Minimum distance computation of linear codes via genetic algorithms with permutation encoding
我们设计了一个探试法，一个遗传算法，用于计算有限域上线性码的最小距离的上界。利用行约化梯形，得到了问题的一种置换编码，使得其解的空间不依赖于基域的大小或码的维数.实际上，我们的方法的效率仅相对于代码的长度非多项式地增长。
2018-07-18 cs.IT math.IT
Compression in the Space of Permutations
我们研究了以置换形式的数据的有损压缩（信源编码）。这个问题在有序数据或排序的存储以及排序算法的分析中有直接的应用。分析了均匀分布下置换空间的率失真特性，以及恢复后允许有界失真的最小可达压缩率。我们的分析是关于不同的实际和有用的失真措施，包括肯德尔-陶距离，斯皮尔曼的foottrule，切比雪夫距离和反演- $\ell_1$距离。我们建立等价的源代码设计在一定的失真，并显示简单的显式代码设计，产生低编码/解码的复杂性和渐近最优。最后，我们表明，对于Mallow模型，一个流行的非均匀排列模型的置换空间，熵和最大失真在零速率是远远低于均匀的同行，这激励了未来的设计高效的压缩方案，这种模式。
2015-10-17 cs.IT math.IT
Sorting of Permutations by Cost-Constrained Transpositions
我们解决的问题，找到一个置换的最小分解与非均匀成本的换位。对于任意非负成本函数，我们描述多项式时间，常数近似分解算法。对于度量路径成本，我们描述了精确的多项式时间分解算法。我们的算法代表了维特比型算法和图形搜索技术的组合，用于最大限度地减少个别换位的成本，并找到最小成本循环分解的动态规划算法。所提出的算法在信息论、生物信息学和代数学中有应用。
2010-07-24 cs.IT math.IT
Low-Density Parity-Check Codes of High Girth from Permutation Polynomials
University of South Florida（南佛罗里达大学）
本文利用非交换二项式置换多项式构造基于原模图的LDPC码，突破围长和最小距离上界，仿真显示译码性能优于基于仿射置换多项式的QC-LDPC码。
2026-10-05 cs.IT math.IT
Further Results on Quadratic Permutation Polynomial-Based Interleavers for Turbo Codes
交织器是Turbo码信道编码性能的关键部件。代数结构是特别感兴趣的，因为他们承认分析设计和简单，实用的硬件实现。此外，Sun和Takeshita（IEEE Trans. Inf. Theory，2005年1月）最近提出的基于二次置换多项式（QPP）的解码器为短到中等块长度提供了优异的性能，并且已经被选择用于3GPP LTE标准。在这项工作中，我们推导出一些上界的最佳可实现的最小距离dmin的QPP为基础的传统的二进制Turbo码（咬尾终止，或双终止时，交织器长度N是足够大的），是紧较大的块大小。特别地，我们证明了当QPP具有QPP逆时，最小距离至多为2（2^{ν+1}+9），与交织器长度无关，其中ν是原始反馈和monic前馈多项式的次数。然而，允许QPP具有更大的次数逆可以给出严格更大的最小距离（和更低的多重性）。特别地，我们提供了几个QPP，其对于一些3GPP LTE交织器长度具有至少为三的逆度，从而给出了严格大于50的3GPP LTE组成编码器的dmin。例如，我们找到了N=6016的QPP，估计dmin为57。此外，我们为所有3GPP LTE Turbo码（具有双终止）提供了精确的最小距离和相应的多重性，这表明最佳最小距离为51。最后，我们针对所有3GPP LTE交织器长度N <= 4096计算利用QPP交织器的最佳可实现的最小距离，并且将最小距离与我们在使用3GPP LTE…
2011-02-25 cs.IT math.IT
A New Construction for LDPC Codes using Permutation Polynomials over Integer Rings
提出了一种利用有限整数环上的二次置换多项式构造低密度奇偶检验（LDPC）码的新方法。新码的相关图具有代数和伪随机性质，并且新码是准循环的。图同构和自同构的识别和使用在一个有效的搜索良好的代码。找到了围长为12的图，用解析和算法找到了最小汉明距离的上界。边界指示最小距离随着块长度而增长。近码字是导致LDPC码错误平层的原因之一，新构造为研究LDPC码近码字提供了一个很好的框架。文中给出了九个码例，计算机模拟结果表明，这些码具有优良的误码性能。最后，这种新的LDPC构造和Turbo码之间的连接使用二次置换多项式产生的交织器。
2005-06-24 cs.IT math.IT
Recursive methods for some problems in coding and random permutations
本文研究递归在编码和随机排列问题中的三个应用。首先，我们考虑局部可恢复的部分局部性的代码，并使用递归来估计这种代码的最小距离。接下来，我们考虑加权格代表码，并使用递归次加性技术，以获得收敛的最小码的大小。最后，我们得到了一个递归关系，涉及随机排列中的周期矩，并作为一个例子，评估递归的均值和方差。
2020-12-20 cs.IT math.CO math.IT
Genetic algorithms with permutation-based representation for computing the distance of linear codes
求线性码的最小距离是一个NP难问题。传统上，这种计算已经通过算法的设计来解决，该算法通过聪明的穷举搜索来找到提供具有最小权重的码字的一些生成矩阵行的线性组合。因此，随着代码的维数或底层有限域的大小增加，运行时间也会呈指数增长。在这项工作中，我们证明了，给定一个生成矩阵，存在一个列置换，导致一个减少的行梯队形式包含一个行的重量是代码的距离。这一结果使使用置换作为表示方案，在通常的离散表示，这使得最佳的多项式时间的搜索依赖于基字段。特别是，我们已经实现了遗传和CHC算法使用这种表示作为概念证明。实验结果已经进行了采用代码的领域与两个和八个元素，这表明我们提出的置换编码的进化算法是有竞争力的文献中现有的方法。作为副产品，我们发现并修正了MAGMA计算代数系统中关于某些线性码的存储距离的一些不准确之处。
2020-10-30 cs.IT math.IT
New bounds of permutation codes under Hamming metric and Kendall's $τ$-metric
置换码由于其在诸如电力线通信、分组密码和用于闪存的秩调制方案等各种领域中的众多应用而被广泛研究。根据置换码的具体应用，考虑了几种度量。本文主要利用图着色的方法，分别对置换码在Hamming度量和Kendall的$τ$ -度量下的上界进行了改进.具体地说，在Hamming度量下，当最小Hamming距离$d$固定且码长$n$趋于无穷大时，我们将Gilbert-Varshamov界渐近地提高了一个因子$n$.在Kendall的$τ$ -度量下，我们缩小了已知的下界和上界之间的差距。此外，我们还得到了小参数下Kendall $τ$ -度量下的一些零星结果。
2016-11-22 cs.IT math.IT
New Bounds for Permutation Codes in Ulam Metric
给出了具有乌拉姆距离的置换码的基数的新界。首先，得到了一个整数规划上界，它在一定长度上改进了文献中的Singleton型上界。其次，几个概率下界的开发，提高了已知的下限大的最小距离。文中还介绍了用计算机搜索置换码的结果。
2015-04-20 cs.IT math.CO math.IT
New Lower Bounds for Permutation Codes using Linear Block Codes
本文将置换码理论与线性分组码理论相结合，证明了置换码的最大长度的新下界。更具体地，使用$[n,k,d]_q$线性分组码的奇偶检验矩阵的列，我们能够证明在次数为$n$的对称群中存在置换码，该置换码具有至少$d$的最小距离和大基数。与我们的技术，我们得到新的下界置换码，提高了文献中的置换码，并提供渐进的改进，在某些制度的长度和距离的置换码。
2019-01-25 cs.IT math.CO math.IT
Binary cyclic codes from permutation polynomials over $\mathbb{F}_{2^m}$
本文利用置换单项式和三项式构造二元循环码，得到维数大于一半、最小距离接近平方根界的多个无限族，并基于球填充界获得参数为$[2^m-1,2^m-2-3m,8]$的最优码族。
2025-04-20 cs.IT math.IT
Constructing error-correcting binary codes using transitive permutation groups
令$A_2(n,d)$为长度为$n$且距离为$d$的二进制码的最大大小。在本文中，我们提出了以下新的下界：$A_2(18,4) \ge 5632$，$A_2(21,4) \ge 40960$，$A_2(22,4) \ge 81920$，$A_2(23,4) \ge 163840$，$A_2(24,4) \ge 327680$，$A_2(24,10) \ge 136$和$A_2(25,6) \ge 17920$。新的下界是一个系统的计算机搜索的结果传递置换群。
2016-07-18 cs.IT math.CO math.IT
Perfect Permutation Codes with the Kendall's $τ$-Metric
为了在非易失性存储器中有效地写入和存储数据，已经提出了秩调制方案。秩调制方案中的纠错通过考虑置换码来完成。本文考虑$n$元素上所有置换的集合$S_n$中的码，使用Kendall的$τ$ -度量.本文证明了$S_n$中不存在完美的单纠错码，其中$n>4$是素数或$4\leq n\leq 10$。我们还证明了，如果这样的代码存在的$n$这是不是一个素数，然后代码应该有一些统一的结构。我们定义了一些变化的肯德尔的$τ$度量，并考虑相关的代码，特别是我们证明了存在一个完美的单纠错码的$S_5$。最后，我们研究了$S_n$中直径完美码的存在性问题，并得到了$S_n$中具有最小Kendall $τ$ -距离的码的长度的一个新的上界。
2014-04-20 cs.IT math.IT
Finite Length Weight Enumerator Analysis of Braided Convolutional Codes
编织卷积码（BCC）是一类具有良好置信传播（BP）阈值的空间耦合类Turbo码（SC-TC）。在本文中，我们分析的性能BCC在有限块长度制度。我们推导出平均权重枚举函数（WEF），并计算了非耦合BCC系综的性能上的联合界。我们的研究结果表明，工会界的影响差的距离属性的一小部分代码。通过计算联合界的删减合奏，我们表明，地板大大提高和非常低的出错率，可以实现中等排列大小。基于WEF，我们还得到了一个最小距离的界，表明它与排列大小线性增长。最后，我们表明，估计的误差地板的非耦合BCC合奏也是有效的耦合合奏证明，耦合合奏的最小距离是下界的非耦合合奏的最小距离。
2016-08-08 cs.IT math.IT
On ML-Certificate Linear Constraints for Rank Modulation with Linear Programming Decoding and its Application to Compact Graphs
摘要将置换码、秩调制和线性规划方法交叉研究，研究了不含分数顶点的矩阵多面体的线性约束问题。通过对矩阵的块结构的讨论，从已知的小多面体出发，得到了一类新的块结构多面体。这个概念，称为“合并”，被应用到寻找一个新的紧凑的图，这是已知的图同构问题的一种方法。我们的新置换码的编码和译码算法是从现有的小多面体算法中得到的。与通过改变置换码的基而获得的码的肯德尔-τ距离和最小欧几里德距离相关联的最小距离可以大于原始距离。
2012-02-05 cs.IT math.CO math.IT
Bounds on the Size of Permutation Codes with the Kendall $τ$-Metric
为了在非易失性存储器中有效地写入和存储数据，已经提出了秩调制方案。秩调制方案中的纠错通过考虑置换码来完成。本文考虑$n$元素上所有置换的集合$S_n$中的码，使用Kendall $τ$ -度量.本文的主要目标是得到新的界限，这样的代码的大小。为了这个目的，我们也考虑完美的代码，直径完美的代码，和最佳的反码的大小在肯德尔$τ$度量，结构有自己的相当大的兴趣。本文证明了$S_n$中不存在完美的单纠错码，其中$n>4$是素数或$4\leq n\leq 10$。我们提出了最佳的反码奇直径的大小的下界。作为结果，我们得到了一个新的上限的代码的大小在$S_n$甚至最小的Kendall $τ$ -距离。我们提出了比$S_5$和$S_7$中已知的更大的单纠错码。
2022-05-02 cs.IT math.IT
Improving the Gilbert-Varshamov bound for permutation Codes in the Cayley metric and Kendall $τ$-Metric
本文利用图论方法，将凯莱度量和Kendall τ-度量下置换码的Gilbert-Varshamov界分别渐近改进了一个log(n)因子。
2024-09-06 cs.DM cs.IT math.CO
New Theoretical Bounds and Constructions of Permutation Codes under Block Permutation Metric
不同度量下的置换码由于其潜在的应用前景而得到了广泛的研究。引入了广义Cayley度量来纠正广义换位错误，包括以前研究过的Kendall的$τ$ -度量、Ulam度量和Cayley度量作为特例.由于两个置换之间的广义凯莱距离不容易计算，杨等人引入了一个相同阶的相关度量，称为块置换度量。给定正整数$n$和$d$，令$\mathcal{C}_{B}(n,d)$表示具有最小块置换距离$d$的$S_n$中的置换码的最大大小。本文主要研究了$\mathcal{C}_{B}(n,d)$的理论界以及分组置换度量下置换码的构造。利用图论方法，当$d$固定且$n$趋于无穷大时，我们将Gilbert-Varshamov型约束改进为因子$Ω(\log{n})$.我们还提出了一种新的编码方案的基础上二进制等重码。当$d$与$n$比较接近时，给出了一个优于球形填充型界的上界.
2018-11-12 cs.IT math.CO math.IT
LP Decodable Permutation Codes based on Linearly Constrained Permutation Matrices
提出了一组线性约束置换矩阵，用于构造一类置换码。利用对置换矩阵施加的线性约束，我们可以将所提出的置换码类的最小欧氏距离解码问题表示为线性规划（LP）问题。这类置换码的主要特征，称为LP可解码置换码，是这种LP可解码性。证明了这类置换码的LP译码性能是由码的码多面体的顶点来表征的。讨论了两种类型的线性约束：一种是结构化约束，另一种是随机约束。结构化约束，如纯对合导致一个有效的编码算法。另一方面，随机约束使我们能够使用概率方法来分析几个代码属性，如平均基数和平均重量分布。
2011-07-08 cs.IT math.CO math.IT
Multipermutation Ulam Sphere Analysis Toward Characterizing Maximal Code Size
排列码，以等级调制的形式，已经显示出用于诸如闪存之类的应用的前景。最近提出的适合于秩调制的度量之一是Ulam度量，它测量排列之间的最小移位距离。多置换码也已经被提出作为置换码的推广，其将改善码大小（并且因此提高码率）。在本文中，我们分析了乌拉姆度量的上下文中的多重排列，注意到乌拉姆度量的上下文中的排列之间的一些相似性和差异。我们还考虑了球的大小下的乌拉姆度量和由此产生的代码大小的界限的多重排列。
2017-01-14 cs.IT math.CO math.IT
Partial permutation decoding for binary linear and Z4-linear Hadamard codes
置换解码是一种涉及找到码$C$的置换自同构群的子集$S$（称为PD集）以便辅助解码的技术。本文描述了长度为$2^m$的二元线性Hadamard码$H_m$的部分置换译码的最小尺寸$\left \lfloor{\frac{2^m-m-1}{1+m}} \right \rfloor + 1$的$\left \lfloor{\frac{2^m-m-1}{1+m}} \right \rfloor$-PD-集的显式构造，对于所有$m\geq 4$.此外，还建立了一种递归构造，以从给定的$H_m$的相同大小的$s$-PD-集获得长度为$2^{m+1}$的$H_{m+1}$的大小为$l$的$s$-PD-集。这些结果被推广到寻找长度为$2^m$的（非线性）二元Hadamard码的$s$-PD-集，称为$\mathbb{Z}_4$ -线性Hadamard码，它作为长度为$2^{m-1}$的四元线性码的Gray映射图像而得到.
2016-04-30 cs.DM cs.IT math.IT
Quantum Error Correction with Girth-16 Non-Binary LDPC Codes via Affine Permutation Construction
Institution of Science Tokyo（东京科学大学）
该研究提出一种基于仿射置换矩阵与随机顺序选择程序的构造方法，实现围长16的非二进制LDPC量子纠错码，其错误平层性能优于传统围长12的构造，且低重量码字数量更少、最小距离上界更大。
2026-08-17 cs.IT math.IT quant-ph
Asymptotic Improvement of the Gilbert-Varshamov Bound on the Size of Permutation Codes
给定正整数$n$和$d$，令$M(n,d)$表示长度为$n$和最小汉明距离$d$的置换码的最大大小。Gilbert-Varshamov界断言$M(n,d) \geq n!/V(n,d-1)$，其中$V(n,d)$是半径为$d$的汉明球在$§_n$中的体积。最近，Gao，Yang和Ge表明，当$d$固定且$n \to \infty$。在这里，我们考虑的情况下，比例$d/n$是固定的，并改善吉尔伯特-Varshamov约束的一个因素，即\emph{linear in $n$}。也就是说，我们表明，如果$d/n < 0.5$，那么$$ M(n,d)\geq cn\,\frac{n!}{V(n,d-1)} $$，其中$c$是一个正常数，只依赖于$d/n$。为了建立这个结果，我们遵循Jiang和Vardy的方法。也就是说，我们重铸的问题绑定$M(n,d)$到图论框架，并证明所得到的图是局部稀疏的。
2013-11-20 cs.IT math.CO math.IT
The sequence reconstruction problem for permutations with the Hamming distance
本文研究了Hamming距离下排列的序列重构问题，通过在对称群上定义Cayley图并分析其性质，求出了$d=2r$时两度量球最大交集的精确值，并给出了$d=2r-1$时的下界。
2023-08-05 cs.IT math.CO math.IT
