AI 中文总结
研究从实直线到圆的一维半调和映射，通过引入局部相对度等方法，证明不相交区间足够近时存在多个非恒定半调和映射，建立能量低于\(2\pi\)的边界数据多重性结果，还探讨了单个区间上特定边界数据能量极小值情况。
AI 中文摘要
我们研究了从实直线到圆的具有给定外部数据的一维半调和映射。我们证明，对于每个正整数\(k\)，如果两个不相交区间足够接近，那么存在至少\(k\)个具有恒定外部数据的不同非恒定半调和映射。更一般地，通过引入局部相对度并证明相应的度跳跃估计，我们建立了能量低于临界阈值\(2\pi\)的边界数据的多重性结果。在单个区间上，对于作为有限Blaschke乘积的迹出现的边界数据，我们研究了规定度类中能量极小值的存在性和不存在性。
英文摘要
We study one-dimensional half-harmonic maps from the real line into the circle with prescribed exterior data. We show that, for every positive integer $k$, if two disjoint intervals are sufficiently close, there exist at least $k$ distinct non-constant half-harmonic maps with constant exterior data. More generally, we establish a multiplicity result for boundary data with energy below the critical threshold $2π$ by introducing a local relative degree and proving corresponding degree-jump estimates. Working on a single interval and for boundary data arising as traces of finite Blaschke products, we investigate the existence and non-existence of energy minimizers in prescribed degree classes.
