Doubly and triply extended MSRD codes
本文推广了双重扩展线性Reed-Solomon码和三重扩展线性Reed-Solomon码。我们得到了一个一般的结果，我们的特点时，一个乘扩展码的一般度量达到Singleton界。然后，我们使用这个结果，以获得几个家庭的双重扩展和三重扩展的最大秩和距离（MSRD）的代码，包括双重扩展的线性里德-所罗门码和三重扩展里德-所罗门码作为特殊情况。最后，我们讨论当这些代码是单重量码。
2022-12-11 cs.IT math.IT
A general family of MSRD codes and PMDS codes with smaller field sizes from extended Moore matrices
我们构造了六个新的显式线性最大秩和距离（MSRD）码族，其中每一个具有最小的字段大小在所有已知的MSRD码的一些参数制度。使用它们和作者以前的结果，我们提供了两个新的显式家庭的线性部分MDS（PMDS）码的字段大小比以前的PMDS码的一些参数制度。我们的方法是表征评价点，把扩展摩尔矩阵的线性MSRD码的奇偶校验矩阵。然后，我们产生这样的序列的代码具有良好的汉明度量参数。利用MDS码、Hamming码、BCH码和三种代数几何码，得到了六类新的具有更小域长的线性MSRD码。基于Hamming码的MSRD码具有最小秩和距离$ 3 $，满足Byrne等人最近提出的一个界。
2022-04-20 cs.IT math.AG math.IT
Zeta Functions for Tensor Codes
在这项工作中，我们介绍了一类新的最佳张量码的Ravagnani型的反码，即$j$张量最大秩距离码。我们表明，它扩展了家庭的$j$ -最大秩距离码，并包含$j$ -张量二项式矩确定的代码（相对于Ravagnani型的反码）作为一个适当的子类。定义并研究了张量码的广义zeta函数。我们建立这个对象之间的连接和重量枚举的代码相对于Ravagnani型反码。我们引入了一个新的改进的不变量的张量码利用的产品格的结构的一些类的反码，我们得到相应的MacWilliams身份。在这个框架中，我们还定义了一个多元版本的张量权重枚举，我们建立与相应的zeta函数的关系。作为一个应用程序，我们推导出的Delsarte和Ravagnani型反码的广义张量权重的连接。
2022-12-12 cs.IT math.IT
Sum-rank metric codes
本章系统阐述和秩度量码的数学理论，涵盖不变量、最优反码、MSRD 码及 F_{q^m} 线性码等主要成果。
2023-04-24 cs.IT math.IT
Breaking linearity in the sum-rank metric: MSRD codes from switched $σ$-rational normal curves
Università degli studi di Perugia（佩鲁贾大学）；Università di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
该研究通过切换σ-有理正规曲线的范数分量并结合线性化Reed-Solomon伴随映射，构造出首批多块非加性MSRD码，其性能与同参数线性MSRD码相当。
2026-10-09 cs.IT math.CO math.IT
Tensor Codes and their Invariants
1991年，Roth提出了秩度量码的自然推广，即张量码。后者被定义为子空间的$r$ -张量的周围空间被赋予张量秩作为一个距离函数。在这项工作中，我们描述了一般类的张量代码，我们研究了它们的不变量，对应于不同的家庭的反码。在我们的上下文中，反码是一个完美的空间，它具有一些额外的属性。完美空间是由秩为1的张量张成的空间。我们使用的anticode概念的动机是在捕获张量代码的结构特性的兴趣。特别是，我们确定了四个不同的类张量反码，并显示如何这些给不同的信息，他们描述的代码。我们还定义了广义张量二项矩和广义张量重量分布的代码，并建立这些不变量之间的双射。我们使用广义张量二项矩来定义一个$i$ -张量BMD码的概念，这是一个极值码的关系所产生的一个不等式。最后给出了广义张量二项式矩的MacWilliams恒等式。
2021-12-15 cs.IT math.IT
Grassmannian Codes as Lifts of Matrix Codes Derived as Images of Linear Block Codes over Finite Fields
设$p$是素数，使得$p \equiv 2$或$3$ mod $5$。在赋Bachoc权的素域$GF(p)$上的$2 \times 2$矩阵的非交换矩阵环上的线性分组码被导出为赋Hamming度量的Galois域$GF(p^2)$上的线性分组码的等距像.当被视为秩度量码时，这类矩阵码满足Singleton界，因此是最大秩距离码，然后将其提升以形成一类特殊的子空间码，格拉斯曼码，满足反码界。这些所谓的反码最优格拉斯曼码以某种方式与完全图相关联。给出了这些最大秩距离码和反码最优格拉斯曼码的新例子。
2015-02-14 cs.IT math.IT
On the Etzion-Silberstein conjecture for block Ferrers diagrams
University of Trento（特伦托大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；University of Naples ``Federico II''（那不勒斯费德里科二世大学）
研究分块费勒斯图的埃齐翁 - 西尔伯斯坦猜想，引入MSRD可构造性概念，证明其在有限域上能产生最优码，关联其与收缩图的MDS可构造性，得出相关图的MSRD可构造性，还证明向分块三角图的约简及猜想新情形。
2026-07-10 cs.IT math.CO math.IT
On MSRD codes, h-designs and disjoint maximum scattered linear sets
本文研究了 sum-rank 度量中码的几何特性，建立了广义权重和几何对偶操作，并扩展了最大 sum-rank 距离码与 h-设计的对应关系，利用不相交最大分散线性集构造了新码和新设计。
2023-08-01 cs.IT math.CO math.IT
Generalized weights of convolutional codes
1997年，Rosenthal和York定义了卷积码的广义汉明重量，将卷积码视为具有汉明度量的无限维线性码。在本文中，我们提出了一个新的定义的广义权重的卷积码，考虑到底层模块结构的代码。我们导出了广义权的基本性质，并讨论了它与前面定义的关系。我们建立上界的MDS和MDP码的重量层次，并表明，根据代码的参数，一些或所有的广义MDS码的重量是由长度，秩，和内部的程度的代码。我们还证明了卷积码的一个反码界，并定义最佳反码为满足反码界的码。最后，我们分类最佳的反码，并计算其重量层次。
2022-07-25 cs.IT math.IT
Rank-metric codes and their duality theory
比较了Delsarte和Gabidulin提出的秩度量码的两种对偶理论，证明了前者是后者的推广。对于一般的Delsarte秩度量码，我们给出了MacWilliams恒等式的初等证明.我们得出的身份是非常容易处理，并允许我们重新建立一个非常简洁的方式的主要成果理论的秩度量码首先证明了德尔萨特采用理论的关联计划和经常半格。我们还表明，我们的身份意味着作为一个推论，原来的麦克威廉姆斯身份建立的Delsarte。我们描述了如何最小和最大秩的秩度量码的最小和最大秩的对偶码，给出了一些界限和特征的代码实现它们。然后，我们研究最佳的反码的秩度量，描述他们的最佳代码（即，MRD码）。特别地，我们证明了一个最佳反码的对偶是一个最佳反码。最后，作为我们的结果在计数组合学中的一个经典问题的应用，我们得到了一个递归的和一个显式的公式，$k \times m$矩阵的数量在有限域上具有给定的秩和$h$ -迹。
2015-04-02 cs.IT math.CO math.IT
The geometry of one-weight codes in the sum-rank metric
给出了$k$维$\mathbb{F}_{q^m}$线性和秩度量码作为$\mathbb{F}_{q^m}^k$的$\mathbb{F}_q$ -子空间的元组的几何刻画.然后，我们使用这个特征来研究单重码的和秩度量。这导致我们扩展的家庭的线性里德-所罗门码，以获得一个双重扩展的版本。我们证明了这些代码仍然是最大秩和距离（MSRD）的代码，当$k=2$，他们是一个重量，在汉明度量的情况下。然后，我们专注于常数秩轮廓码的秩和度量，这是一个特殊的家庭的一个重量码，并推导出其参数的限制与援助的相关的汉明度量码。此外，我们还引入了秩和度量下的$n$ -单纯形码，它是作为$\mathrm{GL}(k,q^m)$的Singer子群的轨道而得到的。他们原来是常数秩配置文件-因此一个重量-和推广的单纯形码在汉明和秩度量。最后，我们重点研究了$2$ -维单权码，导出了对那些也是MSRD码的参数的约束条件，并在$q=2$的情况下得到了一种新的单权MSRD码的构造。
2021-12-09 cs.IT math.CO math.IT
Maximum Sum-Rank Distance Codes over Finite Chain Rings
本文将最大和秩距离码与线性化 Reed-Solomon 码推广到有限链环，证明其最优性，并提出两种低复杂度译码器，还给出有限域上首个线性化 Reed-Solomon 码伴随式译码器，展示了在空时编码和网络编码中的应用。
2024-01-12 cs.IT math.IT
Theory of supports for linear codes endowed with the sum-rank metric
和秩度量自然地将编码理论中的汉明度量和秩度量扩展到域上。它测量码在多次矩阵乘法信道（例如线性网络编码或域上的离散无记忆信道）中的纠错能力。虽然这个度量已经被证明是感兴趣的几个应用程序中，没有太多的是已知的it. In这项工作中，和秩支持码字和线性码的介绍和研究，重点是对偶。给出了和秩支撑的格结构;（\textit{support spaces}），将经典的限制和缩短运算推广到秩和度量，并给出了估计给出了这类限制码和缩短码的参数（界和等式），并给出了三个主要应用：1）引入了广义秩和权的概念，给出了它们的基本性质和界，2）证明了最大秩和距离（MSRD）码的压缩码、缩短码和限制码依次是MSRD码; 3）引入和秩码的简并数和有效码长，并给出了它们的特征。在附录中，介绍了由斜多项式定义的斜支撑，并给出了它们与和秩支撑的关系。
2019-01-30 cs.IT math.IT
Codes Endowed With the Rank Metric
我们回顾了秩度量码理论的主要结果，重点是它们的组合性质。我们研究他们的对偶理论和MacWilliams身份，特别是比较秩度量码的向量和矩阵表示。然后，我们调查的组合结构的MRD码和最佳的反码的秩度量，描述它们如何相互关联。
2017-10-05 cs.IT math.CO math.IT
Invariants for sum-rank metric codes
本文针对和秩度量码的等价问题，引入广义理想化子、中心化子、中心及核参数等新不变量，并构建基于斜多项式的计算框架，为传统工具失效的MSRD码等价性研究提供了有效方法。
2025-07-05 cs.IT math.CO math.IT
Rank-metric codes
这是即将出版的“编码理论简明百科全书”的一章，W.C. Huffman，J.- L. Kim和P. Sole' Eds.，Press.本章介绍了秩度量码的数学理论。处理的主题包括：秩度量的定义，码的等价性，码字和码的支持，对偶性，权重枚举数和MacWilliams恒等式，更高秩权重，MRD码，最优反码，以及与秩度量码相关联的q-多拟阵。
2019-02-07 cs.IT math.IT
Rank-metric LCD codes
本文研究Delsarte和Gabidulin提出的秩度量码是互补对偶码。指出了Delsarte互补对偶码与Gabidulin互补对偶码之间的关系。在有限域$\mathbb{F}_{q}^{m}$上，利用$\mathbb{F}_{q}$上$\mathbb{F}_{q}^{m}$的自对偶基（或几乎自对偶基）构造了两类Gabidulin LCD MRD码.在适当的条件下，给出了$\mathbb{F}_{q}$上Delsarte最优反码为LCD码的一个充分条件.
2017-08-03 cs.IT math.IT
Interpolation-Based Decoding of Folded Variants of Linearized and Skew Reed-Solomon Codes
和秩度量是汉明度量和秩度量的混合，适用于多点网络编码和分布式存储的纠错，也适用于抗量子密码系统的设计。在这项工作中，我们考虑折叠线性里德所罗门（FLRS）码，这是最大的秩和距离（MSRD）适当的参数选择的建设和解码。我们推导出一个有效的基于插值的FLRS码的解码算法，可以用作列表解码器或作为概率唯一解码器。所提出的解码方案可以纠正超出唯一解码半径的秩和错误，其计算复杂性与展开码的长度成二次关系。我们展示了如何纠错能力可以优化的高速率代码的替代选择的插值点。我们推导出一个启发式上界的概率唯一解码器的解码失败概率，并通过蒙特卡罗模拟验证其紧密性。进一步，我们研究了折叠斜Reed-Solomon码在斜度量下的构造和译码。据我们所知，FLRS码是第一种具有不同块大小的MSRD码，并且具有高效的解码算法。
2023-03-27 cs.IT math.IT
Bounds on the Size of Permutation Codes with the Kendall $τ$-Metric
为了在非易失性存储器中有效地写入和存储数据，已经提出了秩调制方案。秩调制方案中的纠错通过考虑置换码来完成。本文考虑$n$元素上所有置换的集合$S_n$中的码，使用Kendall $τ$ -度量.本文的主要目标是得到新的界限，这样的代码的大小。为了这个目的，我们也考虑完美的代码，直径完美的代码，和最佳的反码的大小在肯德尔$τ$度量，结构有自己的相当大的兴趣。本文证明了$S_n$中不存在完美的单纠错码，其中$n>4$是素数或$4\leq n\leq 10$。我们提出了最佳的反码奇直径的大小的下界。作为结果，我们得到了一个新的上限的代码的大小在$S_n$甚至最小的Kendall $τ$ -距离。我们提出了比$S_5$和$S_7$中已知的更大的单纠错码。
2022-05-02 cs.IT math.IT
Skew polynomial representations of matrix algebras and applications to coding theory
University of Naples Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
本文提出了一种矩阵代数的斜多项式表示方法，用于构建具有最大求和-秩距离的编码方案，并在有限域中获得新的MDS码。
2025-12-09 cs.IT math.IT math.RA
New Explicit Good Linear Sum-Rank-Metric Codes
本文提出三种显式线性求和秩度量码构造方法，在有限长度下可得到比先前更大的码，渐近性能接近Gilbert-Varshamov类界，并构造了任意有限域上无块长度和参数限制的线性MSRD码。
2023-07-03 cs.IT math.IT
Rank-Metric Codes and $q$-Polymatroids
本文从代数和组合的角度研究秩度量码。我们引入了$q$ -多元拟阵，多元拟阵的$q$ -类似物，并研究了它们的基本性质.我们将一对q-多拟阵与秩度量码相关联，并证明了该码的几个不变量和结构性质，如广义权重、MRD或最佳反码的性质和对偶性，都被相关的组合对象捕获。
2019-09-05 cs.IT math.CO math.IT
A distance-free approach to generalized weights
Technische Universiteit Eindhoven（埃因霍温理工大学）；Université de Neuchâtel（纳沙泰尔大学）
本文提出了一种无需距离的广义权值方法，通过测试族定义码的权值，并扩展了已知的对偶结果到某些具有非零汉明分量的求和-秩度量码。
2025-12-19 cs.DM cs.IT math.IT
Rank-Metric Codes and Their Parameters
本章系统阐述线性秩度量码的基本参数及其相互关系，涵盖最优码、反码以及 MRD 码渐近密度等理论成果。
2023-12-11 cs.IT math.CO math.IT
Subspace codes from Ferrers diagrams
本文给出了费雷尔图秩度量码的新构造，使其维数达到可能的最大。特别地，我们证明了T. Etzion和N.西尔伯斯坦我们还建立了一个尖锐的下界的线性秩度量反码的尺寸与给定的配置文件。结合我们的结果与多级建设，我们产生的子空间码的例子与已知的最大基数为给定的参数。
2014-06-13 cs.IT math.CO math.IT
Integer sequences that are generalized weights of a linear code
本文研究了哪些整数序列可以作为线性码、秩距码及更一般的求和秩距码的广义权重序列，并证明了这些序列也出现在贪心权重序列中，同时刻画了相对广义权重序列的整数序列特征。
2026-06-29 cs.IT math.IT
Linearized Reed-Solomon Codes with Support-Constrained Generator Matrix and Applications in Multi-Source Network Coding
该研究提出具有支撑约束生成矩阵的线性化Reed-Solomon码，给出其存在的充要条件，并应用于多源网络编码中的分布式码设计。
2024-07-12 cs.IT math.IT
Systematic Maximum Sum Rank Codes
在过去的十年中，一直有很大的兴趣，扩展结果的代码配备了汉明度量类似的结果赋予代码的秩度量。本工作遵循这一研究思路，研究了具有最大秩距离的码的系统生成矩阵（编码器）的特征。在汉明距离的上下文中，这些码是所谓的最大距离可分离（MDS）码，并且系统编码器已经被充分研究。本文研究了系统形式的最大秩距离（MRD）码和最大秩和距离（MSRD）码的代数性质和编码器的表示。我们分别解决分组码和卷积码，并提出了必要和充分条件的编码器在系统的形式，以产生一个代码的最大（总和）秩距离。这些特征是在某些矩阵，必须是超正则的扩展领域和保持超正则性后，在基域进行一些变换。最后，我们提出了一些最大和秩卷积码在小领域的例子的工作。对于给定的参数，得到的例子是在较小的领域比其他作者得到的例子。
2020-01-20 cs.IT math.IT
Covering Codes, List-Decodable Codes and Strong Singleton-Like Bounds in the Sum-Rank Metric
本文从汉明覆盖码构造和秩覆盖码，提出其上界与块长函数，进而证明强类Singleton界，并给出列表可解码码大小及MSRD码块长的上界。
2023-12-25 cs.IT math.IT
Strong Singleton-Like Bounds, Quasi-Perfect Codes and Distance-Optimal Codes in the Sum-Rank Metric
Hubei University（湖北大学）；Jinan University（暨南大学）；Hubei University of Education（湖北教育学院）；Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；South-Central Minzu University（中南民族大学）
本文在求和-rank度量中提出强单体类界限、准完美码和距离最优码的构造方法，改进了经典单体界限并展示了更优的码构造。
2026-02-17 cs.IT math.IT
Eigenvalue Bounds for Sum-Rank-Metric Codes
本文通过引入和秩度量图并结合特征值技术，推导出和秩度量码维数和分组长度的改进上界，并为MSRD码建立了新的不存在性结果。
2023-10-26 cs.IT math.CO math.IT
One-weight codes in the sum-rank metric
本文研究了求和-秩度量下的一重码的几何结构，探讨了常秩列表码、常秩型码以及MSRD码的分类与构造方法。
2026-10-21 cs.IT math.CO math.IT
Quasi-Perfect and Distance-Optimal Codes Sum-Rank Codes
本文针对距离最优码和准完美码的构造难题，提出了三类具有特定参数的sum-rank码，并证明了通过Plotkin和可获取更多距离最优二元sum-rank码。
2024-02-14 cs.IT math.IT
A General Construction of Codes from Drinfeld Modules
Università degli Studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）；University of South Florida（南佛罗里达大学）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）
该研究从Drinfeld模出发，通过限制有界次数态射到互素挠点构造出超奇异情形下的秩与和秩码，得到显式MSRD族及多项式时间解码器，还推导了对应滤波方程。
2026-09-02 cs.IT math.CO math.IT
