Fundamental Properties of Sum-Rank Metric Codes
本文研究了秩和度量码的理论，其中各个矩阵块可以具有不同的大小。各种界限的基数的代码，以及它们的渐近扩展。还探讨了和秩度量码的对偶理论，表明只有当所有矩阵块具有相同的列数时，MSRD码（MDS码的和秩模拟）才对偶为MSRD码。在后一种情况下，对偶性的考虑导致了MSRD码的块的数量的上限。本文还包含各种建设的和秩度量码的可变块大小，说明这些对象的可能行为的界限，存在性和对偶性质。
2020-10-06 cs.IT math.IT
Breaking linearity in the sum-rank metric: MSRD codes from switched $σ$-rational normal curves
Università degli studi di Perugia（佩鲁贾大学）；Università di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）
该研究通过切换σ-有理正规曲线的范数分量并结合线性化Reed-Solomon伴随映射，构造出首批多块非加性MSRD码，其性能与同参数线性MSRD码相当。
2026-10-09 cs.IT math.CO math.IT
On the Etzion-Silberstein conjecture for block Ferrers diagrams
University of Trento（特伦托大学）；Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；University of Naples ``Federico II''（那不勒斯费德里科二世大学）
研究分块费勒斯图的埃齐翁 - 西尔伯斯坦猜想，引入MSRD可构造性概念，证明其在有限域上能产生最优码，关联其与收缩图的MDS可构造性，得出相关图的MSRD可构造性，还证明向分块三角图的约简及猜想新情形。
2026-07-10 cs.IT math.CO math.IT
The geometry of one-weight codes in the sum-rank metric
给出了$k$维$\mathbb{F}_{q^m}$线性和秩度量码作为$\mathbb{F}_{q^m}^k$的$\mathbb{F}_q$ -子空间的元组的几何刻画.然后，我们使用这个特征来研究单重码的和秩度量。这导致我们扩展的家庭的线性里德-所罗门码，以获得一个双重扩展的版本。我们证明了这些代码仍然是最大秩和距离（MSRD）的代码，当$k=2$，他们是一个重量，在汉明度量的情况下。然后，我们专注于常数秩轮廓码的秩和度量，这是一个特殊的家庭的一个重量码，并推导出其参数的限制与援助的相关的汉明度量码。此外，我们还引入了秩和度量下的$n$ -单纯形码，它是作为$\mathrm{GL}(k,q^m)$的Singer子群的轨道而得到的。他们原来是常数秩配置文件-因此一个重量-和推广的单纯形码在汉明和秩度量。最后，我们重点研究了$2$ -维单权码，导出了对那些也是MSRD码的参数的约束条件，并在$q=2$的情况下得到了一种新的单权MSRD码的构造。
2021-12-09 cs.IT math.CO math.IT
Invariants for sum-rank metric codes
本文针对和秩度量码的等价问题，引入广义理想化子、中心化子、中心及核参数等新不变量，并构建基于斜多项式的计算框架，为传统工具失效的MSRD码等价性研究提供了有效方法。
2025-07-05 cs.IT math.CO math.IT
Reed-Muller codes polarize
Reed-Muller（RM）码和极化码由相同的矩阵$G_m= \bigl[\begin{smallmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{smallmatrix}\bigr]^{\otimes m}$生成，但是使用不同的行子集。RM码简单地选择具有最大权重的行。相反，极化码选择具有最大条件互信息的行，在$G_m$中从上到下进行;虽然这是更精细且依赖于信道的规则，但从上到下的排序具有使条件互信息更精细的优点，从而在任何二进制无记忆对称信道（BMSC）上直接给出容量实现码。RM码具有这样的性质还有待证明。在本文中，我们重新RM码极化理论。结果表明，在RM码排序，即，不是从上到下，而是从$G_m$中最轻的行到最重的行，条件互信息再次极化。我们进一步证明了它比极化码更快。这意味着$G_m$包含不同于极化码的另一个码，并且在这里被称为孪生码，其在任何BMSC上可证明是容量实现的。这证明了RM码在BMSC上实现容量的必要条件。它进一步给出了条件互信息最大的行对应于最重的行的充分条件，即，如果孪生码是RM码。我们在这里表明，这两个代码裸露彼此的相似性，并提供进一步的证据，他们可能是相同的。
2019-01-31 cs.IT math.IT
On the Formation of Min-weight Codewords of Polar/PAC Codes and Its Applications
本文通过显式构造极化码最小重量码字，提出基于重量分布修改信息集以降低错误系数的新方法，改进后的极化码和PAC码在实用块错误率下性能优于PAC码和CRC-Polar码。
2023-09-20 cs.IT math.IT
On Puncturing Strategies for Polar Codes
本文介绍了一类特殊的穿孔模式，称为对称穿孔模式，它可以从生成矩阵$G_N$的行中表征和生成。首先证明了它们是不等价的，然后提出了一种低复杂度的生成对称穿孔模式的方法，该方法在$G_N$的行上执行具有有限深度的搜索树算法。对称模式进一步优化密度演化，并显示出更好的性能比国家的最先进的速率兼容的代码结构，依赖于打孔或缩短技术。
2017-01-17 cs.IT math.IT
The Fractality of Polar and Reed-Muller Codes
极化码和Reed-Muller码的生成矩阵通过从下三角二进制方阵的Kronecker积中选择行来获得。对于极化码，选择基于行的Bhattacharyya参数，其与顺序解码下对应输入比特的错误概率密切相关。对于Reed-Muller码，选择基于行的汉明权重。本文研究了无限块长度限制下指向这些行的索引集的性质。特别是，Lebesgue措施，Hausdorff维数，和自相似性，这些集将被讨论。结果表明，这些指标集有几个属性是常见的分形。
2016-02-25 cs.IT math.IT
On the privacy of a code-based single-server computational PIR scheme
我们证明了Holzbaur，Hollanti和Wachter-Zeh在2020年提出的单服务器计算PIR协议不是私有的，在这个意义上，服务器可以在多项式时间内以非常高的概率恢复所需文件的索引。攻击基于以下观察。删除查询矩阵中与所需文件相对应的行会大大降低该穿孔矩阵的行所跨越的向量空间的$\mathbb{F}_q$上的维数。只有在删除与请求的文件无关的行时，才会出现这种维度丢失，其概率可以忽略不计。
2020-04-01 cs.CR cs.IT math.IT
On the number of inequivalent linearized Reed-Solomon codes
Vrije Universiteit Brussel（布鲁塞尔自由大学）；Università degli Studi della Campania “Luigi Vanvitelli”（坎帕尼亚路易吉·范维泰利大学）
本文研究了线性化Reed-Solomon码的等价问题，确定了该家族中不等价码的数量，通过分析Gabidulin系统的稳定子群，得出了等价条件，并推导了计数公式。
2026-03-18 cs.IT math.CO math.IT
Refined Upper Bounds on Stopping Redundancy of Binary Linear Codes
二进制$[n, k, d]$码$\mathcal C$的第$l$停止冗余$ρ_l(\mathcal C)$，$1 \le l \le d$，被定义为$\mathcal C$的奇偶校验矩阵中的最小行数，使得最小停止集的大小至少为$l$。停止冗余$ρ(\mathcal C)$定义为$ρ_d(\mathcal C)$。在这项工作中，我们改进的概率分析停止冗余，提出了汉，西格尔和Vardy，这产生了最好的界限今天。在我们的方法中，我们明智地选择奇偶校验矩阵中的前几行，然后继续使用概率方法。通过使用类似的技术，我们也提高了最好的已知的界限上$ρ_l(\mathcal C)$，为$1 \le l \le d$。我们的方法相比，现有的方法通过数值计算。
2015-02-27 cs.IT math.IT
Partially Constrained GRAND of Linear Block Codes
针对线性分组码解码，提出部分约束GRAND（PC-GRAND）算法，利用奇偶校验矩阵部分行生成候选错误图样、其余行验证，结合SLVA减少搜索次数，经数值验证有效并与其他算法对比。
2023-08-28 cs.IT math.IT
Eigenvalue Bounds for Sum-Rank-Metric Codes
本文通过引入和秩度量图并结合特征值技术，推导出和秩度量码维数和分组长度的改进上界，并为MSRD码建立了新的不存在性结果。
2023-10-26 cs.IT math.CO math.IT
A Tight Estimate for Decoding Error-Probability of LT Codes Using Kovalenko's Rank Distribution
利用条件Kovalenko秩分布，导出了一种估计密集行LT码译码错误概率的新方法。所提出的方法的估计是非常接近的DEP近似高斯消元，是显着不那么复杂。作为一个关键的应用，我们利用估计获得最佳LT码与密集行，其DEP是非常接近的Kovalenko的满秩限制在所需的错误范围内。实验证据表明，估计的可行性也提供。
2009-01-19 cs.DM cs.IT math.CO
Optimal Scalar Linear Index Codes for One-Sided Neighboring Side-Information Problems
Maleki \textit{et al.}给出了消息数等于接收机数且具有相邻解（边信息）的多个单播索引编码问题的对称实例的容量。在本文中，我们构造了$F_q$上的大小为$ m \times n (m \geq n)$的矩阵，使得矩阵的任何$n$相邻行线性无关。通过使用这样的矩阵，对于Maleki \textit{et al.}考虑的对称单边解毒剂问题，对于任何给定数量的消息和单边解毒剂，我们给出了$F_q$上的最佳标量线性索引码。所构造的码与域的大小无关，因此适用于所有域。
2016-06-05 cs.IT math.IT
On the Asymptotic Performance of Iterative Decoders for Product Codes
我们认为硬判决迭代解码器的产品代码在擦除通道，它采用重复轮的解码行和列交替。我们推导出精确的渐近概率解码失败的纠错能力的行和列的代码，解码轮数，和信道擦除概率的函数。我们研究的情况下，能够纠正一个恒定的错误量的代码，和代码的情况下，能够纠正一个恒定的分数，他们的长度。
2005-08-20 cs.DM cs.IT math.IT
Multiple Criss-Cross Insertion and Deletion Correcting Codes
研究了数组中多个交叉插入和删除的纠正问题。更确切地说，我们研究了受$t$影响的$n \times n$阵列的独特恢复-交叉缺失定义为$t_r$行和$t_c$列缺失的任何组合，使得对于给定的$t$，$t_r + t_c = t$。我们证明了纠正$t$ -交叉缺失和$t$ -交叉插入之间的等价性，并证明了纠正$t$ -交叉插入/缺失的代码至少具有$tn + t \log n - \log(t!)$的冗余。然后，我们给出了一个$t$的存在性构造--由$tn + \mathcal{O}(t^2 \log^2 n)$上界冗余的交叉插入/删除纠错码。所提出的代码结构的主要成分是系统的二进制$t$ -删除纠正码和Gabidulin码。第一个要素帮助定位插入/删除的行和列的索引，从而将插入/删除-校正问题转换为行/列擦除-校正问题，然后使用第二个要素来解决该问题。
2021-11-15 cs.IT math.IT
Hamming and simplex codes for the sum-rank metric
在这项工作中引入和秩汉明码。它们基本上被定义为最长码（因此具有最高信息速率），对于固定冗余$ 3 $、基本字段大小$ q $和字段扩展度$ m $（即，矩阵行数）。基于这些参数，得到了它们的码长、子长度和平均子长度的一般上界。当域扩张度为$ 1 $时，证明了和秩汉明码的和秩等距类与最大部分扩展是双射对应的.在这种情况下，它也表明，和秩汉明码是完美的代码的和秩度量。也在这种情况下，估计的参数（长度和拍摄数）的和秩汉明码，连同一个有效的伴随式解码算法。对偶的和秩汉明码，称为和秩单纯形码，然后介绍。基于已知的部分扩展大小的界，给出了和秩单纯码的最小和秩距离的界。作为应用，和秩汉明码被提出用于多次矩阵乘法信道中的纠错，以及在包括二进制在内的小域上构造局部可修复码。
2021-01-12 cs.IT math.IT
Cyclic and Quasi-Cyclic LDPC Codes on Row and Column Constrained Parity-Check Matrices and Their Trapping Sets
本文主要研究循环码和准循环码的构造和结构分析，特别是LDPC码。它由三部分组成。第一部分证明了由循环形式的奇偶检验矩阵给出的循环码可以分解为各种长度和速率的后代循环码和准循环码。这些后代码的一些基本的结构性质的发展，包括一个循环后代码的生成多项式的根的特征。本文的第二部分表明，循环和准循环后裔LDPC码可以推导出循环有限几何LDPC码使用的文件的第一部分的结果。这扩大了循环LDPC码的库。论文的第三部分分析了奇偶检验矩阵在行和列上满足一定约束的规则LDPC码的捕获集。几类有限几何和有限域循环和准循环LDPC码与大的最小重量被证明没有有害的陷阱集的大小小于其最小重量。因此，它们的性能误差层由它们的最小权重决定。
2010-12-15 cs.IT math.IT
Lower Bounds for Maximally Recoverable Tensor Code and Higher Order MDS Codes
$(m,n,a,b)$张量码由列满足“$a$”奇偶校验并且行满足“$b$”奇偶校验的$m\times n$矩阵组成（即，张量码是列码和行码的张量积）。张量码在分布式存储中很有用，因为单个擦除可以通过读取其行或列来快速纠正。最大可恢复（MR）张量码，由Gopalan等人提出，是张量码，其可以校正理论上可能校正的信息的每个擦除模式。关于MR张量码的主要问题是描述哪些擦除模式是可纠正的，以及在小域上获得显式的构造。在本文中，我们研究了当$a=1$，即，列满足单个奇偶校验等式。我们引入高阶MDS码（MDS $(\ell)$码）的概念，这是一个有趣的推广著名的MDS码，其中$\ell$捕获的低维空间中的点的泛型顺序。然后证明了具有$a=1$的张量码是MR的当且仅当行码是MDS $(m)$码.然后，我们证明了MDS $(m)$码满足一些弱对偶。利用这个特征和对偶性，我们证明了$(m,n,a=1,b)$张量码需要大小为$q=Ω_{m,b}(n^{\min\{b,m\}-1})$的场.我们的下界也扩展到设置的$a>1$。我们还给出了一个确定性的多项式时间算法来检查是否一个给定的擦除模式是可纠正的MR张量代码（当$a=1$）。
2022-12-02 cs.CC cs.IT math.IT
Improved Upper Bounds on Stopping Redundancy
设C是一个长度为n，最小距离为d的线性码. C的停止冗余定义为C的奇偶校验矩阵中的最小行数，使得对应的Tanner图中的最小停止集具有大小d。我们推导出新的上界停止冗余的线性码一般，最大距离可分离（MDS）码具体，并显示他们如何改善以前已知的结果。对于MDS码，新的界是通过用一个与Turan数密切相关的组合量对停止冗余度上界而得到的。(The图兰数T（v，k，t）是一个v-集合的最小t-子集数，使得v-集合的每个k-子集至少包含一个t-子集。进一步证明了对于固定的d，MDS码的停止冗余度为T（n，d-1，d-2）（1+O（n^{-1}）），对于固定的码维数k=n-d+1，MDS码的停止冗余度至多为T（n，d-1，d-2）（3+O（n^{-1}））.当d= 3，4时，我们证明了MDS码的停止冗余度等于T（n，d-1，d-2），并给出了其精确公式.当d=5时，我们证明了MDS码的停止冗余是T（n，4，3）或T（n，4，3）+1.
2005-11-15 cs.DM cs.IT math.IT
