Tangent nodal sets for random spherical harmonics
本文考虑$S^2$上的固定向量场$V$，并研究了$V$也相切的随机球谐函数节点集上点的分布.我们表明，相应的计数函数的期望值是渐近的特征值的首项系数是独立的向量场$V$。这以某种形式证明了向量场直到低阶项的普遍性。
2018-09-11 math.AP math.DG math.SP
Square functions, non-tangential limits and harmonic measure in co-dimensions larger than one
本文通过正则化距离函数在任意余维的Ahlfors正则集E的补集上的行为，刻画了该集E的可求正性（一致性和非一致性）.特别是，我们建立了一个特定版本的里斯变换表征的可求直的低维集。我们还揭示了一种特殊的情况，其中正则化的距离本身是一个解决方案的退化椭圆算子的补充E。这使我们能够精确地计算这些集合的调和测度与这个退化算子，并证明，在一个鲜明的对比，通常设置的余维1，逆的达尔伯格定理（见[Da]和[DFM2]）必须是假的低维边界上没有额外的假设。
2020-07-14 math.AP math.CA
Stratification and rectifiability of harmonic map flows via tangent measures
School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；School of Mathematics, Yunnan Normal University（云南师范大学数学学院）
通过切测度的空间对称性，研究调和映射流“合适解”的层状化理论，证明奇异集每个时间切片可求积，并在额外假设下得到最优正则性。
2026-07-01 math.AP math.DG
Nonunique tangent maps at isolated singularities of minimizing $p$-harmonic maps
本研究构造出首个在孤立奇点处具有非唯一切映射的极小化$p$-调和映射示例，拓展了B. White针对平稳情形$p=2$的相关结果，推进了对能量极小映射奇异集精细结构的研究。
2025-09-02 math.AP
Approximate tangents, harmonic measure, and domains with rectifiable boundaries
设$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$、$n \geq 1$是开连通集。将$\mathcal{T}_n$设为点集$ξ\in \partial Ω$，使得在$ξ$处存在$\partialΩ$的近似切$n$ -平面，并且$\partialΩ$在$ξ$处满足弱下Ahlfors-David $n$ -正则性条件。我们首先证明了$\mathcal{T}_n$可以被有界Lipschitz域的边界的可数并所覆盖。然后，设$\partial^\star Ω$是$\mathcal{T}_n$的一个子集，其中$Ω$满足适当的厚度条件，我们证明了$\partial^\star Ω$可以被包含在$Ω$中的有界Lipschitz域的边界的可数并所覆盖.作为推论，我们得到，如果$Ω$有局部有限周长，$\partialΩ$是弱下Ahlfors-David $n$ -正则的，和测量理论的边界与$Ω$的拓扑边界重合，直到一组$\mathcal{H}^n$ -测量零，那么$\partial Ω$可以覆盖，直到一组$\mathcal{H}^n$ -测量零，由一个可数的有界Lipschitz域的边界包含在$Ω$中。这意味着在这样的区域中，$\mathcal{H}^n|_{\partialΩ}$关于调和测度是绝对连续的。
2021-03-08 math.AP math.CA
Tangential approach in the Dirichlet problem for elliptic equations
本研究针对带实值有界可测系数的椭圆方程Lᵖ-Dirichlet问题，证明局部A∞性质可使具Sobolev正则性的边界数据的非切向收敛提升为切向收敛，并得到收敛失效集的Hausdorff维数精确估计，推广了经典调和函数的相关结果。
2025-10-30 math.AP
Expansion of harmonic functions near the boundary of Dini domains
设$u$是$C^1$ -Dini域中的调和函数，使得$u$在边界的开集上为零.我们发现，在开集的每一个点附近，$u$可以被唯一地写为一个非平凡的齐次调和多项式和一个误差项的较高程度（取决于Dini参数）的总和。特别地，这意味着$u$在每个这样的点处具有唯一的正切函数，并且可以估计到正切函数的收敛速度。我们还研究了特殊情况下邻近点处的正切函数之间的关系。
2021-07-13 math.AP math.CV
Time-harmonic solutions for Maxwell's equations in anisotropic media and Bochner-Riesz estimates with negative index for non-elliptic surfaces
我们解决时间谐波麦克斯韦方程组的各向异性，空间均匀介质中的交叉点的$L^p$ -空间。物质定律是与时间无关的。分析需要傅立叶限制扩展估计菲涅耳的波表面的扰动。该表面可以分解为以下三种类型的有限多个分量：具有非零高斯曲率的光滑表面、具有沿一维子流形消失但没有平点的高斯曲率的光滑表面以及具有圆锥形奇点的表面。我们的估计是基于新的Bochner-Riesz估计与非椭圆曲面的负指数。
2022-02-03 math.AP math.CA
Weighted norm inequalities, off-diagonal estimates and elliptic operators. Part III: Harmonic analysis of elliptic operators
这是第三部分的一系列四篇文章加权范数不等式，非对角估计和椭圆算子。对于一类椭圆算子的$L$，我们研究了由$L$产生的奇异“非积分”算子的加权范数$L^p$不等式;它们是有界全纯函数$ϕ$的算子$ϕ(L)$，Riesz变换$\nabla L^{-1/2}$（或$(-Δ)^{1/2}L^{-1/2}$）及其逆$L^{1/2}(-Δ)^{-1/2}$，一些Littlewood-Paley-Stein型二次泛函$g\_{L}$和$G\_{L}$以及一些向量-值不等式，如最大$L^p$ -正则性所涉及的不等式。对于每一个，我们获得尖锐或近尖锐的PDMATHAMV范围使用的一般理论的有界性的第一部分和非对角估计的第二部分。我们还得到了与BMO函数的交换子结果。
2006-03-28 math.AP math.CA
Symmetric log-epiperimetric inequality for harmonic maps with analytic target and applications
本文建立解析目标流形上调和映射的对称（对数）超周边不等式，并据此重新证明孤立奇点切映射的唯一性，同时得到适当能量增长条件下无穷远切映射的唯一性。
2025-05-13 math.AP math.DG
Singular solutions for complex second order elliptic equations and their application to time-harmonic diffuse optical tomography
本文构造了具有任意阶孤立奇点的复二阶椭圆方程奇异解，推广了Alessandrini关于实散度型方程的结果，并将其应用于时谐扩散光学层析成像中各向异性介质光学性质的确定。
2024-04-03 math.AP
Lipschitz regularity of sub-elliptic harmonic maps into CAT(0) spaces
该研究证明了从n维Heisenberg群到CAT(0)空间的次椭圆调和映射具备局部Lipschitz连续性，拓展了已有Hölder正则性结果，为次椭圆调和映射的一般正则性理论提供了通用方法。
2024-05-14 math.AP math.DG math.MG
Analysis of time-harmonic electromagnetic problems with elliptic material coefficients
该研究针对含椭圆型材料系数的时谐电磁问题，分析椭圆场性质，探究经典变分公式适定性与半双线性形式强制性假设，并将框架应用于三类典型介质验证。
2024-07-13 math.AP physics.comp-ph
Non-transversal intersection of free and fixed boundary for fully nonlinear elliptic operators in two dimensions
在经典障碍物问题的研究中，众所周知，在许多构形中，自由边界与固定边界相切。生成这种类型的结果所涉及的参数依赖于运算符的线性结构。本文采用一种不同的方法，证明了完全非线性椭圆算子二维自由边界与固定边界的切触。一路上，几个$n$维的独立利益的结果，如BMO估计，$C^{1,1}$正则性固定边界，并描述了爆破解决方案的行为。
2015-05-09 math.AP
Transference of scale-invariant estimates from Lipschitz to Non-tangentially accessible to Uniformly rectifiable domains
本文证明在一致可整流边界开集中，若解在Lipschitz子域满足Carleson测度、平方函数及ε-可逼近估计，则这些估计仍成立，并建立从Lipschitz到弦弧及一致可整流域的通用实变量迁移原理。
2020-07-13 math.AP math.CA
Local boundary behaviour and the area integral of generalized harmonic functions associated with root systems
有理Dunkl算子是欧氏空间$\RR^d$上与根系相关的可交换微分反射算子。研究了与Dunkl算子相关的广义调和函数的局部边界性质。利用Dunkl广义平移和Dunkl算子引入了一个Lusin型面积积分算子$S$.主要结果是关于与Dunkl算子相关的上半空间$\RR^{d+1}_+$中广义调和函数$u$的非切边极限的局部存在性的特征，并且对于在根系生成的反射群下$\RR^d$不变的子集$E$，证明了以下三个断言的等价性：（i）对于a.e.，$u$在$(x,0)$有一个有限的非切向极限; $x\in E$ ;（ii）$u$对于a.e.是非切向有界的。（iii）$x\in E$对a.e.是有限的; $x\in E$。
2022-06-05 math.AP math.FA
Planar Degenerate Anchoring in Landau-de Gennes Energy
The University of Sydney（悉尼大学）；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文研究了在大体极限下，温度低于向列-各向同性转变阈值时，带有切线边界条件的有界光滑域Ω⊂R³上的S²值能量最小化调和映射作为Landau-de Gennes能量最小化解的退化平面锚定的极限，并探讨了近边界奇点（称为boojums）的局部结构。
2026-05-18 math.AP
Nonlinear elliptic Partial Differential Equations and p-harmonic functions on graphs
本文研究了有限图上非线性椭圆型偏微分方程的适定性（解的唯一性和存在性）。这些结果是利用图的离散比较原理和连通性得到的。这项工作是在偏微分方程的黏性解理论的精神。这些方程包括图拉普拉斯算子、$p$ -拉普拉斯算子、无穷拉普拉斯算子、中曲率方程和图上的Eikonal算子。
2013-02-28 math.AP
Elliptic regularity theory applied to time harmonic anisotropic Maxwell's equations with less than Lipschitz complex coefficients
本文研究了具有$C^{1,1}$边界的有界区域上各向异性复系数时谐Maxwell方程组的正则性。我们假设对于某些$δ>0$，至少有一个材料参数是$W^{1,3+δ}$。利用二阶椭圆型偏微分方程的正则性理论，我们得到了直到边界的电场和磁场的$W^{1,p}$估计和Hölder估计。我们还得到了双各向异性介质中的内估计。
2015-02-18 math.AP
On regularity and rigidity of $2\times 2$ differential inclusions into non-elliptic curves
Université de Toulouse, CNRS, UPS IMT（图卢兹大学）；University of Cincinnati（辛辛那提大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）
研究非椭圆曲线上的微分包含正则性与刚性，证明局部Lipschitz连续性及奇异点刚性特征，部分椭圆情况下无奇异点。
2026-04-28 math.AP
Boundary behavior of solutions of elliptic operators in divergence form with a BMO anti-symmetric part
本文研究了具有椭圆对称部分和$BMO$反对称部分的散度型算子解的边界表现.我们的结果将保持在非切向可达（NTA）域，这些一般域介绍了Jerison和Kenig，包括类Lipschitz域。我们建立了解在边界上的Hölder连续性，与此类算子相关的椭圆测度$ω_L$的存在性，以及连续Dirichlet问题和$L^p(dω)$狄利克雷问题在NTA域上的适定性.在一定条件下，平方函数和非切极大函数的$L^p$范数的等价性仍然成立。当专门的Lipschitz域，它是可能的，然后扩展到这些运营商，各种标准确定相互绝对连续的椭圆测度与表面措施。
2018-05-16 math.AP
Behavior of the free boundary near contact points with the fixed boundary for nonlinear elliptic equations
研究了一致椭圆型全非线性算子的自由边界问题。在一定的假设下，我们表明，自由和固定的边界满足切向接触点。
2005-09-07 math.AP
Convexity of the smallest principal curvature of the convex level sets of some quasi-linear elliptic equations with respect to the height
对于具有严格凸水平集的$p$ -调和函数，我们找到了一个由$p$ -调和函数的梯度范数和$p$ -调和函数的水平集的最小主曲率的组合得到的检验函数.证明了该曲率函数关于$p$ -调和函数的高度是凸的。当$p$ -调和函数是球上的$p$ -格林函数时，该检验函数是高度的仿射函数。对于极小图，我们得到了类似的结果.
2012-11-04 math.AP
Uniqueness of positive solutions to fractional nonlinear elliptic equations with harmonic potential
本文针对带调和势的分数阶非线性椭圆方程，证明了满足特定参数条件下正解的唯一性，解决了相关文献中提出的公开问题。
2024-07-14 math.AP
A stability theorem for elliptic Harnack inequalities
证明了椭圆Harnack不等式的一个稳定性定理：若两个权图等价，则椭圆Harnack不等式对其中一个图的调和函数成立当且仅当对另一个图的调和函数成立.作为证明的一部分，我们给出了椭圆Harnack不等式的一个特征。
2011-05-20 math.AP math.PR
Asymptotic Analysis of Harmonic Maps With Prescribed Singularities
University of Notre Dame（圣母大学）；Stony Brook University（石溪大学）；Ariel University（阿里埃勒大学）；Beijing Normal University（北京师范大学）
本文作为系列论文首篇，研究带规定奇点的调和映射的渐近行为，为建立多黑洞质量-角动量不等式提供正则性理论，还用于证明极端黑洞近视界极限存在并计算其几何。
2026-08-20 gr-qc math.AP math.DG
Radial limits of solutions to elliptic partial differential equations
本文研究严格星形域中椭圆方程解沿径向趋于边界时的行为，通过引入调和线丛并利用调和空间上的逼近定理，得到了解在边界径向极限及逼近方面的结果。
2023-12-04 math.AP math.CV
Comparison of harmonic kernels associated to a class of semilinear elliptic equations
设$D$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 3$中的光滑区域，$f$是$\partial D$上的正连续函数.在对$φ$的某些假设下，证明了问题$D$中的$Δu=2φ(u)$和问题$\partial D$中的$u=f$存在唯一解，记为$H_D^φf$ .给定两个函数$φ$和$ψ$，本文的主要目的是研究存在一个常数$c>0$使得$$\frac{1}{c}H_D^φf\leq H_D^ψf\leq c H_D^φf.$$
2012-06-22 math.AP math.PR
Isolated singularities of harmonic maps with generic boundary data
Cornell University（康奈尔大学）
本文研究具有一般边界数据的调和映射孤立奇点，提出最小指标原理，证明在低维情况下奇点切映射为径向投影，并建立无穷远刚性定理。
2026-09-25 math.AP math.DG
Refined Rellich boundary inequalities for the derivatives of a harmonic function
经典的Rellich不等式暗示了调和函数的法向导数和切向导数的$L^2$ -范数是等价的。本文证明了几个精化不等式，即使定义域不是Lipschitz，这些不等式也是有意义的。对于二维区域，我们得到了一个尖锐的$L^p$ -估计$1<p\leq 2$通过使用黎曼映射和插值参数。
2022-09-17 math.AP
Eigenfunction expansions for a fundamental solution of Laplace's equation on $\R^3$ in parabolic and elliptic cylinder coordinates
三维拉普拉斯方程的一个基本解被展开为在抛物或椭圆柱面坐标中分离的调和函数。在每种情况下都有两个展开式，它们简化为贝塞尔函数$J_0(kr)$或$K_0(kr)$、$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2$在抛物线和椭圆柱面谐波中的展开式。利用$K_0(kr)$是欧氏平面上偏微分方程的基本解和$J_0(kr)$是黎曼函数的事实。
2012-04-26 math-ph math.AP math.CA
On Phragmén-Lindelöf principle for Non-divergence Type Elliptic Equation and Mixed Boundary conditions
本文致力于非发散形式的椭圆型方程在Lipschitz域上的Zaremba型问题解的定性研究。主要结果是在“容许区域”类中得到了混合边值问题在球面层中的Landis型增长引理。基于增长引理，证明了Dirichlet边界与定义了非切向导数的边界交界处的Phragmén-Lindelöf定理.
2017-07-12 math.AP
Generalizations of harmonic functions in $\mathbb{R}^m$
在最近的工作中，任意结构集的非交换Clifford分析的背景下，已被用来引入非平凡的广义调和Clifford代数值函数在$\mathbb{R}^m$。$(φ,ψ)$ -亚正则函数和$(φ,ψ)$ -调和函数定义为椭圆型（一般为非强椭圆型）偏微分方程的解，不具有调和函数的良好结构和性质.本文的目的是展示和澄清这些函数类之间的关系。
2021-09-16 math.AP
A Liouville theorem for elliptic systems with degenerate ergodic coefficients
研究了具有平稳遍历随机系数的散度型二阶退化椭圆型方程组的性态。假设系数域$a$及其逆上的矩界如Chiarini和Deuschel [Arxiv预印本1410.4483，2014]，我们证明了$a$ -调和函数的内在大规模$C^{1,α}$ -正则性估计，并获得了次二次$a$ -调和函数的一阶刘维尔定理。
2016-05-02 math.AP math.PR
An interpolating inequality for solutions of uniformly elliptic equations
本文将作者在以前的研究中得到的调和函数的一个不等式推广到系数为散度型的一致椭圆型方程的解的情形。调和函数的不等式在研究亚历山德罗夫肥皂泡定理和塞林问题的径向对称性的稳定性中是一个重要的组成部分。我们的不等式的证明是基于L.卡法雷利，我详细证明了。Blank和Z.浩
2021-07-20 math.AP
Harmonic measure on sets of codimension larger than one
本文对具有$d<n-1$的$\R^n$中的$d$-维集合引入了一个新的调和测度的概念，即当余维严格大于1时。我们的措施是与一个退化的椭圆PDE，它产生了一个全面的椭圆理论，而且，最值得注意的是，它是绝对连续的$d$维Hausdorff措施合理的好集。本文对具有小Lipschitz常数的Lipschitz图给出了后一个结论的一般证明。
2016-08-03 math.AP
Uniqueness of ground states to fractional nonlinear elliptic equations with harmonic potential
School of Mathematics and Statistics, Xi’an Jiaotong University（西安交通大学数学与统计学院）
本文研究了分数非线性椭圆方程在调和势下的地面态唯一性问题，通过证明唯一性解决了相关开放问题。
2024-03-23 math.AP
Counting dimensions of L-harmonic functions
在这篇文章中，我们将考虑定义在R^n上的具有可测系数的散度型二阶一致椭圆算子。主要地，我们将给出最多以d次多项式增长的解的空间维数的估计。更准确地说，根据矩形坐标系{x_1，.，x_n}是作用在H^1_loc（R^n）中的函数f上的二阶一致椭圆型算子L，由下式给出：Lf = sum_{ij} d/dx_i（a^{ij}（x）df/dx_j）其中（a^{ij}（x））是n × n对称矩阵，对于某些常数0 < lambda <= Lambda < \infty，满足椭圆度界λI <=（a^{ij}）<= Lambda I.除了椭圆率界限之外，我们仅假设系数（a_{ij}）仅仅是可测函数。
2000-09-01 math.AP
A Note on harmonic maps
在这篇笔记中，我们将详细介绍Fotiadis和Daskaloyannis最近在arXiv：1903.05420v3中的工作，其中Y.什湖，加-地Tam和T. Y.-- H. Wan（在他们的工作Harmonic Maps on双曲空间with Singular Boundary Value，Differential Geometry 51（1999），551-600）中通过使用雅可比椭圆函数来编写。我们还证明了J. Wang在他的著作（The Heat Flow and Harmonic Maps between Complete Manifolds，The Gournal of Geometric Analysis，Volume 8，Number 3，1998，485-514）中描述的调和映射也可以用雅可比椭圆函数来表示。
2020-11-16 math.AP math.DG
Solvability and regularity for an elliptic system prescribing the curl, divergence, and partial trace of a vector field on Sobolev-class domains
给出了一类Hodge型椭圆方程组的可解性和正则性的完备证明，其中向量场的散度和旋度在开的有界Sobolev类区域中给定，且向量场的法向分量或切向分量在边界上给定.证明是基于Sobolev类域上具有Sobolev类系数的向量椭圆型方程的正则性理论。
2015-09-09 math.AP
On the nodal set of solutions to degenerate or singular elliptic equations with an application to $s-$harmonic functions
本文主要研究退化或奇异方程的节点解集的几何理论分析，这些方程涉及一类算子，包括带有$a\in(-1,1)$的$$ L_a = \mbox{div}(\abs{y}^a \nabla), $$及其扰动。由于它们属于Muckenhoupt类$A_2$，这些算子出现在Fabes，Kenig，Jerison和Serapioni \cite{fkj,fjk2,fks}的开创性作品中，并且最近在过去十年中引起了很多关注，因为它们与分数拉普拉斯算子的局部化有关，通过在一个更多维\cite{CS2007}中的扩展。我们在本文中的目标是开发一个完整的理论的分层属性的节点组的解决方案，这样的方程的精神，开创性的著作的哈特，西蒙，韩和林\cite{MR1010169,MR1305956,MR1090434}。
2018-08-06 math.AP
Shear flows of an ideal fluid and elliptic equations in unbounded domains
本文证明了在二维条带中，理想不可压缩流体无驻点和切向边界条件的定常流是剪切流。同样的结论也适用于半平面内有界定常流。证明的基础上的流线的几何性质的研究和一些半线性椭圆型方程的解的一维对称性结果。一些相关的刚度的独立利益的结果也显示在n维板在任何维度n。
2015-09-15 math.AP
Minimizing tangent maps into complex projective space
University of Chicago（芝加哥大学）；University of Cambridge（剑桥大学）；Instituto Superior Técnico（技术研究所）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克科学促进部数学研究所）
该研究分类了从二维球面$\text{S}^2$、三维球面$\text{S}^3$到复射影空间$\text{CP}^n$的非平凡光滑调和映射，明确其极小映射的具体形式
2026-10-12 math.AP math.DG
Self-Adjointness of the Dirac Hamiltonian for a Class of Non-Uniformly Elliptic Boundary Value Problems
本文考虑光滑、渐近平坦的洛伦兹流形上的Dirac方程的边值问题，其中Killing场在边界附近且切向于边界。构造了Dirac哈密顿量的自伴扩张。我们的结果也适用于时空包含视界的情形，这里的哈密顿量不是椭圆的。
2016-07-26 gr-qc math-ph math.AP
A Classical Elliptic Regularity Approach to Almost Harmonic Maps and Related Systems
提出基于Campanato型离散迭代和Caccioppoli估计的统一抽象框架，证明在稳定于缩放且满足离散振荡衰减公理的容许对中，映射自动局部Hölder连续，并达到最优指数，避免了现有理论中的对偶、不等式和移动标架等技术。
2026-07-20 cond-mat.mtrl-sci math-ph math.AP
