我们证明了这个方程的解的存在性，实现任意大的增长$H^s$ Sobolev规范。我们还估计了实现这一增长所需的时间。
2017-06-15 math.AP math.DS
Long time growth of Sobolev norms in time dependent semiclassical anharmonic oscillators
本文考虑由$$\mathrm{i} \hbar \partial_t ψ= \left(-\frac{\hbar^2}{2} Δ+ W_l(x) \right)ψ+ V(t,x)ψ,$$给出的$\mathbb R^d$上的半经典薛定谔方程，其中$W_l$是$W_l(x)= \frac{1}{2l}\sum_{j=1}^d x_j^{2l}$形式的非谐陷波，$l\geq 2$是整数，$\hbar$是半经典小参数.我们构造了一个光滑的潜在$V(t,x)$，有界的时间与其衍生物，和一个初始数据，使Sobolev规范的解决方案增长的对数速度为所有时间的顺序$\log^{\frac12}(\hbar^{-1})$。证明依赖于两个成分：首先，我们构造了一个无界的解决方案的强制机械非谐振子，然后我们利用半经典近似与相干态，以获得增长的Sobolev范数的量子系统，这是有效的半经典时间尺度。
2019-04-07 math-ph math.AP math.MP
The stability of Sobolev norms for the linear wave equation with unbounded perturbations
本文证明了具有一阶无界扰动的线性波动方程解的Sobolev范数始终有界。主要证明是基于线性波动方程的KAM约化。据我们所知，这是环面上具有一般拟周期无界位势的线性波动方程的第一个约化结果。
2022-01-04 math.AP math.DS
Quadratic lifespan and growth of Sobolev norms for derivative Schrödinger equations on generic tori
考虑一类在$d\geq1$维环面上具有无界Hamilton二次非线性项的薛定谔方程.研究了初始条件为$H^{s}$的解的高Sobolev范数$H^{s}$，$s\gg1$的行为，其$H^ρ$ -Sobolev范数$1\llρ\ll s$小于$\e\ll1$ .我们提供了一个控制的$H^{s}$ -范数的顺序$O(\e^{-2})$的时间间隔。%，其中$\e\ll1$是$H^ρ$中初始条件的大小。由于缺乏守恒量控制高Sobolev规范，证明的关键成分是建设一个修改后的能源相当于“低规范”$H^ρ$（当$ρ$是足够高）在一个非平凡的时间间隔$O(\e^{-2})$。这是通过规范形式的技术手段，涉及准线性方程的准微分学。主要的困难是控制由于三波相互作用产生的小因子而可能导致的导数损失。通过执行“驯服”的能量估计，我们得到更高的Sobolev规范$H^{s}$的上界。
2021-03-18 math.AP math.DS
Symplectic Normal Form and Growth of Sobolev Norm
本文利用Metaplectic和Schrödinger表示对任意维可约化哈密顿偏微分方程在Sobolev空间中的长期行为进行分类，并揭示量子谐振子范数增长的新速率及一维稳定性独特性。
2025-05-07 math.AP math.DS
Growth of Sobolev norms in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation
本文考虑二维环面上的立方离焦非线性薛定谔方程。修复$s>1$。Colliander，Keel，Staffilani，Tao和Takaoka在\cite{CollianderKSTT10}中证明了解的存在性，其中$s$ -Sobolev范数随时间增长。我们建立了多项式时间估计的解决方案的存在性。更确切地说，存在$c>0$使得对于任何$\mathcal{K}\gg 1$，我们找到解$u$和时间$T$使得$\| u(T)\|_{H^s}\geq\mathcal{K} \| u(0)\|_{H^s}$。此外，时间$T$满足多项式界$0<T<\mathcal{K}^c$。
2012-05-23 math.AP math.DS
On weakly turbulent solutions to the perturbed linear Harmonic oscillator
我们介绍了特定的解决方案，线性谐振子，命名为气泡。他们形成共振家庭的不变环面的线性动力学，与任意大的索伯列夫规范。我们利用这些调制泡的能量来构造一类势，这是真正的，光滑的，不定常的和均匀衰减到零的时间，使相应的扰动量子谐振子承认解决方案，表现出Sobolev范数的对数增长。共振机制是明确的空间变量，并产生高度振荡的解决方案。然后，我们给出了几个配方，以构建类似的例子，使用更具体的工具的基础上连续共振（CR）方程在二维。
2020-06-15 math.AP
Growth of Sobolev norms in the cubic defocusing nonlinear Schrödinger equation with a convolution potential
修复$s>1$。Colliander，Keel，Staffilani，Tao和Takaoka在\cite{CollianderKSTT10}中证明了具有随时间增长的$s$ -Sobolev范数的三次散焦非线性薛定谔方程在两个环面中解的存在性。本文将他们的结果推广到带卷积势的立方离焦非线性薛定谔方程。此外，我们还证明了这种增长速度与在\cite{GuardiaK12}中得到的立方散焦非线性薛定谔方程的增长速度相同。所得到的结果可以处理$H^{s_0}(\TT^2)$，$s_0>0$中的任意势能.
2013-01-22 math.AP math.DS
A remark on normal forms and the "upside-down" I-method for periodic NLS: growth of higher Sobolev norms
研究了一维周期非线性薛定谔方程（NLS）解的高Sobolev范数的增长性。通过规范形约化和倒置I方法相结合，建立了一般幂次非线性系统的u（t）H^s} \lesssim（1+ |t|）^{α（s-1）+}，其中α= 1.在五次情形下，我们通过Bourgain [4]，[5]的时空估计得到了α= 1/2的上述估计。在三次情形下，我们具体计算了规范形约化的前几步中出现的项，并证明了上述估计，α= 4/9。这些结果改进了以前已知的结果（除了五次情形）。在附录中，我们还展示了Bourgain在[4]中关于五次非线性规范形约化的思想如何应用于其他幂。
2011-12-08 math.AP math.DS
Remarks on Sobolev norms of fractional orders
当一个属于分数阶索伯列夫空间的函数在定义了索伯列夫空间的Lipschitz整环的真子集中得到支撑时，它作为一个函数在较小集合上的索伯列夫范数与它在整个整环上的范数相比如何？比较常数取决于什么？不同的规范是否有不同的表现？本文将讨论这些问题。证明了一些不等式，并通过反例反驳了一些误解。
2021-01-11 math.AP
On some equivalent norms in Sobolev spaces on bounded domains and on the boundaries
本文研究了d维实欧几里得空间中有界域上的索伯列夫空间和这些域边界上的索伯列夫空间中的一些范数的等价性。
2022-02-22 math.AP
Uniform Bound of Sobolev Norms of Solutions to 3D Nonlinear Wave Equations with Null Condition
研究了三维拟线性波动方程在零条件下经典解的Sobolev范数的时间增长性。
2015-10-11 math.AP
Sobolev Stability of Plane Wave Solutions to the Nonlinear Schrodinger Equation
本文研究了离焦情况下NLSE平面波解的高阶Sobolev范数下的长时间轨道稳定性问题。
2014-11-26 math.AP math.DS
Growth of higher Sobolev norms for energy critical NLS on irrational tori: small energy case
考虑一般无理环面上的能量临界非线性薛定谔方程。利用文献[8]中证明的长时间Sobolev估计，我们建立了小能量解的高Sobolev范数的多项式上界。
2017-02-18 math.AP
Growth of Sobolev norms for linear Schr{ö}dinger operators
我们给出了一个线性的，时间相关的，薛定谔算子的Sobolev范数的最佳增长的例子。的建设是明确的，并依赖于全面研究的线性最低朗道能级方程与时间相关的潜力。
2021-05-07 math.AP
Fully nonlinear elliptic and parabolic equations in weighted and mixed-norm Sobolev spaces
在松弛的凸性条件下，证明了全空间中完全非线性椭圆型和抛物型方程的加权和混合范数Sobolev估计，其中几乎VMO依赖于时空变量.得到了相应的内点估计和边界估计。
2018-05-31 math.AP
Growth of Sobolev norms for coupled Lowest Landau Level equations
研究了非线性最低水平Landau方程的耦合系统，证明了解的整体存在性，并给出了Sobolev范数的可能增长性的多项式界.我们还展示了明确的无界轨迹，这表明这些界限是最佳的。
2021-02-04 math.AP
Growth of Sobolev norms for completely resonant quantum harmonic oscillators on $\mathbb{R}^2$
本文研究二维完全共振量子谐振子在零阶周期伪微分扰动下的 Sobolev 范数无界增长，给出主象征的通有充分条件，并显式构造共振平均的逃逸函数以应用抽象定理。
2025-03-14 math.AP
Upper bound of higher-order Sobolev norms for Zkaharov system in one space dimension
本文研究一维Zkaharov系统在Diriclet边界条件下的Cauchy问题，利用修正能量方法证明了解的整体适定性及高阶Sobolev范数的增长。
2024-03-26 math.AP
A remark on norm inflation with general initial data for the cubic nonlinear Schrödinger equations in negative Sobolev spaces
本文研究了三次非线性薛定谔方程的不适定性问题。特别地，我们证明了在任何初始条件下，在低于或处于标度临界正则性的负索伯列夫空间中的范数膨胀。
2021-06-22 math.AP
The stability of nonlinear Schrödinger equations with a potential in high Sobolev norms revisited
本文考虑$\mathbb T^d$上带位势的非线性薛定谔方程.对于几乎所有的势函数，我们证明了在很高的Sobolev范数下的几乎全局稳定性。我们应用Birkhoff标准形的迭代，如Bourgain \cite{Bo00}引入的公式。这个结果重新证明了Bambusi和Grebert \cite{BG}关于无穷维Birkhoff规范形定理的一个动力学结果
2014-06-02 math.AP
On the growth of Sobolev norm for the cubic NLS on two dimensional product space
本文研究二维乘积空间上三次散焦NLS解的Sobolev范数增长，通过角向改进双线性Strichartz估计增强平滑估计，获得多项式上界，度量能量向高模态的转移。
2023-06-23 math.AP
Local Well-posedness for 2-D Schrodinger Equation on Irrational Tori and Bounds on Sobolev Norms
本文研究了二维空间中无理环面上的三次薛定谔方程。我们的主要结果是一个改进的非理性环面上的Eschhartz估计。使用这个估计，我们获得了H^s的局部适定性结果，其中s>131/416。我们还得到了高阶Sobolev范数的改进的增长界。
2013-06-29 math.AP
On differentiability of Sobolev functions with respect to the Sobolev norm
本文研究Sobolev函数的$W^1_p$-可微性与$L_p$-可微性之间的关系，证明前者蕴含后者但反之不成立，并讨论近似可微性及$\cp_p$-几乎处处的$W^1_p$-可微性。
2023-11-28 math.AP
Beating effects in cubic Schrödinger systems and growth of Sobolev norms
考虑耦合三次薛定谔方程系统。我们证明了存在拍频效应，即不同模式之间的能量交换。这种构造可以转化为线性时变薛定谔方程：我们建立解，使得它们的索伯列夫范数以几何方式增长。所有这些结果都是在大而有限的时间内得到的。
2012-08-28 math.AP
A Weakly Turbulent solution to the cubic Nonlinear Harmonic Oscillator on $\mathbb{R}^2$ perturbed by a real smooth potential decaying to zero at infinity
本文构造了被衰减势扰动后的三次非线性谐振子的光滑解，其Sobolev范数呈对数增长，通过改编Faou-Raphael方法调制孤子实现弱湍流。
2023-06-20 math.AP
Estimates of anisotropic Sobolev spaces with mixed norms for the Stokes system in a half-space
在${\mathbb R}^n_+ \times (0,T)$中研究了具有非齐次外力和非零初值的非定常Stokes系统。利用混合各向异性索伯列夫空间得到了含压力解的新估计.作为应用，给出了三维半空间中Navier-斯托克斯方程弱解的各向异性Sobolev估计.
2013-08-07 math.AP
A regularity theory for evolution equations with time-measurable pseudo-differential operators in weighted mixed-norm Sobolev-Lipschitz spaces
该研究针对带时间可测伪微分算子的发展方程，在加权混合范数Sobolev-Lipschitz空间框架下分析解的存在性、唯一性、正则性，并探究迹嵌入与解的连续性，丰富了相关方程的正则性理论。
2024-12-14 math.AP
Growth of Sobolev norms and controllability of Schrödinger equation
本文在一般的位势假设下得到了薛定谔方程的一个稳定性结果。然后我们考虑具有随机振幅的势的薛定谔方程。证明了若振幅分布充分非退化，则系统的任意轨线在索伯列夫空间中几乎必然是无界的。
2008-09-18 math.AP
Bounds on Sobolev norms for the nonlinear Schrödinger equation on general tori
我们证明了一般平坦d-环面上任意d.利用这些估计，我们证明了三次非线性薛定谔方程在适当的索伯列夫空间中的局部适定性.在二维和三维，我们证明了多项式的光滑解的Sobolev范数的可能增长的界限。
2008-09-26 math.AP math.CA
On solvability of parabolic equations with singular coefficients in odd mixed-norm Morrey-Sobolev spaces
本文研究了在奇混合范数Morrey- Sobolev空间中，具有奇异系数的抛物方程的可解性问题，通过引入混合范数Morrey类和BMO条件，证明了存在性和唯一性定理。
2025-12-01 math.AP
On the growth of high Sobolev norms of the cubic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{R}\times \mathbb{T}$
考虑乘积流形$\mathbb{R}\times \mathbb{T}$上的三次非线性薛定谔方程.本文得到了解的高Sobolev范数随时间增长的多项式界。证明的主要内容是建立一个迭代界，它是基于Bourgain在\cite{B1}中使用的思想。
2023-02-01 math.AP
Normalized solutions of quasilinear Schrödinger equation with Sobolev critical exponent on star-shaped bounded domains
本文研究星形有界域上具Sobolev临界指数的拟线性Schrödinger方程，通过双偶方法证明了基态与山路解两类正归一化解的存在性。
2025-09-16 math.AP
Growth of Sobolev norms for the quintic NLS on $\mathbb T^2$
研究了二维环面上的五次非线性薛定谔方程，给出了其Sobolev范数随时间增长的轨道.主要的一点是减少到一个足够简单的玩具模型，类似于在许多方面的情况下使用的立方体NLS。这需要精确的组合分析。
2014-05-07 math.AP
Bounds on the growth of high Sobolev norms of solutions to 2D Hartree Equations
本文考虑二维环面和平面上的Hartree型方程。我们证明了多项式的增长上界的高Sobolev规范的解决方案，这些方程。我们的研究结果的证明是基于适应两个维度的技术，我们以前用来研究类似的问题$S^1$，和$\mathbb{R}$。
2014-05-14 math.AP
Parabolic equations with partially VMO coefficients and boundary value problems in Sobolev spaces with mixed norms
研究了索伯列夫空间中具有混合范数的二阶抛物型方程.首项系数（除$a^{11}$外）在时间和一个空间变量中是可测量的，并且VMO在其他空间变量中是可测量的。系数$a^{11}$在时间上是可测量的，在空间变量上是VMO。利用方程在全空间中唯一可解的性质，求解了半空间中抛物型方程的Dirichlet和斜微商问题。
2007-06-03 math.AP
Negative Orlicz-Sobolev norms and strongly nonlinear systems in fluid mechanics
在Orlicz-索伯列夫空间中证明了一个负范数定理. Orlicz空间之间的Bogovskii算子的连续性的研究是一个关键的步骤，独立的利益，在我们的方法。应用的压力重建问题的非牛顿流体的本构关系，这不一定是幂型，提出。一个关键的不等式的数值分析的基础椭圆系统也得到。
2014-08-18 math.AP
Mixed boundary value problems for parabolic equations in Sobolev spaces with mixed-norms
本文在具有粗糙时间依赖分离的圆柱Reifenberg平坦区域上建立了抛物型方程混合Dirichlet余正规问题的$L_{q,p}$估计及其可解性。
2022-07-28 math.AP
Anisotropic Fractional Sobolev Norms
Bourgain、Brezis和Mironescu证明了（在适当的尺度下）函数$f\in W^{1,p}(\rn)$的分数Sobolev $s$ -范数收敛到$f$的Sobolev范数，即$s\to 1^-$。由单位球$K$的$\rn$上的范数定义的$s$ -范数收敛到由单位球$\,\ompd K$（$K$的极$L_p$矩体）的范数定义的$f$的各向异性Sobolev范数.还确定了$s\to 0^+$的极限行为（扩展了Maz $'$ ya和Shaanova的结果）。
2013-04-02 math.AP math.FA
On a parabolic logarithmic Sobolev inequality
为了推广Euler方程解的爆破准则，Kozono和Taniuchi利用迷向（椭圆）$BMO$范数证明了一个对数Sobolev不等式.本文利用各向异性（抛物型）$BMO$范数证明了Kozono-Taniuchi不等式的抛物型.更精确地说，我们给出了一个上限的$L^{\infty}$范数的函数在其抛物线$BMO$规范，对数校正涉及其规范在一些索伯列夫空间。作为应用，我们还说明了如何应用这个不等式，以建立一类非线性抛物问题的长期存在性结果。
2009-03-08 math.AP
Growth of Sobolev Norms for 2d NLS with harmonic potential
证明了在调和势约束下Laplacian算子的二维三次非线性最小二乘问题解的增长性的多项式上界。由于更好的双线性效应，我们的边界改善了周期设置中的$2d$立方NLS的边界：我们的增长率为s=2k的Sobolev范数，$k\in \mathbb{N}$，是$t^{2(s-1)/3+\varepsilon}$。在附录中，我们提供了一个直接的证明，根据分部积分法，与谐振子的双线性估计。
2021-10-28 math.AP
Global well-posedness of the Cauchy problem for the Jordan--Moore--Gibson--Thompson equation with arbitrarily large higher-order Sobolev norms
本文研究了三维非线性声学中的Jordan-Moore-Gibson-Thompson方程。首先，我们证明了该解决方案的存在性，在时间上的初始数据的低阶Sobolev规范被认为是小的，而高阶规范可以是任意大的。这改进了文献中的一些结果。其次，我们证明了一个新的衰减估计的线性化模型和删除$L^1$ -假设的初始数据。这个衰减估计的证明是基于解的高频和低频分解以及一个与负阶索伯列夫空间有关的插值不等式。
2021-04-22 math.AP
Nonlocal approximations to anisotropic Sobolev norms
本文对非线性弹性力学、电流变流体理论以及图像处理中的一类变指数索伯列夫空间，在变指数$p(x)$达到值$1$的区域，得到了其非局部特征.
2021-10-26 math.AP math.FA
A priori bounds for Gevrey-Sobolev norms of space-periodic three-dimensional solutions to equations of hydrodynamic type
我们提出了一种技术推导的先验界的空间周期三维解的Gevrey-Sobolev范数的发展偏微分方程的流体动力类型。它涉及傅立叶空间中的流速的变换，其在范数的指数和变换后的解的范数之间引入反馈，并且导致出现温和耗散项。为了说明这种技术，我们推导出有限时间的界限Gevrey-Sobolev范数的解决方案的欧拉和无粘Burgers方程，和全球的Voigt型正则化的欧拉和Navier-斯托克斯方程的时间界限（假设各自的范数的初始条件是有界的）。范数的有界性意味着解在空间中的解析性。
2011-03-21 math.AP
A direct proof of Sobolev embeddings for quasi-homogeneous Lizorkin--Triebel spaces with mixed norms
本文给出了Lizorkin-Triebel空间（包含$L_p$ -索伯列夫空间$H^s_p$作为特例）中Sobolev嵌入定理的一个简化证明.该方法推广到基于混合$L_p$ -范数的一般Lizorkin-Triebel空间的相应事实的证明。本文证明了满足几何矩形条件的函数列的Nikol'skij-Plancherel-Polya不等式。结果也推广到空间的拟齐型。
2017-02-03 math.AP
Logarithmic bounds on Sobolev norms for time-dependent linear Schrödinger equations
我们证明了在1-D的增长的Sobolev范数的不定常的线性薛定谔方程是最多对数的时间为任何（固定）的潜力，这是分析（或Gevrey）。最近在[N]中证明了Sobolev范数几乎必然是无界的，这表明对数几乎必然是必要的。在[W]中，作者证明了对于显式时间周期势，Sobolev范数是有界的。这是在[N]意义下的例外集合中。本文与[N，W]一起给出了圆上不定常线性薛定谔方程的一个比较完整的图象.
2008-09-30 math.AP math.SP
Growth of Sobolev norms for 2D cubic nonlinear Schrödinger equation with partial harmonic potential
Graduate School of China Academy of Engineering Physics（中国工程物理研究院研究生院）；Laboratory of Mathematics and Complex Systems (Ministry of Equation), School of Mathematics Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院数学与复杂系统（教育部）实验室）；Institute of Applied Physics and Computational Mathematics（应用物理与计算数学研究所）
本文研究了二维立方非线性薛定谔方程在部分谐振子势下的Sobolev范数增长，通过双线性估计和特定方法证明了解的多项式界。
2023-04-06 math.AP
Norm-inflation for periodic NLS equations in negative Sobolev spaces
本文考虑T^d上具有2阶奇非线性项$σ$ + 1的Schr{<$}dinger方程.我们证明了对于$σ$ d $\ge$ 2，它们在索伯列夫空间H^s中对任何s \textless{} 0都是强不适定的，表现出正则性无限丧失的范数膨胀.在一维立方非线性薛定谔方程及其重整化形式的情形下，我们证明了这样一个结果，其中H^s满足s \textless{} -2/3.
2015-07-15 math.AP
Global well-posedness and growth of Sobolev norms for nonlinear Dirac equations with Yukawa potential on compact manifolds
Universitá degli studi di Padova（帕多瓦大学）
研究紧致流形上带汤川势的非线性狄拉克方程，用基于换位子的高阶能量方法结合格朗沃尔引理，在二维及二维正能量投影情形下证明整体适定性及高阶索伯列夫范数增长的指数上界。
2026-07-07 math.AP
Asymmetric anisotropic fractional Sobolev norms
Bourgain、Brezis和Mironescu证明了（在适当的尺度下）函数$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$的分数Sobolev $s$ -范数收敛到$f$的Sobolev范数，即$s\rightarrow1^-$。Ludwig在具有单位球$K$的$\mathbb{R}^n$上引入了由范数定义的$f$的各向异性分数Sobolev $s$ -范数，并证明了它们收敛于由单位球为$K$的极$L_p$矩体的范数定义的$f$的各向异性Sobolev范数，即$s\rightarrow1^-$ .的非对称各向异性$s$的-EQUORMS收敛到各向异性Sobolev EQUORMS的$f$定义的Minkowski功能的极性非对称$L_p$矩体的$K$。
2014-10-22 math.AP math.FA
Parabolic equations with unbounded lower-order coefficients in Sobolev spaces with mixed norms
证明了具有全低阶项的散度型抛物型方程的Lp，q-可解性.系数和非齐次项属于具有最低可积性条件的混合Lebesgue空间。特别地，低阶项的系数不一定有界。本文研究了非正则区域上的Dirichlet和余法向导数边值问题。我们还证明了嵌入结果的抛物索伯列夫空间，证明是独立的利益。
2022-03-01 math.AP
Norm inflation and loss of regularity in negative Sobolev spaces for KdV and KP
CNRS（法国国家科学研究中心）；IRMAR（雷恩数学研究所）
通过WKB分析和共振相互作用产生零傅里叶模式，证明了KdV和KP方程在周期和全空间上任意大尺度负阶Sobolev空间中的范数膨胀现象。
2026-10-08 math.AP
Fractional Sobolev norms and BV functions on manifolds
紧流形上的有界变差范数和Sobolev范数表示为分数Sobolev范数的一个极限。这建立了有界变差函数和紧流形上的Sobolev函数的特征。作为应用，考虑了有限周长集的特殊情况。
2018-06-07 math.AP math.FA math.MG
