We consider the porous medium equation with a power-like reaction term, posed on Riemannian manifolds. Under certain assumptions on $p$ and $m$ in (1.1), and for small enough nonnegative initial data, we prove existence of global in time solutions, provided that the Sobolev inequality holds on the manifold. Furthermore, when both the Sobolev and the Poincaré inequality hold, similar results hold under weaker assumptions on the forcing term. By the same functional analytic methods, we investigate global existence for solutions to the porous medium equation with source term and variable density in ${\mathbb R}^n$.
Strichartz and smoothing estimates in weighted $L^2$ spaces and their applications
本文的主要目的是回答J.A. J. M. Bennett，A. Carbery，A.鲁伊斯和M. C. Vilela关于确定$s\geq0$和$p\geq1$上的最佳范围的问题，对于该最佳范围，下面的具有时间依赖性权重$w$的Morrey-Campanato型类$\mathfrak{L}^{2s+2,p}_2$中的Mashartz估计成立：\begin{equation}\label{absset} \|e^{itΔ}f\|_{L_{x,t}^2(w(x,t))}\leq C\|w\|_{\mathfrak{L}^{2s+2,p}_2}^{1/2}\|f\|_{\dot{H}^s}. \end{equation}在$s\geq0$的情况之外，我们进一步询问我们可以期望在此设置上有多大的规律性。但有趣的是，事实证明，只要$s<0$，这个估计是错误的，这表明平滑效应不能发生在这个时间依赖的设置和色散薛定谔流$e^{itΔ}$是不够强，有效果。这自然会导致我们考虑在最好的高阶版本的估计与$e^{-it(-Δ)^{γ/2}}$（$γ>2$），其色散更强的效果的可能性。我们确实获得了这些高阶版本的平滑效果。实际上，我们将得到其中$γ\geq1$以统一的方式的估计以及它们相应的非齐次估计，从而应用于薛定谔方程和含时扰动波动方程的整体适定性.这是本文的第二个目的。
Long-time behavior of a nonlocal Cahn-Hilliard equation with reaction
Vienna University of Technology, Institute for Analysis and Scientific Computing（维也纳工业大学，分析与科学计算研究所）；University of Vienna, Faculty of Mathematics（维也纳大学，数学学院）
Nonlinear Convection in Reaction-diffusion Equations under dynamical boundary conditions
研究了具有耗散动力学边界条件$σ\partial_t u + \partial_νu =0$的含非线性对流项$\partial_t u = Δu - g(u) \cdot \nabla u + f(u)$的非线性反应扩散方程在$\mathbb{R}^N$的有界区域上正解的爆破现象.讨论了$g$和$f$正解在有限时间爆破的条件.此外，对于某些类别的非线性，爆破时间的上限可以推导出和爆破率可以确定。
