Optimal anticodes, MSRD codes, and generalized weights in the sum-rank metric
和秩度量码由于其在许多应用中的重要性，近年来引起了许多研究者的关注。在数学上，和秩度量是汉明度量和秩度量的自然推广。在本文中，我们提供了一个反码界的和秩度量，它扩展了相应的汉明和秩度量的反码界。然后我们对最优反码进行分类，即，达到秩和度量反码界的码。我们使用这些最佳的反码来定义广义和秩权重，我们研究他们的主要性质。特别地，我们证明了一个MSRD码的广义重量是由它的参数。作为一个应用，在附录中，我们解释了广义权重如何测量多点网络编码中的信息泄漏。
2021-12-21 cs.IT math.IT
Theory of supports for linear codes endowed with the sum-rank metric
和秩度量自然地将编码理论中的汉明度量和秩度量扩展到域上。它测量码在多次矩阵乘法信道（例如线性网络编码或域上的离散无记忆信道）中的纠错能力。虽然这个度量已经被证明是感兴趣的几个应用程序中，没有太多的是已知的it. In这项工作中，和秩支持码字和线性码的介绍和研究，重点是对偶。给出了和秩支撑的格结构;（\textit{support spaces}），将经典的限制和缩短运算推广到秩和度量，并给出了估计给出了这类限制码和缩短码的参数（界和等式），并给出了三个主要应用：1）引入了广义秩和权的概念，给出了它们的基本性质和界，2）证明了最大秩和距离（MSRD）码的压缩码、缩短码和限制码依次是MSRD码; 3）引入和秩码的简并数和有效码长，并给出了它们的特征。在附录中，介绍了由斜多项式定义的斜支撑，并给出了它们与和秩支撑的关系。
2019-01-30 cs.IT math.IT
Concatenated Sum-Rank Codes
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；VinUniversity（越南大学）；Jinan University（暨南大学）
本文提出拼接求和-秩码与汉明度量码的方法，构造出性能优于求和-秩BCH码的求和-秩码，并超越了两种已知界。
2026-02-25 cs.IT math.IT
A Geometric Approach to Rank Metric Codes and a Classification of Constant Weight Codes
在这项工作中，我们开发了一个几何方法来研究秩度量码。利用这种方法，我们给出了线性码的广义秩重量的一个较简单的定义。给出了等秩码的一个完全分类，并给出了它们的广义秩权。
2020-01-22 cs.IT math.IT
Sum-Rank BCH Codes and Cyclic-Skew-Cyclic Codes
本文介绍了循环-斜循环码和和秩BCH码。循环-斜循环码的特征在于一个合适的非交换有限环的左理想，使用多项式上的斜多项式构造（反之亦然）。单生成这样的左理想被发现，他们被用来构建相应的代码的生成矩阵。利用多项式上斜多项式的根对，引入定义集的概念。对于定义集包含某些连续码对的循环-斜循环码，给出了最小秩和距离的一个下界（称为秩和BCH界）。然后定义具有最小秩和距离的秩和BCH码为最大循环-斜循环码，其定义集包含这样的连续码对。给出了和秩BCH码的定义集，并给出了其维数的一个下界。由于它，提供了表，其示出了对于二进制$ 2 \times 2 $矩阵（即，其码字是$ 2 \times 2 $二进制矩阵列表的代码，列表长度的范围很广，对应于代码长度）。最后，得到了一个和秩BCH码的译码器，译码距离可达其规定距离的一半。
2021-06-08 cs.IT math.IT
Bounds and Genericity of Sum-Rank-Metric Codes
我们推导出简化的球包装和吉尔伯特-Varshamov界的代码的和秩度量，可以计算得比以前的更有效。它们产生的渐近界，覆盖的渐近设置，尚未被认为在文献中：家庭的和秩度量码的块大小增长的代码长度。我们还提供了两个通用的结果：我们表明，随机线性码几乎实现了高概率的和秩度量Gilbert-Varshamov界。此外，我们推导出一个随机线性码达到秩和度量Singleton界的概率上的界，表明对于足够大的扩展域，几乎所有的线性码都能实现它。
2023-03-21 cs.IT math.IT
Construction and Fast Decoding of Binary Linear Sum-Rank-Metric Codes
本文基于BCH码、Goppa码和加性四元汉明度量码构造矩阵大小为2×2的二元线性秩和度量码，并给出至多O(t²)运算的快速译码算法，同时构造出渐近性能良好的二次时间可编码译码码序列。
2024-04-04 cs.IT math.IT
Generic Decoding in the Sum-Rank Metric
我们提出了第一个非平凡的通用解码算法的代码在秩和度量。新方法结合了著名的通用解码器的汉明和秩度量的想法。对于相同的码参数和错误数量，新的通用解码器具有比已知的通用解码器更大的期望复杂度，对于汉明度量，并且比已知的秩度量解码器更小。此外，我们给出了一个正式的硬度减少，提供证据表明，通用的和秩解码是计算困难的。作为上述的副产品，我们解决了一些基本的编码问题的和秩度量：我们给出了一个算法来计算一个给定的和秩半径的球体的确切大小，也给出了一个上界作为一个封闭的公式;我们研究擦除解码相对于两个不同的概念的支持。
2021-10-28 cs.IT math.IT
Completely decomposable rank-metric codes
本文研究了完全可分解的秩度量码，即1维最大秩距离码的直和，分析了其重量分布与码字特征，并给出了具有最少重量码字数量的码的分类结果。
2024-06-27 cs.IT math.IT
Fundamental Properties of Sum-Rank Metric Codes
本文研究了秩和度量码的理论，其中各个矩阵块可以具有不同的大小。各种界限的基数的代码，以及它们的渐近扩展。还探讨了和秩度量码的对偶理论，表明只有当所有矩阵块具有相同的列数时，MSRD码（MDS码的和秩模拟）才对偶为MSRD码。在后一种情况下，对偶性的考虑导致了MSRD码的块的数量的上限。本文还包含各种建设的和秩度量码的可变块大小，说明这些对象的可能行为的界限，存在性和对偶性质。
2020-10-06 cs.IT math.IT
Rank distribution of Delsarte codes
本文为Delsarte秩度量码定义秩缺陷，刻画了秩缺陷与对偶秩缺陷均为零的码，证明其秩分布由参数决定，并推广至正缺陷情形及Gabidulin码。
2015-10-05 cs.IT math.IT
Constant-Rank Codes
常维码由于其在非相干随机网络编码中的差错控制方面的重要性而受到关注。本文证明了常秩码与常维数码的密切关系，并研究了常秩码的性质。首先引入了$\mathrm{GF}(q^m)^n$中的向量与$\mathrm{GF}(q)^m$或$\mathrm{GF}(q)^n$的子空间之间的关系，并利用它建立了常秩码与常维码之间的关系.然后，我们得到的最大基数的定秩码给定的秩重量和最小秩距离的界限。最后，我们研究了给定秩重量和最小秩距离的常秩码的最大基数的渐近性质。
2008-05-07 cs.IT math.IT
A Singleton Bound for Generalized Ferrers Diagram Rank Metric Codes
本文利用经典Singleton界证明中的技巧，导出了秩度量码和Ferrers图秩度量码的上界。这些上界产生的秩距离Singleton界和Etzion和Silberstein分别提出的上界。本文还介绍了广义的费勒斯图秩度量码，它是一种费勒斯图秩度量码，其中的秩度量码不一定是线性的。利用我们的方法得到了广义Ferrers图秩度量码的一个新的Singleton界.
2015-06-18 cs.IT math.IT
Rank equivalent and rank degenerate skew cyclic codes
两个斜循环码只有当它们具有相同的长度时才能等价于汉明度量，并且只有零码是退化的。对于秩度量，情况完全不同，其中当在网络上应用代码时，代码的长度对应于来自源的传出链路的数量。我们研究不同长度的斜循环码之间的秩等价关系，为了找到最小长度的斜循环码，即秩等价于给定的斜循环码，我们定义了给定斜循环码的不同类型的长度，将它们联系起来，并在大多数情况下计算它们。利用常规多项式和线性化多项式给出了秩退化斜循环码的不同刻画。作为特例，得到了某些长度循环码的秩-权族的一些已知结果，并推广到所有长度和所有斜循环码。最后，我们证明了与给定的斜循环码秩等价的线性码的最小长度可以由伪斜循环码得到。在本文中，我们发现了线性斜循环码和它们的Galois闭包之间的新关系。
2016-01-26 cs.IT math.IT
Constant-Rank Codes and Their Connection to Constant-Dimension Codes
常维码由于其在非相干随机线性网络编码中的差错控制方面的重要性而受到关注。有限维最小距离的等维码的最大基数是多少，如何构造最大基数的最优等维码，都是有待解决的问题。在本文中，我们介绍了一种新的方法来解决这两个问题。我们首先建立了常秩码和常维码之间的联系。通过这种连接，我们表明，最佳的常数维码对应于最佳的常数秩码的矩阵有足够多的行。因此，上述两个问题分别等价于确定定秩码的最大基数和构造最优定秩码。为此，然后，我们推导出一个恒定的秩码的最大基数与给定的最小秩距离的界限，提出明确的最佳或渐近最佳的恒定秩码的建设，并建立渐近界的最大速率的恒定秩码。
2010-03-30 cs.IT math.IT
Strong Singleton-Like Bounds, Quasi-Perfect Codes and Distance-Optimal Codes in the Sum-Rank Metric
Hubei University（湖北大学）；Jinan University（暨南大学）；Hubei University of Education（湖北教育学院）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；South-Central Minzu University（中南民族大学）
本文在求和-rank度量中提出强单体类界限、准完美码和距离最优码的构造方法，改进了经典单体界限并展示了更优的码构造。
2026-02-17 cs.IT math.IT
Sum-rank product codes and bounds on the minimum distance
分析了一个赋汉明度量的码和一个赋秩度量的码的张量积。这给出了自然继承秩和度量的代码。专门的产品的循环码和斜循环码，由此产生的代码原来属于最近推出的家庭循环-斜循环。在研究了秩和度量下的半线性等距后，给出了这类码的群论描述。最后，推广的Roos和Hartmann-Tzeng界的和秩度量，以及一个新的下界的最小距离的两个代码之一构成的产品代码。
2021-05-31 cs.IT math.IT
Antipodal two-weight rank metric codes
本文研究了一类线性对映双权秩度量码，并利用$t$ -扩展讨论了它们的性质和特征。结果表明，这种码的维数为$2$，最小秩距离至少为长度的一半。我们从某些MRD码构造了对跖双权秩度量码。当最小秩距离等于码长的一半时，得到了这类码的完全分类。作为构造双重量秩度量码的结果，我们得到了一些显式双重量Hamming度量码。
2022-08-17 cs.IT math.IT
Packing and Covering Properties of Rank Metric Codes
本文研究了具有秩度量的码的填充和覆盖性质。首先，我们研究秩度量码的填充性质。然后，我们研究了秩度量码的球面覆盖性质，推导了它们的参数界，并研究了它们的渐进覆盖性质。
2008-05-07 cs.IT math.IT
On the roots and minimum rank distance of skew cyclic codes
在秩度量的纠错码理论中，斜循环码与循环码具有相同的作用。本文利用根空间、分圆空间和幂等元生成元给出了这类码的刻画。我们证明了斜循环码格与根空间格是反同构的，研究了这两个格，并将它们的最小秩距离的秩BCH界推广到vanLint-Wilson移位和Hartmann-Tzeng界的秩度量版本.最后，研究了基域上线性的斜循环码，证明了这类码包含所有的Hamming度量循环码，并给出了这类码与秩度量斜循环码之间的一个新的关系.
2016-07-22 cs.IT math.IT
Properties of Codes with the Rank Metric
本文研究了秩度量码的一般性质，特别是最大秩距离码的性质。对于具有秩度量的码，我们首先建立Gilbert界和球填充界，然后得到这两个界和Singleton界的渐近形式。基于渐近界，我们观察到渐近Gilbert-Varsharmov界被MRD码超过，球填充界不能达到。我们还建立了极大码的秩覆盖半径的界，证明了所有的MRD码都是极大码，并且所有已知的MRD码都达到了最大秩覆盖半径。
2006-10-25 cs.IT math.IT
New Criteria for MRD and Gabidulin Codes and some Rank-Metric Code Constructions
在这项工作中，我们提出了一个新的标准来检查如果一个给定的秩度量码是一个最大秩距离（MRD）码。此外，我们推导出一个标准，以检查如果一个给定的MRD码是广义Gabidulin码。然后，我们使用这些结果来与建设的线性MRD码的2维，而不是广义Gabidulin码。
2016-03-08 cs.IT math.IT
Rank and pairs of Rank and Dimension of Kernel of $\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$-linear codes
如果码$C$是$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$ -加性码的格雷像，则称之为$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$ -线性码。对任何大于$3$的素数$p$，给出了$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$ -线性码的秩的界.对于$\mathbb{Z}_p\mathbb{Z}_{p^2}$ -线性码的秩和核的秩对及维数对，我们给出了相应码的详细构造。最后，作为一个例子，研究了$\mathbb{Z}_5\mathbb{Z}_{25}$ -线性码的核的秩和维数。
2022-07-26 cs.IT math.IT
New Explicit Good Linear Sum-Rank-Metric Codes
本文提出三种显式线性求和秩度量码构造方法，在有限长度下可得到比先前更大的码，渐近性能接近Gilbert-Varshamov类界，并构造了任意有限域上无块长度和参数限制的线性MSRD码。
2023-07-03 cs.IT math.IT
Function-Correcting Codes for Sum-Rank Metric
Indian Institute of Science, Bangalore（印度科学研究所）
研究和秩度量下的函数纠错码，推导其最优冗余的上下界，建立类似Plotkin界，给出局部二元函数的函数纠错和秩度量码的显式构造。
2026-07-13 cs.IT math.IT
Rank-metric codes
这是即将出版的“编码理论简明百科全书”的一章，W.C. Huffman，J.- L. Kim和P. Sole' Eds.，Press.本章介绍了秩度量码的数学理论。处理的主题包括：秩度量的定义，码的等价性，码字和码的支持，对偶性，权重枚举数和MacWilliams恒等式，更高秩权重，MRD码，最优反码，以及与秩度量码相关联的q-多拟阵。
2019-02-07 cs.IT math.IT
Low Row Rank Parity Check Codes
在本文中，我们提出了一个扩展的低秩奇偶检验矩阵（LRPC）码，近年来已收到显着的兴趣。结果表明，扩展确实产生一个超族的LRPC码，这被称为低行秩奇偶检验码。本文还研究了该码的译码方法。
2021-04-16 cs.IT math.IT
Rank weight hierarchy of some classes of cyclic codes
本文研究有限域$\mathbb F_{q^m}$上循环码的秩权等级，特别是秩度量，$q$是一个素数幂，$m \geq 2$ .本文建立了$[n,n-1]$循环码的秩权体系，并在（1）$k=1$，（2）$n$和$q$互质，（3）特征$char(\mathbb F_q)$整除$n$的情况下，刻画了秩度量为1的$[n,k]$循环码.最后，对于$n$和$q$互质，刻画了循环码的最小$r$ -秩，并给出了秩权的Singleton界的一个改进.
2014-07-15 cs.IT math.IT
On Decoding High-Order Interleaved Sum-Rank-Metric Codes
我们考虑具有高交织阶数$s$的垂直均匀交织秩和度量码的解码，该码是通过堆叠单个组成码的$s$码字而构造的。提出了一种Metzner-Kapturowski类译码算法，当交织阶数$s > t$和误差矩阵满足一定的秩条件时，该算法能够纠正秩和权值$t <= d-2$的错误，其中$d$是码的最小距离.所提出的解码算法在汉明度量和秩度量方面推广了Metzner-Kapturowski（类）解码器，并且在$\mathbb{F}_{q^m}$中具有$\tilde{O}(\max(n^3, n^2 s))$操作的计算复杂性，其中$n$是码的长度。该方案只执行线性代数运算，因此适用于任何交织线性秩和度量码。我们展示了如何解码器可以用来解码高阶交织码的偏斜度量。除了错误控制，建议的解码器允许确定的安全级别的代码为基础的密码系统的基础上交织和秩度量码。
2023-03-30 cs.IT math.IT
Notes on the Sum-Rank Weight of a Matrix with Restricted Rank
本文针对受限秩矩阵，推导了其和秩权重等于各块秩之和的概率公式与下界，为和秩权重的分布提供了理论依据。
2023-11-16 cs.DM cs.IT math.IT
Constructions of optimal rank-metric codes from automorphisms of rational function fields
我们定义了一类有限特征的有理函数域的自同构，并利用它们来构造不同类型的最优线性秩度量码。第一种是构造有理函数域上的广义Gabidulin码。在有限域上约化这些码，得到了与广义扭Gabidulin码不等价的最大秩距离（MRD）码。我们还构造了最优的费勒斯图秩度量码，进一步解决了Etzion和Silberstein的一个猜想。
2021-08-26 cs.IT math.IT
On (Partial) Unit Memory Codes Based on Gabidulin Codes
（部分）单元记忆（（P）UM）码提供了基于分组码构造卷积码以实现高解码性能的强大可能性。在这方面的贡献，被认为是基于Gabidulin码的建设。这种构造需要修改的秩度量，即所谓的和秩度量。对于和秩度量，定义了自由秩距离、扩展行秩距离及其斜率，类似于Hamming度量中的扩展行距离。给出了（P）UM码的自由秩距离和和秩度量的斜率的上界，并给出了基于Gabidulin码的（P）UM码的显式构造，得到了自由秩距离的上界.
2011-02-15 cs.IT math.IT
Optimal Ferrers Diagram Rank-Metric Codes
研究了费勒斯图中的最优秩度量码。这种码由在某些固定位置具有零的矩阵组成，并且可以用于在射影空间中构造好的码。提出了四种费勒斯图秩度量码的构造方法，每种方法都能为不同的图和参数提供最优码。
2014-05-25 cs.IT math.IT
On the Decoder Error Probability of Bounded Rank-Distance Decoders for Maximum Rank Distance Codes
本文首先引入了初等线性子空间的概念，它具有与坐标集相似的性质。然后，我们使用初等线性子空间来推导最大秩距离（MRD）码，平行的最大距离可分码的属性。利用这些性质，我们证明了，对于具有纠错能力t的MRD码，有界秩距离译码器的译码器错误概率随着t^2呈指数下降，基于假设具有相同秩的所有错误的可能性相等。
2008-03-03 cs.IT math.IT
Skew and linearized Reed-Solomon codes and maximum sum rank distance codes over any division ring
Reed-Solomon码和Gabidulin码分别具有最大汉明距离和最大秩距离。使用斜多项式的一般构造，称为斜Reed-Solomon码，已经在文献中介绍。在这项工作中，我们介绍了一个线性化的版本，这样的代码，称为线性里德-所罗门码。我们证明了它们具有最大秩和距离。这种距离在多镜头网络编码或单镜头多网络编码中是有意义的。为了证明我们的结果，我们引入了新的度量定义的斜多项式，我们称之为斜度量，我们证明了斜Reed-Solomon码有最大的斜距离，然后我们把这种情况下的线性Reed-Solomon码和秩度量。Reed-Solomon码和Gabidulin码的理论是我们理论的特例，和秩度量推广了Hamming度量和秩度量。我们在任何除环（交换或非交换域）上发展我们的理论。我们还考虑了非零导子，这给了新的最大秩距离码在无限域上没有考虑过。
2018-02-08 cs.IT math.IT
Convolutional Codes with Maximum Column Sum Rank for Network Streaming
卷积码的列汉明距离确定在一类分组擦除信道上进行流传输时的纠错能力。我们引入了一个度量称为列和秩，平行列汉明距离时，通过网络流与链路故障。我们证明了几个已知的列汉明距离属性的秩类似物，并引入了一个新的家庭的卷积码，最大限度地提高列和秩的代码存储器。我们的建设涉及到寻找一类超正则矩阵，保持这个属性后，乘法与非奇异块对角矩阵在地面领域。
2016-04-16 cs.IT math.IT
Properties of Rank Metric Codes
本文研究了具有秩度量的码的一般性质。本文首先研究了秩度量码的渐近填充性质。然后，我们研究了秩度量码的球面覆盖性质，推导了它们的参数界，并研究了它们的渐进覆盖性质。最后，我们建立了几个恒等式，这些恒等式将线性码的秩重分布与其对偶码的秩重分布联系起来。我们的一个恒等式是汉明度量的麦克威廉斯恒等式的对应物，它与德尔萨特的恒等式有不同的形式。
2007-06-12 cs.IT math.IT
Bounds on Covering Codes with the Rank Metric
本文研究了秩度量空间的几何性质和秩度量码的覆盖性质。首先建立了两个秩半径球相交的解析表达式，然后导出了多个秩半径球并的体积的上界。利用这些几何性质，我们推导出一个给定的秩覆盖半径的代码的最小基数的上限和下限。本文给出的秩度量码的几何性质和界对于秩度量码的设计、译码和性能分析具有重要意义。
2009-06-23 cs.IT math.IT
Constant-Weight Gray Codes for Local Rank Modulation
我们考虑局部秩调制方案，其中滑动窗口经过一个序列的实值变量诱导一个序列的排列。作为秩调制方案的推广，最近已经提出了局部秩调制作为在闪存中存储信息的方式。我们研究了本地秩调制方案的恒定权重格雷码，以模拟传统的多级闪存单元，同时保留秩调制的好处。我们提供了循环和循环最佳格雷码存在的必要条件。然后，我们专门研究码的重量2和上限的效率，从而证明没有这样的渐近最优循环码。相比之下，我们研究代码的重量3和有效地构建代码是渐近最优的。
2010-02-07 cs.IT math.IT
Sum-rank metric codes
本章系统阐述和秩度量码的数学理论，涵盖不变量、最优反码、MSRD 码及 F_{q^m} 线性码等主要成果。
2023-04-24 cs.IT math.IT
Explicit Constructions of Sum-Rank Metric Codes from Quadratic Kummer Extensions
Sun Yat-sen University（中山大学）；Guangdong Key Laboratory of Information Security Technology（广东省信息安全技术重点实验室）
本文通过二次库默扩展显式构造了求和-秩度量码，提高了块长并确定了参数，同时讨论了其渐进行为和与现有界的比较。
2025-12-15 cs.IT math.IT
Quasi-Perfect and Distance-Optimal Codes Sum-Rank Codes
本文针对距离最优码和准完美码的构造难题，提出了三类具有特定参数的sum-rank码，并证明了通过Plotkin和可获取更多距离最优二元sum-rank码。
2024-02-14 cs.IT math.IT
MacWilliams duality for rank metric codes over finite chain rings
本文将Ravagnani的MacWilliams对偶理论推广到有限链环上的秩度量码，建立了码与其对偶码的$q$-二项式矩序列之间的对偶关系。
2024-08-10 cs.IT math.IT
Roos bound for skew cyclic codes in Hamming and rank metric
本文给出了一般域上斜循环码最小距离的Roos似界。结果在汉明度量和秩度量中成立。证明涉及到斜多项式的算术性质和奇偶校验矩阵的秩的分析。对于秩度量的情况，给出了一种利用斜Roos界构造具有指定最小秩距离的码的方法。此外，利用斜Roos界，给出了有限域上MDS码和MRD码的一些例子。
2020-02-06 cs.IT math.IT
Perfect Hermitian rank-metric codes
本研究探讨厄米特秩度量码，建立球体大小界限，证明非平凡完美码不存在，并分析其覆盖密度。
2025-08-06 cs.IT math.IT
On non-full-rank perfect codes over finite fields
本文研究了有限域上具有$q$元素的完美1-纠错码（简称$q$ -ary 1-完美码）.证明了长度为$n = (q^{m}-1)/(q-1)$的$q$元非满秩1-完美码的正交码是汉明重量等于$q^{m - 1}$的$q$元常重码，其中$m$是不小于2的任意自然数.本文给出了非满秩$q$ -ary 1-完美码的充要条件。我们提出了一个推广的级联结构的$q$ -ary的情况下，并构建了三元1-完美码的长度为13和秩为12。
2017-04-09 cs.IT math.IT
Systematic Maximum Sum Rank Codes
在过去的十年中，一直有很大的兴趣，扩展结果的代码配备了汉明度量类似的结果赋予代码的秩度量。本工作遵循这一研究思路，研究了具有最大秩距离的码的系统生成矩阵（编码器）的特征。在汉明距离的上下文中，这些码是所谓的最大距离可分离（MDS）码，并且系统编码器已经被充分研究。本文研究了系统形式的最大秩距离（MRD）码和最大秩和距离（MSRD）码的代数性质和编码器的表示。我们分别解决分组码和卷积码，并提出了必要和充分条件的编码器在系统的形式，以产生一个代码的最大（总和）秩距离。这些特征是在某些矩阵，必须是超正则的扩展领域和保持超正则性后，在基域进行一些变换。最后，我们提出了一些最大和秩卷积码在小领域的例子的工作。对于给定的参数，得到的例子是在较小的领域比其他作者得到的例子。
2020-01-20 cs.IT math.IT
Efficient Decoding of Folded Linearized Reed-Solomon Codes in the Sum-Rank Metric
最近，在和秩度量的代码引起了人们的注意，由于在多点网络编码，分布式存储和量子抗密码学的几个应用。Reed-Solomon码和Gabidulin码的秩和类似物是线性化的Reed-Solomon码。我们展示了如何构建$h$折叠线性里德所罗门（FLRS）码，并推导出一个基于插值的解码方案，能够纠正超出唯一的解码半径的秩和错误。所提出的解码器可以用于列表或概率唯一解码，并且最多需要$\mathbb{F}_{q^m}$中的$\mathcal{O}(sn^2)$操作，其中$s \leq h$是插值参数，$n$表示展开码的长度。我们推导出一个启发式上界的概率唯一解码器的失败概率，并通过蒙特卡罗模拟验证结果。
2022-09-03 cs.IT math.IT
MacWilliams Identity for Codes with the Rank Metric
麦克威廉姆斯恒等式将码的重量分布与其对偶码的重量分布联系起来，在确定码的重量分布时很有用。本文给出了具有秩度量的线性码的MacWilliams恒等式，该恒等式与Delsarte的恒等式具有不同的形式.使用我们的MacWilliams身份，我们也得到相关的身份秩度量码。这些身份平行的二项式和幂矩的身份与汉明度量的代码。
2007-11-28 cs.IT math.IT
Equivalence for Rank-metric and Matrix Codes and Automorphism Groups of Gabidulin Codes
对于越来越多的应用，如蜂窝网络、对等网络和传感器网络，通过网络进行有效的无差错数据传输至关重要。为此，Kötter和Kschischang提出使用子空间码在网络编码环境中提供纠错。子空间码的主要构造是秩度量码或矩阵码的提升，这是一个保持底层码的结构和距离属性的过程。因此，为了表征这些子空间码的结构和纠错能力，对底层的秩度量和矩阵码进行这样的表征是有价值的。本文奠定了基础，通过分类秩度量和矩阵码的结构和距离属性的基础上的框架进行分析。为了实现这种分类，我们扩展了Berger关于秩度量码等价性的工作，以定义矩阵码等价性的概念，并描述了保持这种等价性的映射集合的群结构。然后，我们比较了这两种相关类型的代码的等价的概念，并表明矩阵等价是严格更普遍的秩度量等价。最后，我们刻画了一组等价映射，固定的著名类的秩度量码被称为Gabidulin码。特别是，我们给出了一个完整的特征的秩度量自同构群的Gabidulin码，纠正工作Berger，并给出了部分特征的矩阵自同构群的扩展矩阵码，产生于Gabidulin码。
2013-04-01 cs.IT math.IT
Generalized rank weights of reducible codes, optimal cases and related properties
为了密码学的目的，引入了秩度量的可约码。它们具有快速的编码和解码算法，包括最大秩距离（MRD）码，并且可以纠正超过其最小秩距离的一半的许多秩错误，这使得它们适合于网络编码中的纠错。本文研究了它们作为陪集编码方案应用时针对网络信息泄露的安全行为，给出了以下主要结果：1）给出了广义秩权的上下界，它度量了最坏情况下对窃听者的信息泄漏; 2）找到了新的参数，使得这些码是MRD码（这意味着他们的第一个GRW是最优的），并使用以前的界限来估计他们的更高的GRW，3）我们表明，所有线性（在扩展域上）其GRW对于固定分组和码大小都是最优的但长度变化的码是直到秩等价的可约码，4）我们证明了当使用可约码时，泄露给窃听者的信息往往比它们的GRW（在某些情况下是最优的）给出的最坏情况要少得多。我们得出了一些次要的相关性质：秩等价于线性码的乘积的条件，秩退化的条件，对偶性质和MRD秩。
2017-08-04 cs.IT math.IT
Space-Time Codes Based on Rank-Metric Codes and Their Decoding
我们提出了一类新的空时分组码的基础上有限域秩度量码结合秩度量保持映射到爱森斯坦整数。结果表明，这些代码实现最大的多样性秩序，并改善某些现有的建设。此外，我们提出了一种新的解码算法，这些代码，利用基本的有限域秩度量码的代数结构，并采用格减少辅助均衡。这种解码器并没有达到与经典的最大似然解码方法相同的性能，但在矩阵维度上具有多项式复杂度，使其可用于大字段大小和天线数量。
2017-05-29 cs.IT math.IT
Error-Erasure Decoding of Linearized Reed-Solomon Codes in the Sum-Rank Metric
秩和度量的码在多点网络编码、分布式存储和基于码的密码学的差错控制中有着广泛的应用。线性化Reed-Solomon（LRS）码包含Reed-Solomon码和Gabidulin码作为子类，并且在秩和度量上满足Singleton类上界。我们提出了第一个已知的错误擦除解码器的LRS码释放其全部潜力的多拍网络编码。所提出的基于综合征的Berlekamp-Massey类错误擦除解码器可以校正$t_F$全错误、$t_R$行擦除和$t_C$列擦除，直到在和秩度量中的$2t_F + t_R + t_C \leq n-k$，在$\mathbb{F}_{q^m}$中最多需要$\mathcal{O}(n^2)$操作，其中$n$是码的长度，$k$是码的维数。我们展示了如何建议的解码器可以用来纠正错误的总和子空间度量发生在（非相干）多拍网络编码。
2022-09-02 cs.IT math.IT
The geometry of covering codes in the sum-rank metric
本文引入和秩饱和系统概念，将其与和秩度量码覆盖问题对应，给出最短饱和系统的上下界，并基于几何结构构造饱和系统。
2025-04-09 cs.IT math.CO math.IT
