On solutions for some class of integrable difference equations
Andrei K. Svinin
本文证明了一个常差分方程的任意解也是一族可积差分方程的解。我们还提供了一个例子，这样的解决方案是由一个二阶线性递归与2周期系数产生的序列。
In this paper we show that an arbitrary solution of one ordinary difference equation is also a solution for a hierarchy of integrable difference equations. We also provide an example of such a solution that is related to sequence generated by a second-order linear recursion with 2-periodic coefficients.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Reduction groups and related integrable difference systems of NLS type
我们将约化群方法推广到非线性薛定谔型方程的Lax-Darboux格式。我们考虑了所有可能的有限约化群，并构造了相应的Lax算子、达布变换、可积微分差分方程族、可积偏差分系统和相关的标量偏差分方程。
On some class of homogeneous polynomials and explicit form of integrable hierarchies of differential-difference equations
我们引入了两类齐次多项式，并证明了它们在构造某些可积格的可积族中的作用。
Towards the classification of integrable differential-difference equations in 2 + 1 dimensions
研究了2+1维单/双离散变量可积微分差分方程的分类问题。我们的方法是基于水动力减少的方法及其推广到色散方程。我们得到了包括中长波和Toda型标量可积方程的一些分类结果。
Discrete Lax pairs and hierarchies of integrable difference systems
我们介绍了一个家庭的顺序$N\in \mathbb{N}$拉克斯矩阵的索引由自然数$k\in \{1,\ldots,N-1\}.$为每个值的$k$，他们作为强拉克斯矩阵的层次的可积差分系统的边缘变量，反过来导致层次的可积差分系统的顶点变量或在边缘和顶点变量的组合。进一步地，将Lax矩阵的元素看作除环的元素，得到了在非交换域上扩展的离散可积系统的族.
A family of integrable and non-integrable difference equations arising from cluster algebras
研究了由$$ x_{n-1}x_nx_{n+1}=x_{n-1}+(x_n)^{β-1}+x_{n+1} \qquad(β\in\mathbb{N}) $$给出的单参数二阶非线性差分方程族。由于上面的方程是由秩为2的簇代数的种子突变产生的，所以它的解仅在$β\leq3$。为了用$β\geq4$计算动力学，研究了与差分方程等价的双有理映射的代数熵，当$β=4$为零，而当$β\geq5$为正.这一事实表明，具有$β\leq4$的差分方程是可积的，而具有$β\geq5$的差分方程是不可积的。此外，还表明，差分方程与$β\geq4$的奇异约束测试失败。这一事实与$β=4$方程的线性化一致，并加强了$β\geq5$方程的不可积性。
Second order integrability conditions for difference equations. An integrable equation
给出了含有二阶形式递归算子的差分方程的可积性条件，讨论了对称性和正则守恒律的推导。在一般情况下，也产生非局部守恒律。提出了一个新的满足二阶可积条件的可积方程，并通过构造对称性、守恒律和一个3 × 3 Lax表示证明了它的可积性.最后，导出了该方程的对称性与广义Bogoyavlensky格和一个新的可积格的关系。
Two integrable differential-difference equations derived from NLS-type equation
从（2+1）维修正的Heisenberg铁磁方程和共振非线性Schröinger方程分别导出了两个可积微分差分方程.利用Hirota双线性方法给出了半离散系统的多孤子解。通过渐近分析，研究了两个孤子之间的弹性和非弹性相互作用行为。两个孤子的解决方案的动力学显示与图形。
Difference systems in bond and face variables and non-potential versions of discrete integrable systems
定义在二维或三维格点上的可积离散标量方程可分别改写为键变量和面变量的差分系统。键变量的差分方程组和面变量的差分方程组都可以看作是原方程的矢量形式。因此，我们通过差分替换将一些离散方程联系起来，并揭示了一些一致的绕立方体方程的非势形式。我们得到了更高点的组态，包括${\mathbb Z}^2$格点上的相容六点方程对和相应的七点方程。我们还得到了${\mathbb Z}^3$格上的各种相容的十点方程以及相应的十点和十二点方程。最后，我们提出了可积的多二次四次关系。
Characteristic Lie Algebras of Integrable Differential-Difference Equations in 3D
本文的目的是发展一个代数方法来解决一个连续变量和两个离散变量的微分差分方程的可积分类问题。作为分类标准，我们提出以下假设。任何可积方程的类型下考虑承认一个无限序列的有限域达布可积约化。将有限域系统的达布可积性形式化为其特征Lie-Rinehart代数的有限维条件。这使得人们可以在所研究的方程的右侧以微分方程的形式导出有效的可积性条件。为了检验这个假设，我们使用已知的可积方程类考虑。在这篇文章中，我们证明了所有已知的例子都有这个属性。
On a nonlinear integrable difference equation on the square 3D-inconsistent
本文给出了一个定义在正方形上的非线性偏差分方程，它是由Volterra微分差分方程和修正的Volterra微分差分方程之间的Miura变换得到的。该方程关于两个离散变量的交换是不对称的，并且不满足属于Adler-Bobenko-Suris分类所必需的3D一致性条件。通过构造它的拉克斯对，证明了它的可积性.
An integrable discretization of KdV at large times
一个“精确离散化”的薛定谔算子被认为是解决其直接和逆散射问题。它表明，依赖于两个任意常数的微分差分非线性发展方程可以通过使用这种谱变换来解决，对于一个特殊的选择的常数，它可以被认为是一个可积离散的KdV方程在大的时间。得到了一个可积的差分-差分方程。
Hirota's method and the search for integrable partial difference equations. 1. Equations on a 3x3 stencil
Hirota的双线性方法（“直接方法”）在构造许多可积方程的孤子解方面非常有效。甚至对于不可积的双线性方程，单孤子解和双孤子解的构造也是可能的，但是一般的三孤子解的存在性施加了严格的限制，并且实际上等价于可积性。这个属性已被用于搜索可积偏微分方程，在本文中，我们将其应用到二维偏差分方程上定义的3x3模板。我们还讨论了所得到的方程如何与Hirota和Miwa的三维主方程的投影和极限有关，并发现有时需要一个奇异极限。
On an integrable system of q-difference equations satisfied by the universal characters: its Lax formalism and an application to q-Painleve equations
泛特征标是Schur函数附加到一对划分上的推广。研究了一个由泛特征标所满足的q-差分方程的可积系统，它是q-KP族的推广，称为格q-UC族.我们描述格Q-UC层次作为其相关的线性系统（拉克斯形式主义）的兼容性条件，并探讨通过相似性降低的应用程序的Q-Painleve方程。特别是高阶模拟的q-Painleve VI方程。
Asymmetric integrable quad-graph equations
可积差分方程通常比类似复杂度的不可积差分方程具有更多的低阶守恒律。我们使用这个经验观察筛选一大类差分方程，以找到候选人的可积性。事实证明，所有这些候选都有一个等价的仿射形式。这些都是通过计算其代数熵测试。用这种方法，我们找到了几种类型的可积方程，其中一种似乎与任何已知的离散可积系统完全无关。我们还列出了所有的单瓦守恒律的可积方程在上述类别。
Darboux transformations and Recursion operators for differential--difference equations
本文讨论了与Lax表示直接相关的两个概念：达布变换和可积系统的递归算子。然后，我们提出了一个广泛的列表，可积微分差分方程连同他们的哈密顿结构，递归算子，非平凡的广义对称性和达布-拉克斯表示。新的结果包括可积Volterra型方程的多Hamilton结构和递归算子，非线性薛定谔方程的可积离散，如Kaup-Newell格，Chen-Lee-Liu格和Ablowitz-Ramani-Segur（Gerdjikov-Ivanov）格.我们还计算了弱非局部逆递归算子。
Algebraic quantisation approach to integrable differential-difference equations
本文提出基于量子化理想的代数量子化方法，应用于可积非阿贝尔微分-差分方程，证明Toda层级具有双量子结构，并构造多种可积格点的量子化理想与量子哈密顿量。
Darboux transformations with tetrahedral reduction group and related integrable systems
在本文中，我们得到了新的两个组件可积微分差分和部分差分系统通过应用Lax-Darboux计划的运营商形成的${\mathfrak{sl}}_3({\mathbb{C}})$ -基于自守李代数。通过拉克斯对和广义对称性证明了所发现的系统的可积性。
Affine and Finite Lie Algebras and Integrable Toda Field Equations on Discrete Space-Time
提出了对应于任意单李代数或仿射李代数的Cartan矩阵的差分-差分系统。在代数$A_N$，$B_N$，$C_N$，$G_2$，$D_3$，$A_1^{(1)}$，$A_2^{(2)}$，$D^{(2)}_N$的情形下，证明了这些系统是可积的.对于$A_2$，$A_1^{(1)}$，$A_2^{(2)}$代数所对应的系统，找到了它们的广义对称性，对于$A_2$，$B_2$，$C_2$，$G_2$，$D_3$代数所对应的系统，找到了它们的独立积分完备集，给出了$A_N$，$B_N$，$C_N$，$A^{(1)}_1$，$D^{(2)}_N$代数所对应的差分-差分系统的Lax表示.
Non-Abelian hierarchies of compatible maps, associated integrable difference systems and Yang-Baxter maps
该研究提出两类不等价的非阿贝尔相容映射层级族及其Lax对表述，关联非阿贝尔Yang-Baxter映射层级，推导得到两类非阿贝尔格点Gel'fand-Dikii层级的显式形式。
On the unification of classical and novel integrable surfaces: II. Difference geometry
记录了一类新的离散可积曲面。这类离散O表面包括离散的类似物的经典表面，如等温，“线性”Weingarten，Guichard和Petot表面。此外，自然的离散类似物的高斯和平均曲率的曲率坐标参数化的表面被用来定义表面的恒定离散高斯和平均曲率和离散的最小表面。值得注意的是，这些都是离散O表面的典型例子。它表明，离散O表面的Backlund变换的建设导致在一个自然的方式相关的参数依赖的线性表示。生成了经典伪球面和呼吸伪球面的正则离散。与Bobenko和Pinkall的开创性工作建立了联系。
Systems of difference equations on a vector valued function that admit 3D space of scalar potentials
对于某些对合映射$Φ:{\mathbb C}P^1 \times {\mathbb C}P^1 \to {\mathbb C}P^1 \times {\mathbb C}P^1$，我们找到了所有具有分离变量的不变量。本文研究了分离变量映射及其不变量与离散可积系统之间的联系。映射对应于边上的可积系统（键系统），而它们的分离变量不变量产生键系统的势，这允许我们将可积系统重写为顶点上的模型。在后者中，人们可以找到众所周知的可积差分方程以及差分关系，与方程相反，它们给出了因变量的非单值演化。但其非单值性可以通过与债券制度的挂钩来解决。
Idempotent compatible maps and discrete integrable systems on the triangular lattice
提出三类有理非可逆多维兼容幂等映射，其双有理偏逆为杨-巴克斯特映射，可解释为$\mathbb{Z}^2$图边差分方程组，并与三角格$Q(A2)$上的可积差分方程关联。
Hyperdeterminants as integrable discrete systems
给出了A. 1845年的凯莱。本文证明了由2x2 x2-超行列式定义的非线性差分方程的可积性（理解为4d-相容性）。这一结果引出了以下假设：由任意大小的超行列式定义的差分方程是可积的。我们表明，这一假设已经失败的情况下，2x2 x2 x2-超行列式。
Multivariable continuous Hahn and Wilson polynomials related to integrable difference systems
引入了连续Hahn多项式和Wilson多项式的多变量推广作为外场有理Ruijsenaars型差分系统的本征函数。
Integrable properties of the differential-difference Kadomtsev-Petviashvili hierarchy and continuum limits
本文揭示了微分-差分Kadomtsev-Petviashvili族系和（连续）Kadomtsev-Petviashvili族系之间的联系，以及它们的对称性、Hamilton结构和守恒量。它们通过统一的连续极限连接。对于微分差分Kadomtsev-Petviashvili系统，我们引入Lax三元组来生成等谱流和非等谱流。这种方法提供了一个可积的主对称性和简单的零曲率表示的流动。得到的流，然后证明生成一个李代数w.r.t. Lie积${\llbracket} \cdot, \cdot {\rrbracket}$，它导致了等谱微分差分Kadomtsev-Petviashvili族的两组对称性，并且这些对称性也生成了一个Lie代数。流的代数还通过主对称性提供流的递归关系，然后用于导出等谱和非等谱微分差分Kadomtsev-Petviashvili层次的Hamilton结构。Hamilton生成一个李代数w.r.t.泊松括号$\{\cdot,\cdot\}$。Hamilton算子与对称性一起导致了整个等谱微分-差分Kadomtsev-Petviashvili族的两组守恒量，它们也生成了一个李代数。所有得到的代数具有相同的基本结构。然后，我们给出了一个不同于Miwa变换的连续极限。通过定义某些元素关于连续极限的\textit{degrees}，我们发现微分-差分Kadomtsev-Petvia…
Recursion and Hamiltonian operators for integrable nonabelian difference equations
本文对域变量取值于结合（但非交换）代数的可积微分差分方程进行了代数研究。我们适应的哈密顿形式主义的nonabel差分洛朗多项式，并描述如何获得一个递归算子的Lax表示的可积nonabel微分差分系统。作为应用，我们提出了一类新的可积方程：非交换Narita-Itoh-Bogoyavlensky格，构造了它的递归算子和Hamilton算子，并证明了由其高度非局部递归算子生成的无穷多个交换对称的局部性.最后，我们讨论了几个可积差分系统的非交换形式，包括相对论Toda链和Ablowitz-Ladik格。
Direct linearisation approach to discrete integrable systems associated with $\mathbb{Z}_\mathcal{N}$ graded Lax pairs
Fordy和Xenitidis [J. Phys. A：Math. Theor. 50（2017）165205]最近从$\mathbb{Z}_\mathcal{N}$分次拉克斯对的角度提出了一大类离散可积系统，其中包括许多新颖的可积差分方程，但没有提供解。本文建立了互质情形下的Fordy-Xenitidis离散系统与某种形式的线性积分方程之间的联系，揭示了这些方程的解的结构。同时给出了Fordy-Xenitidis可积差分方程的双线性形式和相应的广义τ函数。此外，解决方案的结构解释了之间的连接的Fordy Xenitidis新模型和离散的Gel'fand-Dikii层次。
Integrable Equations on Time Scales
可积系统通常是以连续变量的函数（在${\mathbb R}$上）、离散变量的函数（在${\mathbb Z}$上）和最近的$q$ -变量的函数（在${\mathbb K}_{q}$上）给出的。利用δ微分算子建立了时间尺度上的Gel'fand-Dikii（GD）形式，得到了更一般的可积非线性发展方程.特别是他们产生可积方程的整数（差分方程）和超过$q$ -号码（$q$ -差分方程）。我们制定的GD形式主义也在所有常规离散时间尺度的移位算子。给出了时标上可积系统的递归算子的构造方法。最后，我们给出了时标上的迹公式，从而构造了时标上可积系统的无穷多个守恒量（Casimirs）。
Third-order integrable difference equations generated by a pair of second-order equations
证明了Hirota，Kimura和Yahagi提出的三阶差分方程是由一对二阶差分方程生成的。在某些情况下，这对二阶方程等价于Quispel-Robert-Thomson（QRT）系统，但在其他情况下，它们与QRT系统无关。我们还讨论了超离散化的方程。
Integrable multi-component difference systems of equations
本文给出了定义在$\mathbb{Z}^2$图的边上的多分量可积差分方程组的两个列表。这些系统的可积性表现为他们的拉克斯制定这是一个结果，这些系统的多维兼容性。施加的限制与差分方程系统一致，我们恢复已知的可积四方程，包括离散版本的Krichever-Novikov方程。差分方程组使我们能够简单地重新表述为杨-巴克斯特映射。还得到了定义在$\mathbb{Z}^2$格顶点上的某些二分量方程组及其非位势形式和定义在5点展式上的可积方程。
Discrete, q-difference deformations of associative algebras and integrable systems
研究了一类结合非交换代数结构常数的离散变形和q-差变形。它示出，这些变形是由一个中央系统的离散或q-差分方程，在特定情况下，代表离散和q-差分版本的定向结合方程。它还表明，著名的Hirota-Miwa双线性方程的AKP和BKP的层次描述某些有限维代数的离散变形。
Algebraic entropy of (integrable) lattice equations and their reductions
我们研究了许多自治和非自治格方程的增长度定义的四倍规则的角边界值，其中一些是已知的可积的其他特征。受一个使能猜想，我们证明了多项式增长的一大类方程，其中包括Adler-Bobenko-Suris方程和Viallet的$Q_V$及其非自治的推广。我们的技巧是确定投影型格方程的环境度增长，并推测它们的公因子在每个格点的增长，从而找到真正的度增长，得到的度满足一个线性偏差分方程，该方程是普适的，即对所有考虑的可积格方程都是一样的.当我们采取周期性减少这些方程，其中包括楼梯初始条件，我们从这个线性偏差分方程得到一个常差分方程的程度，意味着二次或线性度增长。我们还研究了几个不可积格方程的度增长性。指数增长的程度，这些方程，和他们的映射减少，也证明了受到一个猜想。
Generalized Hirota bilinear identity and integrable q-difference and lattice hierarchies.
引入了Cauchy-Baker-Akhieser（CBA）核的Hirota双线性恒等式，作为构造包含格和q-差时的可积族的基本工具.导出了亚纯函数在CBA核上作用的行列式公式。这个公式为构造可积格方程的通解提供了机会。
Rational recursion operators for integrable differential-difference equations
本文引入了差分算子的preHamilton对，研究了它们与Nijenhuis算子的关系以及微分差分方程弱非局部逆递归算子的存在性.我们开始严格设置的问题，在斜场$Q$的有理（伪差）运营商在一个差域$F$与零特征子域常数$k\subset F$和主理想环$M_n(Q)$矩阵有理（伪差）运营商。特别地，我们给出了有理算子弱非局部的一个判别准则。一个差分算子$H$称为预Hamilton算子，如果它的像是关于$F$上李括号的李$k$ -子代数.若两个预哈密顿算子的任意$k$ -线性组合是预哈密顿算子，则它们构成预哈密顿算子对.然后，我们表明，一个preHamilton对自然导致Nijenhuis运营商，和Nijenhuis运营商可以表示的preHamilton对。这为判定有理算子是否为Nijenhuis算子提供了一个系统的方法。作为应用，我们构造了Adler \& Postnikov最近发现的微分差分方程的一个预Hamilton对，从而构造了一个Nijenhuis递归算子.得到的Nijenhuis算子不是弱非局部的。我们证明了它产生了一个无限的局部交换对称的层次。我们还说明了我们的理论上著名的例子，包括户田，Ablowitz-Ladik和Kaup-Newell微分差分方程。
Difference Operator Approach to the Moyal Quantization and Its Application to Integrable Systems
受Moyal量子化与非定域操作有关这一事实的启发，定义了向量场的差分模拟，并在相空间上改写了量子描述。应用这个处方的KP-层次的理论，我表明，他们的可积性遵循他们的维格纳分布的性质。此外，“期望值”的定义澄清了我们的方法和KP-族的Hamilton结构之间的关系。本文还尝试在可积系统中显式构造Moyal括号结构。
Darboux transformations for 5-point and 7-point self-adjoint schemes and an integrable discretization of the 2D Schrodinger operator
本文首先研究具有达布变换的差分格式，这些差分格式可以看作是椭圆型偏微分方程的自然离散。特别地，我们构造了一般的具有5个和7个邻点的自伴格式的达布变换。我们还介绍了一个杰出的离散化的二维稳态薛定谔方程，描述了一个5点差分格式涉及两个潜在的，其中承认一个达布变换。
Non-Existence of S-Integrable Three-Point Partial Difference Equations in the Lattice Plane
本文利用 Yamilov 定理，将 (1+1) 维微分-差分方程的可积性问题归结为对晶格点依赖性的研究，并证明由平面三点差分方程的部分连续极限所得的一类方程不具有 S-可积性。
Integrable symplectic maps associated with discrete Korteweg-de Vries-type equations
在本文中，我们提出了新的可积辛映射，与常差分方程，并显示他们如何确定，在一个显着不同的方式，可积偏差分方程，可积偏微分方程的离散对应Korteweg-de Vries型（KdV型），包括拉克斯对和显式解的可积性。因此，它表明，几个不同的哈密顿系统导致一个相同的差分方程的刘维尔可积性框架的装置。因此，这些可积辛映射可以提供一个有效的工具，用于表征，并确定，偏差分方程的可积性。
Two-Dimensional Finite-Gap Schrodinger Operators as Limits of Two-Dimensional Integrable Difference Operators
本文研究零能级本征函数由谱曲线上有理函数给出的二维离散算子，将其推广为差分算子，并证明二维有限间隙薛定谔算子可作为差分算子的极限得到。
Duality for discrete integrable systems II
我们把对偶的概念推广到格方程。我们导出了一个新的三维格点方程，它是格点AKP方程的对偶。该方程的约化包括Rutishauser的导数-差分（QD）算法、离散时间Toda（HADT）方程及其相应的导数-商-差分（QQD）系统、离散饥饿Lotka-Volterra系统、离散饥饿QD以及HADT和QQD的饥饿形式。我们给出了三个守恒律，猜想方程存在N-孤子解，约化具有Laurent性质和零代数熵。
An algebraic criterion of the Darboux integrability of differential-difference equations and systems
本文研究双曲型微分差分方程组，在达布意义下可积。讨论了Darboux可积性下的独立特征积分完备集的概念。发现积分与系统的特征Lie-Rinehart代数之间有着密切的联系。证明了一个方程组是达布可积的当且仅当它的两个方向上的特征代数都是有限维的。
Finite dimensional reductions of integrable differential-difference equations
本文提出约化理想概念，为可积微分差分方程引入新约化类，产生交换与非交换环境下的有限维可积系统，并以Volterra层次为例说明。
On some integrable lattice related by the Miura-type transformation to the Itoh-Narita-Bogoyavlenskii lattice
通过Miura型变换，我们证明了对任何$n\geq 1$，Itoh-Narita-Bogoyavlenskii格都与某些微分-差分（修正）方程有关.我们提出了相应的可积族在其明确的形式。研究了修正方程的初等达布变换。
On various integrable discretisations of a general two component Volterra system
本文给出了一般微分-差分双分量Volterra系统的两个可积离散化。结果得到直接离散相应的Hirota双线性方程在两种不同的方式。多孤子解决方案一起提出了一个新的离散形式的Lotka-Volterra方程的替代双线性化。
Special solutions to five autonomous integrable partial difference equations via the third and sixth Painlevé equations and the Garnier system in two variables
本文研究五类自主可积偏差分方程的特殊解，揭示其可通过第三、第六 Painlevé 方程及双变量 Garnier 系统的 Backlund 变换得到，为理解自主可积 PΔEs 与 Painlevé 型动力学关系提供新视角。
A systematic construction of integrable delay-difference and delay-differential analogues of soliton equations
我们提出了一个系统的方法来构建可积延迟差分和延迟微分模拟已知的孤子方程，如Lotka-Volterra，户田格，和sine-Gordon方程及其多孤子解。它是通过应用减少和延迟微分限制离散KP或离散二维Toda晶格方程。每个延迟差分方程和延迟微分方程都有N孤子解，该解依赖于延迟参数，当延迟参数接近0时收敛于已知孤子方程的N孤子解.
Integrable boundary interactions for Ruijsenaars' difference Toda chain
我们赋予Ruijsenaars的开差Toda链Askey-Wilson类型的单侧边界相互作用，并通过变形超八面体$q$ -Whittaker函数对角化量子Hamilton，这些函数是Macdonald-Koornwinder多元Askey-Wilson多项式的$t=0$退化而产生的。这就立即需要量子可积性，双谱对偶系统，和$n$ -粒子散射算子的链的问题。
Formal diagonalisation of Lax-Darboux schemes
本文讨论了Lax-Darboux格式的概念，并以非线性薛定谔方程为例进行了说明。我们研究了NLS族与Heisenberg模型族、主手征场模型族以及微分-差分可积系统（包括Toda格和微分-差分Heisenberg链）和可积部分差分系统的Darboux联系.我们表明，存在一个变换，正式diagonalises所有元素的Lax-Darboux计划同时进行。它提供了所有可积系统的局部守恒律的生成函数。我们讨论属于Lax-Darboux计划的系统的守恒律之间的关系。
Integrable discrete autonomous quad-equations admitting, as generalized symmetries, known five-point differential-difference equations
在本文中，我们构造了自治四元方程，它承认属于已知的列表由Garifullin，Yamilov和Levi的五点微分差分方程的对称。所得方程可分为自治点变换和一些简单的非自治变换。我们讨论我们的结果在已知文献的框架。其中有一些新的例子都正弦戈登和刘维型方程。
Perturbative Symmetry Approach for Differential-Difference Equations
本文提出了一种新的方法来求解任意阶发展微分差分方程的可积性问题。它使我们能够产生必要的可积性条件，确定给定方程是否可积，并推进可积方程的分类。本文定义并发展了差分多项式环、差分算子和形式级数的符号表示。为了给出必要的可积性条件，我们引入了一个新的差环的拟局部扩张。它使我们在任意阶可积微分-差分发展方程的分类方面取得了进展。特别是，我们解决了问题的分类可积方程的顺序$(-3,3)$的重要子类的拟线性方程，并产生一个列表的17个方程满足必要的可积性条件。对于列表中的每一个方程，我们都给出了一个可积高阶相关方程的无限族。得到的一些方程是新的。
The Lax Integrable Differential-Difference Dynamical Systems on Extended Phase Spaces
通过构造一个特殊的Backlund变换，得到了移位算子李代数的对偶空间上的Lax型流族的Hamilton表示以及相应谱问题的伴随特征函数和演化.相应的一组平方本征函数对称性的阶层的哈密顿描述表示。分析了这些族与Lax可积（2+1）维微分差分系统及其三重Lax型线性化的关系。还解决了移位算子李代数的中心扩张的对偶空间上的耦合Lax型族的Hamilton表示的存在性问题。
Darboux integrable discrete equations possessing an autonomous first-order integral
在方程的一个特征中具有自治一阶积分的情况下，描述了四图上的所有达布可积差分方程。通过非点变换，从离散刘维方程的一个子集得到离散刘维方程的推广。作为一个辅助结果，证明了关于四图方程对称结构的一般命题。
Integrable Möbius invariant evolutionary lattices of second order
我们解决了分类问题的可积格的形式$u_{,t}=f(u_{-2},\dots,u_2)$的线性分式变换组的不变性的附加假设下。所得到的列表包含5个方程，包括3个新的。不同的三浦型替换发现这些方程与已知的多项式格。我们也给出了一般格的一些分类结果。
Cartan matrices and integrable lattice Toda field equations
研究了对应于半单或仿射李代数的Cartan矩阵的微分-差分可积指数型系统。对于$A_2$，$B_2$，$C_2$，$G_2$等代数所对应的系统，给出了两个方向的积分完备集，对于经典级数$A_N$，$B_N$，$C_N$的单李代数和级数$D^{(2)}_N$的仿射代数，给出了相应的系统的Lax表示.
On Non-Point Invertible Transformations of Difference and Differential-Difference Equations
完整地描述了四图上差分方程及其微分-差分类似物的非点可逆变换。作为一个例子，这些变换被用来构造新的例子可积方程和Hietarinta方程的自变换。
Integrable delay-difference and delay-differential analogues of the KdV, Boussinesq, and KP equations
给出了KdV和Boussinesq（BSQ）方程的延迟差分和延迟微分模拟。当延迟参数趋近于0时，它们都有N孤子解，并退化为已知的孤子方程。此外，延迟微分模拟的KP方程的建议。我们讨论了它的N孤子解以及当延迟参数趋近于0时的极限。最后，KdV，BSQ和KP方程的延迟微分类似物之间的关系被澄清。也就是说，延迟KP方程的约化产生延迟KdV和延迟BSQ方程。
On the symmetry classification of integrable chains in 3D. Darboux-integrable reductions and their higher symmetries
本文提出了一种方法，用于识别和分类三维中具有离散和连续变量的可积非线性方程，并揭示了Toda型链的降维结构及其对称性特性。
The Boussinesq integrable system. Compatible lattice and continuum structures
本文考虑离散Boussinesq可积系统和微分差分、偏微分方程的相容集。后者不仅编码了Boussisesq方程的完整层次，而且还包含了广义相对论中Einstein-Maxwell-Weyl场的双曲Ernst方程。我们证明了一个特定的对称约化的偏微分方程，六个参数，二阶耦合常微分方程组，这被证明是卡尼尔型。
A discrete Darboux-Lax scheme for integrable difference equations
我们提出了一个离散的达布-拉克斯计划，用于导出自动贝克隆变换和构造不一定具有3D一致性的四元图方程的解决方案。作为一个说明性的例子，我们使用与非线性薛定谔（NLS）方程相关的Adler-Yamilov型系统[19]。特别是，我们构造了一个自动贝克隆变换的离散系统，它的叠加原理，我们采用它们在建设的一个和两个孤子解的Adler-Yamilov系统。
Integrable 7-point discrete equations and evolution lattice equations of order 2
我们考虑微分差分方程，确定三角形格子上的离散方程的连续对称性。它表明，一定的连续流的组合可以表示为一个标量演化格子方程的二阶。一般计划说明了一些例子，包括模拟的椭圆亚米洛夫晶格方程。
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