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Huber 定理成立的流形

Manifolds for which Huber's Theorem holds

Yuxiang Li, Zihao Wang

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AI总结：

本文研究带点球上 $L^{n/2}$ 标量曲率可积的共形度量，揭示其体积密度与吹缩极限的刚性，并在四维证明 Ricci 曲率 $L^2$ 可积及 Gauss–Bonnet–Chern 公式，给出 Huber 定理成立的充要条件。

摘要：

将 Huber 定理推广到具有 $L^{\frac{n}{2}}$ 有界标量曲率的更高维情形，多年来已得到广泛研究。本文深入探讨带点球上满足 $\\|R\\|_{L^{\frac{n}{2}}}<+\infty$ 的共形度量的性质，旨在确定 Huber 定理能够适用所需的必要几何约束。出乎意料的是，这类度量比我们最初预期的更为刚性。例如，我们发现无穷远处的体积密度恰好为一，且该度量的吹缩极限（blow-down）是 $\mathbb{R}^n$。具体而言，在四维情形中，我们导出 Ricci 曲率的 $L^2$ 可积性，这直接得出 Pfaffian 4-形式可积并服从 Gauss–Bonnet–Chern 公式的结论。此外，我们证明，先前由 Lu 和 Wang 在第二基本形式属于 $L^4$ 的假设下验证的 Gauss–Bonnet–Chern 公式，在 $R\in L^2$ 时仍然成立。因此，在一个与闭流形中某区域共形的可定向四维流形上，当 $R\in L^2$ 时，Huber 定理成立，当且仅当 Pfaffian 4-形式的负部可积。

英文摘要：

Extensions of Huber's Theorem to higher dimensions with $L^\frac{n}{2}$ bounded scalar curvature have been extensively studied over the years. In this paper, we delve into the properties of conformal metrics on a punctured ball with $\|R\|_{L^\frac{n}{2}}<+\infty$, aiming to identify necessary geometric constraints for Huber's theorem to be applicable. Unexpectedly, such metrics are more rigid than we initially anticipated. For instance, we found that the volume density at infinity is precisely one, and the blow-down of the metric is $\mathbb{R}^n$. Specifically, in four dimensions, we derive the $L^2$-integrability of the Ricci curvature, which directly leads to the conclusion that the Pfaffian 4-form is integrable and adheres to a Gauss-Bonnet-Chern formula. Additionally, we demonstrate that a Gauss-Bonnet-Chern formula, previously verified by Lu and Wang under the assumption that the second fundamental form belongs to $L^4$, remains valid for $R \in L^2$. Consequently, on an orientable 4-dimensional manifold conformal to a domain in a closed manifold, Huber's Theorem holds when $R \in L^2$, if and only if the negative part of the Pfaffian 4-form is integrable.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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