Rectifiability of harmonic measure in domains with porous boundaries
本文证明了：如果$n\geq 1$，$Ω\subset \mathbb R^{n+1}$是一个具有多孔边界的连通区域，$E\subset \partialΩ$是一个有限的正Hausdorff $H^{n}$ -测度的集合，在这个集合上调和测度$ω$关于$H^{n}$是绝对连续的，则$ω|_E$集中在一个$n$ -可求长集上.
2015-05-29 math.AP math.CA
Finite Good Witnesses for Generalized Curve Projections at the Rectifiable Endpoint
The University of Toronto（多伦多大学）
本文针对1-可求长集建立广义曲线投影的有限优见证原理，通过内蕴论证和新的折叠非退化条件得到确定性见证子与例外参数结构界，并将框架应用于多类非线性投影族，补充了分形集相关的例外集估计工作。
2026-08-12 math.CA math.MG
Uniform Rectifiability and Harmonic Measure III: Riesz transform bounds imply uniform rectifiability of boundaries of 1-sided NTA domains
令$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 2$，是一个闭的，Ahlfors-David正则集的维数$n$满足“里斯变换界”$$\sup_{\varepsilon>0}\int_E\left|\int_{\{y\in E:|x-y|>\varepsilon\}}\frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} f(y) dH^n(y)\right|^2 dH^n(x) \leq C \int_E|f|^2 dH^n .$$进一步假设$E$是一个域的边界$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$满足Harnack链条件加上一个内部（而不是外部）Corkscrew条件。则$E$是一致可求正的。
2012-11-27 math.AP math.CA
Tangents, rectifiability, and corkscrew domains
在最近的一篇论文中，Csörnyei和Wilson证明了$σ$ -有限长度的欧几里得空间中的曲线在一组正的$\mathscr{H}^{1}$ -测度上有切线。他们还表明，一个更高的维度模拟这个结果是不可能的，没有一些额外的假设。本文证明了：如果$Σ\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$具有以$Σ$为中心的每个球包含两个位于$Σ^{c}$不同分量中的大球的性质，且$Σ$具有$σ$ -有限$\mathscr{H}^{d}$ -测度，则它在一组正的$\mathscr{H}^{d}$ -测度中具有$d$ -维切点.我们也给出了较短的证明，Semmes表面是一致可求长的，如果$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$是一个外部的螺旋形域的边界具有局部有限的$\mathscr{H}^{d}$措施，可以找到一个Lipschitz子域相交的大部分边界。
2016-12-28 math.AP math.CA math.MG
A varifold-type estimation for data sampled on a rectifiable set
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）
本文提出在统计框架下，基于核方法估计变分结构，研究了在高维空间中从底层形状S获得的i.i.d样本的变分结构推断，考虑了密度θ的非均匀性及S的分段C^{1,a}正则性。
2026-04-20 math.CA math.ST stat.TH
A notion of rectifiability modeled on Carnot groups
我们引入了一个概念的可求正性仿照卡诺群。确切地说，我们说卡诺群M和N的子集E是M的子群，我们说E是N-可求长的，如果它是N的正测度子集的Lipschitz像。首先，我们讨论了N-可求直性的含义，其中N是一个Carnot群（而不仅仅是一个Carnot群的子群），它包括N-可逼近性和E中存在几乎处处与N等距的逼近切锥。其次，我们证明了，在一个更强的条件下，存在近似切锥同构于N几乎处处在一个集合E，E是N-可求长。第三，我们研究了C^1_N函数水平集的可求正性，其中N是卡诺群。证明了对f的几乎每一个实数t和几乎每一个水平集上的非特征点x，存在H的一个子群T_x且r >0，使得f^{-1}（t）满足BH（x，r）在x上是T_x-可逼近的，且在x上是与T_x同构的一个逼近切锥.
2004-07-13 math.CA math.DG
Absolute continuity of harmonic measure for domains with lower regular boundaries
研究了具有大补域$Ω$上调和测度关于曲面测度的绝对连续性.我们证明了如果$Γ\subset \mathbb{R}^{d+1}$是$d$正则的，并且将$ \mathbb{R}^{d+1}$分成两个NTA域，那么$Γ\cap \partialΩ$上的$ω_Ω\ll \mathscr{H}^{d}$.这个结果是吴在[Wu 86]中的一个结果的自然推广。证明了如果$Γ$是Lipschitz图，则$Γ\cap\partialΩ$中几乎所有的点都是锥点.结合这些结果和[AHMMMTV]的一个结果，我们刻画了具有有限$\mathscr{H}^{d}$ -测度的绝对连续集的锥点条件和边界的可求长结构.这推广了McMillan在[McM 69]和Pommerenke在[Pom 86]中的结果。最后，我们还证明了我们的第一个结果对于实二阶散度型椭圆算子的椭圆测度是成立的。
2016-08-26 math.AP math.CA
A Singular Integral Measure for $C^{1,1}$ and $C^1$ Boundaries
分析的艺术涉及近似、不等式和几何直觉的微妙结合，以及能够在不同尺度下工作。考虑到这一微妙之处，我们提出了这篇论文的方式设计为高年级本科生和研究生的广泛访问。主要结果包括一个奇异积分测量的水平集的$C^{1,1}$函数映射从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}$，即一个其衍生物是Lipschitz连续的。我们扩展到测量嵌入的子流形在$\mathbb{R}^2$，仅仅是$C^1$使用的距离函数，并提供了一个例子表明，该措施不适用于一般的可求长的边界。
2018-09-12 math.CA
Tangent measures and absolute continuity of harmonic measure
证明了对于边界满足一定非退化条件的均匀域$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$，除非$α\leq d$，否则调和测度不能相对于$α$维Hausdorff测度相互绝对连续.我们采用的引理表明，在几乎每一个非退化点，我们可以找到一个正切测度的调和测度的支持是另一个统一的域的边界，其调和测度类似的正切测度。
2016-06-02 math.AP math.CA
Tangent measures of elliptic harmonic measure and applications
切测度和blow-up方法是理解区域边界的无穷小结构与其调和测度行为之间关系的有力工具。本文介绍了一种研究任意域上椭圆测度的切测度的方法，该域上的椭圆测度与系数在边界处具有零平均振荡的散度型椭圆算子（可能是非对称的）有关.在此设置中，我们为域$ Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$显示以下内容：1.我们推广了Kenig，Preiss和Toro [KPT 09]的结果，证明了{ \it any}域的内外椭圆测度的相互绝对连续性，并暗示了正切测度是a.e.平坦且椭圆测度具有维数$n$。2.本文推广了Kenig和Toro [KT 06]的工作，证明了一般域上的二重内外椭圆测度的VMO等价性意味着正切测度总是椭圆多项式. 3.在满足容量密度条件、边界局部有限且具有a.e.正的下$n$ -Hausdorff密度，证明了若椭圆测度关于$n$ -Hausdorff测度绝对连续，则边界可求长.这概括了阿克曼、巴杰、霍夫曼和马特尔的工作[ABHM 17]。最后，推广了[Bad 11]的一个主要结果，证明了如果$ω$是Radon测度，且在一点的所有切线测度都是在原点消失的调和多项式，则它们都是齐次调和多项式.
2017-08-11 math.AP math.CA math.MG
Uniform rectifiability implies Varopoulos extensions
我们构造函数$f \in \text{BMO}(E)$的Varopolous型扩张，对于任何余维1的一致可求长集$E$。更精确地说，令$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$是满足螺旋条件的开集，具有$n$维一致可求长边界$\partial Ω$，并令$σ:= \mathcal{H}^n\lfloor_{\partial Ω}$表示$\partial Ω$上的曲面测度。证明了如果$f \in \text{BMO}(\partial Ω,dσ)$在$\partial Ω$上具有紧支集，则在$Ω$中存在光滑函数$V$，使得$|\nabla V(Y)| \, dY$是Carleson测度，且Carleson范数由$f$的BMO范数控制，并且使得$V$关于$σ$几乎处处在非切意义下收敛于$f$.我们的研究结果应相比，最近的几何特征的$L^p$ -可解性和BMO-可解性的Dirichlet问题，由阿扎姆，第一作者，马特尔，Algoglou和Tolsa和第一作者和乐，分别。结合起来，后一对结果表明，可以构建，所有$f \in C_c(\partial Ω)$，调和扩展$u$，与$|\nabla u(Y)|^2 \text{dist}(Y,\partial Ω) \, dY $的Carleson措施控制的BMO规范的$f$，只有在存在一个适当的定量连接条件。
2020-03-17 math.AP math.CA
Rectifiability, interior approximation and Harmonic Measure
本文证明了任意$n$ -可求长集$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 1$，满足较低ADR条件的弱形式，且具有局部有限$H^n$（$n$ -维Hausdorff）测度的一个结构定理.也就是说，$H^n$ -几乎所有的$E$可以覆盖的边界包含在$\mathbb{R}^{n+1}\setminus E$有界Lipschitz域的可数并。因此，对于这样一个集合$E$的补集中的调和测度，我们建立了一个非退化条件，这相当于说$H^n|_E$关于调和测度是“绝对连续的”，在这个意义上，具有严格正$H^n$测度的$E$的任何Borel子集在$\mathbb{R}^{n+1}\setminus E$的某些连通分量中具有严格正的调和测度。我们还提供了一些反例，说明我们关于调和测度的结果是最优的.此外，我们表明，如果，此外，一组$E$如上所述是一个连通域$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$满足无穷小内部厚度条件的边界，那么$H^n|_{\partialΩ}$是绝对连续的（在通常意义下）关于调和测度$Ω$。这些结果的本地版本也证明：如果只是一些片的边界是$n$ -可求长的，那么我们得到相应的绝对连续的那片。由于这一结果和最近的结果阿扎姆-霍夫曼-马特尔-梅博罗达-马戈格洛-托尔萨-沃尔伯格，我们可以分解边界的任何开放的连接集满足上述条件的两个不相交的部分：…
2018-10-09 math.AP math.CA
Marstrand-Mattila rectifiability criterion for $1$-codimensional measures in Carnot Groups
本文证明了卡诺群中$1$ -余维测度的切线的平坦性蕴含着$C^1_\mathbb{G}$ -可求正性.作为应用，我们证明了Heisenberg群$\mathbb{H}^n$中具有$(2n+1)$ -密度的测度是$C^1_{\mathbb{H}^n}$ -可求正的，给出了Preiss可求正定理的第一个非欧推广，并给出了一般Carnot群中有限周长集的内禀Lipschitz可求正的一个判据.
2020-08-23 math.CA math.MG
Lipschitz decompositions of domains with bilaterally flat boundaries
该研究将复平面单连通区域的Lipschitz分解结果推广至高维，证明满足一致beta平方和界的Reifenberg平坦边界区域可分解为总表面积可控的Lipschitz图区域，且一般Reifenberg平坦或一致可求长边界区域允许有界重叠的同类分解。
2025-03-20 math.CA
Square functions, non-tangential limits and harmonic measure in co-dimensions larger than one
本文通过正则化距离函数在任意余维的Ahlfors正则集E的补集上的行为，刻画了该集E的可求正性（一致性和非一致性）.特别是，我们建立了一个特定版本的里斯变换表征的可求直的低维集。我们还揭示了一种特殊的情况，其中正则化的距离本身是一个解决方案的退化椭圆算子的补充E。这使我们能够精确地计算这些集合的调和测度与这个退化算子，并证明，在一个鲜明的对比，通常设置的余维1，逆的达尔伯格定理（见[Da]和[DFM2]）必须是假的低维边界上没有额外的假设。
2020-07-14 math.AP math.CA
Harmonic measure and quantitative connectivity: geometric characterization of the $L^p$-solvability of the Dirichlet problem. Part I
设$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$是一个开集，不一定连通，有一个$n$维一致可求长边界。我们表明，$\partialΩ$可以近似在“大件”的意义上的边界的弦弧子域的$Ω$，因此，调和测度$Ω$是弱$A_\infty$相对于表面测量$\partialΩ$，只要$Ω$满足一定的弱版本的局部约翰条件。在进一步假设$Ω$满足内部Corkscrew条件下，结合我们以前的工作，以及Azzam，Jugoglou和Tolsa最近的工作，得到了调和测度关于表面测度是定量绝对连续的域的几何刻画，从而刻画了相关的$L^p$ -狄利克雷问题对于某些有限的$p$是可解的.
2018-07-09 math.AP math.CA
Varopoulos extensions in domains with Ahlfors-regular boundaries and applications to Boundary Value Problems for elliptic systems with $L^\infty$ coefficients
本文针对具有Ahlfors正则边界的区域，提出统一方法构造BMO和L^p边界函数的Varopoulos型延拓，建立梯度与非切向极大函数的范数控制，并应用于Poisson问题与边值问题的联系。
2024-11-20 math.AP math.CA
A two-phase free boundary problem for harmonic measure and uniform rectifiability
我们假设$Ω_1, Ω_2 \subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n \geq 1$是两个不相交的整环，它们的补集满足容量密度条件，且它们边界的交$F$具有正的调和测度.证明了在以$F$为中心的固定球$B$中，如果$Ω_1$的调和测度关于$B$中的$Ω_2$的调和测度满足尺度不变的$A_\infty$型条件，则存在一致$n$ -可求积集$Σ$，使得包含在$B$中的$Σ\cap F$的调和测度在下有界于一个与$B$无关的固定常数.这个结果的一个显著特点是调和测度不需要满足任何加倍条件。在特定的情况下，$Ω_1$和$Ω_2$是互补的NTA域，我们得到的$A_\infty$条件的几何特征之间的各自的谐波谐波措施的$Ω_1$和$Ω_2$。
2020-02-03 math.AP math.CA
Harmonic Measure and the Analyst's Traveling Salesman Theorem
研究了广义Jones $β$数与调和测度的关系.首先，我们推广了Garnett，Edgoglou和Tolsa的一个结果，证明了$\mathbb{R}^{d+1}$中以低$d$ -含量为边界的区域允许调和测度的正则Corona分解当且仅当广义Jones $β$ -数的平方和$β_{\partialΩ}$是有限的.其次，对于具有Ahlfors正则边界的半一致域，一致可求直性意味着半一致域的调和测度是$A_{\infty}$，而现在我们给出了一致可求直性常数对$A_{\infty}$ -常数的更明确的依赖关系.这是从一个更一般的估计，不假设边界是一致可求长。对于一般的半一致整环，我们也给出了如何用Hausdorff测度与该集合上的$β$ -数的平方和来定义子集的调和测度.在此基础上，我们给出了格林函数在一致区域上的涨落的$β$ -数估计。作为推论，对于有界NTA域，如果$B_Ω=B(x_Ω,c\mathrm{diam} Ω)$使得$2B_Ω\subseteq Ω$，则得到\[ (\mathrm{diam} \partialΩ)^{d} + \int_{Ω\backslash B_Ω} \ |\frac{\nabla^2 G_Ω(x_Ω,x)}{G_Ω(x_Ω,x)}\ |^{2} \mathrm{dist}(x,Ω^c)^{3} dx \sim \mathscr{H}^{d}(\part…
2019-11-21 math.AP math.CA math.MG
