Harmonic determinants and unique continuation
本文部分地回答了如下问题：如果$F$是满足二阶线性椭圆型方程的$\mathbb{R}^n$上的$m$乘$m$矩阵，那么$\det F$是否满足强唯一连续性？在算子是一般非对角算子和某些对角算子的情况下，我们给出了反例。当$n = 1$和任何$m$，当$n = 2$为Laplace-Beltrami算子，也扭曲了一个杨-米尔斯连接时，得到了积极的结果。当获得$n = 2$时，简化为特殊情况。最后一节考虑了基于最近技术的二维Calderón问题的应用。
2018-03-24 math.AP math.DG
On a frequency function approach to the unique continuation principle
本文讨论频率函数法，以研究椭圆型偏微分方程的唯一延拓问题。注释中使用的方法主要由Garofalo和Lin介绍。
2011-10-05 math.AP
Unique continuation at the boundary for harmonic functions in $C^1$ domains and Lipschitz domains with small constant
令$Ω\subset\mathbb R^n$是$C^1$域，或更一般地，具有小局部Lipschitz常数的Lipschitz域。本文证明了：若$u$是$Ω$中的调和函数，且在$\overline Ω$中连续，且在相对开子集$Σ\subset\partialΩ$中为零，且其正规导数$\partial_νu$在$Σ$中具有正表面测度的子集中为零，则$u$恒同$0$ .
2021-05-11 math.AP math.CA
Boundary unique continuation in planar domains by conformal mapping
Dipartimento di Matematica “F. Casorati
本文通过共形映射证明了平面域中非平凡调和函数在边界上连续消失的性质，改进了Kenig和Zhao的近期结果，研究了临界点的有限性。
2026-03-20 math.AP
A remark on unique continuation for the Cauchy-Riemann operator
本文得到了微分不等式$|\bar{\partial}u|\leq|Vu|$的唯一延拓结果，其中$\bar{\partial}=(i\partial_y+\partial_x)/2$表示Cauchy-Riemann算子，$V(x,y)$是$L^2(\mathbb{R}^2)$中的函数.
2015-05-04 math.AP
A strong unique continuation property for the heat operator with Hardy type potential
本文证明了具有临界平方反比势的抛物型微分不等式\[ |Δu - u_t| \leq \frac{M}{|x|^2} |u|, \]的解在原点处的强唯一连续性。我们的主要结果锐化以前的Vessella有关的亚临界情况。
2020-06-30 math.AP
A note on time-harmonic Maxwell equations on Riemannian manifolds
本文考虑电磁学中的边值问题。证明了时谐麦克斯韦方程组在黎曼流形上的适定性结果。我们还考虑了具有零边界条件的齐次时谐Maxwell方程组的本征值问题。
2019-06-29 math.AP
Shrinkers, expanders, and the unique continuation beyond generic blowup in the heat flow for harmonic maps between spheres
利用混合的分析和数值方法，我们研究了从$d$维球到$3\leq d\leq 6$自身的共转调和映射的热流奇点的发展。通过粘合在一起的收缩和膨胀渐近自相似的解决方案，我们构造的整体弱解是光滑的，除了一个序列的时间$T_1<T_2<...<T_k<\infty$，在那里发生的I型爆破在一个极点的球。我们证明了在一般情形下，爆破后的连续是唯一的，在每一个爆破时刻$T_i$，映射的拓扑度改变1，最终解在零能量常数映射处停止.
2011-06-10 math-ph math.AP math.MP
On unique continuation for Schrödinger operators of fractional and higher orders
本文研究了$|(-Δ)^{α/2}u|\leq|Vu|$的解的唯一延拓性质，其中$V$属于包含$\bigcup_{p>n/α}L^p(\mathbb{R}^n)$的函数类，其中$n-1\leqα<n$为$\bigcup_{p>n/α}L^p(\mathbb{R}^n)$.特别是，当$n=2$时，我们的结果给出了分数（$1<α<2$）薛定谔算子$(-Δ)^{α/2}+V(x)$在整个$α$值范围内的唯一延拓定理。
2013-08-04 math.AP
Smooth Failure of Boundary Unique Continuation for Harmonic Functions
State Key Laboratory of Mathematical Sciences, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；School of Mathematical Sciences, Xiamen University（厦门大学数学科学学院）
该研究构造反例以否定边界唯一延拓问题的光滑情形，揭示非局部椭圆方程的灵活性原理，证明调和函数边界唯一延拓在光滑范畴中失效。
2026-08-04 math.AP
Lecture notes on the harmonic approximation to quadratic optimal transport
这些课堂讲稿介绍了二次最优输运的定量调和近似结果以及戈德曼和奥托得到的一般测度。目的是给出一个清晰的演示证明的主要定理，更多的动机，更少的PDE机器，和一些简化。
2023-03-25 math.AP
Quantitative unique continuation on conic manifolds
本文介绍了锥形流形上定量唯一延拓性的近期成果，并利用多重权重 Carleman 论证证明了锥形流形上的一个 Carleman 估计。
2024-02-26 math.AP
Note on an elementary inequality and its application to the regularity of $p$-harmonic functions
研究了$p$ -调和函数的Sobolev正则性.证明了对于任意的$u$-调和函数$p$，$|Du|^{\frac{p-2+s}{2}}Du$属于索伯列夫空间$W^{1,2}_{loc}$，$s>-1-\frac{p-1}{n-1}$.证明是基于一个初等不等式。
2020-09-21 math.AP
A Note on Harmonic Functions on surfaces
给出了具有完备黎曼度量的平面上调和函数和次调和函数的Liouville型性质的初等证明，并证明了当该度量具有非负高斯曲率时，调和函数可能增长的间隙定理.
2014-08-14 math.AP
Absence of the analytic continuation of elastic transmission eigenfunctions at rectangular corners
研究发现弹性传输本征函数在矩形角处不存在解析延拓，通过Lamé算子分解揭示了线弹性散射问题的特性。
2025-12-08 math.AP
Unique continuation for water waves and dispersive multiplier equations
Simula Research Laboratory（Simula 研究实验室）
研究显示，若水波方程在任意短时间区间内某一开放集上解平坦且表面水平流速为零，则波必须在所有时间处处消失。此外，利用非谐波傅里叶分析结果，证明线性色散PDE在乘法符满足自然渐近增长条件时也具有此唯一延续性性质。
2024-01-29 math.AP
Large-scale analyticity and unique continuation for periodic elliptic equations
我们证明了周期系数椭圆算子的解在大尺度上的行为类似于解析函数，在这个意义下，近似多项式与周期修正。等价地，大尺度$C^{k,1}$中的常数在$k$中按指数规律估计尺度，就像对调和函数的经典估计一样。因此，我们刻画了周期性的，一致的椭圆型方程的整体解，表现出像$O(\exp(δ|x|))$的增长小~ $δ>0$。大规模的解析性也意味着定量的唯一延续的结果，即一个三球定理与最佳的误差项，以及证明不存在的$L^2$本征函数在底部的频谱。
2020-05-03 math.AP
Quantitative unique continuation for Neumann problem in planar $C^{1,α}$ domains
本文针对平面 $C^{1,α}$ 域中的 Neumann 问题，通过经典对偶性转化为 Dirichlet 问题，研究了二阶椭圆算子的定量唯一延续性性质，并给出了临界点数量、倍增指数和等值曲线总长度的最优估计。
2025-12-08 math.AP
Unique continuation on planar graphs
本文证明周期平面图上大片区域有界的离散调和函数必为常数，通过新的加权图拉普拉斯唯一延拓结果和水平集结构论证，并为方格晶格上的Liouville定理提供了新几何证明。
2025-09-10 math.AP math.PR
On The Spectral Zeta Function Of Second Order Semiregular Non-Commutative Harmonic Oscillators
本文给出了半正则非交换谐振子谱zeta函数的亚纯延拓。所谓“半正则系统”，我们指的是在其渐近展开中具有以$1$标度的齐次项的系统。作为结果的应用，我们首先计算了Jaynes-Cummings（JC）模型谱zeta函数的亚纯延拓。然后我们计算了腔中三能级原子JC推广的谱zeta函数。对于这两个，我们表明，它只有一个极点在1。
2023-03-20 math-ph math.AP math.MP
Global propagation of analyticity and unique continuation for semilinear conservative PDEs
CNRS UMR 9008, Université Reims-Champagne-Ardennes（法国国家科学研究中心联合研究单位第9008组，兰斯香槟阿登大学）；Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学，巴黎西岱大学，法国国家科学研究中心，雅克-路易·利翁斯实验室）
本文提出了一种新方法，用于证明某些保守PDEs的全局唯一延续性，通过证明全局解析性传播，并应用于半线性波、板和薛定谔方程。
2026-02-11 math.AP
Lectures on unique continuation for waves
本讲义系统介绍波算子唯一延拓性问题，证明局部Hörmander定理和Tataru定理，并给出全局唯一延拓结论及在近似可控性中的应用。
2023-07-05 math.AP
Dispersive estimates for principally normal pseudodifferential operators
这些笔记的目的是描述一些最近的结果有关色散估计主要正常的伪微分算子。其主要动机来自唯一连续问题。这样的估计可以用来证明Carleman不等式，这反过来又会产生唯一的连续结果的各种偏微分算子粗糙的潜力。
2004-01-19 math.AP
Unique continuation estimates for the Kolmogorov equation in the whole space
本文证明了Kolmogorov方程在整个空间中的一个时间点的观测估计。这样的估计意味着可观性和零可控性的Kolmogorov方程的控制区域，这是充分分散在整个空间。
2015-09-28 math.AP math.OC
Unique Continuation on Convex Domains
本文在凸区域边界相对开子集上研究调和函数临界集的定量分层估计，改进了梯度零点集的维数估计，并突破了单纯组合内部与边界估计的局限，显著推进了凸情形下的边界解析延拓理论。
2023-09-25 math.AP
Notes on harmonic-Ricci flow on surface
Nanjing Xiaozhuang University（南京晓庄学院）
本文研究带边曲率流中的函数势能公式，提出新的数学方法并揭示其几何意义。
2026-05-07 math.AP math.DG
Unique Continuation Problem on RCD Spaces. I
本文建立了紧致$RCD(K,2)$空间上热函数的弱唯一延拓定理，并证明了存在一个$RCD(K,4)$空间，在该空间上存在Laplacian算子的非平凡本征函数和热方程的非定常解，这些解在一点处消失到无穷阶.我们还建立了频率估计的特征函数和热函数的度量喇叭。特别是，这给出了一个强大的独特的延续型结果的度量喇叭的调和函数具有高衰减率在喇叭尖端，它是已知的，标准的强唯一的延续属性失败。
2022-12-29 math.AP math.DG
Unique continuation from a generalized impedance edge-corner for Maxwell's system and applications to inverse problems
我们考虑具有广义阻抗边角的区域中的时谐Maxwell系统，即存在两个相交于一个边的广义阻抗平面。阻抗参数可以是$0, \infty$或有限的非相同消失变量函数。我们建立了麦克斯韦方程组解的消失阶与棱角的二面角之间的精确关系。特别地，如果角是无理数，则消失阶是无穷大，即强唯一延拓从边-角成立。这些新的定量结果的建立涉及一个高度复杂和微妙的代数论证。独特的连续性研究的强烈动机，我们长期的逆电磁散射问题的研究。作为一个重要的应用，我们得到了几个新的独特的可识别性结果，确定一个多面体障碍物，以及它的表面阻抗由一个单一的远场测量。我们还讨论了我们的结果在与信息编码有关的逆散射理论中的另一个潜在的有趣的应用。
2020-05-14 math.AP
Boundary unique continuation on $C^1$-Dini domains and the size of the singular set
设$u$是$C^1$域$D$中的调和函数，使得$u$在边界曲面球$\partial D \cap B_{5R}(0)$上为零.我们考虑了它的奇异集（直到边界）$\mathcal{S}(u):=\{X\in \overline{D}: u(X) = |\nabla u(X)| = 0\} $的一个有效形式，并给出了它的$(d-2)$维Minkowski容度的一个估计，它只依赖于以$0$为中心的$u$的某个修正频率函数的上界.当标准频率函数在每一点上单调时，在凸域的内部和边界上，这样的结果是已知的。我们的工作的新颖性Dini域是如何补偿缺乏这样的单调量在边界以及内点。
2021-02-15 math.AP
A note on Wang's conjecture for harmonic functions with nonlinear boundary condition
本文针对紧致黎曼流形上正调和函数，利用P-函数方法部分验证Wang猜想，并为特定流形提供新证明，进而得到半线性椭圆方程非负解的分类结果。
2025-09-10 math.AP
A remark on quantitative unique continuation from subsets of the boundary of positive measure
调和函数在具有边界$\partial$ $Ω$，满足Dirichlet边界条件且法向导数在边界的子集$ω$上为零的区域$Ω$ $\subset$ R d上的唯一延拓问题是一个经典问题.当$ω$包含边界的开子集时，它是Carleman估计的结果（超曲面上二阶椭圆算子的唯一性）。$ω$是一组正（d - 1）维测度的情况已经吸引了很多注意力，参见例如[10，3，15]，其中在各种情况下已经获得了定性结果。主要的开放问题（关于唯一性）关注现在Lipschitz域和变系数。在这里，使用Loglichlet和Malinchova [13，14]的结果，我们考虑了W 2，$\infty$域的简单情况，但证明了Dirichlet和Neumann边界条件的定量唯一性。作为应用，我们给出了具有边界的W2，$\infty$域上Dirichlet和NeumannLaplace本征函数的定量估计.
2021-10-27 math.AP
A note on p-harmonic measure
Universidad Complutense de Madrid（马德里康普顿斯大学）
本文针对1<p<2情形，证明了单位圆上弧的p调和测度具有渐近最优衰减，补充了Lundström和Vasilis的已有结论。
2026-10-16 math.AP
A Note on harmonic maps
在这篇笔记中，我们将详细介绍Fotiadis和Daskaloyannis最近在arXiv：1903.05420v3中的工作，其中Y.什湖，加-地Tam和T. Y.-- H. Wan（在他们的工作Harmonic Maps on双曲空间with Singular Boundary Value，Differential Geometry 51（1999），551-600）中通过使用雅可比椭圆函数来编写。我们还证明了J. Wang在他的著作（The Heat Flow and Harmonic Maps between Complete Manifolds，The Gournal of Geometric Analysis，Volume 8，Number 3，1998，485-514）中描述的调和映射也可以用雅可比椭圆函数来表示。
2020-11-16 math.AP math.DG
The $\infty$-harmonic potential is not always an $\infty$-eigenfunction
本文证明了存在一个凸区域，其$\infty$ -调和势不是第一$\infty$ -本征函数.
2012-10-26 math.AP
A note on the critical set of harmonic functions near the boundary
本文研究了 $C^1$ 域中调和函数在边界附近的临界集，利用频率函数给出了 $C^{1,α}$ 域中该集 $(d-2)$ 维 Hausdorff 测度的上界，并探讨了向 $C^1$-Dini 域扩展的可能性。
2024-02-14 math.AP
Rigidity of harmonic functions on the supercritical percolation cluster
本文利用定量均匀化方法证明超临界渗流簇上的非常数调和函数不满足Lipschitz界等结构约束，揭示了无序性在唯一延拓型结果中的本质作用。
2024-03-29 math.AP math.PR
A note on $n$-axially symmetric harmonic maps from $B^3$ to $S^2$ minimizing the relaxed energy
对于任意n>1，我们给出了一个明确的例子，在B^3 × S^2中的一个n轴对称笛卡尔流具有非平凡的垂直部分和非常数图部分，使具有相同边界的n轴对称笛卡尔流中的松弛Dirichlet能量最小化。这与Hardt、Lin和Poon在n=1的情况下的结果形成鲜明对比。
2011-08-09 math.AP math.DG
Anderson-Bernoulli Localization on the 3D lattice and discrete unique continuation principle
考虑三维格点上具有Bernoulli势的Anderson模型，证明了本征值在谱的下界零附近的本征函数的局部化。我们遵循Bourgain-Kenig和Ding-Smart的框架，我们的主要贡献是一个3D离散唯一延拓，即具有有界势的调和算子的任何本征函数在所有点的重要分数部分上都不能太小。它的证明依赖于关于3D晶格的几何参数。
2021-03-15 math-ph math.AP math.MP
A Note on Moving Frames along Sobolev Maps and the Regularity of Weakly Harmonic Maps
本文证明，对弱可微映射，梯度 Morrey 范数的小量条件保证拉回切丛被有限能量标架平凡化；对弱调和映射，BMO 半范数的小量条件保证完全正则性。
2025-02-25 math.AP math.DG
The growth rate of harmonic functions
该研究从梯度估计与频率两方面探究调和函数增长率，得到非负曲率完备曲面测地球内正调和函数的精确梯度估计，证明高维非负Ricci曲率最大体积增长流形上非常数多项式增长调和函数的存在性及线性增长调和函数频率一致界，验证了Colding-Minicozzi频率猜想的特例。
2019-12-11 math.AP math.DG
A unique continuation theorem for exterior differential forms on Riemannian manifolds with boundary
Aronszajn，Krzywicki和Szarski在\cite{AKS62}中证明了空边界黎曼流形上满足一阶微分不等式的微分形式的一个强唯一延拓结果.本文将这一结果推广到具有非空边界的黎曼流形的情形，在微分形式上假设适当的边界条件。然后，我们提出了这个扩展结果的一些应用。也就是说，我们证明了调和Neumann和Dirichlet形式的零点集的豪斯多夫维数，以及旋度算子的本征场（在$3$ -流形上），至少有$2$余维。同样，这些边界是已知的设置流形无边界，使优点是再次列入边界点。
2022-07-05 math-ph math.AP math.DG
From resolvent estimates to unique continuation for the Schrödinger equation
本文提出了一种处理薛定谔方程$(i\partial_t+Δ)u=V(x)u$唯一延拓问题的抽象方法。在一般情况下，问题是找到一类潜在的$V$，允许唯一的延续。我们工作的关键点是建立问题和加权$L^2$预解估计$\|(-Δ-z)^{-1}f\|_{L^2(|V|)}\leq C\|f\|_{L^2(|V|^{-1})}$之间的直接联系。我们以抽象的方式执行它，因此我们不需要处理每个潜在的类。为此，我们将利用光谱理论中的极限吸收原理和加藤$H$ -平滑定理，并使用调和分析中的一些工具。一旦为一个势类建立了预解式估计，从我们的抽象理论中，唯一的延拓将从同一个势类得出。此外，还证明了在解$u$的最大开零点集的边界上不可能有凹曲面。在这方面，我们的另一个主要问题是知道哪类势允许预解估计。我们建立这样一个新的类，其中包含以前已知的，也将其应用到问题的适定性方程。
2014-12-24 math.AP math.SP
Quantum Limits for Harmonic Oscillator
本文考虑$\mathbb{R}^d$中谐振子的高能本征函数，证明了能量面上的任何不变测度都可以写成本征函数的弱极限。
2020-01-24 math.AP math.FA
A note on generalized laplacians and minimal surfaces
在这些注记中，我们给出了一个跨学科的结果，它将极小曲面的几何概念与广义调和函数联系起来。
2018-12-19 math.AP math.CA math.DG
