Covering Properties of Sum-Rank Metric Codes
秩和度量可以看作秩和汉明度量的推广。众所周知，和秩度量码在构造最大距离可分离码所需的字段大小方面优于秩度量码（即，在相应的度量中实现Singleton界的代码）。本文主要研究和秩度量码的覆盖性质，丰富和秩度量码的理论。我们打算回答这样一个问题：给定秩和覆盖半径，一个码的最小基数是多少？我们显示了不同的度量之间的关系，并提供了几个上下界的和秩度量码。
2022-10-05 cs.IT math.IT
Geometrical Properties of Balls in Sum-Rank Metric
秩和度量作为MIMO块衰落信道中的编码和多点网络编码的代数方法而出现。基于秩和度量的编码在流编码、鲁棒编码分布式存储系统和后量子安全密码系统等方面有着广泛的应用。秩和度量可以看作是著名的汉明度量和秩度量的推广。作为一种较新的度量，秩和度量中的码仍有许多理论问题有待解决。本文从码的覆盖性质出发，研究了秩和半径球的几何性质。
2023-03-21 cs.IT math.IT
Self-dual codes and LCD codes in sum-rank metric
本文引入和秩度量下的自对偶码与LCD码概念，提出从欧几里得自对偶码和LCD码构造这两种码的方法，并证明存在渐近良好的自对偶和秩码。
2025-10-13 cs.IT math.IT
Covering Codes, List-Decodable Codes and Strong Singleton-Like Bounds in the Sum-Rank Metric
本文从汉明覆盖码构造和秩覆盖码，提出其上界与块长函数，进而证明强类Singleton界，并给出列表可解码码大小及MSRD码块长的上界。
2023-12-25 cs.IT math.IT
Optimal anticodes, MSRD codes, and generalized weights in the sum-rank metric
和秩度量码由于其在许多应用中的重要性，近年来引起了许多研究者的关注。在数学上，和秩度量是汉明度量和秩度量的自然推广。在本文中，我们提供了一个反码界的和秩度量，它扩展了相应的汉明和秩度量的反码界。然后我们对最优反码进行分类，即，达到秩和度量反码界的码。我们使用这些最佳的反码来定义广义和秩权重，我们研究他们的主要性质。特别地，我们证明了一个MSRD码的广义重量是由它的参数。作为一个应用，在附录中，我们解释了广义权重如何测量多点网络编码中的信息泄漏。
2021-12-21 cs.IT math.IT
Theory of supports for linear codes endowed with the sum-rank metric
和秩度量自然地将编码理论中的汉明度量和秩度量扩展到域上。它测量码在多次矩阵乘法信道（例如线性网络编码或域上的离散无记忆信道）中的纠错能力。虽然这个度量已经被证明是感兴趣的几个应用程序中，没有太多的是已知的it. In这项工作中，和秩支持码字和线性码的介绍和研究，重点是对偶。给出了和秩支撑的格结构;（\textit{support spaces}），将经典的限制和缩短运算推广到秩和度量，并给出了估计给出了这类限制码和缩短码的参数（界和等式），并给出了三个主要应用：1）引入了广义秩和权的概念，给出了它们的基本性质和界，2）证明了最大秩和距离（MSRD）码的压缩码、缩短码和限制码依次是MSRD码; 3）引入和秩码的简并数和有效码长，并给出了它们的特征。在附录中，介绍了由斜多项式定义的斜支撑，并给出了它们与和秩支撑的关系。
2019-01-30 cs.IT math.IT
Sum-Rank BCH Codes and Cyclic-Skew-Cyclic Codes
本文介绍了循环-斜循环码和和秩BCH码。循环-斜循环码的特征在于一个合适的非交换有限环的左理想，使用多项式上的斜多项式构造（反之亦然）。单生成这样的左理想被发现，他们被用来构建相应的代码的生成矩阵。利用多项式上斜多项式的根对，引入定义集的概念。对于定义集包含某些连续码对的循环-斜循环码，给出了最小秩和距离的一个下界（称为秩和BCH界）。然后定义具有最小秩和距离的秩和BCH码为最大循环-斜循环码，其定义集包含这样的连续码对。给出了和秩BCH码的定义集，并给出了其维数的一个下界。由于它，提供了表，其示出了对于二进制$ 2 \times 2 $矩阵（即，其码字是$ 2 \times 2 $二进制矩阵列表的代码，列表长度的范围很广，对应于代码长度）。最后，得到了一个和秩BCH码的译码器，译码距离可达其规定距离的一半。
2021-06-08 cs.IT math.IT
Bounds and Genericity of Sum-Rank-Metric Codes
我们推导出简化的球包装和吉尔伯特-Varshamov界的代码的和秩度量，可以计算得比以前的更有效。它们产生的渐近界，覆盖的渐近设置，尚未被认为在文献中：家庭的和秩度量码的块大小增长的代码长度。我们还提供了两个通用的结果：我们表明，随机线性码几乎实现了高概率的和秩度量Gilbert-Varshamov界。此外，我们推导出一个随机线性码达到秩和度量Singleton界的概率上的界，表明对于足够大的扩展域，几乎所有的线性码都能实现它。
2023-03-21 cs.IT math.IT
Construction and Fast Decoding of Binary Linear Sum-Rank-Metric Codes
本文基于BCH码、Goppa码和加性四元汉明度量码构造矩阵大小为2×2的二元线性秩和度量码，并给出至多O(t²)运算的快速译码算法，同时构造出渐近性能良好的二次时间可编码译码码序列。
2024-04-04 cs.IT math.IT
Generic Decoding in the Sum-Rank Metric
我们提出了第一个非平凡的通用解码算法的代码在秩和度量。新方法结合了著名的通用解码器的汉明和秩度量的想法。对于相同的码参数和错误数量，新的通用解码器具有比已知的通用解码器更大的期望复杂度，对于汉明度量，并且比已知的秩度量解码器更小。此外，我们给出了一个正式的硬度减少，提供证据表明，通用的和秩解码是计算困难的。作为上述的副产品，我们解决了一些基本的编码问题的和秩度量：我们给出了一个算法来计算一个给定的和秩半径的球体的确切大小，也给出了一个上界作为一个封闭的公式;我们研究擦除解码相对于两个不同的概念的支持。
2021-10-28 cs.IT math.IT
Fundamental Properties of Sum-Rank Metric Codes
本文研究了秩和度量码的理论，其中各个矩阵块可以具有不同的大小。各种界限的基数的代码，以及它们的渐近扩展。还探讨了和秩度量码的对偶理论，表明只有当所有矩阵块具有相同的列数时，MSRD码（MDS码的和秩模拟）才对偶为MSRD码。在后一种情况下，对偶性的考虑导致了MSRD码的块的数量的上限。本文还包含各种建设的和秩度量码的可变块大小，说明这些对象的可能行为的界限，存在性和对偶性质。
2020-10-06 cs.IT math.IT
Strong Singleton-Like Bounds, Quasi-Perfect Codes and Distance-Optimal Codes in the Sum-Rank Metric
Hubei University（湖北大学）；Jinan University（暨南大学）；Hubei University of Education（湖北教育学院）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；South-Central Minzu University（中南民族大学）
本文在求和-rank度量中提出强单体类界限、准完美码和距离最优码的构造方法，改进了经典单体界限并展示了更优的码构造。
2026-02-17 cs.IT math.IT
Sum-rank product codes and bounds on the minimum distance
分析了一个赋汉明度量的码和一个赋秩度量的码的张量积。这给出了自然继承秩和度量的代码。专门的产品的循环码和斜循环码，由此产生的代码原来属于最近推出的家庭循环-斜循环。在研究了秩和度量下的半线性等距后，给出了这类码的群论描述。最后，推广的Roos和Hartmann-Tzeng界的和秩度量，以及一个新的下界的最小距离的两个代码之一构成的产品代码。
2021-05-31 cs.IT math.IT
New Explicit Good Linear Sum-Rank-Metric Codes
本文提出三种显式线性求和秩度量码构造方法，在有限长度下可得到比先前更大的码，渐近性能接近Gilbert-Varshamov类界，并构造了任意有限域上无块长度和参数限制的线性MSRD码。
2023-07-03 cs.IT math.IT
Function-Correcting Codes for Sum-Rank Metric
Indian Institute of Science, Bangalore（印度科学研究所）
研究和秩度量下的函数纠错码，推导其最优冗余的上下界，建立类似Plotkin界，给出局部二元函数的函数纠错和秩度量码的显式构造。
2026-07-13 cs.IT math.IT
On Decoding High-Order Interleaved Sum-Rank-Metric Codes
我们考虑具有高交织阶数$s$的垂直均匀交织秩和度量码的解码，该码是通过堆叠单个组成码的$s$码字而构造的。提出了一种Metzner-Kapturowski类译码算法，当交织阶数$s > t$和误差矩阵满足一定的秩条件时，该算法能够纠正秩和权值$t <= d-2$的错误，其中$d$是码的最小距离.所提出的解码算法在汉明度量和秩度量方面推广了Metzner-Kapturowski（类）解码器，并且在$\mathbb{F}_{q^m}$中具有$\tilde{O}(\max(n^3, n^2 s))$操作的计算复杂性，其中$n$是码的长度。该方案只执行线性代数运算，因此适用于任何交织线性秩和度量码。我们展示了如何解码器可以用来解码高阶交织码的偏斜度量。除了错误控制，建议的解码器允许确定的安全级别的代码为基础的密码系统的基础上交织和秩度量码。
2023-03-30 cs.IT math.IT
Convolutional Codes with Maximum Column Sum Rank for Network Streaming
卷积码的列汉明距离确定在一类分组擦除信道上进行流传输时的纠错能力。我们引入了一个度量称为列和秩，平行列汉明距离时，通过网络流与链路故障。我们证明了几个已知的列汉明距离属性的秩类似物，并引入了一个新的家庭的卷积码，最大限度地提高列和秩的代码存储器。我们的建设涉及到寻找一类超正则矩阵，保持这个属性后，乘法与非奇异块对角矩阵在地面领域。
2016-04-16 cs.IT math.IT
Skew and linearized Reed-Solomon codes and maximum sum rank distance codes over any division ring
Reed-Solomon码和Gabidulin码分别具有最大汉明距离和最大秩距离。使用斜多项式的一般构造，称为斜Reed-Solomon码，已经在文献中介绍。在这项工作中，我们介绍了一个线性化的版本，这样的代码，称为线性里德-所罗门码。我们证明了它们具有最大秩和距离。这种距离在多镜头网络编码或单镜头多网络编码中是有意义的。为了证明我们的结果，我们引入了新的度量定义的斜多项式，我们称之为斜度量，我们证明了斜Reed-Solomon码有最大的斜距离，然后我们把这种情况下的线性Reed-Solomon码和秩度量。Reed-Solomon码和Gabidulin码的理论是我们理论的特例，和秩度量推广了Hamming度量和秩度量。我们在任何除环（交换或非交换域）上发展我们的理论。我们还考虑了非零导子，这给了新的最大秩距离码在无限域上没有考虑过。
2018-02-08 cs.IT math.IT
Sum-rank metric codes
本章系统阐述和秩度量码的数学理论，涵盖不变量、最优反码、MSRD 码及 F_{q^m} 线性码等主要成果。
2023-04-24 cs.IT math.IT
Explicit Constructions of Sum-Rank Metric Codes from Quadratic Kummer Extensions
本文通过二次库默扩展显式构造了求和-秩度量码，提高了块长并确定了参数，同时讨论了其渐进行为和与现有界的比较。
2025-12-15 cs.IT math.IT
Quasi-Perfect and Distance-Optimal Codes Sum-Rank Codes
本文针对距离最优码和准完美码的构造难题，提出了三类具有特定参数的sum-rank码，并证明了通过Plotkin和可获取更多距离最优二元sum-rank码。
2024-02-14 cs.IT math.IT
Systematic Maximum Sum Rank Codes
在过去的十年中，一直有很大的兴趣，扩展结果的代码配备了汉明度量类似的结果赋予代码的秩度量。本工作遵循这一研究思路，研究了具有最大秩距离的码的系统生成矩阵（编码器）的特征。在汉明距离的上下文中，这些码是所谓的最大距离可分离（MDS）码，并且系统编码器已经被充分研究。本文研究了系统形式的最大秩距离（MRD）码和最大秩和距离（MSRD）码的代数性质和编码器的表示。我们分别解决分组码和卷积码，并提出了必要和充分条件的编码器在系统的形式，以产生一个代码的最大（总和）秩距离。这些特征是在某些矩阵，必须是超正则的扩展领域和保持超正则性后，在基域进行一些变换。最后，我们提出了一些最大和秩卷积码在小领域的例子的工作。对于给定的参数，得到的例子是在较小的领域比其他作者得到的例子。
2020-01-20 cs.IT math.IT
Efficient Decoding of Folded Linearized Reed-Solomon Codes in the Sum-Rank Metric
最近，在和秩度量的代码引起了人们的注意，由于在多点网络编码，分布式存储和量子抗密码学的几个应用。Reed-Solomon码和Gabidulin码的秩和类似物是线性化的Reed-Solomon码。我们展示了如何构建$h$折叠线性里德所罗门（FLRS）码，并推导出一个基于插值的解码方案，能够纠正超出唯一的解码半径的秩和错误。所提出的解码器可以用于列表或概率唯一解码，并且最多需要$\mathbb{F}_{q^m}$中的$\mathcal{O}(sn^2)$操作，其中$s \leq h$是插值参数，$n$表示展开码的长度。我们推导出一个启发式上界的概率唯一解码器的失败概率，并通过蒙特卡罗模拟验证结果。
2022-09-03 cs.IT math.IT
Error-Erasure Decoding of Linearized Reed-Solomon Codes in the Sum-Rank Metric
秩和度量的码在多点网络编码、分布式存储和基于码的密码学的差错控制中有着广泛的应用。线性化Reed-Solomon（LRS）码包含Reed-Solomon码和Gabidulin码作为子类，并且在秩和度量上满足Singleton类上界。我们提出了第一个已知的错误擦除解码器的LRS码释放其全部潜力的多拍网络编码。所提出的基于综合征的Berlekamp-Massey类错误擦除解码器可以校正$t_F$全错误、$t_R$行擦除和$t_C$列擦除，直到在和秩度量中的$2t_F + t_R + t_C \leq n-k$，在$\mathbb{F}_{q^m}$中最多需要$\mathcal{O}(n^2)$操作，其中$n$是码的长度，$k$是码的维数。我们展示了如何建议的解码器可以用来纠正错误的总和子空间度量发生在（非相干）多拍网络编码。
2022-09-02 cs.IT math.IT
Notes on the Sum-Rank Weight of a Matrix with Restricted Rank
本文针对受限秩矩阵，推导了其和秩权重等于各块秩之和的概率公式与下界，为和秩权重的分布提供了理论依据。
2023-11-16 cs.DM cs.IT math.IT
On the List-Decodability of Random (Linear) Sum-Rank Metric Codes
本文建立了和秩度量码的列表译码容量定理，并证明随机一般及随机 $\mathbb{F}_q$-线性和秩度量码在速率不超过容量时均以高概率具有 $O(1/ε)$ 大小的列表可译性，其中通过证明和秩度量球与子空间的有限相关性实现了列表大小的指数级改进。
2025-03-13 cs.IT math.IT
Space-Time Codes from Sum-Rank Codes
正如秩度量或Gabidulin码可用于构造速率分集折衷最优空时码，最近引入的秩和度量的推广-线性化Reed-Solomon码-在多个衰落块的情况下实现相同。在本文中，我们提供了第一个明确的最小延迟率分集最佳多块空时码的线性化Reed-Solomon码的应用。我们还提供了这些代码的顺序解码器，更一般地说，从有限域码构造的空时码。仿真结果表明，所提出的码可以在低信噪比下优于基于循环划分代数的全分集码，以及利用显着更小的星座。
2021-03-08 cs.IT math.IT
Maximum Sum-Rank Distance Codes over Finite Chain Rings
本文将最大和秩距离码与线性化 Reed-Solomon 码推广到有限链环，证明其最优性，并提出两种低复杂度译码器，还给出有限域上首个线性化 Reed-Solomon 码伴随式译码器，展示了在空时编码和网络编码中的应用。
2024-01-12 cs.IT math.IT
Constructions and List Decoding of Sum-Rank Metric Codes Based on Orthogonal Spaces over Finite Fields
本文基于有限域上正交空间构造Sum-rank度量码，提出两种构造方法，并利用子空间设计计算列表译码的列表大小，从而提升译码成功率。
2025-07-22 cs.IT math.IT
The geometry of covering codes in the sum-rank metric
本文引入和秩饱和系统概念，将其与和秩度量码覆盖问题对应，给出最短饱和系统的上下界，并基于几何结构构造饱和系统。
2025-04-09 cs.IT math.CO math.IT
Support-Guessing Decoding Algorithms in the Sum-Rank Metric
本文研究和秩度量码的支持猜测译码算法，推导渐近最优支持猜测分布并给出精确复杂度估计，同时为LRS码提出基于错误与擦除译码器的随机化译码算法，扩展唯一译码半径之外的能力。
2024-10-21 cs.IT math.IT
On (Partial) Unit Memory Codes Based on Gabidulin Codes
（部分）单元记忆（（P）UM）码提供了基于分组码构造卷积码以实现高解码性能的强大可能性。在这方面的贡献，被认为是基于Gabidulin码的建设。这种构造需要修改的秩度量，即所谓的和秩度量。对于和秩度量，定义了自由秩距离、扩展行秩距离及其斜率，类似于Hamming度量中的扩展行距离。给出了（P）UM码的自由秩距离和和秩度量的斜率的上界，并给出了基于Gabidulin码的（P）UM码的显式构造，得到了自由秩距离的上界.
2011-02-15 cs.IT math.IT
Block Tensor Rank of Sum-Rank Metric Codes
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Hanoi University of Science and Technology（河内科学技术大学）；VinUniversity（文莱大学）
本文引入和秩度量码的块张量秩，证明其可加性分解，并基于投影和坐标码导出下界，构造达到Singleton或Griesmer界的码族。
2026-06-15 cs.IT math.CO math.IT
Eigenvalue Bounds for Sum-Rank-Metric Codes
本文通过引入和秩度量图并结合特征值技术，推导出和秩度量码维数和分组长度的改进上界，并为MSRD码建立了新的不存在性结果。
2023-10-26 cs.IT math.CO math.IT
The geometry of one-weight codes in the sum-rank metric
给出了$k$维$\mathbb{F}_{q^m}$线性和秩度量码作为$\mathbb{F}_{q^m}^k$的$\mathbb{F}_q$ -子空间的元组的几何刻画.然后，我们使用这个特征来研究单重码的和秩度量。这导致我们扩展的家庭的线性里德-所罗门码，以获得一个双重扩展的版本。我们证明了这些代码仍然是最大秩和距离（MSRD）的代码，当$k=2$，他们是一个重量，在汉明度量的情况下。然后，我们专注于常数秩轮廓码的秩和度量，这是一个特殊的家庭的一个重量码，并推导出其参数的限制与援助的相关的汉明度量码。此外，我们还引入了秩和度量下的$n$ -单纯形码，它是作为$\mathrm{GL}(k,q^m)$的Singer子群的轨道而得到的。他们原来是常数秩配置文件-因此一个重量-和推广的单纯形码在汉明和秩度量。最后，我们重点研究了$2$ -维单权码，导出了对那些也是MSRD码的参数的约束条件，并在$q=2$的情况下得到了一种新的单权MSRD码的构造。
2021-12-09 cs.IT math.CO math.IT
One-weight codes in the sum-rank metric
本文研究了求和-秩度量下的一重码的几何结构，探讨了常秩列表码、常秩型码以及MSRD码的分类与构造方法。
2026-10-21 cs.IT math.CO math.IT
Bounds on Sphere Sizes in the Sum-Rank Metric and Coordinate-Additive Metrics
本文通过玻尔兹曼分布相关熵方法为坐标可加度量推导改进的球体大小上下界，并针对和秩度量给出优于现有闭式界的新闭式界。
2025-07-03 cs.IT math.CO math.IT
Semidefinite and linear programming bounds for sum-rank-metric codes and non-existence results
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Tilburg University（蒂尔堡大学）；Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉范维泰利大学）
本文通过谱和优化技术，提出新的尖锐上界，用于求解求和-秩度量码的最大尺寸，并通过比较Delsarte线性规划界和最近的特征值线性规划界，证明其等价性，进而证明某些最优和完美求和-秩度量码的非存在性。
2026-04-30 cs.IT math.CO math.IT
Invariants for sum-rank metric codes
本文针对和秩度量码的等价问题，引入广义理想化子、中心化子、中心及核参数等新不变量，并构建基于斜多项式的计算框架，为传统工具失效的MSRD码等价性研究提供了有效方法。
2025-07-05 cs.IT math.CO math.IT
On the non-existence of perfect codes in the sum-rank metric
本文研究和秩度量下线性完美码的存在性，通过分析度量球几何与体积界，给出两块空间的参数约束，并在多块空间中基于最小距离、整除性和码维数建立多类不存在性结果。
2025-08-28 cs.IT math.CO math.IT
Geometric dual and sum-rank minimal codes
本文的主要目的是在秩和度量下进一步研究最近引入的极小码的结构、参数和构造。这些对象形成了一个桥梁之间的经典最小码的汉明度量，在过去的三十年里，激烈的研究的主题，部分是因为他们的密码学性质，和最近的秩度量最小码。我们证明了他们的参数，存在性结果的一些界限，并通过一个工具，我们命名为几何对偶，我们设法构造最小码的重量很少。著名的Ashikhmin-Barg条件的推广证明和使用，以确保某些结构的极小。
2023-03-13 cs.IT math.CO math.IT
Algebraic Geometry codes in the sum-rank metric
本文首次在和中引入线性化代数几何码的几何构造，利用 Ore 多项式环的商，给出维数和最小距离下界，参数满足类似 Goppa 界，且渐近优于和秩 Gilbert-Varshamov 界。
2024-05-29 cs.IT math.AG math.IT
Fast Decoding of Codes in the Rank, Subspace, and Sum-Rank Metric
我们加快现有的解码算法的三个代码类在不同的度量：交织Gabidulin码的秩度量，解除交织Gabidulin码的子空间度量，和线性Reed-Solomon码的秩和度量。加速是通过新的算法实现的，这些算法将解码器的底层计算问题的核心减少到一个共同的工具：计算斜多项式环上的矩阵的左近似基和右近似基。为了实现这一点，我们描述了一个斜模拟现有的PM-基础算法的矩阵在普通多项式。这捕获了斜多项式乘法中的大部分工作，并且复杂性的好处来自于现有算法比经典的二次复杂性更快地执行此操作。各种解码相关的计算问题的新算法是有趣的，在自己的，并有进一步的应用，特别是部分解码器的其他几个代码和基本问题有关的斜多项式的矩阵估计。
2021-03-10 cs.IT cs.SC math.IT
Explicit and asymptotically good constructions of Algebraic Geometry codes in the sum-rank metric
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；University of Bordeaux（波尔多大学）
本文研究和秩度量下的线性化代数几何码，基于Ore多项式环的商环，提供显式、最优和渐近良好的构造。
2026-06-08 cs.IT math.AG math.IT
Twisted Linearized Reed-Solomon Codes: A Skew Polynomial Framework
本文给出了秩和度量码的一个代数描述，即作为斜多项式环的商空间。这种方法同时推广了秩度量码的斜群代数设置和汉明度量码的多项式设置。这允许构造扭曲的线性Reed-Solomon码，一个新的家庭的最大和秩距离码扩展在同一时间Sheekey的扭曲Gabidulin码的秩度量和扭曲Reed-Solomon码的汉明度量。此外，我们还提供了Trombetti-Zhou构造的和秩度量的类似物，它也提供了一族最大和秩距离码。作为一个副产品，在极端情况下的汉明度量，我们得到了一个新的家庭加MDS码在二次域。
2021-05-21 cs.IT math.CO math.IT
Low-Rank Structure Learning via Log-Sum Heuristic Recovery
Tsinghua University（清华大学）；Hangzhou Dianzi University（杭州电子科技大学）
提出对数求和启发式恢复（LHR）模型，通过非凸对数求和度量增强稀疏性，并采用MM型算法求解，在鲁棒主成分分析和低秩表示任务中优于ℓ1基方法。
2012-03-24 cs.IT cs.LG cs.NA
