Snake-in-the-Box Codes for Rank Modulation under Kendall's $τ$-Metric
对于闪存的等级调制方案中的格雷码，码字是置换的，并且使用推顶操作获得两个连续的码字。我们认为蛇在盒子中的代码下肯德尔的$τ$度量，这是一个格雷码能够检测一个肯德尔的$τ$错误。我们回答两个开放的问题所提出的Horovitz和Etzion。首先，我们证明了他们给出的一个构造的有效性，从而得到一个大小为$M_{2n+1}=\frac{(2n+1)!}{2}-2n+1$的蛇。其次，我们提出了一个不同的结构，针对一个更长的蛇的大小$M_{2n+1}=\frac{(2n+1)!}{2}-2n+3$。该构造已成功地应用于$S_7$ .
2015-06-09 cs.IT math.IT
Rate-Distortion for Ranking with Incomplete Information
我们研究了具有KendallTau度量和Chebyshev度量的置换集合中的率失真关系。我们的研究是出于应用置换率失真的平均情况下和最坏情况下的分析算法的排名与不完全信息和近似排序算法。对于Kendall Tau度量，我们提供了小，中，大失真制度的界限，而对于Chebyshev度量，我们提出了对所有失真都有效的界限，并且对于小失真特别准确。此外，对于Chebyshev度量，我们提供了一个覆盖码的构造。
2014-01-14 cs.IT math.IT
$t$-Balanced Codes with the Kendall-$τ$ Metric
本文研究 Kendall-$τ$ 度量下纠错码的最大基数与结构，提出平均界并刻画达到界的码，引入 $t$-平衡码族。
2024-05-23 cs.IT math.CO math.IT
Constructions of Rank Modulation Codes
秩调制是一种对信息进行编码以校正闪存设备中的错误以及传输线中的脉冲噪声的方式。建模秩调制涉及构建配备Kendall tau距离的排列空间的包装。我们提出了几个一般结构的代码排列，涵盖了广泛的代码参数。特别是，我们展示了一些方法，其中传统的纠错码可以被修改，以纠正错误的肯德尔空间。我们构造的代码提供简单的编码和解码算法，基本上相同的复杂性，需要纠正错误的汉明度量。例如，从二进制BCH码，我们得到的代码纠正$t$肯德尔错误的$n$存储单元，支持$n!/(\log_2n!)^t$消息的顺序，对于任何常数$t= 1,2,...$。我们还构建家庭的代码，纠正的错误数量的增长与$n$在不同的速度，从$Θ(n)$到$Θ(n^{2})$。我们的一个构造产生了一个家庭的秩调制码的消息的数量和可纠正的肯德尔错误的数量之间的权衡接近最佳缩放率。最后，我们列出了构造有限长度码的一些可能性，并给出了具有特定参数的秩调制码的例子。
2011-10-12 cs.IT math.IT
Codes in Permutations and Error Correction for Rank Modulation
最近已经提出了用于等级调制的代码作为保护闪存设备不受错误影响的手段。我们研究基本的编码理论问题，这样的代码，将它们表示为子集的一组排列的$n$元素配备肯德尔τ距离。我们推导出几个上下限的代码的大小。这些界限使我们能够建立精确的缩放的最佳代码的大小为大值的$n$。我们还证明了存在的代码，其大小是在一个恒定的因素内的球包装界的任何固定数量的错误。
2010-10-22 cs.IT math.IT
Systematic Codes for Rank Modulation
本文的目的是构造系统的纠错码的排列和多排列在肯德尔的$τ$ -度量。这些代码在诸如用于闪存的等级调制的新应用中是重要的。该构造基于用于多排列的纠错码和将排列集合划分为纠错码。对于给定的足够大数目的信息符号$k$，并且对于任何整数$t$，我们提出了一种用于${(k+r,k)}$系统$t$纠错码的构造，用于来自$S_{k+r}$的置换，具有比已知构造的码中的冗余符号的数目更少的冗余符号。特别地，对于给定的$t$和足够大的$k$，我们可以得到$r=t+1$。同样的构造也被应用于获得多排列的相关系统纠错码。
2014-04-20 cs.IT math.IT
New Theoretical Bounds and Constructions of Permutation Codes under Block Permutation Metric
不同度量下的置换码由于其潜在的应用前景而得到了广泛的研究。引入了广义Cayley度量来纠正广义换位错误，包括以前研究过的Kendall的$τ$ -度量、Ulam度量和Cayley度量作为特例.由于两个置换之间的广义凯莱距离不容易计算，杨等人引入了一个相同阶的相关度量，称为块置换度量。给定正整数$n$和$d$，令$\mathcal{C}_{B}(n,d)$表示具有最小块置换距离$d$的$S_n$中的置换码的最大大小。本文主要研究了$\mathcal{C}_{B}(n,d)$的理论界以及分组置换度量下置换码的构造。利用图论方法，当$d$固定且$n$趋于无穷大时，我们将Gilbert-Varshamov型约束改进为因子$Ω(\log{n})$.我们还提出了一种新的编码方案的基础上二进制等重码。当$d$与$n$比较接近时，给出了一个优于球形填充型界的上界.
2018-11-12 cs.IT math.CO math.IT
Correcting Tail Deletions in Rank Modulated Composite Encoding for Data Storage in DNA
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Reichman University（雷希曼大学）
本文研究了在DNA数据存储中结合两种新的编码方法，利用复合DNA字母表和rank modulation码的特性，提出了一种基于排列的高效编码方案，并针对删除和插入码进行了界限和构造研究。
2026-08-27 cs.IT math.IT
On ML-Certificate Linear Constraints for Rank Modulation with Linear Programming Decoding and its Application to Compact Graphs
摘要将置换码、秩调制和线性规划方法交叉研究，研究了不含分数顶点的矩阵多面体的线性约束问题。通过对矩阵的块结构的讨论，从已知的小多面体出发，得到了一类新的块结构多面体。这个概念，称为“合并”，被应用到寻找一个新的紧凑的图，这是已知的图同构问题的一种方法。我们的新置换码的编码和译码算法是从现有的小多面体算法中得到的。与通过改变置换码的基而获得的码的肯德尔-τ距离和最小欧几里德距离相关联的最小距离可以大于原始距离。
2012-02-05 cs.IT math.CO math.IT
Ulam Sphere Size Analysis for Permutation and Multipermutation Codes Correcting Translocation Errors
已经建议将Ulam度量中的置换和多置换码用于非易失性存储器存储系统，诸如闪存设备。本文介绍了利用Young Table计算Ulam度量下置换球大小的一种新方法，并证明了Ulam度量下非平凡完美置换码的不存在性。然后，我们将研究扩展到多重置换，提供严格的上界和下界的多重置换乌拉姆球的大小和由此产生的上界和下界的最大尺寸的多重置换码的乌拉姆度量。
2019-01-08 cs.IT math.IT
Permutation Arrays Under the Chebyshev Distance
（n，d）排列数组（PA）是一组长度为n的排列，其性质是数组中任何两个排列之间的距离（在某种度量下）至少为d。它们最近因电力线通信而流行起来。出于对闪存的应用，在本文中使用的度量是切比雪夫度量。给出了一些不同的构造以及这种PA的大小的界限。
2009-07-15 cs.IT math.IT
Systematic Error-Correcting Codes for Rank Modulation
最近已经提出了秩调制方案，用于在非易失性存储器中有效地存储数据。纠错码对于秩调制是必不可少的，然而，现有的研究成果有限。在这项工作中，我们探索一种新的方法，\emph{systematic error-correcting codes for rank modulation}。系统化编码的好处是能够实现有效的信息检索，并可能支持更有效的编码和解码过程。我们研究了在Kendall的$τ$度量和$\ell_\infty$度量下的秩调制系统码.在Kendall的$τ$ -度量中，我们提出了$[k+2,k,3]$ -纠正一个错误的系统码，除非存在系统完美码，否则它们具有最优的纠错率.我们还研究了多纠错码的设计，并给出了两种显式的构造，一种构造的$[n+1,k+1,2t+2]$系统码的冗余度最多为$2t+1$。我们使用非建设性的参数，以显示存在的$[n,k,n-k]$ -系统的一般参数的代码。此外，我们证明了秩调制，系统码实现了一般的纠错码相同的容量。最后，在$\ell_\infty$ -度量下，我们构造了两个$[n,k,d]$系统多纠错码，第一个用于$d=O(1)$的情况，第二个用于$d=Θ(n)$。在后一种情况下，代码具有相同的渐近速率作为目前已知的最好的代码在这个度量。
2013-10-25 cs.IT math.IT
Limited-Magnitude Error-Correcting Gray Codes for Rank Modulation
我们构造的格雷码排列的秩调制方案，这也是能够纠正错误下的无限度量。这些错误模型有限的幅度或尖峰错误，其中只有单一的错误检测格雷码目前已知。令人惊讶的是，我们构造的纠错码比目前已知的不具有Gray性质的构造实现了更好的渐近速率，并且超过了Gilbert-Varshamov界。此外，我们提出了有效的排名和unranking程序，以及在线性时间运行的解码过程。最后，我们也适用于我们的方法来解决一个突出的问题，错误检测秩调制格雷码（蛇在盒子中的代码）在不同的度量，肯德尔$τ$ -度量，在一个偶数的元素$S_{2n}$，在那里我们提供渐近最优代码的排列组。
2016-06-19 cs.IT math.IT
A New Metric on Symmetric Group and Applications to Block Permutation Codes
置换码由于其广泛的应用而受到人们的广泛关注。对于不同的应用，需要不同度量下的置换码。广义Cayley度量是由Chee和Vu [4]引入的，该度量包括其他几种度量作为特例。然而，广义Cayley度量一般不容易计算。由于广义Cayley度量和块置换度量具有相同的大小，因此Yang等人[22]引入了块置换度量。然而，块置换度量缺乏对称性，这限制了更先进的代数工具的参与。本文通过引入一个与块置换度量密切相关的度量，在块置换度量中的一些高级代数方法和码之间架起了一座桥梁。更具体地说，基于[19]中代数函数域的一些技巧，我们给出了新度量中具有合理好参数的码的代数几何构造。通过观察新度量与块置换度量之间的一个平凡关系，我们得到了块置换度量中的非系统码，改进了[21，22]中的所有已知结果。更重要的是，基于我们的非系统码，我们提供了一个明确的和系统的构造码的块置换度量，改进了系统的结果，在[22]。最后，我们证明了我们的代码在新的度量本身有相当好的参数，我们的建设击败相应的Gilbert-Varshamov界。
2022-05-09 cs.IT math.CO math.IT
Snake-in-the-Box Codes for Rank Modulation
受秩调制方案与应用程序的闪存，我们认为格雷码能够检测到一个单一的错误，也被称为蛇在盒子中的代码。我们研究两个错误度量：Kendall的$τ$度量，其适用于电荷约束误差，以及$\ell_\infty$度量，其在有限幅度误差的情况下是有用的。在这两种情况下，我们构造的蛇在盒子码的速率渐近趋于1。我们还提供了高效的后继计算函数，以及排名和取消排名函数。最后，我们还研究了这类码的参数的界。
2011-07-18 cs.IT math.IT
Constrained Codes for Rank Modulation
受秩调制方案的启发，Sala和Dolecek最近的一项工作探索了排列的约束码的研究。他们研究的约束是由闪存中的单元间干扰现象继承的，其中高电平单元可以无意中增加低电平单元的电平。本文将Sala和Dolecek研究的模型扩展为两个约束。置换$σ\in S_n$满足\emph{two-neighbor $k$-constraint}，如果对于所有$2 \leq i \leq n-1$，是$|σ(i-1)-σ(i)|\leq k$或$|σ(i)-σ(i+1)|\leq k$，并且它满足\emph{asymmetric two-neighbor $k$-constraint}，如果对于所有$2 \leq i \leq n-1$，是$σ(i-1)-σ(i) < k$或$σ(i+1)-σ(i) < k$。我们表明，第一个约束的容量是$(1+ε)/2$的情况下，$k=Θ(n^ε)$和第二个约束的容量是1，无论$k$的值。我们还扩展了我们的结果，并研究了这两个约束的能力结合纠错码在肯德尔的$τ$度量。
2014-01-17 cs.IT math.IT
Constructions of Snake-in-the-Box Codes for Rank Modulation
盒中蛇码是能够检测单个错误的格雷码。格雷码在最近提出的用于表示闪存中的信息的等级调制方案的上下文中是重要的。对于格雷码，该方案中的码字是置换的，通过使用“推到顶部”操作获得两个连续的码字，并且距离度量被定义在置换上。本文采用Kendall的$τ$度量作为距离测度.我们提出了一个一般的方法来构造这样的格雷码。我们应用该方法递归地获得一个蛇的长度$M_{2n+1}=((2n+1)(2n)-1)M_{2n-1}$的排列$S_{2n+1}$，从蛇的长度$M_{2n-1}$的排列~ $S_{2n-1}$。因此，我们得到了$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{M_{2n+1}}{S_{2n+1}}\approx 0.4338$，改进了以前已知的$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{πn}}$的比率。利用一般方法，我们还给出了一个直接构造法.这种直接构造基于项链，并且对于$S_{2n+1}$的排列，它可能产生长度为$\frac{(2n+1)!}{2} -2n+1$的蛇。直接构造成功地应用于$S_7$和$S_9$，并因此应用于$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{M_{2n+1}}{S_{2n+1}}\approx 0.4743$。
2014-09-14 cs.IT math.CO math.IT
New Bounds for Permutation Codes in Ulam Metric
给出了具有乌拉姆距离的置换码的基数的新界。首先，得到了一个整数规划上界，它在一定长度上改进了文献中的Singleton型上界。其次，几个概率下界的开发，提高了已知的下限大的最小距离。文中还介绍了用计算机搜索置换码的结果。
2015-04-20 cs.IT math.CO math.IT
On the Labeling Problem of Permutation Group Codes under the Infinity Metric
最近提出了无限范数下的置换码作为用于校正秩调制方案中的有限幅度误差的编码方案。给定这样的代码，我们表明，一个简单的重新标记操作，产生一个同构的代码，可能会大大改变代码的最小距离。因此，我们可以选择一个有效的编码/解码过程的代码结构，然后通过重新标记优化代码的最小距离。我们正式定义的重新标记问题，并表明，所有的代码可以重新标记，以获得最小的距离最多为2。一个码是否可以被重新标记为距离1的决策问题是NP完全的，并且计算重新标记后的最佳可实现的最小距离被证明是难以近似的。最后，我们考虑重新标记问题的一般界限。我们具体地展示了循环群的最佳重标记距离。一般概率参数的特定情况用于显示$\agl(p)$可以被重新标记为最小距离$p-O(\sqrt{p\ln p})$。
2011-09-19 cs.IT math.IT
Theoretical Bounds and Constructions of Codes in the Generalized Cayley Metric
排列码由于其在包括云存储系统、基因组重测序和闪存的各种应用中的潜力而最近获得了大量的研究兴趣。本文研究了广义Cayley度量下置换码的理论界和构造。广义Cayley度量捕获置换中的广义换位错误的数量，并包含先前研究的错误类型，包括换位和易位，而不对易位片段的长度和位置施加限制。依赖于断点分析提出的Chee和Vu，我们首先提出了一个编码方案，是顺序最优的，但不是建设性的基于这种方法。然后，我们开发了另一种结构的置换码的广义凯莱距离。该方案既明确又系统。证明了阶最优系统码的存在性，并给出了基于此方法的具体构造。对于广义Cayley度量，我们证明了我们的编码方案具有更少的冗余比现有的基于交织的代码时，码长是足够大，错误的数量是相对较小的。
2020-01-02 cs.IT math.IT
Infinity-Norm Permutation Covering Codes from Cyclic Groups
研究了置换码在$\ell_\infty$ -度量下的覆盖码.我们提供了一个通用的代码结构，它使用较小的积木码。我们研究循环传递群的积木，确定其确切的覆盖半径，并显示线性时间算法找到一个覆盖码字。在共轭条件下，我们也给出了重标号循环传递群的覆盖半径的界。
2017-03-01 cs.IT math.IT
On Optimal Anticodes over Permutations with the Infinity Norm
受无穷范数下置换上码的集-反集方法的启发，我们研究了该度量下的反码。对于参数范围的一半，我们分类所有的最佳反码，这相当于找到某些$(0,1)$ -矩阵的最大永久。对于其余的情况下，我们显示的最佳反码的结构上的限制。
2010-07-25 cs.IT math.IT
On the minimum weight problem of permutation codes under Chebyshev distance
长度为$n$且距离为$d$的置换码是$n$符号上的置换的集合，其中所述集合中的任何两个元素之间的距离至少为$d$。子群置换码是一类在复合运算下元素是闭的置换码。在距离度量$\ell_{\infty}$ -范数下，证明了寻找子群置换码的最小重量码字是NP-完全的。此外，我们表明，它是NP-困难的近似因子$7/6-ε$的任何$ε>0$内的最小重量。
2010-05-31 cs.IT math.IT
Multipermutation Ulam Sphere Analysis Toward Characterizing Maximal Code Size
排列码，以等级调制的形式，已经显示出用于诸如闪存之类的应用的前景。最近提出的适合于秩调制的度量之一是Ulam度量，它测量排列之间的最小移位距离。多置换码也已经被提出作为置换码的推广，其将改善码大小（并且因此提高码率）。在本文中，我们分析了乌拉姆度量的上下文中的多重排列，注意到乌拉姆度量的上下文中的排列之间的一些相似性和差异。我们还考虑了球的大小下的乌拉姆度量和由此产生的代码大小的界限的多重排列。
2017-01-14 cs.IT math.CO math.IT
Permutation and Multi-permutation Codes Correcting Multiple Deletions
本研究改进了Ulam度量下可纠多次删除错误的置换码的Gilbert–Varshamov界，提出基于新映射的低冗余置换码构造方法并拓展至多置换场景，得到当前最优的Ulam度量多重置换码。
2024-12-10 cs.DM cs.IT math.CO
Error-Correction in Flash Memories via Codes in the Ulam Metric
我们认为秩调制代码的闪存，允许处理任意电荷下降错误。与用于校正表现为两个相邻排列的元素的交换的错误的经典秩调制码不同，所提出的\emph{translocation rank codes}考虑了存储系统中出现的更一般形式的错误。易位表示相邻易位的概念的自然扩展，并且因此可以使用组合学和秩调制编码中的相关概念来分析。我们的结果包括推导出的渐近容量的易位秩码，建设技术的渐近好的代码，以及简单的解码方法，一类构造的代码。作为我们的论述的一部分，我们还强调了新的代码家庭和置换与短的公共序列，删除和插入的纠错码的置换，和置换码在汉明距离之间的密切联系。
2013-04-22 cs.IT math.IT
Permutation Polynomial Interleavers: An Algebraic-Geometric Perspective
交织器是Turbo码信道编码性能的关键部件。代数结构是重要的，因为它们允许分析设计和简单实用的硬件实现。交织器的扩频因子是turbo编码应用的常用度量。最大扩散扩散器是扩散因子达到上界的扩散器。给出了整数环上生成最大展度多项式的二次置换多项式的一个无穷序列。从代数几何的角度研究置换多项式的新性质，得到置换多项式的新的非线性度量。提出了一种新的交织器度量，它是非线性度量和扩频因子的函数。数值计算表明，扩展因子的重要性随着块长度的增加而减小。根据新的度量，列出了各种交织器长度的良好交织器的表。广泛的计算机模拟结果与令人印象深刻的帧出错率证实了新的度量的功效。此外，当使用咬尾组成码时，所得到的turbo码是准循环的。
2006-01-12 cs.DM cs.IT math.IT
New Channel Coding Lower Bounds for Noisy Permutation Channels
针对噪声置换信道，提出基于KL散度ε-填充的新可达性下界，比现有界更紧，并给出高斯近似验证精度。
2025-01-23 cs.IT math.IT
Multiset Codes for Permutation Channels
本文介绍了与置换信道上可靠信息传输问题有关的多集码的概念。研究置换信道的动机来自于某些类型的分组网络中分组的乱序传递的影响。建议的代码是一个推广的所谓的子集码，最近提出的作者。建立了多集码的一些基本性质，其中包括在Manhattan度量下它们与整数码的等价性。所提出的编码理论框架密切遵循Koetter和Kschischang提出的运营商通道。这两个数学模型在许多方面是相似的，并且基本思想以允许对这些类型的信道的编码的统一观点的方式提出。
2013-01-31 cs.IT math.IT
Improved Lower Bounds on the Size of Balls over Permutations with the Infinity Metric
在无穷度量下，研究了置换度量空间$S_n$中球的大小（或体积）。我们专注于半径为$r = ρ\cdot (n\!-\!1)$、$ρ\in [0,1]$的球的状态，即，半径是最大可能距离的常数。我们提供了新的下界的大小，这样的球。这些新的下界将与已知上界的渐近间隙减小到每符号至多$0.029$比特。此外，他们意味着一个改进的球包装界的纠错码，和一个改进的上限上的最佳覆盖码的大小。
2017-04-20 cs.DM cs.IT math.CO
Improved Bounds for Permutation Arrays Under Chebyshev Distance
Chebyshev度量下的排列阵列已被考虑用于有噪信道中的纠错。令$P(n,d)$表示具有成对切比雪夫距离$d$的$n$符号上的任何排列阵列的最大大小。我们给出了新的技术和改进的上界和下界的$P(n,d)$，包括一个精确的公式$P(n,2)$。
2023-02-24 cs.IT math.CO math.IT
Isometries and Construction of Permutation Arrays
（n，d）-置换码是Sym（n）的子集C，使得C的任何两个不同元素之间的汉明距离d_H至少等于d。本文利用度量空间（Sym（n），d_H）的等距群的特征，提出了一种可拒绝同构对象的生成算法。为了对（n，d）-置换码进行等距分类，我们构造了不变量，并研究了它们的有效性.给出了非等距（4，3）-和（5，4）-置换码的个数。最大和平衡的（n，d）-置换码枚举的建设性的方式。
2009-11-09 cs.IT math.CO math.IT
The Sequence Reconstruction of Permutations under Hamming Metric with Small Errors
University of Isfahan（伊斯法罕大学）
本文提出基于群作用技术的新公式，用于计算排列序列在小误差下的汉明度量最大交集大小，并开发算法以高效计算相关参数。
2026-01-07 cs.IT math.CO math.GR
Explicit Good Codes Approaching Distance 1 in Ulam Metric
本文构造 Ulam 度量下的显式排列码，码大小为 $(n!)^α$，最小相对距离逼近 1，并支持 poly(n) 时间枚举与近码译码。
2024-05-11 cs.CC cs.DS cs.IT
