黎曼曲面上Neumann特征值的锐利调和平均界及高维球面上测地圆盘最优性的反例
Sharp Harmonic-Mean Bounds for Neumann Eigenvalues on Riemannian Surfaces and Counterexamples to Geodesic Ball Optimality on Higher-Dimensional Spheres
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中文总结 AI 辅助
本文证明在满足曲率上界和面积条件的共形度量下，Neumann特征值调和平均下界由测地圆盘达到，且等号仅当等距时成立，从而完成Langford--Laugesen猜想。
中文摘要 AI 辅助
设 $\Omega\subset\mathbb C$ 为有界单连通Lipschitz域，配备共形度量 $g=\omega|dz|^2$，其中 $\omega\in C^2(\Omega)\cap L^\infty(\Omega)$ 在内部为正，在边界处可能趋于零。若高斯曲率满足 $K_g\leq K$，$K>0$，且 $KM<4\pi$，其中 $M=\int_\Omega\omega\\,dA$，则按 $0=\mu_1(\Omega;\omega)<\mu_2(\Omega;\omega)\leq\mu_3(\Omega;\omega)\leq\cdots$ 编号的Neumann特征值满足 $\frac{1}{\mu_2(\Omega;\omega)}+\frac{1}{\mu_3(\Omega;\omega)}\geq\frac{2}{\mu_2(D_K(M))}$。这里 $D_K(M)$ 是常曲率 $K$ 曲面中面积为 $M$ 的测地圆盘。我们证明当且仅当内部等距时等式成立。这完成了Langford--Laugesen的猜想1.2；特别地，模型圆盘在此类中最大化第一个正Neumann特征值。
英文摘要
Let $Ω\subset\mathbb C$ be a bounded simply connected Lipschitz domain with conformal metric $g=ω|dz|^2$, where $ω\in C^2(Ω)\cap L^\infty(Ω)$ is positive in the interior and may tend to zero at the boundary. If the Gaussian curvature satisfies $K_g\leq K$, $K>0$, and $KM<4π$, where $M=\int_Ωω\,dA$, then the Neumann eigenvalues, numbered by $0=μ_1(Ω;ω)<μ_2(Ω;ω)\leqμ_3(Ω;ω)\leq\cdots$, satisfy $\frac{1}{μ_2(Ω;ω)}+\frac{1}{μ_3(Ω;ω)}\geq\frac{2}{μ_2(D_K(M))}$. Here $D_K(M)$ is the geodesic disk of area $M$ in the surface of constant curvature $K$. We prove that equality holds exactly when the interiors are isometric. This completes Conjecture 1.2 of Langford--Laugesen; in particular, the model disk maximizes the first positive Neumann eigenvalue in this class.
